Zdarzenia losowe; Prawdopodobieństwo klasyczne

1.

Z partii towaru zawierającej sztuki dobre i niedobre losujemy trzy sztuki. Niech A
oznacza zdarzenie: dokładnie jedna sztuka dobra wśród trzech wylosowanych, B – co
najwyżej jedna sztuka dobra wśród trzech wylosowanych, C – co najmniej jedna
sztuka dobra wśród trzech wylosowanych. Wyjaśnić co oznaczają zdarzenia: A’, B’,
C’, A

∩

B, A

∪

B, C

∩

B, C

∪

B, C’

∩

B’.

2.

Niech A, B i C będą trzema dowolnymi zdarzeniami. Napisać wyrażenie analityczne
reprezentujące zdarzenie, które polega na tym, że:

a)

zachodzi tylko zdarzenie A;

b)

zachodzą tylko zdarzenia A i B;

c)

zachodzą wszystkie trzy zdarzenia;

d)

zachodzi przynajmniej jedno z tych zdarzeń;

e)

zachodzą przynajmniej dwa zdarzenia;

f)

zachodzi dokładnie jedno zdarzenie;

g)

zachodzą dokładnie dwa zdarzenia;

h)

nie zachodzi ani jedno zdarzenie;

i)

zachodzą nie więcej niż dwa zdarzenia.

3.

Czterotomowe dzieło ustawiono na półce w porządku losowym. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że tomy są ustawione kolejno od strony lewej do prawej lub od
prawej do lewej.

4.

Dziesięć

książek

ustawiono

na

półce

w

porządku

losowym.

Obliczyć

prawdopodobieństwo, że trzy określone książki znajdują się obok siebie.

5.

Na dziesięciu kartkach wypisane są litery A A A E K M M T T Y. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że po losowym uporządkowaniu tych kartek utworzy się słowo
MATEMATYKA.

6.

Kontroler sprawdza partię zawierającą 30 wyrobów pierwszego gatunku i 20 wyrobów
drugiego gatunku. Wybieramy dwa wyroby. Obliczyć prawdopodobieństwo, że oba
wyroby okażą się pierwszego gatunku.

7.

W skład złożonego mechanizmu wchodzą dwa jednakowe koła zębate. Warunki
techniczne przy montażu zostają naruszone jeżeli w obu kołach występują dodatnie
odchylenia (+) grubości zębów od nominalnego wymiaru. Monter dysponuje
dziesięcioma kołami zębatymi, z których trzy są plusowe (+) a siedem jest
minusowych

(-).

Obliczyć

prawdopodobieństwo

nienaruszenia

warunków

technicznych przy montażu jeżeli koła wybierane są w sposób losowy.

8.

Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje się na dziesięciu piętrach. Jakie
jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że żadnych dwóch pasażerów nie opuści windy
na tym samym piętrze?

9.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że numer rejestracyjny pierwszego napotkanego
samochodu nie zawiera jednakowych cyfr. Zakładamy, że numery są czterocyfrowe w
zakresie od 0000 do 9999 i nie powtarzają się.

Niezależność zdarzeń; Prawdopodobieństwo warunkowe,

Prawdopodobieństwo całkowite i Twierdzenie Bayes’a

10.

Zbadać, który z układów przedstawionych na rysunku ma większą niezawodność
(prawdopodobieństwo działania) przy założeniu, że przekaźniki działają niezależnie i
niezawodność każdego z nich jest równa p.

Układ I

Układ II

11.

Winda wyposażona jest w dwa działające niezależnie układy hamowania włączające
się w razie zerwania liny. Prawdopodobieństwo wyhamowania przez każdy układ z
osobna jest jednakowe i wynosi 0,99. Jakie jest prawdopodobieństwo wyhamowania
windy w razie zerwania liny?

12.

Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się metodą nadawania sygnałów
kropka, kreska. Statystyczne właściwości zakłóceń są takie, że błędy następują
przeciętnie w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnału kropka i w 1/3 przypadków
przy nadawaniu sygnału kreska. Wiadomo, że ogólny stosunek ilości nadawanych
sygnałów kropka do sygnałów kreska jest 5:3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy
przyjmowaniu sygnału kreska w rzeczywistości ten sygnał został nadany.

13.

Jedna partia zawiera 12 wyrobów, a druga 10 wyrobów, przy czym w każdej z nich
znajduje się po jednym wyrobie wybrakowanym. Losowo wybrany wyrób z pierwszej
partii zostaje przerzucony do drugiej partii, po czym z drugiej partii losuje się jeden
wyrób.

a)

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie on wybrakowany?

b)

Jeżeli jest on wybrakowany, jakie jest prawdopodobieństwo, że z partii
pierwszej wybraliśmy element dobry?

14.

