Granica funkcji i jej zastosowania
Zaczniemy do zdeniowania poj¦cia granicy funkcji w punkcie.
Denicja 2.0.1. (denicja Cauchy'ego) Liczba g ∈ R jest granic¡ funkcji f w punkcie x0 ∈ X, je»eli
∀ε>0∃δ>0∀x∈X 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
Powy»sza denicja oznacza, »e granic¡ funkcji w punkcie x0 nazywamy tak¡ warto±¢, »e je»eli we¹-
miemy argument odpowiednio bliski (o δ) x0 i ró»ny od niego, to jego warto±¢ w podanej funkcji b¦dzie odpowiednio blisko (o ε) liczbie g. Równowa»nie granic¦ funkcji w punkcie mo»emy okre±li¢ nast¦puj¡co.
Granic¦ funkcji w punkcie mo»emy równie» zdeniowa¢ posªuguj¡c si¦ poj¦ciem ci¡gu: Denicja 2.0.2. (denicja Heinego) Liczba g ∈ R jest granic¡ funkcji f w punkcie x0 ∈ X, je»eli dla ka»dego ciagu (xn)n∈ takiego, »e x
N
n 6= x0 dla ka»dego n ∈ N zachodzi implikacja
lim xn = x0 ⇒ lim f (xn) = g
n→+∞
n→+∞
Obie powy»sze denicje granicy funkcji w punkcie s¡ równowa»ne dla funkcji rzeczywistych, co oznacza,
»e czytelnik mo»e posªugiwa¢ si¦ dowoln¡ sposród nich. Istnienie granicy funkcji w punkcie b¦dziemy odt¡d zapisywa¢:
lim f (x) = g
x→x0
Wraz z poj¦ciem granicy funkcji w punkcie istotne jest wprowadzenie poj¦cia granicy jednostronnej.
Denicja 2.0.3. Liczba g ∈ R jest prawostronn¡ granic¡ funkcji f w punkcie x0 ∈ X, je»eli dla ka»dego ciagu (xn)n∈ takiego, »e x
N
n > x0 dla ka»dego n ∈ N zachodzi implikacja
lim xn = x0 ⇒ lim f (xn) = g
n→+∞
n→+∞
Analogicznie deniujemy granic¦ lewostronn¡ funkcji f w punkcie x0 ∈ X. Istnienie prawostronnej granicy funkcji w punkcie b¦dziemy odt¡d zapisywa¢:
lim f (x) = g
x→x+
0
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
1
a istnienie lewostronnej granicy funkcji w punkcie:
lim f (x) = g
x→x−
0
Maj¡c powy»sze denicje zauwa»my, »e zachodzi
Twierdzenie 2.0.1. Niech f : X → R i x0 ∈ X. Wówczas funkcja f posiada w punkcie x0 granic¦ równ¡
g wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f posiada w punkcie x0 granice prawostronn¡ i lewostronn¡, obie równe liczbie g.
Uwaga 2.0.1. Warto±¢ granicy funkcji w punkcie, zarówno jednostronnej jak i obustronnej, nie musi by¢
liczb¡ sko«czon¡. Jako przykªad zauwa»my, »e funkcja dana wzorem
1
f (x) =
w punkcie 0 ma jedno-
x
stronne granice niesko«czone - lewostronn¡ równ¡ −∞ i prawostronn¡ równ¡ +∞. Na mocy powy»szego twierdzenia 2.0.1 funkcja ta nie posiada jednak granicy w punkcie 1
0. Funkcja dana wzorem f (x) = |x|
posiada granic¦ w punkcie 0, równ¡ +∞. Powiemy, »e funkcja ma w punkcie x0 granic¦ niewªa±ciw¡ równ¡
+∞, je»eli dla ka»dego ciagu (xn)n∈ takiego, »e x
N
n 6= x0 dla ka»dego n ∈ N zachodzi implikacja
lim xn = x0 ⇒ lim f (xn) = +∞
n→+∞
n→+∞
Analogicznie mo»emy zdeniowa¢ granice niewªa±ciwe jednostronne.
Wraz z denicj¡ granicy funkcji w punkcie, mo»emy zdeniowa¢ granic¦ funkcji w niesko«czono±ci.
Denicja 2.0.4. Powiemy, »e liczba g ∈ R ∪ {−∞, +∞} jest granic¡ funkcji f w +∞, je»eli zbiór X jest nieograniczony z góry oraz dla ka»dego ciagu (xn)n∈ takiego, »e x
N
n ∈ X dla ka»dego n ∈ N zachodzi
implikacja
lim xn = +∞ ⇒ lim f (xn) = g
n→+∞
n→+∞
Analogicznie, powiemy, »e liczba g ∈ R ∪ {−∞, +∞} jest granic¡ funkcji f w −∞, je»eli zbiór X jest nieograniczony z doªu oraz dla ka»dego ciagu (xn)n∈ takiego, »e x
N
n ∈ X dla ka»dego n ∈ N zachodzi
implikacja
lim xn = −∞ ⇒ lim f (xn) = g
n→+∞
n→+∞
Nast¦puj¡ce twierdzenia pokazuj¡ wªasno±ci dziaªa« na granicach funkcji.
