M
echanika
B
udowli
M
acierzowa
A
naliza
K
onstrukcji
S
tatyka
(Materiały dydaktyczne)
Marek Krzysztof Jasina
Gdansk 2004
M
echanika
B
udowli
M
acierzowa
A
naliza
K
onstrukcji
S
tatyka
(Materiały dydaktyczne)
Marek Krzysztof Jasina
Gdansk 2004
To co musiałeś odkryć samodzielnie
zostawia w twym umyśle ścieżkę,
którą w razie potrzeby możesz pójść jeszcze raz.
Georg Christoph Lichtenberg
Wstęp
Niniejszy skrypt powstał w Katedrze Mechaniki Budowli Politechniki
Gdańskiej i przeznaczony jest dla studentów Wydziału Inżynierii Lądowej i Środowiska
PG jako pomoc do nauki w czasie kursu Mechaniki Budowli w semestrze 5.
Głównym celem Autora było zaprezentowanie w opracowaniu możliwości
analizy płaskich układów prętowych z zastosowaniem Bezpośredniej Metody
Przemieszczeń (ang. Direct Stiffness Method). Autor starał się objaśnić, w sposób
podstawowy, najistotniejsze kroki poszczególnych rozwiązań tak, by możliwe było
samodzielne przyswojenie prezentowanej problematyki i wykorzystanie nabytych
umiejętności do rozwiązywania zagadnień statycznej analizy płaskich układów
prętowych przy użyciu BMP. Zaprezentowane rozwiązania pozwalają na
przeprowadzenie własnej implementacji numerycznej np. za pomocą systemu MATLAB.
W rozdziale 1. pokazano kilka przykładów wyznaczania macierzy sztywności i
podatności prostych płaskich układów prętowych.
W rozdziale 2. przedstawiono tworzenie macierzy sztywności i podatności
elementów.
Rozdział 3. prezentuje tradycyjny sposób rozwiązania zadania Metodą Przemieszczeń
przy zastosowaniu zapisu macierzowego.
W rozdziale 4. rozwiązano kilka płaskich układów prętowych o ortogonalnej
siatce prętów w różny sposób obciążonych w swojej płaszczyźnie. Zaprezentowano
algorytm rozwiązania. W rozwiązaniu posłużono się elementem belkowym o czterech
stopniach swobody.
W rozdziale
5. zaprezentowano algorytm BMP rozwiązania ramy o
nieortogonalnej siatce prętów obciążonej statycznie. Analizowana rama składa się z
elementów ramowych o sześciu stopniach swobody.
Rozdział 6. i rozdział 7. prezentują rozwiązania analogiczne do zawartego w
rozdziale 5, przy czym przedmiotem analizy są w nich dźwigar załamany w planie oraz
kratownica płaska.
W rozdziale
8. zebrano załączniki, w których zestawiono: wzory
transformacyjne metody przemieszczeń, wyjściowe siły przywęzłowe od pewnych
wybranych obciążeń międzywęzłowych (przęsłowych), macierze sztywności różnych
elementów prętowych o osi prostej oraz pokazano przekształcenia związane z
kondensacją i modyfikacją macierzy sztywności.
Autor czuje się w obowiązku podziękować studentom, których rozwiązania
zadań zostały wykorzystane w opracowaniu. Ponadto, szczególne podziękowania
należą się pani Agnieszce Witkowskiej, która przepisała tekst i wzory oraz w znacznej
części robiła bieżącą korektę oraz pani Joannie Klimas, która wykonała żmudną pracę
przy przerysowaniu wszystkich rysunków zamieszczonych w skrypcie. Dziękuję także
wszystkim tym, których pomoc i uwagi przyczyniły się do powstania niniejszego
opracowania.
Gdańsk, październik 2004r.
Marek Krzysztof Jasina
mjasina@pg.gda.pl
Spis treści
1. Macierz
sztywności i podatności układu .................................................................1
2. Macierz
sztywności i podatności elementu ...........................................................11
3. Metoda
Przemieszczeń w zapisie macierzowym ..................................................21
4. Macierzowa
Metoda
Przemieszczeń
(ortogonalna siatka pretów) – element belkowy ...................................................34
5. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
– element ramowy .................................................................................................48
6. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
– element rusztowy ...............................................................................................58
7. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
– element kratowy .................................................................................................65
8. Załączniki
8.1. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
– pręt obustronnie utwierdzony .............................................................................70
8.2. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
– pręt jednostronnie utwierdzony ..........................................................................71
8.3. Wyjściowe siły przywęzłowe – pręt obustronnie utwierdzony .............................72
8.4. Wyjściowe siły przywęzłowe – pręt jednostronnie utwierdzony ..........................76
8.5. Macierz sztywności płaskiego elementu kratowego .............................................80
8.6. Macierz sztywności płaskiego elementu skręcanego ............................................81
8.7. Macierz sztywności płaskiego (zginanego) elementu belkowego
- z pominięciem sił normalnych ............................................................................82
8.8. Macierz sztywności płaskiego (zginanego) elementu ramowego
- z uwzględnieniem sił normalnych ......................................................................83
8.9. Macierz sztywności elementu dźwigara załamanego w planie, zginanego
w płaszczyźnie i skręcanego, obciążenie w płaszczyźnie prostopadłej do układu.84
8.10. Macierz sztywności elementu ramy przestrzennej ................................................85
8.11. Modyfikacja macierzy sztywności ........................................................................86
8.12. Kondensacja macierzy sztywności ........................................................................87
9. Literatura
...............................................................................................................89
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 1 -
1. Macierz
sztywności i podatności układu
1.1. Przykład
Metodą jednostkowych stanów przemieszczeń wyznaczyć macierz sztywności
ukła-
du (Rys. 1.1) względem zaznaczonych przemieszczeń. Przyjąć
.
K
=
EI const
Rys. 1.1 Układ dany
Rozwiązanie
Poszukując macierzy sztywności posłużymy się metodą przemieszczeń.
Rys. 1.2 Układ podstawowy
1
Założenie:
Pomijamy wpływ odkształcalności podłużnej prętów
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 2 -
Poszukiwana macierz sztywności
danego układu składająca się z elementów ma
postać
K
ij
r
11
12
21
22
r
r
r
r
⎡
⎤
= ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
(1.1)
Wyszczególnione we wzorze (1.1) składowe wielkości
są to odpowiednie reakcje
powstające w nałożonych więzach
ik
r
1 2
i
,
=
od jednostkowych przemieszczeń w miej-
scach i na kierunkach
(pierwszy indeks określa miejsce, a drugi przyczynę).
1 2
k
,
=
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności reakcji wynika symetria macierzy
sztywności, a zatem
.
12
21
r
r
=
Układ podstawowy otrzymujemy poprzez nałożenie na układ wyjściowy (dany) fikcyj-
nych więzów na kierunkach przemieszczeń
1
δ i
2
δ (Rys. 1.2), względem których wy-
znaczamy macierz
K
.
Dokonując kolejno jednostkowych wymuszeń
1
1
δ
=
oraz
2
1
δ
=
, stosując wzory trans-
formacyjne metody przemieszczeń (zob. załącznik), wyznaczymy poszukiwane warto-
ści sił reakcji w węźle
(3)
Krok 1. Wyznaczymy reakcje
oraz
rozwiązując układ obciążony jednostkowym
przemieszczeniem
11
r
21
r
1
1
δ
=
.
Rys. 1.3 Przemieszczenie (
1
1
δ
=
)
Zadanie rozwiązujemy metodą przemieszczeń, niewiadomą jest obrót węzła
2
?
ϕ
=
.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 3 -
Możemy zapisać momenty przywęzłowe.
23
2
2
2
2
3 1
4
2
0
EI
EI
EI
M
a
a
a
a
ϕ
ϕ
⋅
⎛
⎞
=
+ −
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
6
(1.2)
21
2
2
2
3 0
4
2
0
EI
EI
M
a
a
a
ϕ
ϕ
⋅
⎛
⎞
=
+ +
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(1.3)
Warunek równowagi.
(1.4)
2
23
0
M
M
M
=
⇔
+
=
∑
21
0
2
2
2
2
4
6
4
0
4
EI
EI
EI
a
a
a
a
ϕ
ϕ
ϕ
−
+
=
⇒
=
3
(1.5)
Wyznaczoną wielkość kąta obrotu podstawiamy ponownie do wzorów transformacyj-
nych i obliczamy poszukiwane reakcje.
23
2
2
3
3 1
3
2
0
4
EI
EI
M
a
a
a
a
⋅
⎛
⎞
=
⋅
+ +
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
(1.6)
21
32
2
2
3
3 1
9
2
0
4
2
EI
EI
r
M
a
a
a
a
⋅
⎛
⎞
=
=
⋅
+ −
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
(1.7)
(
)
23
32
11
32
2
2
1
3
9
15
2
2
M
M
EI
EI
EI
r
T
a
a
a
a
a
+
⎛
⎞
=
= −
= −
−
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
3
(1.8)
Krok 2. Wyznaczymy reakcje
oraz
, rozwiązując układ obciążony jednostkowym
przemieszczeniem
12
r
22
r
2
1
δ = .
Rys. 1.4 Przemieszczenie (
2
1
δ =
)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 4 -
Zadanie rozwiązujemy metodą przemieszczeń, niewiadomą jest obrót węzła
2
?
ϕ = .
Możemy zapisać momenty przywęzłowe.
23
2
2
2
3 0
4
2
1
EI
EI
EI
M
a
a
a
a
ϕ
⋅
⎛
⎞
=
+ +
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
2
ϕ
(1.9)
21
2
2
2
3 0
4
2
0
EI
EI
M
a
a
a
ϕ
ϕ
⋅
⎛
⎞
=
+ +
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(1.10)
Warunek równowagi.
(1.11)
2
23
0
M
M
M
=
⇔
+
=
∑
21
0
2
2
2
4
2
4
0
4
EI
EI
EI
a
a
a
ϕ
ϕ
ϕ
+
+
=
⇒
= −
1
(1.12)
Wyznaczoną wielkość kąta obrotu podstawiamy ponownie do wzorów transformacyj-
nych i obliczamy poszukiwane reakcje.
23
2
1
3 0
2
1
4
EI
EI
M
a
a
⎛
⋅
⎛
⎞
=
⋅ −
+ +
=
⎜ ⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
a
⎞
⎟
(1.13)
22
21
2
1
3 0
2 1
4
2
EI
EI
r
M
a
a
⎛
⋅ ⎞
⎛
⎞
=
=
⋅ + −
+
=
⎜
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
7
a
⎟
(1.14)
(
)
23
21
12
32
2
1
7
9
2
2
M
M
EI
EI
EI
r
T
a
a a
a
a
+
⎛
⎞
=
= −
= −
+
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
(1.15)
Podstawiając (1.7), (1.8), (1.14) i (1.15) do (1.1) zapiszemy wynikową, składającą się z
elementów , poszukiwaną postać macierz sztywności danego układu
ij
r
K
11
12
2
3
21
22
15
9
9
7
2
r
r
a
EI
r
r
a
a
a
⎡
⎤
−
⎡
⎤
=
=
⎢
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
K
⎥ (1.16)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 5 -
1.2. Przykład
Metodą jednostkowych stanów obciążeń wyznaczyć macierz podatności
układu
(Rys. 1.5) względem zaznaczonych obciążeń. Przyjąć
.
F
=
EI const
Rys. 1.5 Układ dany
Rozwiązanie
Poszukiwana macierz podatności danego układu składająca się z elementów
F
ij
δ ma
postać
11
12
21
22
δ
δ
δ
δ
⎡
⎤
= ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
F
⎥ (1.17)
Wyszczególnione we wzorze (1.17) składowe wielkości
ik
δ są to odpowiednie prze-
mieszczenia powstające w miejscach
1 2
i
,
=
w wyniku jednostkowych obciążeń w
miejscach i na kierunkach
(indeks oznacza miejsce, a indeks przyczynę).
1 2
k
,
=
i
k
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń wynika symetria ma-
cierzy podatności, a zatem
12
21
δ
δ
=
.
Wyrazy macierzy podatności (1.17) wyznaczymy ze wzoru
F
i
k
ik
S
M
M
dS
EI
δ
⋅
=
∫
(1.18)
W związku z powyższym, należy wyznaczyć kolejno momenty zginające
1
M
i
2
M
w
danym układzie, odpowiednio od
1
1
P
= i
2
1
P
= , co w konsekwencji po zastosowaniu
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 6 -
wzoru (1.18) pozwoli wyznaczyć poszukiwane wartości przemieszczeń w węźle
(porównaj Rys. 1.1 i Rys. 1.5).
(3)
Dany układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, zatem do wyznaczenia poszu-
kiwanych momentów posłużymy się metodą sił.
Układ podstawowy w metodzie sił (Rys. 1.6) utworzymy poprzez odrzucenie więzi
podporowej i zastąpienie jej przez wielkość nadliczbową
1
X
.
Rys. 1.6 Układ podstawowy metody sił
Równanie kanoniczne metody sił możemy zapisać w postaci
(1.19)
11
1
1
0
i
i
i
p
X
δ
δ
⋅
+
=
gdzie indeks i oznacza kolejne siły
1
i
P
= .
Krok 1. Wyznaczymy wykresy momentów zginających dla
1
1
P
= i
1
1
1
X
= (Rys. 1.7) w
układzie podstawowym, a następnie z kanonicznego układu równań metody sił obli-
czymy rzeczywistą wartość nadliczbowej
1
1
X
.
Rysujemy wykresy momentów w układzie podstawowym od jednostkowej nadliczbo-
wej
1
1
M
oraz od obciążenia zewnętrznego
1
p
M
Całkując zgodnie ze wzorem (1.18) otrzymamy współczynniki równania (1.19)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 7 -
Rys. 1.7 Obciążenie
1
1
P
=
Rys. 1.8 Obciążenie
1
1
P
=
- wykresy momentów w układzie podstawowym
od jednostkowej nadliczbowej oraz od obciążenia zewnętrznego
3
1
11
3
a
EI
δ =
(1.20)
3
1
1
2
p
a
EI
δ = −
(1.21)
1
1
1
1
11
1
1
1
3
0
2
p
X
δ
δ
⋅
+
=
⇒
=
X
(1.22)
Krok 2. Wyznaczymy wykresy momentów zginających dla
1
1
P
= i
2
1
1
X
= (Rys. 1.9) w
układzie podstawowym, a następnie z kanonicznego układu równań metody sił obli-
czymy rzeczywistą wartość nadliczbowej
2
1
X
.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 8 -
Rys. 1.9 Obciążenie
2
1
P
=
Rysujemy wykresy momentów w układzie podstawowym od jednostkowej nadliczbo-
wej
2
1
M
oraz od obciążenia zewnętrznego
2
p
M
Całkując zgodnie ze wzorem (1.18) otrzymamy współczynniki równania (1.19)
Rys. 1.10 Obciążenie
2
1
P
=
- wykresy momentów w układzie podstawowym
od jednostkowej nadliczbowej oraz od obciążenia zewnętrznego
3
2
11
3
a
EI
δ =
(1.23)
2
2
1
2
p
a
EI
δ = −
(1.24)
2
2
2
2
11
1
1
1
3
0
2
p
X
X
δ
δ
⋅
+
=
⇒
= a (1.25)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 9 -
i
p
Następnie zgodnie z zasadą superpozycji posługując się zależnością
1
1
i
i
i
M
M X
M
=
⋅
+
(1.26)
wyznaczymy momenty zginające (Rys. 1.11) od
1
1
P
= i
2
1
P
= .
Rys. 1.11 momenty zginające od
1
1
P
=
i
2
1
P
=
Wyrazy macierzy podatności
wyznaczone ze wzoru (1.18) na podstawie Rys. 1.11
można zapisać w następujący sposób.
F
3
11
1 1 1
1
2 1
1 2
2
1
2
7
2 2
3
3 2
2 3
3
2
3
12
a
a
a
a
a a
a
a a
a
EI
EI
δ
⎡
⎤
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
+ ⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
(1.27)
22
1 1 1 1
2 1 1 2
2
5
1
1 1
1
2 2 3
3 2 2 3
3
4
a
a
a
a
EI
EI
δ
⎡
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
⎢⎣
⎦
⎤
⎥
(1.28)
3
12
21
1 1 1
1
2 1 1
2
2
1
3
1
1
2 2
3
3 2 2
3
3
2
4
a
a
a
a
a
a a
EI
EI
δ
δ
⎡
⎤
=
=
⋅
⋅
⋅ ⋅ +
⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⎢
⎥
⎣
⎦
(1.29)
Podstawiając (1.27), (1.28) i (1.29) do (1.17) zapiszemy wynikową, składającą się z
elementów
ij
δ , poszukiwaną postać macierz podatności danego układu
F
2
7
9
9 15
12
a
a
a
a
EI
⎡
⎤
=
⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
F
⎥ (1.30)
Uwaga!