Na przenośnik taśmowy trafiają wyroby wytwarzane przez trzy automaty. Stosunek
ilościowy produkcji automatów kształtuje się jak 2:2:1. Poza tym wiadomo, że
automat pierwszy produkuje 85% wyrobów pierwszego gatunku, drugi 80%
pierwszego gatunku a trzeci 90% pierwszego gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo,
ż

e losowo wzięty z przenośnika wyrób:

a)

został wyprodukowany przez drugi automat;

b)

jest wyrobem pierwszego gatunku wyprodukowanym przez drugi automat;

c)

jest wyrobem pierwszego gatunku;

d)

jest wyprodukowany przez drugi automat, jeżeli okazał się on pierwszego
gatunku.

A

1

A

2

A

4

A

3

A

5

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

Zmienne losowe typu dyskretnego (skokowego)

15.

Dany jest rozkład zmiennej losowej X: P(X=0)=

1
4

; P(X=1)= c; P(X=2)=

1
4

.

a)

Wyznacz stałą c.

b)

Wyznacz dystrybuantę F(x) tej zmiennej losowej.

c)

Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę i
medianę zmiennej losowej X..

16.

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X:











≥

<

≤

<

=

3

x

dla

1

3

x

1

dla

1

x

dla

0

)

x

(

F

4

1

Wyznacz rozkład zmiennej losowej.

17.

Myśliwy ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia celu lub do momentu
wystrzelenia wszystkich naboi. Liczba wystrzelonych naboi jest zmienną losową.
Podaj rozkład tej zmiennej losowej wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia celu
przy każdym strzale jest równe 0,8.

18.

Rzucamy raz kostką sześcienną. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie
wyrzuconych oczek.
a)

Podaj rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.

b)

Wyznacz jej wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę i
medianę.

c)

Wyznacz dystrybuantę F(x) tej zmiennej losowej.

d)

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najwyżej dwóch oczek?

19.

Zmienna losowa X przyjmuje wszystkie wartości całkowite z przedziału [4; 8] z
jednakowym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo:
a)

P(X

≥

7);

b)

P( 5 < X < 8).

20.

Rzucamy raz kostką sześcienną. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe liczbie
wyrzuconych szóstek.

a)

Podaj rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.

b)

Wyznacz jej wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę i
medianę.

c)

Wyznacz dystrybuantę F(x) tej zmiennej losowej.

21.

Rzucamy trzy raz kostką sześcienną. Podaj rozkład zmiennej losowej przyjmującej
wartości równe liczbie wyrzuconych szóstek.
a)

Podaj rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej.

b)

Wyznacz jej wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę i
medianę.

c)

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki co najmniej raz?

22.

Prawdopodobieństwo, że statystyczny student jest przygotowany do zajęć wynosi 3/4.
Prowadzący ćwiczenia wybiera przypadkowo cztery osoby. Zmienna losowa X
przyjmuje wartości równe liczbie studentów przygotowanych do zajęć.

a)

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że tylko jedna osoba jest przygotowana do
ć

wiczeń?

b)

Wyznacz rozkład i dystrybuantę F(x) tej zmiennej losowej.

c)

Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba studentów przygotowanych do
ć

wiczeń?

23.

Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo trafienia na
chorego na gruźlicę jest 0,01. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe liczbie
chorych wśród dwustu prześwietlonych pacjentów.

a)

Podaj parametr tej zmiennej losowej.

b)

Oblicz jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.

c)

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że liczba chorych na gruźlicę jest co najmniej
równa dwa.

24.

W fabryce żarówek przeciętny procent braków wynosi 2%. Zmienna losowa przyjmuje
wartości równe liczbie braków wśród 200 żarówek. Oblicz prawdopodobieństwo tego,
ż

e w partii:

a)

znajdują się dwa braki;

b)

znajdują się ponad dwa braki;

c)

będą co najwyżej trzy braki.

Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego

(skokowego)

Rozkład prawdopodobieństwa

parame-

try

funkcja rozkładu

prawdopodobieństwa

wartość

oczekiwana

EX

wariancja

D

2

X

Dyskretny równomierny

a,b

∈

C

P(X=x

i

)=

1

a

b

1

+

−

;

dla x

i

=a,a+1,…,b

2

b

a

+

12

1

)

1

a

b

(

2

−

+

−

Zero-jedynkowy

0<p<1

P(X=x

i

)

=

i

i

x

1

x

)

p

1

(

p

−

−

{ }

1

,

0

x

i

∈

p

p(1-p)

Dwumianowy

n

∈

N,

0<p<1

P(X=x

i

)=

i

i

x

n

x

i

)

p

1

(

p

x

n

−

−













;

dla x

i

=0,1,...,n

np

np(1-p)

Poisson’a

(przybliżenie dwumianowego

n

∞

→

,p

→

0)

wtedy

λ

=np)

λ

>0

P(X=x

i

)=

λ

−

λ

e

!

x

i

x

i

;

dla x

i

=0,1,2,...

λ

λ

Zmienne losowe typu ciągłego

25.

