(WGGiOŚ, rok 1C, gr. 10, sem. letni 2012-2013) 1. Rozwiązać równania różniczkowe:
−2x
1
a)
y0 =
;
b) y0 = −2xy2;
c) y0 =
;
ey
2xy
d)
y0 = sin2 y;
e) y0 = 1 + y2;
f ) y0 = 1 − y2;
2y
g)
y0 = 2xey;
h) y0 = −
;
i) y0 = ex+y;
x
y(y − 1)
p
j)
y0 = e−y sin x;
k) y0 =
;
l) y0 =
1 + y2;
x
1 − x2
m) y0 = y sin x;
n) y0 = sin y;
o) y0 =
.
xy
2. Rozwiązać równania rożniczkowe z warunkiem początkowym: a) y0 = y ln y,
y(0) = e;
1
b) y0 =
,
y(0) = 0;
ex+y
1 + ey
2x
c) y0 =
·
,
y(1) = 0;
ey
1 + x2
1 + y2
x
d) y0 =
·
,
y(1) = 1.
y
1 + x2
3. Stosując metodę przewidywania, rozwiązać równania: a) y0 − 2y = x3 + x + 1;
b) y0 + y = sin x;
c) y0 − 4y = −16x + 17 cos x; d) y0 + y = x + 6ex;
e) y0 + y = ex + e−x.
4. Stosując metodę uzmienniania stałej, rozwiązać równania: a) y0 + y cos x = sin x cos x; 1
b) y0 −
y = x;
x
c) y0 + y cot x = sin x;
2
d) y0 −
y = e−1/x.
x
5. Rozwiązać równania różniczkowe: 2
a) y0 −
y = x2 + 1;
x
b)
y0 + 3y = 9x + 4ex + 10 sin x; 4x
3
c)
y0 +
y =
;
x2 + 1
x2 + 1
d) y0 − 4y = ex(cos x − 3 sin x); 1
1
e)
y0 −
y =
− 1;
x ln x
ln x
f ) y0 + 2xy = 2x3.
6. rozwiązać równania różniczkowe z podanymi warunkami początkowymi: a) y0 − y = 2x sin x,
y(0) = 1;
b) y0 − 2xy = −x3 + x,
y(0) = 0;
2
1
c) y0 −
y = x + 1,
y(1) = − ;
x
2
1
d) y0 + y tan x =
,
y(0) = a.
cos x