Twierdzenie 2.0.2. Je»eli f1, f2 : X → R, f1(x) ≤ f2(x) dla x ∈ X \ {x0} oraz limx→x f 0
1(x) = g1 i
limx→x f
0
2(x) = g2 to g1 ≤ g2.
Twierdzenie 2.0.3. (O trzech funkcjach) Je»eli f1, f2, f3 : X → R oraz dla dla x ∈ X \ {x0} (z pewnego otoczenia x0) zachodzi f1(x) ≤ f2(x) ≤ f3(x) i limx→x f
f
f
0
1(x) = limx→x0
3(x) = g to limx→x0
2(x) = g.
Twierdzenie 2.0.4. Je»eli f1, f2 : X → R oraz dla x0 limx→x f
f
0
1(x) = g1 i limx→x0
2(x) = g2 to:
• limx→x |f
0
1(x)| = |g1|
• limx→x (f
0
1(x) + f2(x)) = g1 + g2
• limx→x (f
0
1(x) − f2(x)) = g1 − g2
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
2
0
1(x) · f2(x)) = g1 · g2
• Je±li g
f1(x)
2 6= 0 i f2(x) 6= 0 to limx→x
= g1
0 f2(x)
g2
• Je±li g1 = +∞, g2 > 0 to limx→x (f
0
1(x) · f2(x)) = +∞
• Je±li g
1
1 = +∞ to limx→x
= 0
0 f1(x)
Uwaga 2.0.2. Je»eli g1 = +∞, g2 = −∞ to wówczas wyra»enie limx→x (f
0
1(x) + f2(x)) mo»e mie¢ ró»ne
granice. Na przykªad dla
1
1
x0 = 0, bior¡c f1(x) =
i f
mamy lim
(f
|
2(x) = −
x→x
1(x) + f2(x)) = 0,
x|
|x|
0
a przyjmuj¡c
1
1
f1(x) =
+ 1 i f
dostajemy lim
(f
|
2(x) = −
x→x
1(x) + f2(x)) = 1. Dlatego symbol
x|
|x|
0
[∞ − ∞] jest tzw. sybmolem nieoznaczonym. Inne symbole nieoznaczone to [ 0 ], [ ∞ ], [0∞], [1∞], [∞0], 0
∞
[00].
Poj¦cie granicy wykorzystamy do zdeniowania ci¡gªo±ci funkcji.
Denicja 2.0.5. Funkcja f : X → R f jest ci¡gªa w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy (1)x0 ∈ X, (2) istnieje sko«czona limx→x f(x) oraz (3) lim
f (x) = f (x
0
x→x0
0). Funkcja f jest funkcj¡ ci¡gª¡ (jest ci¡gªa )
w zbiorze X, je»eli jest ona ci¡gªa w ka»dym punkcie x0 ∈ X.
Powy»sze mo»na odczytywa¢ nast¦puj¡co: dla argumentów bliskich punktowi x0 warto±ci funkcji po-winny by¢ tak»e bliskie liczbie f(x0). Zauwa»my istotny aspekt, cz¦sto pomijany: o ci¡gªo±ci funkcji mo»emy mówi¢ jedynie w punktach nale»¡cych do dziedziny funkcji. To oznacza, »e funkcja dana wzorem 1
f (x) =
jest funkcj¡ ci¡gª¡. Dodawanie sªów ¢i¡gª¡ w swojej dziedzinie"jest zb¦dne.
x
Je»eli punkt x0 ∈ X jest punktem izolowanym, to funkcja f jest tam ci¡gªa. Dostajemy nast¦puj¡cy Wniosek 2.0.1. Je»eli f1, f2 : X → R s¡ funkcjami ci¡gªymi w punkcie x0 ∈ X, to funkcje f1 + f2, f1 − f2, f1 · f2 oraz f1 (przy zaªo»eniu, »e f
f
2(x) 6= 0) s¡ ci¡gªe w punkcie x0.
2
Powy»szy wniosek oznacza, »e suma, ró»nica, iloczyn oraz iloraz funkcji ci¡gªych (przy dodatkowym zaªo»eniu) s¡ funkcjami ci¡gªymi. Mamy tak»e
Twierdzenie 2.0.5. Je»eli f1 : X → Y , f2 : Y → R s¡ funkcjami ci¡gªymi, to funkcja f = f2◦f1 : X → R
dana wzorem f(x) = f2(f1(x)) jest funkcj¡ ci¡gª¡.