W celu wyznaczenia
11
δ ,
22
δ
,
12
21
δ
δ
=
można zastosować twierdzenia redukcyjne.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 10 -
F
1.3. Przykład
Sprawdzić poprawność związku
(1.31)
1
-
=
K
Dane:
macierz sztywności
2
3
15
9
9
7
2
a
EI
a
a
a
⎡
⎤
−
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
(zob. wzór (1.16)),
macierz podatności
2
7
9
9 15
12
a
a
a
a
EI
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
F
(zob. wzór(1.30)).
Rozwiązanie
Obliczamy wyznacznik macierzy sztywności K
(
)
(
)
( )
2
2
2
3
6
15 7
9
0
2
EI
EI
det
a
a
a
a
⎛
⎞
=
⋅
⋅
− −
=
≠
⎜
⎟
⎝
⎠
K
4
(1.32)
Ponieważ wyznacznik macierzy jest różny od zera (
K
0
det
≠
K
), zatem istnieje ma-
cierz odwrotna
.
1
-
=
F K
( )
2
2
4
-1
2
3
7
9
7
9
9
15
9
15
12
2
6
a
a
a
a
a
EI
a
a
a
EI
a
EI
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
K
= F
F
(1.33)
widać, że związek
jest spełniony.
1
-
=
K
Ponadto poprawność wyników można sprawdzić z warunku
(1.34)
⋅ =
K F I
gdzie – macierz jednostkowa.
I
Dokonamy zatem mnożenia
(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
2
2
2
3
15
9
7
9
9
7
9
15
12
2
1 0
15 7
9
9
15 9
9
15
0 1
9 7
7
9
9
9
15 7
12
2
a
a
a
EI
a
a
a
a
EI
a
a
a
a
a
a
EI
a
a a
a
a
a
a
a
EI
a
⎡
⎤
⎡
⎤
−
⋅ =
⋅
=
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⋅
+
⋅ −
⋅
+ −
⋅
⎡
⎤
=
⋅
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥
− ⋅
+
⋅
⋅ −
+ ⋅
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣
⎦
⎣
⎦
K F
I
(1.35)
Warunek (1.31) jest spełniony.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 11 -
2. Macierz
sztywności i podatności elementu
W analizowanych poniżej elementach występują więzy geometryczne (określone, zero-
we przemieszczenia końców pręta). Należy rozumieć je jako warunki podporowe ukła-
du, z którego elementy te zaczerpnięto.
2.1. Przykład
Metodą jednostkowych stanów obciążeń, poprzez określenie macierzy podatności ele-
mentu
, wyznaczyć macierz sztywności danego elementu
przedstawionego na
Rys. 2.1, względem zaznaczonych przemieszczeń.
e
F
e
K
Rys. 2.1 Dany element
ROZWIĄZANIE
Poszukiwana macierz podatności danego układu składająca się z elementów
F
ij
δ ma
postać
11
12
21
22
e
δ
δ
δ
δ
⎡
⎤
= ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
F
⎥
(2.1)
Wyszczególnione we wzorze (2.1) składowe wielkości
ik
δ są to odpowiednie prze-
mieszczenia powstające w miejscach
1 2
i
,
=
w wyniku jednostkowych obciążeń w
miejscach i na kierunkach
(indeks oznacza miejsce, a indeks przyczynę).
1 2
k
,
=
i
k
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń wynika symetria ma-
cierzy podatności, a zatem
12
21
δ
δ
=
.
Wyrazy macierzy podatności (2.1) wyznaczymy ze wzoru
F
( ) ( )
i
k
ik
S
M
M
dS
EI
δ
⋅
=
∫
(2.2)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 12 -
W miejscu i na kierunkach zaznaczonych na Rys. 2.1 przemieszczeń
i
ϕ i przykła-
damy kolejno obciążenia
oraz
k
v
1
ik
M
=
1
ki
T
= i rysujemy wykresy momentów zginają-
cych od tych jednostkowych obciążeń, odpowiednio:
(
)
(1)
1
ik
M
M
=
(
(2)
1
ki
M
T
=
)
Rys. 2.2 Wykres momentów od obciążenia
1
ik
M
=
Rys. 2.3 Wykres momentów od obciążenia
1
ki
T
=
Na podstawie powyższych rysunków, ze wzoru (2.2) wyznaczymy wyrazy macierzy
podatności elementu zapisanej wcześniej wzorem (2.1), będące przemieszczeniami
od obciążeń jednostkowych.
e
F
Całkując iloczyny (
(1) (1)
M
M
⋅
), (
(1) (2)
M
M
⋅
), (
(2) (2)
M
M
⋅
), otrzymujemy
(
)
11
1
1
1
l
l
EI
EI
δ =
⋅ ⋅ =
(2.3)
2
12
21
1
1
1
2
2
l
l
l
EI
EI
δ
δ
⎛
⎞
=
=
⋅ ⋅ ⋅ =
⎜
⎟
⎝
⎠
(2.4)
3
22
1 1
2
2
3
3
l
l l
l
EI
EI
δ
⎛
⎞
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⎜
⎟
⎝
⎠
(2.5)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 13 -
Podstawiając(2.3), (2.4) i (2.5) do (2.1) zapiszemy wynikową, składającą się z elemen-
tów
ij
δ , poszukiwaną postać macierz podatności danego układu
F
11
12
2
21
22
6
3
3
2
6
e
l
l
l
l
EI
δ
δ
δ
δ
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
F
⎥ (2.6)
Można teraz wyznaczyć wyznacznik macierzy podatności elementu.
Obliczymy wyznacznik macierzy podatności
( )
4
2
0
12
e
l
det
EI
=
F
≠
0
e
det
(2.7)
Wyznacznik macierzy podatności elementu jest różny od zera (
≠
F
e
K
e
F
), zatem ma-
cierz sztywności
wyznaczymy obliczając odwrotność macierzy podatności elemen-
tu z zależności
3
1
3
2 3
72
3
6
-
e
e
l
l
EI
l
l
l
⎡
⎤
−
=
=
⎢−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
F
⎥ (2.8)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 14 -
2.2. Przykład
Przekształcając macierz sztywności elementu belkowego
wyznaczyć macierz po-
datności elementu (Rys. 2.4) względem zaznaczonych obciążeń.
e
K
e
F
Rys. 2.4 Dany element
ROZWIĄZANIE
W rozwiązaniu przeprowadzimy kolejno modyfikację i kondensację macierzy sztywno-
ści elementu belkowego z pominięciem wpływu sił podłużnych
(4 4)
e
×
K
(zob. załącznik)
a następnie obliczymy macierz podatności jako odwrotność macierzy sztywności
.
1
-
e
e
=
F
K
Modyfikując (zob. załącznik) pełną macierz sztywności elementu belkowego
względem
(4 4)
e
×
K
0
k
ϕ = otrzymujemy macierz
i
2
3
12
6
12
6
4
6
12
6
12
e
l
EI
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
=
⎢
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
K
−
⎥
}
(2.9)
zapisaną względem wektora uogólnionych przemieszczeń
(2.10)
{
T
e
i
i
k
v ,
,
v
ϕ
=
q
Następnie przeprowadzamy kondensację (zob. załącznik) macierzy i
(3×3)
e
K
względem
otrzymując macierz sztywności
0
ki
T
=
(2 2)
e
×
K
zapisaną względem
{
}
T
e
i
i
v ,
ϕ
=
q
{
}
2
2
3
3
3
12
6
0
0
12
1
12
6
6
4
0
1
6
12
e
l
EI
EI
EI
,
l
l
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
⎡
−
⎡
⎤ ⎡ ⎤
=
−
⋅
⋅ −
−
=
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥ ⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎣
⎦
⎣
K
⎤
⎥
⎥⎦
e
(2.11)
Widać, że wyznacznik macierzy sztywności
jest równy zero (
), zatem
poszukiwana macierz podatności wyrażona związkiem
nie istnieje.
(2×2)
e
K
0
e
det
=
K
e
F
1
-
e
=
F
K
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 15 -
2.3. Przykład
Wyznaczyć macierz sztywności
i podatności
elementu przedstawionego na Rys.
