plik

Elektromagnetyzm cz.2

76.Obwód RC (analiza zależności i(t) oraz u(t), stała czasowa)

W obwodzie płynie prąd zmienny. Kondensator o pojemności C jest początkowo

nienaładowany. Aby go naładować, przesuwamy klucz S do pkt.
a. Powstaje wtedy obwód szeregowy RC, składający się z
kondensatora, doskonałego źródła o SEM

i opornika o oporze

R. Z chwilą zamkniecia obwodu zaczyna przepływać ładunek
między okładką kondensatora i biegunem bateriipo każdej

stronie kondensatora. Ten prąd zwiększa łądunek q na
okładkach i różnicę potencjałów Uc(=q/C) na kondensatorze. Gdy różnica potencjałów stanie

się równa różnicy potencjałów na źródle, natężenie prądu stanie się równe zeru. Zgodnie ze
wzorem q=CU stacjonarny ładunek an całkowicie naładowanym kondensatorze wynosi Cε.

Kożystając z drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
Zmienne I i q są powiązane wzorem I= dq/dt,

po podstawieniu do poprzedbiego wzoru otrzymujemy równanie ładowania:
początkowo kondensator jest nienaładowanu, czyli q(0)=0.

Rozwiązniem równania jest:

Pochodna funkcji q(t) względem czasu jest równa natężeniu prądu I(t), ładującego
kondensator:

Ładowany kondensator początkowo zachowuje się przy przepływie prądu jak zwykły
przewodnik bez oporu, a po upływie długiego czasu jak przerwa w obwodzie.

Stosując wzórq=CU oraz równanie ładowania, znajdujemy różnicę potęcjałów na
kondensatorze podczas ładowania:

Wielkość RC nazywamy pojemnościową stałą czasową obwodu ioznaczamy symbolem τ . iIm
większą wartość ma τ , tym dluższy czas łądowania.

Zakłądamy, że kondensator jest całkowicie naładowany do różnicy potencjałów U

, równej

SEM

źródła i w chwili t=0klucz S przestawiamy z pkt. A do b. Kondensator może się wieć

rozłądować przez opornik R. Równanie rozładowania dla

= 0 przyjmuje postać:

Rozwiązanie tego równania ma postać:

ładunek q maleje wykładniczo w czasie, z szybkością zależną od pojemności stałej czasowej

τ=RC. Większa stała τ oznacza dłuższy czas rozładowywania.
Różniczkując funkcję q(t) otrzymujemy wzór na natężenie prądu I(t):

77.Pole magnetyczne (linie sił pola, wektor indukcji B, strumień pola)

Siłę działającą na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym z prędkoscią v wiążemy z

indukcją magnetyczną B. Związek pomiędzy siłą magnetyczną, a indukcją magnetyczną B
zapisujemy w postaci równania wektorowego:

Siłę tę nazywamy siłą Lorenza, a powyzsze
równanie definiuje indukcję polamagnetycznego B.

Jednostką indukcji B jest tesla(T) : 1T = 1N/(Am) = 1Vs/m

Siła jest równa zeru, gdy cząstka nie porusza się oraz gdy wektor prędkosci jest równoległy

lub antyrównoległy do wektora B. Natomiast maksimum siły wystepuje gdy wektor prędkości
v jest prostopadły do wektora B. Z reguły sróby prawoskretnej lub reguły prawej dłoni

mozemy wyznaczyc kierunek i zwrot wektora siły F.

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola
magnetycznego, czyli linie wektora indukcji magnetycznej B.

Wektor B jest jest styczny do linii pola w każym punkcie, a
rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola – im geściej

rozmieszczone są linie tym silniejsze pole. To, że linie pola B są
zawsze liniami zamkniętymi stanowi fundamentalną różnicę

między stałym polem magnetycznym i elektrycznym, którego linie
zaczynają i kończą się na ładunku. Najsilniejsze pole występuje w

pobliżu biegunów magnetycznych. Linie pola magnetycznego
można wyznaczyc doświadczalnie przy uzyciu np. opiłków żelaza,

które zachowują się jak dipole magnetyczne. Opiłki ustawiają się
zgodnie z kierunkiem B i daja obraz linii pola magnetycznego.

78.Cząstka naładowana w polu E i B (wzór Lorentza)

79.Przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Ponieważ siła magnetyczna działa na ładunki w ruchu zatem działa na cały przewodnik z
prądem

N-liczba elektronów w przewodniku o długości l i przekroju

poprzecznym S.

N=nSl

I= q/t = nSle/(l/v

) = nSev

F = nSle( I/nSe)Bsinφ = IlBsinφ

lub

80.Energia potencjalna ramki z prądem w polu magnetycznym przy obrocie

Prostokątna ramka o bokach a i b została umieszczona w
jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. przez ramkę płynie

prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny tworzy kąt φ
z polem B.