Oznacza to, »e zªo»enie funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ci¡gª¡. Ci¡gªo±¢ funkcji jest bardzo siln¡ wªasno-
±ci¡, poci¡gaj¡c¡ za sob¡ szereg konsekwencji.
Twierdzenie 2.0.6 (Wªasno±¢ Darboux). Niech f : [a, b] → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Wówczas je±li f (a) < c < f (b) (f (b) < c < f (a)) to istnieje x ∈ [a, b], »e f (x) = c.
Wªasno±¢ Darboux oznacza, i» obraz przedziaªu w funkcji ci¡gªej tak»e jest przedziaªem.
Konsekwencj¡ wªasno±ci Darboux jest nast¦puj¡ce
Twierdzenie 2.0.7. Niech f : [a, b] → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ i niech f(a) · f(b) < 0. Wówczas istnieje x ∈ [a, b], »e f (x) = 0.
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
3
Innymi sªowy, je±li funkcja ci¡gªa okre±lona na zbiorze spójnym przyjmuje warto±ci ró»nych znaków, wtedy posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe. Zauwa»my, »e ci¡gªo±¢ funkcji jest tu zaªo»eniem istot-nym. Je»eli we¹miemy funkcj¦ f dan¡ wzorem
−1
x < 0
f (x) =
1
x ≥ 0
wówczas iloczyn warto±ci dla dwóch argumentów ró»nych znaków jest oczywi±cie ujemny, funkcja ta nie posiada jednak »adnego miejsca zerowego.
O innej wa»nej wªasno±ci funkcji ciagªych mówi nast¦puj¡ce
Twierdzenie 2.0.8 (Weierstrassa). Je»eli funkcja f : [a, b] → R jest ci¡gªa to istniej¡ x1, x2 ∈ [a, b] takie,
»e
∀x∈[a,b] f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)
Inaczej twierdzenie powy»sze mo»e by¢ wyra»one nast¦puj¡co.
Twierdzenie 2.0.9 (Weierstrassa). Funkcja ci¡gªa okre±lona na zbiorze ograniczonym i domkni¦tym osiaga na tym zbiorze swoje kresy.
Oba zaªo»enia: dotycz¡ce i ci¡gªo±ci funkcji, s¡ istotne. Zauwa»my, »e funkcja f : (0, 1] → R dana wzorem f(x) = 1 nie osi¡ga warto±ci najwi¦kszej. Tak samo, funkcja f : [0, 1] →
x
R dana wzorem
x
x ∈ (0, 1]
f (x) =
1
x = 0
nie osi¡ga swojej warto±ci najmniejszej.
Poj¦cie granicy jest równie» wykorzystywane do zdeniowania oraz sprawdzania istnieniaasymptot.
Denicja 2.0.6. Funkcja f : X → R ma w punkcie x0 ∈ X asymptot¦ pionow¡ lewostronn¡ postaci x = x0, je»eli lim
(f (x)) = ±∞. Funkcja f : X →
x→x−
R ma w punkcie x0 ∈ X asymptot¦ pionow¡
0
prawostronn¡ postaci x = x0, je»eli lim
(f (x)) = ±∞. Funkcja f : X →
x→x+
R ma w punkcie x0 ∈
0
X asymptot¦ pionow¡ postaci x = x0, je»eli posiada w tym punkcie asymptot¦ pionow¡ lewostronn¡ i prawostronn¡.
Denicja 2.0.7. Funkcja f : X → R ma w +∞ asymptot¦ poziom¡ postaci y = b, je»eli limx→+∞ f(x) =
b. Powiemy, »e funkcja f : X → R ma w −∞ asymptot¦ poziom¡ postaci y = b, je»eli limx→−∞ f (x) = b.
Denicja 2.0.8. Funkcja f : X → R ma w +∞ asymptot¦ uko±n¡ postaci ax + b, je»eli limx→+∞(f(x) −
ax − b) = 0. Powiemy, »e funkcja f : X → R ma w −∞ asymptot¦ uko±n¡ postaci ax + b, je»eli limx→−∞(f (x) − ax − b) = 0.
Zauwa»my, »e tzw. asymptoty poziome to w istocie asymptoty uko±ne, dla których wspóªczynnik a jest równy zero. W praktyce wspóªczynniki a i b wyznaczamy korzystaj¡c z nast¦puj¡cego Twierdzenie 2.0.10. Je»eli f : X → R, X jest zbiorem nieograniczonym z góry oraz istniej¡ sko«czone granice limx→+∞(f(x)) = a, lim
x
x→+∞(f (x) − ax) = b to funkcja f posiada asymptot¦ uko±n¡ w +∞
postaci ax + b.
Zachodzi równie» analogiczne twierdzenie dla −∞.
prowadz¡cy: Aneta Zgli«ska - Pietrzak
4