WIMiR

Zadanie 1.

a) Zbadaj charakter wypukªo±ci funkcji f(x) = 2x + arcctgx w punkcie x

0

= −1

.

b) Okre±l wzajemne poªo»enie wykresu funkcji i stycznej w punkcie x

0

= −1

do funkcji f (bez znajdowania

stycznej), wyznacz równanie tej stycznej (w postaci kierunkowej).

Rozwi¡zanie:

a) f

0

(x) = 2 −

1

1+x

2

f

00

(x) =

2x

(x

2

+1)

2

f

00

(−1) = −

1
2

< 0

, wi¦c funkcja w x

0

= −1

jest wkl¦sªa.

b) Wykres jest pod styczn¡, poniewa» jest wkl¦sªa w x

0

= −1.

f (−1) = −2 +

3
4

π

, f

0

(−1) =

3
2

, wi¦c styczna ma wzór: y − −2 +

3
4

π

=

3
2

(x + 1)

, czyli y =

3
2

x −

1
2

+

3
4

π

.

Zadanie 2.
Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x) =



ln(x+1)

x

dla x ∈] − 1, 0[

e

3x

+ 3

dla

x ≥ 0

.

Rozwi¡zanie:

Zbadamy ci¡gªo±¢ funkcji w x

0

= 0

:

lim

x→0

−

f (x) = lim

x→0

−

ln(x + 1)

x

H

= lim

x→0

−

1

x+1

1

= 1,

lim

x→0

+

f (x) = lim

x→0

+

e

3x

+ 3

= 1 + 3 = 4.

Granica lewostronna jest ró»na od granicy prawostronnej, wi¦c funkcja w x

0

= 0

nie jest ci¡gªa, a tym bardziej

nie jest ró»niczkowalna.

Zadanie 3.

Zbadaj zbie»no±¢ caªki

+∞

Z

e

dx

x ln

2

x

.

Rozwi¡zanie:

+∞

Z

e

dx

x ln

2

x

=

lim

α→+∞

α

Z

e

dx

x ln

2

x

=

lim

α→+∞



−

1

ln x



α

e

=

lim

α→+∞









0

↑

z }| {

−

1

ln α

+

1

ln e









= 0 + 1 = 1

.

W takim razie powy»sza caªka jest zbie»na.

Zadanie 4.

Zbadaj istnienie pola gury niesko«czonej zawartej mi¦dzy wykresami y = ln x, x = 0, y = 0 (y ≤ 0).

Rozwi¡zanie:

Aby zbada¢ istnienie pola tej gury nale»y zbada¢ zbie»no±¢ caªki

1

Z

0

ln x dx.

Je»eli ta caªka jest zbie»na, to

badane pole wynosi P = −

1

Z

0

ln x dx

(poniewa» gura znajduje si¦ pod osi¡ OX).

1

Z

0

ln x dx = lim

α→0

+

1

Z

α

ln x dx

∗

= lim

α→0

+

[x(ln x − x)]

1
α

= lim

α→0

+

[ln 1 − 1 − α(ln α − 1)] = lim

α→0

+

[−1 − α ln α + α]

∗∗

=

−1 + 0 + 0 = −1.
*

Z

ln x dx = x(ln x − 1) + c

,

** lim

α→0

+

α ln α = lim

α→0

+

ln α

1

α

=

 −∞

+∞



H

= lim

α→0

+

1

α

−

1

α

2

= lim

α→0

+

(−α) = 0.

Wynika z tego, »e caªka istnieje i P = 1.

1

Zadanie 5.

Wykorzystaj wnioski z twierdzenia Lagrange'a do:

a) pokazania równo±ci: arctg

1
x

+ arctgx =

π

2

,

x > 0,

b) wyznaczenia przedziaªów monotoniczno±ci funkcji f(x) =

x

ln x

.

Rozwi¡zanie:

a) Tworzymy funkcj¦ f(x) = arctg

1
x

+ arctgx

dla x > 0.

f

0

(x) =

1

1 +

1

x

2

·

−1

x

2

+

1

1 + x

2

= 0 ⇒

istnieje c ∈ R : f(x) = c dla wszystkich x > 0.

Poniewa» f(1) =

π

2

, to f(x) =

π

2

dla wszystkich x > 0, czyli

arctg

1
x

+ arctgx =

π

2

dla x > 0.

b) D = R

+

\ {1}

f

0

(x) =

ln x−1

ln

2

x

f

0

(x) = 0 ⇔ ln x − 1 = 0 ⇔ x = e

,

f

0

(x) > 0 ⇔ ln x − 1 > 0 (

poniewa» ln

2

x > 0

dla x ∈ D) ⇔ x > e,

f

0

(x) < 0 ⇔ ln x − 1 < 0 (

poniewa» ln

2

x > 0

dla x ∈ D) ⇔ x < e.

Uwzgl¦dniaj¡c dziedzin¦ otrzymujemy, »e:

funkcja f(x) jest rosn¡ca w przedziale ]e, +∞[,

funkcja f(x) jest malej¡ca w przedziaªach ]0, 1[ oraz ]1, e[.

2