Siły F

dzałające na boki b znoszą się wzajemnie. Siły F

tworzą parę

sił dającą wypadkowy moment siły obracający ramkę:

siła F

wynosi :

więc

Wielkość wektorową

nazywamy magnetycznym momentem

dipolowym. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny ramki z

pradem. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skrecającym
obracając ją. Położenie równowagi ramki wystepuje dla φ = 0, czyli gdy moment dipolowy

jest równoległy do pola magnetycznego B. Ramka zachowuje się jak dipol magnetyczny.
Obracając dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje pracę i wobec tego dipol posiada

energie potencjalną. Energia potencjalna dipola magnetycznego związana z jego orientacją w

zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem:

energia osiąga minimum dla momentu dipolowego

równoległego do zewnetrznego pola magnetycznego B, a
maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do

pola.

81.Efekt Halla (napiecie i opór Halla). Czestość cyklotronowa

Rozpatrujemy płytkę metalu (lub półprzewodnika) umieszczona w polu magnetycznym,

prostopadłym do kierunku przepływu pradu. Jeżeli w
płydce płynie prąd to na łądunki działa siła odchlająca

powodująca zakrzywienie ich torów w kierunku jednej ze
ścianek bocznych płytki. Gromadzenie się ładunków na

ściance bocznej powoduje powstanie poprzecznego pola
elektrycznego Halla E

Pole Halla dane jest zaleznością:
d- szerokośc płytki.

Strona prawa płytki ładuje się ujemnie

powstałe pole Halla przeciwdziała

dalszemu przesuwaniu elektronów. Osiągnięty zostaje
stan równowagi, w którym odchylające pole magnetyczne

jest równoważone przez pole elektryczne Halla:

lub

stąd

Jeżeli zmierzymy E

(w praktyce V

– napięcie Halla) i pole B to

możemy wyznaczyć v

. Gdy v

i B są prostopadłe to:

wiemy, że

= I/neS = j/ne

(bo j=I/S – gęstość prądu, S – pole

powierzchni przekroju poprzecznego płytki, n – koncentracja nośników).
Zatem koncentracja nośników wynosi:

Cyklotron

Dwie cylindryczne elektrody (duanty) umeiszczone są w

jednorodnym polu magnetycznym B prostopadłym do
płąszczyzny duantów. Do tych elektrod doprowadzone jest z

generatora zmienne napięcie, które cyklicznie zmienia
kierunek pola elektrycznego w szczelinie pomiędzy

duantami.
Czestotliwość czastki krążącej w polu B obliczamy:

F= mv

qvB = mv

r= mv/qB
f = 1/T = v/2π r = qB/2π m

82.Doświadczenie Thomsona – odkrycie elektronu

Naładowane cząstki (elektrony) emitowane są przez rozżarzone włókno w tylnej części lampy

prózniowej i przyspieszane przez przyłozona różnicę potencjałów U. Po przejściu przez
szczelinę C cząstki tworzą wąska wiązkę. Następnie przechodzą przez obszar skrzyżowanych

pól E i B, kierując się w stronę ekranu fluorescencyjnego S, na którym wywołują
świeceniestaci plamki. Siły działające w obszarze skrzyżowanych pól na naładowane cząstki

mogą odchylić je od środka ekranu. Zmieniając wartości i kierunki wektorów pól, Thomson
mógł więc zmieniać położenie plamki świetlnej na ekranie. Pole elektryczne E odchyla

elektrony w przeciwną stronę niż pole B (należy pamiętać, że pole elektryczne działa na
naładowaną ujemnie cząskę siłą, skierowana przeciwnie do kierunku pola) – siły są

przeciwnie skierowane . Można ustawić je tak, aby się równoważyły.
Najpierw wyznaczamy odchylenie cząstki na końcu płytek, przy właczonym wyłącznie polu E

(1)

a= F/m = qE/m

y = (½) at

L = vt

(2)

a = 2yv

przyrównujemy równanie

(1)

(2)

i otrzymujemy wzór na odchylenie czastki na końcu płytek:

(3)

y = qEL

/(2mv

)

Kierunek odchylenia zależy od ładunku cząstki, a więc Thomson mógł wykazać, że cząstki
wywołujące świecenie na ekranie były naładowane ujemnie.

Dobieramy pola w taki sposób, aby siły siły odchylające równoważyły się:

= F

|q|E = |q|vB sin(90

) = |q|vB

(4)

v =E/B

po podstawieniu zależności

(4)

do wyrażenia

(3)

otrzymujemy:

m/q = B

/(2yE)

Thomson stwierdził, że cząstki poruszające się w jego aparaturze znajdują się we wszystkich

substancjach oraz że są one lżejsze ponad tysiąc razy od nalżejszego znanego atomu
(wodoru).

83.Prawo Ampere'a (przykład: odziaływanie dwóch przewodników z

prądem)

Wyraża ono związek pomiędzy prądem (źródłem pola B) a indukcją magnetyczną.

jest pzrenikalnością magnetyczną próżni.

Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu w

odległości d pole magnetyczbe, które wynosi

w tym polu znajduje się przewodnik b, w którym płynie
prąd I

. na odcinek l tego przewodnika działa siła:

Dwa równoległe przewodniki z prądem oddziałują na

siebie za pośrednictwem pola magnetycznego. Przewodniki, w których prąd płynie w tych
samych kierunkach przyciągają się, a te w których prądy mają kierunki przeciwne odpychają

się.

