Katedra Ekonometrii UŠ

Zestaw 5 Pochodna funkcji i jej zastosowania

Zadanie 1. Na poni»szych rysunkach przedstawione s¡ przedstawione s¡ wykresy funkcji y = f(x). W
ka»dym przypadku okre±l czy y = f(x) jest ci¡gªa czy nie w danym punkcie i uzasadnij odpowied¹.

Rysunek 1:

Funkcja y = f(x) z rysunku 1 jest / nie jest ci¡gªa w punkcie x = 2 poniewa» . . . . . . . . . .

Rysunek 2:

Funkcja y = f(x) z rysunku 2 jest / nie jest ci¡gªa w punkcjie x = 1 poniewa» . . . . . . . . . .

Funkcja y = f(x) z rysunku 2 jest / nie jest ci¡gªa w punkcjie x = 2 poniewa» . . . . . . . . . .

1

Katedra Ekonometrii UŠ

Rysunek 3:

Funkcja y = f(x) z rysunku 3 jest / nie jest ci¡gªa w punkcjie x = −1 poniewa» . . . . . . . . .

. Funkcja y = f(x) z rysunku 3 jest / nie jest ci¡gªa w punkcjie x = 0 poniewa» . . . . . . . . . .
Funkcja y = f(x) z rysunku 3 jest / nie jest ci¡gªa w punkcjie x = 1 poniewa» . . . . . . . . . .

Zadanie 2. Oblicz pochodne funkcji:

(1) f(x) = 2x

3

+ 4x

2

− 5x + 4

(2) f(x) =

7

4

√

x+3

(3) f(x) = x

2

e

x

(4) f(x) =

2x − 1

√

2

(5) f(x) =

x

2

− 1

√

x

(6) f(x) = 4 cos(3x) − 2 sin

2

x

(7) f(x) =

e

3x

x

2

+4

(8) f(x) =

4x

5+2x

(9) f(x) =

4

x

3

−

3

x

2

+

5

x

(10) f(x) = e

7+3 ln x

(11) f(x) = sin 4x

2

+ 11

(12) f(x) = e

2x cos x

(13) f(x) =

q

1−2x

1−x

(14) f(x) = ln

5

x−2

(15) f(x) = ln sin

2

3x

(16) f(x) = 4e

x

2

+

1
x

(17) f(x) = ln(x

2

− 1)

(18) f(x) = ln

e

x

sin x

(19) f(x) =

√

1 − cos

2

x

(20) f(x) = x

3

ln(5x)

(21) f(x) = x sin

2

x

Zadanie 3. Wyznacz dziedzin¦ funkcji f(x) =

q

x−3

2x+2

− 1

oraz sprawd¹, czy zachodzi relacja

f

0

(x)

√

−x − 5 =

4

√

2x + 2

(2x − 1)

2

.

Zadanie 4. Wyznacz dziedzin¦ funkcji f(x) = ln



2x+2

x−4

− 1

 oraz sprawd¹, czy zachodzi relacja

f

0

(x)(x − 4) =

−10x

x + 6

.

2

Katedra Ekonometrii UŠ

Zadanie 5. Oblicz granic¦ funkcji:

(1) lim

x→0

sin 3x

4x

(2) lim

x→0

sin 2x

sin 3x

(3)*

lim

x→∞



1 +

3

x



4x

(4)lim

x→1

x

5

−1

x−1

(5) lim

x→0

√

x

2

+4−2

√

x

2

+9−3

(6) lim

x→0

√

x+1−1

x

(7) lim

x→∞

e

√

x+1

e

√

x

(8)

lim

x→0

e

x

− 1

6x

(9)

lim

x→+∞

e

x

x

3

+ 5

(10) lim

x→0

e

2x

− 1

ln (1 + 2x)

(11) lim

x→0

sin x

2

x

(12) lim

x→0

1 − cos x

x

2

(13)

lim

x→0

e

x

− e

−x

sin x

(14) lim

x→0

sin x

x · cos x

(15) lim

x→∞

x

2

e

2x

(16) lim

x→∞

x + ln x

x

2

+ 2x

(17)

lim

x→∞

e

x

2

+ 4

2x − 3

(18)

lim

x→+∞

ln 1 + x

2

x

2

Zadanie 6. * Zbada¢, czy dana funkcja jest ci¡gªa w swojej dziedzinie

(1) f(x) =

(

x

2

+2x−3

x+3

x 6= −3

2

x = −3

(2) f(x) =

(

sin(3x)