2.5 względem zaznaczonych przemieszczeń i obciążeń. Zadanie rozwiązać z wykorzy-
staniem równania różniczkowego linii ugięcia.
e
K
e
F
Rys. 2.5 Dany element
ROZWIĄZANIE
Wyznaczenie macierzy sztywności
(2 2)
e
×
K
równoważne jest z wyznaczeniem poszcze-
gólnych jej składowych.
11
12
21
22
e
r
r
r
r
⎡
⎤
= ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥ (2.12)
Wielkości
w powyższym wzorze (2.12) są to odpowiednie reakcje powstające w
nałożonych więzach
powstałe od jednostkowych przemieszczeń w miejscach i
na kierunkach
(pierwszy indeks określa miejsce, a drugi przyczynę).
ik
r
1 2
i
,
=
1 2
k
,
=
Znane jest równanie różniczkowe linii ugięcia osi danego elementu (2.13) (obciążenie
). Całkując je czterokrotnie otrzymujemy równanie linii ugięcia
( )
0
p x
=
( )
y x .
( )
4
4
0
IV
d y x
y
dx
=
= (2.13)
( )
3
1
3
III
d y x
y
C
dx
=
=
(2.14)
( )
2
1
2
II
d y x
y
C x C
dx
=
=
⋅ +
2
(2.15)
( )
2
1
2
2
I
dy x
x
y
C
C
x
C
dx
=
=
⋅
+
⋅ +
3
(2.16)
( )
3
2
1
2
3
6
2
x
x
y x
C
C
C
x C
=
⋅
+
⋅
+
⋅ +
4
(2.17)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 16 -
Uwaga!
W dalszych rozważaniach należy zwrócić uwagę na znaki sił przywęzłowych ponieważ
siły
oraz
ik
T
ki
M
są przeciwnie skierowane do „tradycyjnie” oznaczanych sił we-
wnętrznych, stąd należy dokonać zamiany
0
ik
x
T
T
=
= −
oraz
ki
x l
M
M
=
= −
.
W celu wyznaczenia reakcji
,
, rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
11
r
21
r
(
0
1
i
x
v
y
=
= ⇔
=
)
1
przedstawiony na Rys. 2.6.
Rys. 2.6 Stan przemieszczenia (wymuszenia)
1
i
v
=
Przy założeniu stanu przemieszczenia
1
i
v
=
, warunki brzegowe są następujące
0
0
ik
x
M
M
=
= ⇔
=
0
(2.18)
0
1
i
x
v
y
=
= ⇔
=
1
(2.19)
0
k
x l
v
y
=
= ⇔
=
0
(2.20)
0
I
k
x l
y
ϕ
=
= ⇔
= 0
(2.21)
Podstawiając powyższe warunki brzegowe do równań (2.15), (2.16) i (2.17) otrzymamy
(
)
1
2
2
2
0
0
0
0
II
x
x
x
M
EI y
EI
C x
C
EI C
C
=
=
=
= −
⋅
= −
⋅
⋅ +
=
⋅
⇒
=
(2.22)
3
2
1
2
3
4
4
0
0
1
6
2
x
x
x
x
y
C
C
C
x C
=
=
⎛
⎞
=
⇒
⋅
+
⋅
+
⋅ +
=
⇒
=
⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
C
(2.23)
3
2
1
2
3
4
1
3
2
3
1
2
3
3
0
0
6
2
3
0
0
2
2
x l
x l
I
x l
x l
x
x
y
C
C
C
x C
C
l
x
C
y
C
C
x C
l
=
=
=
=
⎫
⎛
⎞
=
⇒
⋅
+
⋅
+
⋅ +
= ⎪
⎜
⎟
=
⎝
⎠
⎪
⇒
⎬
⎛
⎞
⎪
= −
=
⇒
⋅
+
⋅ +
=
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎭
(2.24)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 17 -
Podstawiając obliczone powyżej stałe (
) możemy zapisać reakcje w wię-
zach.
1
2
3
4
C , C , C , C
(
)
11
1
3
0
0
3
III
ik
x
x
EI
r
T
T
EI y
EI C
l
=
=
=
= −
= − −
⋅
=
⋅
=
0
x
=
(2.25)
(
)
(
)
21
1
2
2
3
II
ki
x l
x l
x l
EI
r
M
M
EI y
EI C x C
l
=
=
=
=
= −
= − −
⋅
=
⋅ +
=
(2.26)
W celu wyznaczenia reakcji
,
, rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
12
r
22
r
(
1
I
k
x l
y
ϕ
=
= ⇔
=
)
1
przedstawiony na Rys. 2.7.
Rys. 2.7 Stan przemieszczenia (wymuszenia)
1
k
ϕ
=
Przy założeniu stanu przemieszczenia
1
k
ϕ
=
, warunki brzegowe są następujące
0
0
ik
x
M
M
=
= ⇔
= 0
(2.27)
0
0
i
x
v
y
=
= ⇔
= 0
(2.28)
0
k
x l
v
y
=
= ⇔
= 0
(2.29)
1
I
k
x l
y
ϕ
=
= ⇔
= 1
(2.30)
Podstawiając powyższe warunki brzegowe do równań (2.15), (2.16) i (2.17) otrzymamy
(
)
1
2
2
2
0
0
0
0
II
x
x
x
M
EI y
EI
C x C
EI C
C
=
=
=
= −
⋅
= −
⋅
⋅ +
= −
⋅
⇒
=
(2.31)
3
2
1
2
3
4
4
0
0
0
6
2
x
x
x
x
y
C
C
C
x
C
=
=
⎛
⎞
=
⇒
⋅
+
⋅
+
⋅ +
=
⇒
=
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
C
(2.32)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 18 -
3
2
1
2
3
4
1
2
2
3
1
2
3
3
0
0
6
2
1
1
1
2
2
x l
x l
I
x l
x l
x
x
y
C
C
C
x
C
C
l
x
C
y
C
C
x
C
=
=
=
=
⎫
⎛
⎞
=
⇒
⋅
+
⋅
+
⋅ +
= ⎪
⎜
⎟
=
⎝
⎠
⎪
⇒
⎬
⎛
⎞
⎪
= −
=
⇒
⋅
+
⋅ +
=
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎭
(2.33)
Podstawiając obliczone powyżej stałe (
) możemy zapisać reakcje w wię-
zach.
1
2
3
4
C , C , C , C
(
)
12
1
2
0
0
3
III
ik
x
x
EI
r
T
T
EI y
EI C
l
=
=
=
= −
= − −
⋅
=
⋅
=
0
x
=
(2.34)
(
)
(
)
22
1
2
3
II
ki
x l
x l
x l
EI
r
M
M
EI y
EI C x C
l
=
=
=
=
= −
= − −
⋅
=
⋅ +
=
(2.35)
Uwaga!
Warto zauważyć, że z twierdzenia o wzajemności reakcji wynika symetria macierzy
sztywności, a zatem
.
12
21
r
r
=
Macierz sztywności otrzymujemy zbierając jej składowe wyznaczone wcześniej we
wzorach (2.25), (2.26) oraz ,(2.34) (2.35).
2
3
3 3
3 3
e
l
EI
l
l
l
⎡
⎤
=
⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
e
(2.36)
Widać, że wyznacznik macierzy sztywności
jest równy zero (
), zatem
macierz podatności wyrażona związkiem
e
K
0
e
det
=
K
e
F
1
-
e
=
F
K
nie istnieje.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 19 -
2.4. Przykład
Wyznaczyć macierz sztywności
danego elementu kratownicy płaskiej (Rys. 2.8)
względem zaznaczonych przemieszczeń i odpowiadających im obciążeń. Zadanie roz-
wiązać posługując się równaniem różniczkowym opisującym wydłużenie osi tego ele-
mentu.
e
K
Rys. 2.8 Element kratowy
ROZWIĄZANIE
Wyznaczenie macierzy sztywności
(2 2)
e
×
K
równoważne jest z wyznaczeniem poszcze-
gólnych jej składowych. Wielkości
wyznaczymy analogicznie jak w poprzednim
przykładzie.
ik
r
11
12
21
22
e
r
r
r
r
⎡
⎤
= ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
(2.37)
Równanie różniczkowe opisujące wydłużenie osi elementu pod wpływem siły osiowej
ma postać
d ( )
d
u x
N
x
EA
=
(2.38)
Całkując powyższe równanie otrzymamy
1
( )
N
u x
x
C
EA
=
⋅ +
(2.39)
Uwaga!