84.Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta jest matematycznie równoważne z prawem Ampere'a. Ggdy symetria
pola nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z prądem na rózniczkowo małe elementy i

stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole jakie wytwarzają one w danym punkcie.
Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów, żeby uzyskać

wypadkowy wektor B.
Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole dB w wybranym punkcie P wynosi:

Wartość liczbowa dB jest dana równaniem

85.Dipol magnetyczny – model przewodnika kołowego z prądem

Przewodnik kołowy z prądem zachowuje się jak dipol magnetyczny. Jeżeli umiescimy go w
zewnetrznym polu magnetycznym o indukcji B, to będzie działać na niego moment siły:

Obliczamy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem
w punkcie P, jak na rysunku obok.

Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole dB pochodzące od
elementu dl:

Zwróćmy uwagę, że

element dl jest
prostopadły do r. Pole dB można rozłożyć na dwie

skłądowe. Suma wszystkich składowych dB

jest równa

zeru, bo dla każdego elementu przewodnika dl ta

skłądowa znosi się z odpowiednią składową elementu

leżącego po przeciwnej stronie okregu. Wystarczy zsumować skłądowe dB

Otrzymujemy:

zgodnie z rysunkiem

oraz

Ostatecznie otrzymujemy więc:

Wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu, dlatego możemy wyłączyć

je przed znak całki.

86.Prawo indukcji Faradaya. Indukcyjność

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu siły elektromotorycznej SEM

w obwodzie podczas przemieszczania się wzgledem siebie źródła pola magnetycznego i tego
obwodu. Mówimy, że w obwodzie indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji. W

obwodzie zamknietym, SEM indukcji wywołuje przepływ pradu indukcyjnego i w
konsekwencji powstanie wytwarzanego przez ten prąd indukowanego pola magnetycznego.

Dla powstania pradu indukcyjnego potrzebny jest względny ruch źródła pola magnetycznego
i przewodnika. Faraday doszedł do wniosku, że o powstawaniu

siły elektromotorycznej

indukcji decyduje szybkość zmian strumienia magnetycznego

Ilosciowy związek przedstawia prawo Faradaya:

,gdzie

Zmianę strumienia magnetycznego można uzyskać poprzez obrót
obwodu w polu magnetycznym (zmiana kąta alfa). Strumień zmienia zarówno swoją wartość,

jak i znak, więc indukowana jest zmienna SEM. Jeżeli ramka obraca się z prędkością kątową

strumień dany jest wzorem:

a SEM indukcji:

Reguła Lentza:

INDUKCJA Gdy natężenie prądu przepływającego przez obwód zmienia się to zmienia się
też, wytworzony przez ten prąd, strumień pola magnetycznego przenikający obwód, więc

zgodnie z prawem Faradaya indukuje się w obwodzie SEM.
Tę siłę elektromotoryczną nazywamy sila elektromotoryczną samoindukcji, a samo zjawisko

zjawiskiem indukcji wlasnej. Jeżeli obwód zawiera N zwojów to:
Całkowity strumień zawarty w obwodzie jest proporcjonalny do

natężenia prądu płynącego przez obwód:

Stałą proporcjonalności nazywamy indukcyjnością (współczynnik indukcji
własnej, współczynnik samoindukcji).

Zrózniczkowanie tego równania prowadzi do wyrażenia:

Łącząc równania na SEM i zrózniczkowane równanie indukcyjności otrzymujemy:

Jednostką indukcyjności jest henr (H); 1H = 1 Vs/A.

87.Obwód LC – drgania elektromagnetyczne

Rozpatrujemy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C.

przyjmujemy, że opór elektryczny obwodu jest równy zeru (R=0). Zakładamy też, że w chwili
początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek Q

, a prąd w obwodzie nie

płynie. W takiej sytuacji energia zawarta na kondensatorze jest maksymalna:

a energia w cewce jest równa zero:

Następnie kondensator zaczyna rozładowywać się. W obwodzie plynie prąd I = dQ/dt. W
miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym

kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę
narastania w niej prądu. Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana

dopola magnetycznego cewki. Jednak pomimo, ze kondensator jest całkowicie rozłądowany
prąd dalej płynie w obwodzie. Jej źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która

podtrzymuje słąbnący prąd. Ten prad ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest
ponownie przekazywana do kondensatora. Wreszcie ładunek na kondensatorze osiąga

maksimum, a prąd w obwodzie zanika. Stan końcowy jest więc taki jak początkowy, tylko
kondensator jest nałądowany odwrotnie.

Sytuacja powtarza się, tylko prąd rozłądowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym
kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku(prądu). Zmienia się zarówno

wartość jak i znak ładunku na kondensatorze i prądu w obwodzie.
Zgodnie z prawem Kirchhoffa:

tak więc:

Jest to równanie

drgań w obwodzie
LC.

Analogicznie jak dla drgań swobodnych: