Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
Zestaw nr 8 – Macierze
Zadanie 1. Wyznacz elementy macierzy A oraz omów jej własności:
1.
A = [a
ij
]
3x5
a
ij
= i + 2j − 3
2.
A = [a
ij
]
3x3
a
ij
= (max {i, j}) − 2
3.
A = [a
ij
]
5x5
a
ij
= min {i, j} + 1
4.
A = [a
ij
]
4x4
a
ij
=
3i − 2j
dla i = j
0
dla i 6= j
5.
A = [a
ij
]
4x4
a
ij
=
min {i, j}
dla i ¬ j
0
dla i > j
6.
A = [a
ij
]
5x5
a
ij
=
3i + j − 10
dla i j
0
dla i < j
7.
A = [a
ij
]
4x4
a
ij
=
0
dla i = j
i − j
dla i 6= j
8.
A = [a
ij
]
4x5
a
ij
= 2i − j + 2
Zadanie 2. Dane są macierze A =
−1 0 1
2
1
0
, B =
1
1
−1
0
−1
1
, C =
1
0
1
0
1
0
−1 0 2
Korzystając z własności działań na macierzach przekształć podane wyrażenia i oblicz elementy po-
danych macierzy:
(1)
X = AC + BC
(2)
X = CA
T
−
BC
T
T
(3) X =
CA
T
T
− 2A
(4)
X =
AC
T
T
+ 3A
T
(5) X = (A
T
B)
T
− 2C
(6)
X = AB
T
+2C
1
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
Zadanie 3. Ciągiem odpowiednich przekształceń elementarnych przekształć podane macierze do postaci
bazowej:
(1)
1
2
−1 0 1
−1 −2
1
1
0
1
−2
0
1
1
(2)
1
−1
0
3
2
−2
3
−1 1 −1
0
1
−1 7
3
(3)
1
2
−1
0
1
0
2
−1
1
(4)
0
1
−1
1
1
2
1
2
1
(5)
1
2
1
−1 −1 0
−1 −2 0
1
−1 3
(6)
1
0
2
−2 0 1
0
−1 −1
1
1
0
2
−1 −2
2
1
2
Zadanie 4. Zbudować macierz A
4
= [a
ij
], gdzie a
ij
=
i
i = j
i · j
i 6= j
oraz oblicz
(1) tr (3A)
(2) det (2A)
(4) det(4A)
(5)
5 det(2A)
3tr (3A)
A
T
.
Zadanie 5. Dana jest macierz A =
1
0
0
−1
2
1
1
0
−1 2
1
2
0
1
−1
1
. Wiadomo, że macierz B powstała z A poprzez
dodanie do wiersza 3 wiersza 2 oraz zamianę miejscami kolumny 3 z 4. Oblicz:
a) det
A
T
B
b) det
AB
−1
c) det
1
5
AB
Zadanie 6. Oblicz rząd macierzy:
a)
1
2
1
0
1
2
4
2
0
2
3
6
3
0
3
b)
1
3
0
−2
c)
1
2
0
2
1
0
3
−1 0
d)
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
−1
0
0
1
0
−1 0 1 −2 −1 −1 0 −1
2
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
Zadanie 7. Korzystając z odpowiednich własności charakterystyk macierzy
uprość podane wyrażenie a następnie wyznacz macierz:
a) D =
det(A)+tr(A)
rz(A)
(A + I)
−1
dla
A =
1
−1
−2
4
b) C =
det(I
4
)+tr(A+I)−det(A
T
)
3+8 det(AA
−1
)
(A − 3I)
T
dla A =
1
0
0
−1
2
0
0
−3 2
c) B =
det(A)+tr(A)
3 det(A
−1
A)+rz(A)
(A + I)
T
dla A
3
= [a
ij
], gdzie a
ij
=
2 max {i, j} − 1
i ¬ j
0
i > j
.