Dla jakiej wartości parametru c funkcja:







>

<

≤

≤

=

4

x

2

x

dla

0

4

x

2

dla

c

x

f

lub

)

(

jest gęstością prawdopodobieństwa?
a)

Wyznacz i wykreśl dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X.

b)

Wyznacz jej wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę i medianę

c)

Oblicz prawdopodobieństwo P(5<2X-1<6)

26.

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:































>>>>

≤≤≤≤

≤≤≤≤

−−−−

<<<<

====

7

x

dla

1

7

x

1

dla

x

1

x

dla

0

x

F

6

1

6

1

)

(

a)

Wyznacz gęstość prawdopodobieństwa f(x) zmiennej losowej X.

b)

Wyznacz jej wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, modę i
medianę.

c)

Oblicz prawdopodobieństwo P(2

≤

X < 6)

27.

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać:











≤

<

−

≤

≤

=

x

h

pozostalyc

dla

0

2

x

1

dla

x

2

1

x

0

dla

x

)

x

(

f

Oblicz prawdopodobieństwo:

a)

P(X < 1.75) ;

b)

P(1,5

≤

3X < 4,5) .

28.

Czas T (w min.) pomiędzy przybyciem dwóch taksówek na postój jest zmienną
losową o dystrybuancie:







<

≥

−

=

−

0

t

dla

0

0

t

dla

e

1

)

t

(

F

t

3

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a)

czas oczekiwania na taksówkę jest większy niż 1,5 minuty;

b)

czas oczekiwania na taksówkę jest większy niż minuta, ale niewiększy niż dwie
minuty.

29.

Niech zmienna losowa ma rozkład normalny X

∼

)

;

( 2

N

2

3

. Oblicz, korzystając z

podanej w tablicach statystycznych, dystrybuanty rozkładu N(0;1):

a)

P(X<2.5);

b)

P(X>-0.5);

c)

P(2<2X+1<5);

30.

Niech zmienna losowa ma rozkład normalny X

∼

)

;

(

5

4

1

N

−−−−

. Oblicz:

a)

P(X<0);

b)

P(|5X+1|<1);

c)

P(|X|>0,4).

31.

Dla rozkładu normalnego N(0;1) znajdź wartości u

0,975

; u

0,025

.

32.

Dla rozkładu normalnego N(0,1), korzystając, z podanych w tablicach statystycznych,
kwantyli tego rozkładu, znajdź wartość x, dla której zachodzi:

a)

P(X

≤

x) = 0,95;

b)

P(X > x) = 0,005

33.

Dla rozkładu

χ

2

o 20 stopniach swobody znajdź wartości:

2

9

,

0

χ

;

2

1

,

0

χ

.

34.

Dla rozkładu t-Studenta o 15 stopniach swobody znajdź wartości: t

0,05

; t

0,95

.

Zmienne losowe typu ciągłego

Rozkład

prawdopodobieństwa

parame

try

funkcja gęstości prawdopodobieństwa

wartość

oczeki

wana

EX

wariancja

D

2

X

Jednostajny

a, b







>

<

≤

≤

=

−

b

x

lub

a

x

dla

0

b

x

a

dla

)

x

(

f

a

b

1

2

b

a

+

(

)

12

a

b

2

−

Wykładniczy

λ







<

≥

λ

=

λ

−

0

x

dla

0

0

x

dla

e

)

x

(

f

x

λ

1

2

1

λ

Chi-kwadrat

2

χ

(gamma a=

ν

2

1

, b=2)

ν

stopni

swobody











≥

Γ

=

−

−

x

.

pozost

dla

;

0

0

x

;

2

)

(

e

x

)

x

(

f

2

v

2

x

2

v

2

v

1

ν

2

ν

Normalny

(jeżeli X~N(

µ

,

σ

) to

Y=

σ

µ

−

X

~N(0,1) standardowy

rozkład normalny)

µ

,

σ

R

x

dla

;

e

2

1

)

x

(

f

2

2

2

)

x

(

∈

π

σ

=

σ

µ

−

−

µ

σ

2

t-Studenta

(jeżeli Y~N(0,1) i S

2

~

)

(

2

ν

χ

to

S

Y

t

ν

−

=

~t-Studenta z

ν

stopniami swobody)

ν

( )

R

x

dla

;

1

)

(

)

(

)

x

(

f

2

1

2

x

2

2

1

∈

νπ

+

Γ

Γ

=

+

ν

−

ν

ν

+

ν

0

2

−

ν

ν

ma sens dla

ν

>2

Trójkątny

a, b c,











>

<

≤

<

≤

≤

=

−

−

−

−

−

−

c

x

lub

a

x

dla

0

c

x

b

dla

b

x

a

dla

)

x

(

f

)

b

c

)(

a

c

(

)

x

c

(

2

)

a

c

)(

a

b

(

)

a

x

(

2

3

c

b

a

+

+

18

bc

ac

ab

c

b

a

2

2

2

−

−

−

+

+