Z warunku równowagi wynika poniższa zależność.
(2.40)
1
N
N
= −
2
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 20 -
1
1
W celu wyznaczenia reakcji
,
, rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
przedstawiony na Rys. 2.8.
11
r
21
r
1
1
u
=
Uwzględniając warunki brzegowe otrzymamy
(2.41)
1
1
(
0) 1
u
u x
C
= ⇔
=
=
⇒
=
2
1
0
(
)
1 0
N
N
u
u x
l
l
C
l
N
EA
EA
l
= ⇔
= =
⋅ +
=
⋅ + =
⇒
= −
EA
(2.42)
Możemy zatem obliczyć poszukiwane reakcje
11
1
21
2
EA
r
N
N
l
EA
r
N
N
l
=
= − =
=
=
= −
(2.43)
W celu wyznaczenia reakcji
,
, rozpatrujemy stan przemieszczenia (wymuszenia)
przedstawiony na Rys. 2.8.
12
r
22
r
2
1
u
=
Uwzględniając warunki brzegowe otrzymamy
(2.44)
1
0
(
0) 0
u
u x
C
= ⇔
=
=
⇒
=
1
0
2
1
1
(
)
1
N
N
u
u x
l
l
C
l
N
EA
EA
l
= ⇔
= =
⋅ +
=
⋅ =
⇒
=
EA (2.45)
Możemy zatem obliczyć poszukiwane reakcje
12
1
22
2
EA
r
N
N
l
EA
r
N
N
l
=
= − = −
=
=
=
(2.46)
Wyznaczona macierz sztywności jest macierzą sztywności płaskiego elementu kratowe-
go i ma postać
1
1
1
1
e
EA
l
−
⎡
⎤
=
⎢−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥ (2.47)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 21 -
3. Metoda
Przemieszczeń w zapisie macierzowym
3.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w układzie
przedstawionym na Rys. 3.1. Pominąć wpływ odkształceń podłużnych prętów.
Dane:
,
, (
16 [kN/m]
q
=
2 [m]
l
=
P
ql
=
,
2
4
M
ql
=
),
.
2
1000 [kNm ]
EI
=
Rys. 3.1 Dany układ
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 3.2 Dyskretyzacja układu
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 22 -
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych - w tym przy-
padku mamy jedną niewiadomą (mimo tego stosujemy formalny zapis wektorowy z
oznaczeniem transpozycji).
(3.1)
{ }
T
2
ϕ
=
q
Dla każdego elementu o numerze
definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
( )
j
j
D i sił przywęzłowych
j
S , oraz tworzymy macierz sztywności
j
K . Ponadto, wyzna-
czamy wektory
p
j
S
sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
Wektory
j
D
,
j
S
i
p
j
S
związane są zależnością
p
+
j
j
j
=
⋅
S
K D S
j
(3.2)
Uwaga!
W zadaniu podano od razu skondensowane (zob. załącznik) macierze sztywności ele-
mentów.
Element
1
.
Rys. 3.3 Element
1
- siły przywęzłowe
(3.3)
{
T
1
1
2
2
v , v ,
ϕ
=
D
}
}
(3.4)
{
T
1
12
21
21
T ,
T ,
M
=
S
3
3
2
0-1
1
3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
=
−
−
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
⎥
(3.5)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 23 -
Rys. 3.4 Element
1
– wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
{
}
T
2
T
p
1
3
5
,
,
12,
20, 8
[kN]
8
8
8
ql
ql
ql
⎧
⎫
= −
−
= −
−
⎨
⎬
⎩
⎭
S
(3.6)
Element .
2
Rys. 3.5 Element
2
- siły przywęzłowe
(3.7)
{
T
2
2
2
3
v ,
,
v
ϕ
=
D
}
}
(3.8)
{
T
2
23
23
32
T ,
M ,
T
=
S
3
2
3
1-0
2
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
=
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
2
⎥
−
⎥
(3.9)
Rys. 3.6 Element
2
– wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 24 -
( )
( )
{
}
T
T
2
2
p
p
p
2
2
2
T
2
T
11
3
5
3
3
16
16
16
8
8
8
5
11
10
4
22
[kN]
16 16
16
ql
ql
ql
ql ql
ql
p
M
,
,
,
,
ql ql
ql
,
,
,
,
⎧
⎫
⎧
=
+
= −
−
−
+
−
⎨
⎬
⎨
⎩
⎭
⎩
⎧
⎫
= −
−
= −
− −
⎨
⎬
⎩
⎭
S
S
S
⎫
=
⎬
⎭
(3.10)
Poszukujemy niewiadomego przemieszczenia
2
ϕ czyli formalnie wektora , porównaj
z (3.1). Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody
przemieszczeń.
q
(3.11)
⋅ =
K q P
gdzie:
K
– globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Macierz sztywności danego układu statycznego zawartą w równaniu (3.11) otrzymuje-
my sumując odpowiednie składniki macierzy sztywności elementów układu.
(3.12)
1 1
1
2
(3,3)
(2,2)
(
)
k
k
×
=
+
K
gdzie
oznacza element w -tym wierszu i -tej kolumnie (na -tej pozycji na
diagonali) macierzy
(
)
j
k n,n
n
n
n
j
K
.
3 3
6
3000 [kNm]
EI
EI
l
l
l
⎡
⎤
⎡ ⎤
=
+
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
K
(3.13)
Wektor obciążeń węzłowych z równania (3.11) otrzymujemy sumując momenty przy-
węzłowe działające w przekrojach przy węźle
(2)
{ }
(
)
{
}
{ }
2
p
p
2
21
23
4
[kNm]
16
ql
M
M
M
⎧
⎫
=
= −
+
= −
= −
⎨
⎬
⎩
⎭
P
(3.14)
Rys. 3.7 Wypadkowe obciążenie działające na węzeł
Aby rozwiązać równanie (3.11) można zapisać
2
3
-1
3
1 33333 10
[rad]
6
16
96
l
ql
ql
.
EI
EI
−
⎧
⎫ ⎡
⎤
⎡
⎤
=
⋅
⋅ −
= −
= −
⋅
⎨
⎬ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎩
⎭ ⎣
⎦
q K P =
(3.15)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 25 -
1
Wyznaczenie sił przywęzłowych w elementach.
Element
1
.
(3.16)
p
1
1
1
+
=
⋅
S
K D S
3
3
2
1
3
3
2
3
2
2
2
2
3
3
3
3
0
8
3
3
3
5
0
8
1
3
3
3
96
8
1
3
13
32 8
32
1
5
19
32 8
32
3
1
1
32 8
ql
l
l
l
EI
ql
l
l
l
ql
ql
EI
l
l
l
ql
ql
ql
ql
ql
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
=
−
−
⋅
+ −
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛
⎞
=
−
= −
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛
⎞
−
+
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⎦
S
2
13
[kN]
19
[kN]
6
[kNm
32
ql
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ = −
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
]
2
(3.17)
Element .
2
(3.18)
p
2
2
2
+
=
⋅
S
K D S
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
5
0
16
3
3
3
1
96
16
11
3
3
3
0
16
1
5
11
32 16
32
1
1
32 16
1
11
32 16
ql
l
l
l
ql
EI
ql
l
EI
l
l
ql
l
l
l
ql
ql
ql
ql
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
⋅ −
+ −
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛
⎞
=
−
−
= −
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎢
⎥
⎛
⎞
−
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⎦
S
2
11
[kN]
3
6
[kNm
32
21
[kN]
21
32
ql
ql
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ = −
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
]
(3.19)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 26 -
Wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 3.8 Wynikowe wykresy sił wewnętrznych
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 27 -
3.2. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce
ciągłej przedstawionej na Rys. 3.9.
Dane:
,
,
.
3 [kN/m]
q
=
8 [m]
l
=
2
53333 [kNm ]
EI
=
Rys. 3.9 Dany układ
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu.
Przyjmujemy globalny układ współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, nume-
rujemy elementy przyjmując lokalne układy współrzędnych.
Rys. 3.10 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych.
(3.20)
{
T
2
3
,
ϕ ϕ
=
q
}
Dla każdego elementu o numerze
definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
( )
j
j
D i sił przywęzłowych
j
S , oraz tworzymy macierz sztywności
j
K . Ponadto, wyzna-
czamy wektory
p
j
S sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
Wektory
j
D ,
j
S i
p
j
S
związane są zależnością
p
+
j
j
j
=
⋅
S
K D S
j
(3.21)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 28 -
Uwaga!
