ZADANIA Z ALGEBRY
Odwracanie macierzy i układy równań
1. Wyznaczyć (dowolną metodą) macierz odwrotną do macierzy:
(a)
−1 2 4
3
2 0 0
1
5 0 0 −2
2 1 2
1
(b)
1
2 0 0
2
3 0 0
1 −1 1 3
0
1 0 2
(c)
2 3 1
2
1 1 2
0
0 0 1 −2
1 1 1 −2
(d)
1 3 0
2 7 0
0 0 7
2. Jak zmieni się macierz odwrotna jeśli w danej macierzy zamienimy dwa
wiersze miejscami?
3. Wyznaczyć rząd macierzy w zależności od parametru a:
(a)
1
2 −1
1
5
1
2
1
4 −1
a
0
3
a
4 −1
(b)
a 1 1 1 1
1 a 1 1 1
1 1 a 1 1
1 1 1 a 1
(c)
a 1 a 1
0 a 0 a
1 0 1 0
a 0 a 0
4. Niech A = [a
ij
]
n×n
będzie macierzą odwracalną, taką że sumy elementów
we wszystkich wierszach są równe. Wykazać, że jeśli te sumy są równe r to
sumy wierszy macierzy A
−1
są równe
1
r
.
1
5. Rozwiązać układy równań:
(a)
x + y + 2z = −1
2x − y + 2z = −4
4x + y + 4z = −2
(b)
x + 2y + 3z + 4t = 11
2x + 3y + 4z + t = 12
3x + 4y + z + 2t = 13
4x + y + 2z + 3t = 14
6. Rozwiązać układy równań:
(a)
5x + 3y + 5z + 12t = 10
2x + 2y + 3z + 5t = 4
x + 7y + 9z + 4t = 2
(b)
−9x + 6y + 7z + 10t = 3
−6x + 4y + 2z + 3t = 2
−3x + 2y − 11z − 15t = 1
7. Rozwiązać układ równań:
3x + 2y − 5z = 7
3x + 4y − 9z = 9
5x + 2y − 8z = 8
8x + y − 7z = 12
8. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru a:
(a)
8x + 6y + 3z + 2t = 5
−12x − 3y − 3z + 3t = −6
4x + 5y + 2z + 3t = 3
ax + 4y + z + 4t = 2
(b)
−6x + 8y − 5z − t = 9
−2x + 4y + 7z + 3t = 1
−3x + 5y + 4z + 2t = 3
−3x + 7y + 17z + 7t = a
(c)
2x + 5y + z + 3t = 2
4x + 6y + 3z + 5t = 4
4x + 14y + z + 7t = 4
2x − 3y + 3z + at = 7
(d)
ax + y + z + t = 1
x + ay + z + t = a
x + y + az + t = a
2
x + y + z + at = a
3
2
9. Rozwiązanie układu:
ay + bx = c
cx + az = b
bz + cy = a
jest zbiorem jednoelemntowym. Wykazać, że abc 6= 0 i zna-
leźć to rozwiązanie.
10. Zbadać rozwiązalność układu w zależności od parametrów a i b:
3x − 2y + z = b
5x − 8y + 9z = 3
2x + y + az = −1
11. Dla jakich wartości parametrów k i l układ ma rozwiązanie niezerowe:
(a)
kx + y + z = 0
x + ly + z = 0
x + 2ly + z = 0
(b)
x − ky − 3z = 0
lx + y + 5z = 0
2x + ky + z = 0
x + y − z = 0
12. Znaleźć wielomian f (x) stopnia czwartego o współczynnikach rzeczywi-
stych, dla którego:
f (2) = 5, f
0
(2) = 19, f
00
(2) = 40, f
(3)
(2) = 48, f
(4)
(2) = 24.
13. Wykazać, że układ równań:
a
b
c
d
−b
a
d −c
−c −d
a
b
−d
c −b
a
x
y
z
t
=
0
0
0
0
ma tylko zerowe rozwiązanie jeśli współczynniki a, d, c, d są liczbami rzeczy-
wistymi, spełniającymi warunek a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
> 0.
14. Wyznaczyć wszystkie macierze, które są przemienne z macierzą
"
1 2
2 0
#
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zest7 odp MS 1011
mat2-zest7-wggios-r1c-g10-sl-2012-2013-1
zest7 MS 1011
zest7
zest7
bartoszgoram1 zest7
więcej podobnych podstron