zest9 MS 1011

background image

Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona ‘wieczewska

Zestaw nr 9 Ukªady równa« i nierówno±ci liniowych

Zadanie 1. Korzystaj¡c ze znanych twierdze« zbadaj czy dany ukªad posiada rozwi¡zanie. Je±li tak, to
wyznacz je:

(1)

2x

1

+ x

2

+ x

3

= −1

x

1

− 2x

2

− x

3

= 2

x

1

− x

2

+ x

3

= −6

(2)

2x

1

+ x

2

+ x

3

= 3

x

1

+ 3x

2

− x

3

= 3

−x

1

− x

3

= −1

(3)

2x

1

+ x

2

+ x

3

= 2

−x

1

+ x

2

− 2x

3

= 4

x

1

+ 2x

2

− x

3

= 6

(4)

3x

1

+ x

2

− x

3

= 0

x

1

− x

2

+ 2x

3

= 0

4x

1

+ 2x

2

− x

3

= 0

(5)

4x

1

+ x

2

− x

3

= 0

−x

1

− 2x

2

+ x

3

= 0

2x

1

− 3x

2

+ x

3

= 0

(6)

2x

1

+ 3x

2

− x

3

= 0

−4x

1

− 6x

2

+ 2x

3

= 0

−2x

1

− 3x

2

+ x

3

= 0

(7)

2x

1

+ x

2

+ x

3

− x

4

+ 2x

5

= 4

x

1

− 2x

2

− x

3

+ 3x

4

− x

5

= 2

x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

− 4x

4

+ 3x

5

= −6

(8)

2x

1

+ x

2

− x

3

− x

4

+ 2x

5

= 10

x

1

− x

2

− 2x

3

+ x

4

− x

5

= 24

4x

1

− x

2

− 5x

3

+ x

4

= 58

Zadanie 2. Dla jakich warto±ci parametru m ∈ R podany ukªad

mx

1

+ x

2

+ x

3

=

1

x

1

+ x

2

+ x

3

=

m

(m − 1)x

1

+ (m + 1)x

2

=

0

jest ukªadem Cramera? Dla wyznaczonych warto±ci parametru m podaj jego rozwiazanie w zale»no±ci od
warto±ci tego parametru.

Zadanie 3. Dla jakiej warto±ci parametru m ukªad równa«

x

1

− (m + 1) x

2

+ x

3

+ mx

4

= 1 − m

2

2x

1

+ x

2

+ (m + 2) x

3

= m

2

− 3m + 2

3x

1

− mx

2

+ (m + 3) x

3

+ mx

4

= 3 − 3m

jest ukªadem jednorodnym? Dla otrzymanej warto±ci parametru m wyznaczy¢ zbiór rozwi¡za«.

Zadanie 4. Dla jakiej warto±ci parametru m ukªad równa«

(m − 1) x

1

+ x

2

− mx

3

= 0

(m − 5) x

1

+ mx

2

+ 2mx

3

= 0

−x

1

+ 4x

2

= 0

ma roz-

wi¡zania niezerowe? Odpowied¹ uzasadnij. Dla jednej z wyznaczonych warto±ci parametru m wyznacz

1

background image

Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona ‘wieczewska

rozwi¡zanie fundamentalne tego ukªadu równa«.

Zadanie 5. Wyznacz rozwiazanie ogólne oraz dwa rozwi¡zania bazowe ukªadów równa« liniowych:

(1)

x

1

− 4x

2

+ 3x

3

− x

4

− x

5

=

60

5x

2

− 4x

3

+ x

4

+ x

5

=

40

2x

2

+ x

3

+ x

5

=

10

(2)

x

1

+ x

2

+ x

3

+ 2x

5

=

70

2x

1

+ x

3

+ x

5

=

20

x

1

− x

2

− x

5

=

10

(3)

3x

1

+ 3x

2

− x

3

+ x

5

=

4

−x

1

+ 3x

2

+ x

4

=

3

−x

1

+ x

2

+ x

3

− x

4

=

5

(4)

x

1

− 4x

2

+ 3x

3

− x

4

− x

5

=

20

5x

2

− 4x

3

+ x

4

+ x

5

=

40

x

1

+ x

2

− x

3

=

60

Zadanie 6. Rozwi¡» gracznie nast¦puj¡ce ukªad nierówno±ci i omów wªasno±ci otrzymanych zbiorów.
Zapisz równowa»ny ukªad równa«.

