Odpowiedzi do zestawu 10 - Funkcja wielu zmiennych 3 lutego 2011

Zadanie 1.

1.

2.

3.

1

4.

Zadanie 2.

Zadanie 3.

"

#

"

#

3 x 2 y − 5 y 2 + ln y + 2 y + 4

6 xy

3 x 2 − 10 y + 1 + 2

1. ∇f ( x, y) =

H( f ( x, y)) =

y

x 3 − 10 xy + x + 2 x + 5

3 x 2 − 10 y + 1 + 2

− 10 x − x y

y

y 2

"

y 2

#

"

2 y 2

2 xy

#

2. ∇f ( x, y) =

( x+ y)2

H( f ( x, y)) =

( x+ y)3

( x+ y)3

x 2

2 xy

2 x 2

( x+ y)2

( x+ y)3

( x+ y)3

"

#

"

#

2 x ln( x 3 − 2 y) + 3 x 4

2 ln( x 3 − 2 y) + 9 x 6 − 36 x 3 y 2 x 4+8 xy

3. ∇f ( x, y) =

x 3 − 2 y H( f ( x, y)) =

( x 3 − 2 y)2

( x 3 − 2 y)2

− 2 x 2

2 x 4+8 xy

− 4 x 2

x 3 − 2 y ( x 3 − 2 y)2

( x 3 − 2 y)2

"

#

"

#

2 xy 3 ex 2 − 5 y 2 y 3(1 + 2 x 2) ex 2 − 5 y 2 xy 2(305 y) ex 2 − 5 y 4. ∇f ( x, y) =

H( f ( x, y)) =

y 2(3 − 5 y) e( x 2 − 5 y 2 xy 2(305 y) ex 2 − 5 y (6 y − 30 y 2 + 25 y 3 ex 2 − 5 y

"

ex

#

"

exey

−exey

#

5. ∇f ( x, y) =

ex+ ey

H( f ( x, y)) =

( ex+ ey )2

( ex+ ey )2

ey

−exey

exey

ex+ ey

( ex+ ey )2

( ex+ ey )2

Zadanie 4.

1. Tak

2. Nie

3. Nie

Zadanie 5.

1. (0 , 2) jest minimum lokalnym a (0 , − 2) jest maksimum lokalnym 2. ( − 1 , 2) jest maksimum lokalnym 3. ( − 1 , 0) jest minimum lokalnym Zadanie 6. W (1 , 1) nie, w (3 , 3) tak.

Zadanie 7. W żadnym z tych punktów funkcja nie posiada ekstremów.

2