x

x 6= 0

1

x = 0

(3) f(x) =

(

x

2

2−

√

4−x

2

x 6= 0

−4

x = 0

(4) f(x) =

(

x − 1

x < 1

ln x

x ≥ 1

(5) f(x) =

(

e

−

1
x

+ 2

x > 0

2 − x

x ≤ 0

(6) f(x) =















2

1
x

+ 1

x < 0

1

0 ≤ x < 1

2 − x

x ≥ 1

Zadanie 7. * Dla jakich parametrów podana funkcja jest ci¡gªa

(1) f(x) =







sin(2x)

x

2

x 6= 0

x + a

x = 0

(2) f(x) =















x

3

x < −1

ax + b

x ∈ [−1, 1)

x

2

+ 2

x ≥ 1

(3) f(x) =







ln x

x

2

− 1

x 6= 1

x − a

x = 1

(4) f(x) =







e

−x

(x−1)2

x 6= 1

a

x = 1

(5) f(x) =











s

 x

2

− 3x + 2

x − 2



x 6= 2

a

x = 2

(6) f(x) =

(

3

x = 0

a

2

(e

2x

−1)

6x

x 6= 0

(7) f(x) =

(

2

x = π

a sin x

x−π

x 6= π

Zadanie 8. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji f:

(1) f(x) =

3x

x − 5

(2) f(x) =

x + 3

x

2

+ 4

(3) f(x) =

x − 4

ln x

(4) f(x) = e

−

1
x

(5) f(x) = e

x

x+2

(6) f(x) = e

5

x−1

(7)

f (x) = xe

4
x

+ 3

(8) f(x) = (x + 2)e

1
x

(9) f(x) = x ln(x − 4)

(10)

f (x) = x −

√

x

2

+ 4x + 5

(11) f(x) =

x

2

+2

√

x−1

(12)

f (x) =

e

x

−1

x

(13)

f (x) =

ln x

x

(14)

f (x) =

ln(x

2

+1)

x

2

(15) f(x) = ln(

x−1
x+1

)

3

Katedra Ekonometrii UŠ

Zestaw 5 - odpowiedzi

Zadanie 1.

Rys 1 NIE Rys 2 NIE, TAK Rys 3 NIE, poza dziedzin¡, poza dziedzin¡.

Zadanie 2.

Zadanie 3. D = [−5, −1), f

0

(x) =

4

√

2x+2

(2x+2)

2

√

−x−5

, ralacja nie zachodzi.

Zadanie 4. D = (−∞, −6) ∪ (4, +∞), f

0

(x) = −

10

x

2

+2x−24

, ralacja nie zachodzi.

Zadanie 5.

(1)

3
4

(2)

2
3

(3) e

12

(4) 5

(5)

3
2

(6)

1
2

(7) 1

(8)

1
6

(9) ∞

(10) 1 (11) 0

(12)

1
2

(13) 2 (14) 1 (15) 0

(16) 0 (17) ∞ (18) 0

Zadanie 6.

(1) ci¡gªa na R

(2) nie jest ci¡gªa w x = 0

(3) nie jest ci¡gªa w x = 0 (4) ci¡gªa na R
(5) ci¡gªa na R

(6) ci¡gªa na R

Zadanie 7.

(1) a ∈ ∅

(2) a = 2 ∧ b = 1

(3) a =

1
2

(4)a = 0

(5) a = 1

(6) a ∈ {−3, 3}

(7) a = 2

Zadanie 8.

(1) x = 5 asymptota pionowa obustronna, y = 3 pozioma w + ∞ i w − ∞, brak uko±nej ,
(2) brak asymptoty pionowej, y = 0 pozioma w + ∞ i w − ∞, brak uko±nej ,
(3) x = 1asymptota pionowa obustronna, brak poziomej, brak uko±nej
(4) x = 0 asymptota pionowa lewostronna, y = 1 pozioma w + ∞ i w − ∞
(5) x = −2 asymptota pionowa lewostronna, y = e pozioma w + ∞ i w − ∞
(6) x = 1 asymptota pionowa prawostronna, y = 1 pozioma w + ∞ i w − ∞
(7) x = 0 asymptota pionowa lewostronna, y = x + 7 uko±na w ∞ i w − ∞
(8) x = 0 asymptota pionowa prawostronna, y = x + 3 uko±na w − ∞ i w − ∞
(9) x = 4 asymptota pionowa prawostronna,
(10) brak asymptoty pionowej, y = −2 asymptota pozioma w + ∞, brak poziomej i uko±nej w − ∞,
(11) x = 1 asymptota pionowa prawostronna, brak poziomej i uko±nej
(12) y = 0 asymptota pozioma w − ∞
(13) x = 0 asymptota pionowa prawostronna, y = 0 pozioma w + ∞
(14) y = 0 asymptota pozioma w + ∞ i w − ∞
(15) x = 1 asymptota pionowa prawostronna, , x = −1

4