(1)

x

1

− x

2

≥ −2

x

1

+ x

2

12

x

1

− 2x

2

6

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0

(2)

4x

1

− 3x

2

≥ −12

x

1

− 2x

2

4

x

1

+ x

2

4

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0

(3)

3x

1

− 2x

2

≥ −6

3x

1

− 5x

2

15

x

1

+ x

2

3

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0

(4)

x

1

+ 2x

2

6

x

1

− 4x

2

0

x

1

+ x

2

≤ 10

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0

(5)

x

1

+ x

2

≥ 6

x

1

− 2x

2

≤ 0

2x

1

+ x

2

≥ 8

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0

(6)

x

1

+ x

2

12

x

1

− 4x

2

≤ −8

x

1

+ 2x

2

10

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0

2

background image

Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona ‘wieczewska

Zestaw nr 9 odpowiedzi

Zadanie 1.

(1) Ukªad oznaczony, x =




1

2

−5




(2) Ukªad oznaczony x =




2

0

−1




(3) Ukªad nieoznaczony X =

x ∈ R

3

: x =




2
3

10

3

0




+ α




−3

1

1




∧ α ∈ R

(4) Ukªad jednorodny oznaczony x =




0

0

0




(5) Ukªad jednorodny nieoznaczony X =

x ∈ R

3

: x = α




1

3

7




∧ α ∈ R

(6) Ukªad jednorodny nieoznaczony X =

x ∈ R

3

: x = α




1

0

2




+ β




0

1

3




∧ α, β ∈ R

(7) Ukªad sprzeczny

(8) Ukªad nieoznaczony. Zbiór rozwi¡za«

X =

x ∈ R

5

: x =










0

−58

0

0

34










+ α










1

4

0

0

−3










+ β










0

−5

1

0

3










+ γ










0

1

0

1

0










∧ α, β, γ ∈ R

Zadanie 2. Ukªad Cramera dla m ∈ R\ {0, 1} . Rozwi¡zanie: x =




m+1
−2m

1−m
−2m

m

2

+m−1

m−1




.

dla m = 0 ukªad jest

sprzeczny, dla m = 1 ukªad jest nieoznaczony.

3

background image

Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona ‘wieczewska

Zadanie 3. Dla m=1 ukªad jednorodny. Zbiór rozwi¡za«

X =

x ∈ R

4

: x = α







1

−2

0

−5







+ β







0

−3

1

−7







∧ α, β ∈ R

.

Zadanie 4. Dla m = 0 lub m = 2 ukªad posiada rozwi¡zania niezerowe. Zbiór rozwi¡za« dla m = 0

X =

x ∈ R

3

: x = α




0

0

1




∧ α ∈ R

a dla m = 2 X =

x ∈ R

3

: x = α




8
5

2
5

1




∧ α ∈ R

Zadanie 5. Ad (1) x =










100 + x

2

+ x

3

x

2

x

3

30 − 3x

2

+ 5x

3

10 − 2x

2

− x

3










; przykªadowe rozwi¡zania bazowe










100

0

0

30

10










,










110

0

10

80

0










Ad (2) x =










x

1

50 + x

1

− x

5

20 − 2x

1

− x

5

140 − 9x

1

− 2x

5

x

5










; przykªadowe rozwi¡zania bazowe










0

50

20

140

0










,










0

30

0

100

20










Ad (3) x =










x

1

x

2

8 + 2x

1

− 4x

2

3 + x

1

− 3x

2

12 − x

1

− 7x

2










; przykªadowe rozwi¡zania bazowe










0

0

8

3

12










,










12

0

32

15

0










Ad (4) x =










60 − x

2

+ x

3

x

2

x

3

40 − 5x

2

+ 4x

3

− x

5

x

5










; przykªadowe rozwi¡zania bazowe










60

0

0

40

0










,










60

0

0

0

40










Zadanie 6. (1) Zbiór ograniczony o wierzchoªkach (0, 0), (0, 2), (5, 7), (10, 2), (6, 0).

Równowa»ny ukªad równa«:

−x

1

+ x

2

+ s

1

= 2

x

1

+ x

2

+ s

2

= 12

x

1

− 2x

2

+ s

3

= 6

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, s

1

≥ 0, s

2

≥ 0, s

3

≥ 0

4

background image

Dominika Bogusz, Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski, Iwona ‘wieczewska

(2) Zbiór nieograniczony o wierzchoªkach (0, 4) i (4, 0) oraz wektorach wiod¡cych [2, 1] i [3, 4].

Równowa»ny ukªad równa«:

−4x

1

+ 3x

2

+ s

1

= 12

x

1

− 2x

2

+ s

2

= 4

x

1

+ x

2

− s

3

+ t = 4

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, s

1

≥ 0, s

2

≥ 0, s

3

≥ 0, t = 0

(3) Zbiór nieograniczony o wierzchoªkach (0, 3), (3, 0) i (5, 0) oraz wektorach wiod¡cych [2, 3] i [5, 3].

Równowa»ny ukªad równa«:

−3x

1

+ 2x

2

+ s

1

= 6

3x

1

− 5x

2

+ s

2

= 15

x

1

+ x

2

− s

3

+ t = 3

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, s

1

≥ 0, s

2

≥ 0, s

3

≥ 0, t = 0

(4) Zbiór ograniczony o wierzchoªkach (0, 3), (0, 10), (8, 2), (4, 1).

Równowa»ny ukªad równa«:

x

1

+ 2x

2

− s

1

+ t = 6

−x

1

+ 4x

2

+ s

2

= 0

x

1

+ x

2

+ s

3

= 10

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, s

1

≥ 0, s

2

≥ 0, s

3

≥ 0

(5) Zbiór nieograniczony o wierzchoªkach (0, 8), (4, 2) i (2, 4) oraz wektorach wiod¡cych [0, 1] i [2, 1].

Równowa»ny ukªad równa«:

x

1

+ x

2

− s

1

+ t

1

= 6

x

1

− 2x

2

+ s

2

= 0

2x

1

+ x

2

− s

3

+ t

2

= 8

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, s

1

≥ 0, s

2

≥ 0, s

3

≥ 0, t

1

= t

2

= 0

(6) Zbiór ograniczony o wierzchoªkach (0, 5), (4, 3), (8, 4), (0, 12).

Równowa»ny ukªad równa«:

x

1

+ x

2

+ s

1

= 12

−x

1

+ 4x

2

− s

2

+ t

1

= 8

x

1

+ 2x

2

− s

3

+ t

2

= 10

x

1

≥ 0, x

2

≥ 0, s

1

≥ 0, s

2

≥ 0, s

3

≥ 0, t

1

= t

2

= 0

5


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zest9 MS 1011
Zestaw5 MS 1011
wyk3 MS 1011
wyk2 MS 1011
zest8 MS 1011
zest7 odp MS 1011
zest7 MS 1011
Zestaw5 MS 1011
1 GEN PSYCH MS 2014id 9257 ppt
Pthirus pubis(ms office)
Wyklad 06 kinematyka MS
Wyklad 05 kinematyka MS
Prezentacja ZPR MS Project
PhysHL P3 M01 MS

więcej podobnych podstron