Wydział Elektryczny

Mechatronika sem.1

Zestaw 1

Zagadnienia: rachunek wektorowy, kinematyka

1.

Dane są dwa wektory:

k

j

i

A

r

r

r

r

10

6

2

−

+

=

oraz

k

j

B

r

r

r

+

−

= 4

. Obliczyć: a) długość każdego wektora, b)

iloczyn skalarny i wektorowy, c) kąt zawarty między wektorami.

2.

Dany jest wektor

k

j

i

a

r

r

r

r

2

4

3

+

+

−

=

. Obliczyć jego długość oraz kosinusy kierunkowe współrzędnych.

Zakładając, że wektor ar ma początek w punkcie P(5, -4, -1), znajdź współrzędne końca wektora.

3.

Siła

N

k

j

i

F

r

r

r

r

7

2

5

+

−

=

działa na punkt P(5, 2, 2) m. Jaki jest moment tej siły względem początku układu

współrzędnych O(0,0,0) a jaki względem punktu Q(0, 5, 0) m?

4.

Dana jest trójka wektorów:

k

j

i

a

r

r

r

r

10

6

2

−

+

=

,

k

j

i

b

r

r

r

r

+

−

=

4

oraz

k

j

i

c

r

r

r

r

−

+

−

=

5

3

zaczepiona w

początku układu współrzędnych. Obliczyć: a) objętość równoległościanu zbudowanego na tych trzech
wektorach; b) pole powierzchni wszystkich ścian równoległościanu.

5.

Równania ruchu dwóch punktów materialnych obserwowanych z danego układu odniesienia, są
następujące:

)

2

,

2

,

3

(

)

(

2

1

t

t

t

t

t

r

+

+

=

r

,

)

1

,

2

,

1

(

)

(

2

t

t

t

r

+

=

r

. Oblicz: a) prędkość i przyspieszenie punktów; b)

rzut wektora prędkości na wektor przyspieszenia dla punktu drugiego.

6.

Położenie ciała w układzie współrzędnych XY opisuje wektor

]

2

,

4

3

[

)

(

2

−

+

=

t

t

t

rr

, gdzie t – czas liczony w

sekundach. Współrzędne wektora są wyrażone w metrach. W jakiej chwili czasu t

x

odległość tego ciała od

początku układu współrzędnych jest najmniejsza? Ile ona wynosi?

7.

Dwie cząstki A i B poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami

s

m

i

v

A

r

r

2

=

oraz

s

m

j

v

B

r

r

5

=

. W chwili

t

0

są one w punktach o współrzędnych P

Ao

=(3m, 0) i P

Bo

=(0, -3m). Znajdź wektor, który określi położenie

cząstki B względem cząstki A w funkcji czasu. Kiedy i gdzie te cząstki będą najbliżej siebie?

8.

Punkt materialny porusza się wdłuż osi OX zgodnie z równaniem x(t)=At – Bt

2

, gdzie A = 3cm/s i B=0,5

cm/s

2

. Znajdź średnią prędkość w ciągu pierwszych 2, 6, 10 sekund ruchu oraz czas po którym odległość od

początku układu współrzędnych jest maksymalna. Oblicz średnie przyspieszenie między 5 i 10 sekundą
ruchu i przyspieszenie chwilowe w 11 sekundzie ruchu.

9.

Punkt materialny porusza się w płaszczyźnie XY, przy czym zależność współrzędnych położenia punktu od
czasu podają następujące zależności:

x = At

2

, y = B + Ct

2

, gdzie A = 5 m/s

2

, B = 2 m, C = 4 m/s

2

.

Opisać ruch ciała przedstawiając na wykresie:

• tor punktu materialnego postaci funkcji y = f(x),

• zależność prędkości oraz przyspieszenia punktu materialnego od czasu.

10.

Prędkość nurtu rzeki wynosi v

1

, natomiast prędkość łodzi względem wody wynosi v

2.

Oblicz średnią

prędkość łodzi, która płynęła tam i z powrotem pomiędzy dwoma mostami.