Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski

Zestaw nr 7 – Całki

Zadanie 1. Oblicz całki nieoznaczone:

(1)

R

(x

3

+ 2x

2

− 8x + 5 − 3

√

x)dx

(2)

R

(x

2

+ 1)(x + 2)dx

(3)

R

(

√

x + 2)(x − 3

√

x + 1)dx

(4)

R

(x

2

−1)

3

x

dx

(5)

R

√

x−x

3

e

x

+x

2

x

3

dx

(6)

R

(x

2

+1)

2

x

√

x

dx

(7)

R

√

x−2

3

√

x

2

+5x+2

4

√

3x

3

6

3

√

x

dx

(8)

R

x

√

x−x

4

√

x

3

√

x

dx

(9)

R

(

1−2

3

√

x

)

2

3

4

√

x

dx

(10)

R

xdx

1+x

2

(11)

R

x

2

dx

7+x

3

(12)

R

cos xdx

√

1+sin x

(13)

R

x

√

1 + x

2

dx

(14)

R

cos xe

sin x

dx

(15)

R

e

x

2e

x

+1

dx

(16)

R

(x

3

− 2x +

1

x

− cos x)dx

(17)

R

x

2

√

2x

3

− 3dx

(18)

R

x

2

dx

cos

2

(4x

3

+2)

(19)

R

√

3+2 ln xdx

x

(20)

R

cos x sin

5

xdx

(21)

R

e

1

x

dx

x

2

(22)

R

sin x

cos

3

x

dx

(23)

R

x

2

e

−x

3

dx

(24)

R

ln

2

x

x

dx

(25)

R

xdx

√

9−x

2

(26)

R

2x−3

x

2

−3x+5

dx

(27)

R

6x+3

x

2

+x+12

dx

(28)

R

x cos xdx

(29)

R

ln xdx

(30)

R

x ln xdx

(31)

R

xe

3x

dx

(32)

R

(x

2

+ 3)e

−x

dx

(33)

R

x

3

sin 2xdx

(34)

R

2dx

x

2

−6x+9

(35)

R

3dx

x

2

−4x+4

(36)

R

6dx

(x

2

−2x+1)

3

(37)

R

(3x − 7) sin (2x)dx

(38)

R

(5x + 1)e

3x

dx

(39)

R

(3x − 5) ln(3x − 5)dx

Zadanie 2. Oblicz całki:

(1)

2

R

1

(x

2

+

1

x

2

)dx

(2)

4

R

0

x

√

x

2

+ 9dx

(3)

5

R

3

x

x

2

−4

dx

(4)

1

R

0

xe

x

dx

(5)

π

2

R

0

x sin xdx

(6)

0

R

−2

x

2

e

−2x

dx

(7)

2

R

1

dx

x−1

(8)

5

R

2

xdx

x

2

−4

(9)

1

R

0

xdx

√

1−x

2

(10)

e

R

0

ln xdx

(11)

3

R

−5

ln (x + 5) dx

(12)

3

R

1

dx

(x−1)

2

(13)

∞

R

0

xe

3x+5

dx

(14)

2

R

−∞

dx

x

2

−8x+16

(15)

∞

R

−4

dx

√

(5+x)

3

(16)

e+1

R

1

ln(x−1)

x−1

dx

(17)

∞

R

1

ln xdx

x

(18)

∞

R

1

e

1

x dx

x

2

(19)

∞

R

−∞

3xdx

x

2

+5

(20)

∞

R

5

4xdx

√

x

2

−9

(21)

0

R

−∞

xdx

x

2

+1

dx

(22)

+∞

R

1

dx
x

3

dx

(23)

1

R

0

(ln x+1)

2

dx

x

(24)

e

R

1

dx

x ln

4

x

1

Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski

Zadanie 3. Oblicz pola obszarów ograniczonych następującymi krzywymi:

(1)

y = ln x, y = 1, x = e

3

;

(2)

y = −x

2

+ 2x + 3, y = 2x +

3
4

;

(3)

y = x

2

+ 4x, x − y + 4 = 0;

(4)

y = e

x

, y = e

2x

, x = 0, x = 1;

(5)

xy = 6, y = 7 − x;

(6)

xy = −4, y = x + 5;

(7)

y =

q

|x + 2| oraz osią OX dla x ∈ [−4, −1];

(8)

y =

q

|x − 3| oraz osią OX dla x ∈ [1, 4];

(9)

y = e

−|x|

oraz osią OX;

(10)

y =

1

x

2

oraz osią OX dla x ­ 1;

(11)

y = ln |x − 3| oraz osią OX dla x ∈ [1, 7];

(12)

y = x

2

− x − 6 oraz y = −x

2

+ 5x + 14;

(13)

y = x

2

− 2x + 2 oraz prostymi −x + y = 2 i x + y = 4;

(14)

y =

1

(x−2)

2

oraz osią OX dla x ∈ [3, 5];

(15)

y =

1

√

x

oraz osią OX dla x ­ 1;

Zadanie 4. Oblicz

9

R

1

dx

√

x−1

i podaj interpretację geometryczną całki.

Zadanie 5. Dla jakiej wartości parametru m

∞

R

−∞

f (x)dx = 1, gdzie

f (x) =











0

x ∈ (−∞, 0)

m

m+1

e

−2x

x ∈ [0, +∞)

.

Zadanie 6. Wyznacz funkcję pierwotną funkcji f (x) =

ln

3

x

x

przechodzącą przez punkt (e, 1).

2