d) B =
h
rz(7AA
T
) + 3 det(AA
T
)
T
i
(AA
T
)
−1
dla
A =
4
2
3
2
0
−1
e) X =
det(B
T
)+tr(A+2I)−1
rz(B
−1
)+det(BA)
A(B
−1
A)
−1
+ 3I
dla A =
1
0
1
0
2
3
0
0
1
, B =
0
0
−1
0
3
0
1
3
3
f) C =
det(A
T
B)+tr(A
T
B)−rz(3A)
rz(4A
T
B) det(A
T
B)
−1
h
A
T
B
i
−1
dla A =
2
−1
1
0
1
1
, B =
2
−1
0
1
−1
2
Zadanie 8. Wyznacz wartość parametru m, dla którego rząd macierzy:
a) B =
−1 2m
1 − 2m
m
0
−m − 2
3
0
1
jest mniejszy od 3
b) C =
4
−2
m + 4
1
m + 3
1 − m
m + 3
0
m + 3
jest największy.
3
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
Odpowiedzi do zestaw nr 8 – Macierze
Zadanie 1
1) A =
0
2
4
6
8
1
3
5
7
9
2
4
6
8
10
, macierz prostokątna
2) A =
−1 0 1
0
0
1
1
1
1
, macierz trzeciego stopnia, symetryczna
3) A =
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
2
3
4
4
4
2
3
4
5
5
2
3
4
5
6
, macierz piątego stopnia, symetryczna
4) A =
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
, macierz czwartego stopnia, diagonalna
5) A =
1
1
1
1
0
2
2
2
0
0
3
3
0
0
0
4
, macierz czwartego stopnia, trójkątna górna
6) A =
−6
0
0
0
0
−3 −2 0 0
0
0
1
2
0
0
3
4
5
6
0
6
7
8
9
10
, macierz piątego stopnia, trójkątna dolna
7) A =
0
−1 −2 −3
1
0
−1 −2
2
1
0
−1
3
2
1
0
, macierz czwartego stopnia, skośnosymetryczna
8) A =
3
2
1
0
−1
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
9
8
7
6
5
, macierz prostokątna
4
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
Zadanie 2
(1)
X = AC + BC = (A + B) C =
0
1
0
1
0
4
(2)
X = CA
T
−
BC
T
T
= C
A
T
− B
T
=
0
2
−1
2
6
−2
(3) X =
CA
T
T
− 2A = A
C
T
− 2I
=
2
0
1
−2 −1 −2
(4)
X =
AC
T
T
+ 3A
T
= (C + 3I)A
T
=
−2
8
0
4
6
−2
(5) X = (A
T
B)
T
− 2C = B
T
A − 2C =
−3
0
−1
−3 −3
1
5
1
−5
(6)
X = AB
T
+2C niewykonalne
Zadanie 4
A =
1
2
3
4
2
2
6
8
3
6
3
12
4
8
12
4
,
tr(3A) = 3trA = 30,
det(2A) = 2
4
det A = 2
4
144,
det(4A) = 4
4
144,
5 det(2A)
3tr(3A)
A
T
=
1152
9
Zadanie 5
det A = −5, det B = 5, stąd: a) det
A
T
B
= −25
b) det
AB
−1
= -1
c) det
1
5
AB
= −
1
25
Zadanie 6
(1) 1
(2) 2
(3) 2
(4) 2
Zadanie 7
(1)
D =
7
2
A
(2)
C =
5
11
−2
0
0
−1 −1
0
0
−3 −1
T
=
5
11
−2 −1
0
0
−1 −3
0
0
−1
(3)
B = 4
2
3
5
0
4
5
0
0
6
T
= 4
2
0
0
3
4
0
5
5
6
5
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
(4)
B = 363(AA
T
)
−1
= 363 ·
1
120
·
5
−5
−5
29
(5)
X =
4
3
[B + 3I] =
4
3
3
0
−1
0
6
0
1
3
6
(6)
C = 120
3
1
−3 3
−1
= 120 ·
1
12
3
−1
3
3
=
30
−10
30
30
Zadanie 8
a) rzB = rz
−1 2m
1 − 2m
m
0
−m − 2
3
0
1
< 3 dla m = 0 lub m = −
3
2
b) rzC = rz
4
−2
m + 4
1
m + 3
1 − m
m + 3
0
m + 3
jest największy dla m ∈ R\ {−3, −1, 0}
6