W zadaniu podano od razu skondensowane (zob. załącznik) macierze sztywności ele-
mentów.
Element 1 .
Rys. 3.11 Element
1
– siły przywęzłowe
(3.22)
{
T
1
1
2
2
v , v ,
ϕ
=
D
}
}
(3.23)
{
T
1
12
21
21
T ,
T ,
M
=
S
3
3
2
0-1
1
3
3
2
2
2
24
24
12
24
24
12
12
12
6
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
=
−
−
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
⎥ (3.24)
Rys. 3.12 Element
1
– wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
{
T
2
T
p
1
9
9
,
,
13.5,
13.5,
6
[kN]
16
16
32
ql
ql
ql
⎧
⎫
=
−
=
−
⎨
⎬
⎩
⎭
S
}
(3.25)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 29 -
Element .
2
Rys. 3.13 Element – siły przywęzłowe
2
(3.26)
{
T
2
2
2
3
3
v ,
,
v ,
ϕ
ϕ
=
D
}
}
(3.27)
{
T
2
23
23
32
32
T ,
M ,
T ,
M
=
S
3
2
3
2
2
2
1-1
2
3
2
3
2
2
2
24
12
24
12
12
8
12
4
E
24
12
24
12
12
4
12
8
l
l
l
l
l
l
l
I
l
l
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎢
⎥
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
l
⎥
(3.28)
Rys. 3.14 Element – wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
2
{
}
T
2
2
T
p
2
12
16
12
16
[kN]
2
12
2
12
ql
ql
ql
ql
,
,
,
,
,
,
⎧
⎫
= −
−
−
= −
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
S
(3.29)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 30 -
Element
3
.
Rys. 3.15 Element - siły przywęzłowe
3
(3.30)
{
T
3
3
3
4
v ,
,
v
ϕ
=
D
}
}
(3.31)
{
T
3
34
34
43
T ,
M ,
T
=
S
3
2
3
1-0
3
2
3
2
3
24
12
24
12
6
12
24
12
24
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
=
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
2
⎥
−
⎥
(3.32)
Rys. 3.16 Element – wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
3
{
T
2
T
p
3
11
3
5
,
,
16.5,
18,
7.5
[kN]
16
32
16
ql
ql
ql
⎧
⎫
= −
−
−
= −
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
S
}
(3.33)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 31 -
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze
q
(zob. (3.20)).
Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody prze-
mieszczeń.
(3.34)
⋅ =
K q P
gdzie:
K
– globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Macierz sztywności danego układu statycznego zapisaną w równaniu (3.34) wyznaczy-
my dokonując sumowania (agregacji) macierzy sztywności elementów układu.
1
2
2
2
2
3
(3,3)
(2,2)
(2,4)
(4,2)
(4,4)
(2,2)
k
k
k
k
k
k
+
⎡
⎤
= ⎢
+
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
(3.35)
gdzie
oznacza element w -tym wierszu i -tej kolumnie macierzy sztywno-
ści
( , )
j
k m n
m
n
j
K
.
8+6
4
14
4
[kNm]
4
8+6
4 14
EI
EI
l
l
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
K
(3.36)
Wektor
z równania (3.34) wypadkowych obciążeń działających na węzły otrzymu-
jemy sumując momenty przywęzłowe działające w przekrojach przy węzłach
i
(zob. Rys. 3.10).
P
(2)
(3)
{
}
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
T
T
p
p
p
p
2
3
21
23
32
34
T
T
2
2
2
2
T
3 8
8 9
5
10 2
[kNm]
96
96
96
96
M ,
M
M
M
,
M
M
ql
ql
ql
ql
,
,
,
=
= −
+
−
+
=
⎧
⎫
− +
− +
⎧
⎫
⎪
⎪
=
=
=
⎨
⎬
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
⎩
⎭
P
(3.37)
Aby rozwiązać równanie (3.34) wyznaczymy na wstępie wyznacznik macierzy sztyw-
ności.
180
0
EI
det
l
=
K
≠ (3.38)
W konsekwencji tego, że wyznacznik macierzy sztywności jest różny od zera
(
) możemy zapisać
0
det
≠
K
2
3
-1
5
14
4
5
33
11
10
[m]
4 14
1
3
1
180
96
8640
l
ql
ql
EI
EI
−
−
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
=
⋅ =
⋅
=
=
⋅
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
⎢
⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
q K P
(3.39)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 32 -
1
Wyznaczenie wynikowych sił przywęzłowych w elementach.
Element 1 .
(3.40)
p
1
1
1
+
=
⋅
S
K D S
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
2
3
24
24
12
9
16
0
24
24
12
9
0 +
2880
16
11
1
12
12
6
32
132 1620
146
132 1620
146
2880
240
66 90
131
ql
l
l
l
ql
EI
ql
EI
l
l
l
ql
l
l
l
ql
ql
(
)l
⎡
⎤
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
−
−
⋅
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
+
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
−
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
+
⎣
⎦
⎣
⎦
S
14.6
[kN]
14.6 [kN]
10.4
[kNm]
⎡
⎤
⎢
⎥
= −
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Element .
2
(3.41)
p
2
2
2
+
=
⋅
S
K D S
2
3
2
3
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
3
24
12
24
12
1
2
0
12
8
12
4
1
11
12
+
24
12
24
12
0
1
2880
2
1
12
4
12
8
1
12
132 12 1440
88
2880
ql
l
l
l
l
ql
l
l
l
l
ql
EI
EI
ql
l
l
l
l
ql
l
l
l
l
ql
⎡
⎤
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⋅
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
−
−
−
=
S
=
110 11
[kN]
4 240
131
10.4
[kNm]
132 12 1440 130
13
[kN]
240
44 8 240
231
18.4
[kNm]
ql
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
+
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
− +
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 33 -
3
Element
3
.
(3.42)
p
3
3
3
+
=
⋅
S
K D S
3
2
3
3
2
3
2
2
3
2
3
3
24
12
24
11
16
0
12
6
12
3
1
+
2880
32
0
5
24
12
24
16
12 1980
166
(6+270)
231
2880
240
12 900
ql
l
l
l
ql
EI
ql
l
EI
l
l
ql
l
l
l
ql
ql
l
⎡
⎤
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
−
⋅
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
− −
−
⎡
⎤
⎢
⎥
=
−
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
S
16.6
[kN]
18.4
[kN]
74
7.4
[kNm]
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎣
⎦
=
Wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 3.17 Wykresy momentów zginających i sił tnących
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 34 -
4. Macierzowa
Metoda
Przemieszczeń
(ortogonalna siatka pretów) – element belkowy
4.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił tnących i momentów zgina-
jących w układzie przedstawionym na Rys. 4.1. Pominąć wpływ odkształceń podłuż-
nych prętów.
Dane:
,
,
237 [kN/m]
q
=
1
7.5 [m]
l
=
2
4.5 [m]
l
=
,
3.5 [m]
h
=
,
.
7
2
1.0 10 [kN/m ]
E
=
⋅
Przekrój rygla
, przekrój słupów
25
25 50 [cm]
×
30 [cm]
×
.
Obliczone momenty bezwładności:
rygla
,
4
260417 [cm ]
r
J
=
słupów
.
4
56250 [cm ]
s
J
=
Rys. 4.1
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 35 -
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 4.2 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych.
{
T
2
3
,
}
ϕ ϕ
=
q
(4.1)
Dla każdego elementu o numerze
definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
( )
j
j
D i sił przywęzłowych
j
S , oraz tworzymy macierz sztywności
j
K . Ponadto, wyzna-
czamy wektory
p
j
S
sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
Wektory
j
D
,
j
S
i
p
j
S
związane są zależnością
p
+
j
j
j
=
⋅
S
K D S
j
(4.2)
Rys. 4.3 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
(4.3)
{
T
,
,
,
j
i
i
k
k
v
v
ϕ
ϕ
=
D
}
}
(4.4)
{
T
,
,
,
j
ik
ik
ki
ki
T
M
T
M
=
S
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 36 -
Budowa macierzy sztywności
j
K
elementów wykonywana jest na podstawie cech prę-
tów, które zawiera Tabela 4.1 (CEPR).
