Odpowiedzi do zestawu 10 - Funkcja wielu zmiennych 3 lutego 2011
Zadanie 1.
1.
2.
3.
1
4.
Zadanie 2.
Zadanie 3.
"
#
"
#
3 x 2 y − 5 y 2 + ln y + 2 y + 4
6 xy
3 x 2 − 10 y + 1 + 2
1. ∇f ( x, y) =
H( f ( x, y)) =
y
x 3 − 10 xy + x + 2 x + 5
3 x 2 − 10 y + 1 + 2
− 10 x − x y
y
y 2
"
y 2
#
"
2 y 2
2 xy
#
2. ∇f ( x, y) =
( x+ y)2
H( f ( x, y)) =
( x+ y)3
( x+ y)3
x 2
2 xy
2 x 2
( x+ y)2
( x+ y)3
( x+ y)3
"
#
"
#
2 x ln( x 3 − 2 y) + 3 x 4
2 ln( x 3 − 2 y) + 9 x 6 − 36 x 3 y 2 x 4+8 xy
3. ∇f ( x, y) =
x 3 − 2 y H( f ( x, y)) =
( x 3 − 2 y)2
( x 3 − 2 y)2
− 2 x 2
2 x 4+8 xy
− 4 x 2
x 3 − 2 y ( x 3 − 2 y)2
( x 3 − 2 y)2
"
#
"
#
2 xy 3 ex 2 − 5 y 2 y 3(1 + 2 x 2) ex 2 − 5 y 2 xy 2(305 y) ex 2 − 5 y 4. ∇f ( x, y) =
H( f ( x, y)) =
y 2(3 − 5 y) e( x 2 − 5 y 2 xy 2(305 y) ex 2 − 5 y (6 y − 30 y 2 + 25 y 3 ex 2 − 5 y
"
ex
#
"
exey
−exey
#
5. ∇f ( x, y) =
ex+ ey
H( f ( x, y)) =
( ex+ ey )2
( ex+ ey )2
ey
−exey
exey
ex+ ey
( ex+ ey )2
( ex+ ey )2
Zadanie 4.
1. Tak
2. Nie
3. Nie
Zadanie 5.
1. (0 , 2) jest minimum lokalnym a (0 , − 2) jest maksimum lokalnym 2. ( − 1 , 2) jest maksimum lokalnym 3. ( − 1 , 0) jest minimum lokalnym Zadanie 6. W (1 , 1) nie, w (3 , 3) tak.
Zadanie 7. W żadnym z tych punktów funkcja nie posiada ekstremów.
2