(WGGiOŚ, rok 1C, gr. 10, sem. letni 2012-2013) 1. Obliczyć następujące całki: Z
1 − x
a)
√ dx;
1 − 3 x
Z
x4
b)
dx;
x2 + 1
Z
cos 2x
c)
dx;
cos x − sin x
Z
2x − 5x
d)
dx.
10x
2. Całkując przez części obliczyć: Z
a)
cos ln xdx;
Z
√
√
b)
x arctan
xdx;
Z
arccos x
c)
√
dx;
1 + x
Z
d)
x2 sin xdx;
Z
e)
e2x sin xdx.
3. Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć niżej podane całki: Z
a)
x3xdx;
Z
b)
x arctan xdx;
Z
c)
xn ln xdx,
n ∈ N;
Z
d)
x tan2 xdx;
Z
e)
x ln (x2 + 1)dx;
Z
f )
x2 cos2 xdx;
Z
g)
x2ex sin xdx;
Z
x
h)
dx;
sin2 x
Z
x arcsin x
i)
√
dx;
1 − x2 √
Z
x ln x +
1 + x2
j)
√
dx.
1 + x2
4. Całkując przez podstawienie obliczyć:
√
Z
cos
x
a)
√
dx;
x
Z
b)
(x + 1) sin (x2 + 2x + 1)dx; Z
cos x
c)
√
dx;
1 + sin x
Z
5 sin x
d)
dx;
3 − 2 cos x
Z
1
e)
√
dx;
4x − x2
Z
f )
x3ex2dx.
5. Korzystając z metody całkowania przez podstawienie, wyznaczyć podane niżej całki nieoznaczone: Z
a)
xe−x2dx;
Z
√
b)
e xdx;
Z
c)
cot xdx;
Z
ln5 x
d)
dx;
x
√
Z
3 tan x + 3
e)
dx;
cos2 x
Z
x
f )
√
dx;
4 2x2 + 7
Z
x3
g)
dx;
1 + x8
Z
cos x
h)
dx;
1 + 4 sin2 x
Z
tan x
i)
dx;
(1 + tan4 x) cos2 x Z
cot x
j)
dx;
ln sin x
Z
1
k)
dx;
ex + e−x
Z
sin x cos x
l)
√
dx;
a2 sin2 x + b2 cos2 x Z
1
m)
dx.
sin2 x + 2 cos2 x