Wydział Elektryczny
Mechatronika sem.1
Zestaw 1
Zagadnienia: rachunek wektorowy, kinematyka
1.
Dane są dwa wektory:
k
j
i
A
r
r
r
r
10
6
2
−
+
=
oraz
k
j
B
r
r
r
+
−
= 4
. Obliczyć: a) długość każdego wektora, b)
iloczyn skalarny i wektorowy, c) kąt zawarty między wektorami.
2.
Dany jest wektor
k
j
i
a
r
r
r
r
2
4
3
+
+
−
=
. Obliczyć jego długość oraz kosinusy kierunkowe współrzędnych.
Zakładając, że wektor ar ma początek w punkcie P(5, -4, -1), znajdź współrzędne końca wektora.
3.
Siła
N
k
j
i
F
r
r
r
r
7
2
5
+
−
=
działa na punkt P(5, 2, 2) m. Jaki jest moment tej siły względem początku układu
współrzędnych O(0,0,0) a jaki względem punktu Q(0, 5, 0) m?
4.
Dana jest trójka wektorów:
k
j
i
a
r
r
r
r
10
6
2
−
+
=
,
k
j
i
b
r
r
r
r
+
−
=
4
oraz
k
j
i
c
r
r
r
r
−
+
−
=
5
3
zaczepiona w
początku układu współrzędnych. Obliczyć: a) objętość równoległościanu zbudowanego na tych trzech
wektorach; b) pole powierzchni wszystkich ścian równoległościanu.
5.
Równania ruchu dwóch punktów materialnych obserwowanych z danego układu odniesienia, są
następujące:
)
2
,
2
,
3
(
)
(
2
1
t
t
t
t
t
r
+
+
=
r
,
)
1
,
2
,
1
(
)
(
2
t
t
t
r
+
=
r
. Oblicz: a) prędkość i przyspieszenie punktów; b)
rzut wektora prędkości na wektor przyspieszenia dla punktu drugiego.
6.
Położenie ciała w układzie współrzędnych XY opisuje wektor
]
2
,
4
3
[
)
(
2
−
+
=
t
t
t
rr
, gdzie t – czas liczony w
sekundach. Współrzędne wektora są wyrażone w metrach. W jakiej chwili czasu t
x
odległość tego ciała od
początku układu współrzędnych jest najmniejsza? Ile ona wynosi?
7.
Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami
s
m
i
v
A
r
r
2
=
oraz
s
m
j
v
B
r
r
5
=
. W chwili
t
0
są one w punktach o współrzędnych P
Ao
=(3m, 0) i P
Bo
=(0, -3m). Znajdź wektor, który określi położenie
cząstki B względem cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki będą najbliżej siebie?
8.
Punkt materialny porusza się wdłuż osi OX zgodnie z równaniem x(t)=At – Bt
2
, gdzie A = 3cm/s i B=0,5
cm/s
2
. Znajdź średnią prędkość w ciągu pierwszych 2, 6, 10 sekund ruchu oraz czas po którym odległość od
początku układu współrzędnych jest maksymalna. Oblicz średnie przyspieszenie między 5 i 10 sekundą
ruchu i przyspieszenie chwilowe w 11 sekundzie ruchu.
9.
Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie XY, przy czym zależność współrzędnych położenia punktu od
czasu podają następujące zależności:
x = At
2
, y = B + Ct
2
, gdzie A = 5 m/s
2
, B = 2 m, C = 4 m/s
2
.
Opisać ruch ciała przedstawiając na wykresie:
• tor punktu materialnego postaci funkcji y = f(x),
• zależność prędkości oraz przyspieszenia punktu materialnego od czasu.
10.
Prędkość nurtu rzeki wynosi v
1
, natomiast prędkość łodzi względem wody wynosi v
2.
Oblicz średnią
prędkość łodzi, która płynęła tam i z powrotem pomiędzy dwoma mostami.