EI
L
Numer pręta
(węzły)
[kNm
2
] [m]
1 (1–2)
2625
3.5
2 (2–3)
26042
7.5
3 (3–4)
2625
3.5
4 (3–5)
26042
7.5
Tabela 4.1
Oznaczenia:
– sztywność na zginanie, – długość pręta.
EI
L
Wyznaczamy wektory sił przywęzłowych
p
j
S
od obciążeń międzywęzłowych (przęsło-
wych).
Uwaga!
Niezerowe wielkości w
p
j
S
występują jedynie w przypadku elementów
2
i .
4
Element . Wektor
.
2
p
2
S
Rys. 4.4 Element
2
– wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
{
}
{
}
T
p
p
p
p
p
2
23
23
32
32
T
2
2
T
,
,
,
,
,
,
888.75,
1111,
888.75, 1111
2
12
2
12
T
M
T
M
ql
ql
ql
ql
=
=
⎧
⎫
= −
−
−
= −
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
S
(4.5)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 37 -
Element . Wektor
.
4
p
4
S
Rys. 4.5 Element
4
– wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
{
}
{
}
T
p
p
p
p
p
4
35
35
53
53
T
2
T
,
,
,
5
3
,
,
,
0
666.5,
600,
400, 0
8
8
8
T
M
T
M
ql
ql
ql
=
=
⎧
⎫
= −
−
−
= −
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
S
(4.6)
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze
q
Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody prze-
mieszczeń.
(4.7)
⋅ =
K q P
gdzie:
K
– globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Wektor
P
wypadkowych obciążeń działających na węzły.
(4.8)
{
}
(
)
{
}
{
T
T
T
p
p
p
3
5
23
32
35
,
,
1111,
511
M
M
M
M
M
=
= −
−
+
=
−
P
}
Wektory
j
LM
alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze
q
j
D
.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 38 -
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 4.2 (ALOK).
i
k
Numer pręta
(węzły)
v
ϕ
v
ϕ
1 (1–2)
0
0
0
1
2 (2–3)
0
1
0
2
3 (3–4)
0
2
0
0
4 (3–5)
0
2
0
0
Tabela 4.2
Rozwiązując równanie (4.7) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia.
(4.9)
-1
=
⋅
q K P
Siły przywęzłowe w elementach otrzymujemy z równania (4.2).
ALGORYTM ROZWIĄZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela wektorów alokacji
LM
,
tabela
sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych
(SILY),
p
S
wektor
obciążeń węzłowych P .
1.
Inicjacja globalnej macierzy sztywności
=
K O .
2. Kolejne
dla
(w pętli po elementach):
1,
e
j
=
l
- obliczenie macierzy sztywności elementu
j
K wg tabeli CEPR,
- agregacja
j
K do wg tabeli ALOK.
K
3. Obliczenie
.
-1
=
⋅
q K P
4. Kolejne
dla
(w pętli po elementach):
1,
e
j
=
l
- obliczenie
j
K wg tabeli CEPR,
- ekstrakcja (wydzielenie)
j
D z wg tabeli ALOK,
q
- obliczenie sił przywęzłowych
p
=
+
j
j
j
⋅
S K D S
j
.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 39 -
Wykresy sił wewnętrznych (Rys. 4.6, Rys. 4.7)
Rys. 4.6 Wykres sił tnących
Rys. 4.7 Wykres momentów zginających
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 40 -
4.2. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykres momentów zginających w belce
ciągłej poddanej działaniu pionowego przemieszczenia podpory
Dane:
,
2.5 [m]
a
=
0.01[m]
δ
=
,
.
2
6000 [kNm ]
EI
=
Rys. 4.8 Dany układ
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 4.9 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) przemieszczeń węzłowych.
(4.10)
{
T
2
3
4
,
,
ϕ
ϕ
ϕ
=
q
}
Dla każdego elementu o numerze
definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
( )
j
j
D i sił przywęzłowych
j
S , oraz tworzymy macierz sztywności
j
K .
Wektory
j
D i
j
S
związane są zależnością
j
j
=
⋅
S
K D
j
(4.11)
Rys. 4.10 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 41 -
}
}
(4.12)
{
T
,
,
,
j
i
i
k
k
v
v
ϕ
ϕ
=
D
(4.13)
{
T
,
,
,
j
ik
ik
ki
ki
T
M
T
M
=
S
Budowa macierzy sztywności
j
K elementów wykonywana jest na podstawie cech prę-
tów, które zawiera Tabela 4.3 (CEPR).
EI
L
Numer pręta
(węzły)
[kNm
2
] [m]
1 (1–2)
12000
10.0
2 (2–3)
4800
8.0
3 (3–4)
4800
8.0
4 (4–5)
6000
7.5
Tabela 4.3
Oznaczenia:
– sztywność na zginanie, – długość pręta.
EI
L
Ponadto, wyznaczamy wektory
j
δ
S sił przywęzłowych od obciążenia przemieszczeniem
podpory.
Uwaga!
Niezerowe wielkości w
j
δ
S występują jedynie w przypadku elementów
1
i .
2
Ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń (załącznik) otrzymujemy.
Element
1
.
Rys. 4.11 Element 1 – deformacja i siły przywęzłowe
(4.14)
{
T
1
12
12
21
21
,
,
,
T
M
T
M
δ
δ
δ
δ
δ
=
S
}
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 42 -
(
)
2
12
2
12
3
1
3
3
3
0.18 [kN]
v
EI
T
l
l
l
l
ϕ ψ
δ
µ
µ
δ
+
⎛
⎞
= −
=
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
21
12
0.18 [kN]
T
T
δ
δ
= −
= −
12
0
M
δ
=
(
)
2
21
2
12
2
3
3
3
1.8 [
v
EI
M
l
l
δ
µ ϕ ψ
µ
δ
⎛
⎞
=
+
= −
= −
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
kNm]
Element .
2
Rys. 4.12 Element 2 – deformacja i siły przywęzłowe
(4.15)
{
T
2
23
23
32
32
,
,
,
T
M
T
M
δ
δ
δ
δ
δ
=
S
}
(
)
2
3
23
2
23
3
2
2
1
12
6
6
1.41 [kN]
v
EI
T
l
l
l
l
ϕ ϕ
ψ
δ
µ
µ
δ
+
+
⎛
⎞
=
=
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
32
23
1.41 [kN]
T
T
δ
δ
= −
= −
(
)
2
23
2
3
23
2
3
6
2
2
3
2
5.625 [kNm]
v
EI
M
l
l
δ
µ ϕ ϕ
ψ
µ
δ
⎛
⎞
=
+
+
=
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
32
23
5.625 [kNm]
M
M
δ
δ
=
=
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze q (zob. (4.10)).
Należy zatem rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody prze-
mieszczeń.
(4.16)
⋅ =
K q P
gdzie: K – globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Wektor
z równania (4.16) wypadkowych obciążeń działających na węzły otrzymu-
jemy sumując momenty przywęzłowe działające w przekrojach przy węzłach
i
P
(2)
(3)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 43 -
(4.17)
{
}
(
)
{
}
{
}
T
T
T
2
3
4
21
23
32
,
,
,
, 0
3.825, 5.625, 0
M
M
M
M
M
M
δ
δ
δ
=
= −
+
−
= −
−
P
Wektory
j
LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze
q
j
D .
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 4.4 (ALOK).
i k
Numer pręta
(węzły)
v
ϕ
v
ϕ
1 (1–2)
0
0
0
1
2 (2–3)
0
1
0
2
3 (3–4)
0
2
0
3
4 (4–5)
0
3
0
0
Tabela 4.4
Rozwiązując równanie (4.16) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia.
(4.18)
-1
=
⋅
q K P
Siły przywęzłowe w prętach wyznaczamy z zależności (4.11).
ALGORYTM ROZWIĄZANIA ZADANIA
Algorytm jest podobny do algorytmu z poprzedniego przykładu. W tym przypadku
jednak, nie musimy w ostatnim kroku algorytmu (obliczenie sił przywęzłowych) doda-
wać wektorów sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych, gdyż siły te są zero-
we.
Wykresy momentów prezentuje Rys. 4.13.
Rys. 4.13 Wykres momentów zginających
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 44 -
4.3. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć wykresy sił tnących i momentów zgina-
jących w układzie pokazanym na Rys. 4.14, pominąć wpływ odkształceń podłużnych
prętów.
Dane:
,
,
.
10 [kN]
P
=
6 [m]
l
=
3
2
36 10 [kNm ]
EI
=
⋅
Rys. 4.14 Dany układ
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 4.15 Dyskretyzacja układu
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 45 -
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) uogólnionych przemieszczeń węzłowych
Ze względu na przyjęte założenie o pominięciu wpływu sił normalnych, przyjmujemy,
że przemieszczenia poziome węzłów i są sobie równe
2
4
2
4
u
u
u
=
= .
(4.19)
{
T
2
4
,
,
u
ϕ
ϕ
=
q
}
Dla każdego elementu o numerze
definiujemy wektory przemieszczeń węzłowych
( )
j
j
D i sił przywęzłowych
j
S , oraz tworzymy macierz sztywności
j
K .
Wektory
j
D i
j
S
związane są zależnością
j
j
=
⋅
S
K D
j
(4.20)
Rys. 4.16 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
(4.21)
{
T
,
,
,
j
i
i
k
k
v
v
ϕ
ϕ
=
D
}
{
}
T
1
2
3
4
,
,
,
j
ik
ik
ki
ki
T
M
T
M
=
S
(4.22)
Uwaga!
W tym przypadku w implementacji numerycznej będziemy stosowali procedurę generu-
jącą macierz sztywności elementu ramowego
(6 6)
e
×
K
uwzględniającą wpływ sił normal-
nych, dowolnie zorientowanego na płaszczyźnie.
Pociąga to za sobą konieczność rozszerzenia tablic CEPR i ALOK o (porównaj z wcze-
śniejszymi przykładami.
Budowa macierzy sztywności
j
K elementów wykonywana jest na podstawie cech prę-
tów, które zawiera Tabela 4.5 (CEPR).
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 46 -
Przyjęto
EA
EI
L
Numer
pręta
(węzły)
KH
[kN] [kNm
2
] [m]
1 (1–2)
01
1.0e+8
36000
6.0
2 (2–3)
11
1.0e+8
36000
6.0
3 (2–4)
11
1.0e+8
36000
6.0
4 (5–4)
11
1.0e+8
36000
6.0
Tabela 4.5
Oznaczenia: KH – symbol połączenia pręta z węzłami (1-utwierdzenie, 0-przegub),
– sztywność podłużna pręta,
– sztywność na zginanie, – długość pręta.
EA
EI
L
Poszukujemy niewiadomych przemieszczeń zestawionych w wektorze q (zob. (4.19)).
Należy rozwiązać poniższe, kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń.
(4.23)
⋅ =
K q P
gdzie: K – globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły.
(4.24)
{
} {
T
,
0,
0
10,
0,
0,
P
=
=
P
}
T
Wektory
j
LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze
q
j
D .
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 4.6 (ALOK).
i
k
Numer pręta
(węzły)
u v ϕ
u v ϕ
1
(1–2) 0 0 0 0 1 2
2
(2–3) 0 1 2 0 0 0
3
(2–4) 0 0 2 0 0 3
4
(5–4) 0 0 0 0 1 3
Tabela 4.6
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 47 -
ALGORYTM ROZWIĄZANIA ZADANIA:
Algorytm jest podobny do algorytmu z poprzednich przykładów. W tym przypadku
występują jedynie obciążenia w węzłach, zatem nie musimy w ostatnim kroku algoryt-
mu (obliczenie sił przywęzłowych) dodawać wektorów sił przywęzłowych od obciążeń
międzywęzłowych, gdyż siły te są zerowe.
Wykresy sił wewnętrznych momentów zginających Rys. 4.17 i sił tnących Rys. 4.18.
Rys. 4.17 Wykres momentów zginających
Rys. 4.18 Wykres sił tnących
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 48 -
5. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
– element ramowy
5.1. Przykład
Bezpośrednią Metoda Przemieszczeń (BMP) wyznaczyć przemieszczenia i siły we-
wnętrzne w danym układzie ramowym z podporą sprężystą.
Dane:
,
,
1[kN/m]
q
=
1[kN]
P
=
3 [m]
l
=
,
.
8
2
2 1 10 [kNm ]
EI
.
=
⋅
Pręty o przekroju rurowym: pręty o numerach
1 2
4 5 6
, , , ,
–
,
(
2
1
68 6 [cm ]
A
.
=
4
1
2853 [cm ]
J
=
1
1440 600 [kN]
EA
=
,
),
2
1
6 000 [kNm ]
EJ
=
pręt numer
3
–
,
, (
2
2
118 [cm ]
A
=
4
2
5760 [cm ]
J
=
2
2 478000 [kN]
EA
=
,
).
2
2
12000 [kNm ]
EJ
=
Stała sprężystości podpory
.
1000 [kN/m]
s
k
=
Rys. 5.1 Dany układ
Uwaga!
Uwzględnić wpływ odkształceń podłużnych prętów.
W każdym węźle mogą wystąpić trzy (niezależne) przemieszczenia:
i
i
i
u , v ,
ϕ .
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 49 -
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Rys. 5.2 Dyskretyzacja układu
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) uogólnionych przemieszczeń węzło-
wych, poniżej składowych wektora podano porządkujące je kolejne numery.
{
}
T
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
1
2
3
7
8
9
4
5
6
10
11
12
u ,
v ,
, u ,
v ,
, u ,
v ,
, u ,
v ,
ϕ
ϕ
ϕ
=
q
ϕ
(5.1)
Rys. 5.3 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
Dla każdego elementu o numerze łączącego węzły i możemy zapisać, w lokal-
nym układzie współrzędnych
j
i
k
j
j
j
x , y , z , odpowiadające sobie wektory lokalnych prze-
mieszczeń przywęzłowych
j
D i lokalnych sił przywęzłowych
j
S .
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 50 -
{
}
T
1
2
3
4
5
6
j
i
i
i
k
k
k
u ,
v ,
, u , v ,
ϕ
=
D
ϕ
(5.2)
{
T
j
ik
ik
ik
ki
ki
ki
N ,
T ,
M ,
N ,
T ,
M
=
S
}
(5.3)
Wektory te w lokalnym układzie współrzędnych związane są zależnością
d
p
p
j
j
j
j
j
=
+
=
⋅
+
S
S
S
K D
S
j
(5.4)
gdzie:
d
j
S
jest wektorem sił przywęzłowych spowodowanych deformacją
j
D
, zaś
p
j
S
wektorem wyjściowych sił przywęzłowych.
Zapisanie równań kanonicznych metody (bezpośrednio poprzez równania węzłów czy z
zasady pracy wirtualnej) wymaga transformacji wektorów
j
S
i
j
D
do układu globalne-
go x, y, z .
Macierz transformacji
j
C
dla pręta ma postać
j
l
l
l
,
j
j
j
j
j
j
j
x
x
y
z
z
⎡ ⎤
y
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
=
⎢ ⎥ =
⋅ ⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣
⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
C
O
C
O
C
C
(5.5)
gdzie:
l
j
j
j
j
0
0
0
0
1
j
cos
sin
sin
cos
α
α
α
α
⎡
⎤
⎢
⎥
= −
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
C
jest ortogonalną macierzą obrotu transformującą globalny układ współrzędnych w lo-
kalny, przy czym
,
-1
T
=
C
C
(3 3)
×
O
jest macierzą zerową, zaś
j
α kątem obrotu pomię-
dzy osiami x i
j
x .
Mnożąc lewostronnie (5.4) przez
i podstawiając
T
C
j
j
j
=
⋅
D
C D
(5.6)
Otrzymamy zależność (5.4) w układzie globalnym
(
)
p
T
T
T
p
d
p
,
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
,
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
+
=
+
C S
C K
C D
C S
S
K D
S
S
S
S
(5.7)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 51 -
Wektor przemieszczeń przywęzłowych układu
i odpowiadający mu wektor sił przy-
węzłowych
i
utworzone są z wektorów
D
S
p
S
j
D ,
j
S i
p
j
S
(zapisanych w układzie
globalnym).
(5.8)
{
T
T
T
T
T
T
T
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
=
D
D
D
D
D
D
D
}
}
}
(5.9)
{
T
T
T
T
T
T
T
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
=
S
S
S
S
S
S
S
(5.10)
{
T
p
pT
pT
pT
pT
pT
pT
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
=
S
S
S
S
S
S
S
Kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń ma postać
(5.11)
=
⋅
K q P
gdzie:
K
– globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
W komputerowej implementacji Bezpośredniej Metody Przemieszczeń wyznaczenie
wektora obciążeń węzłowych
odbywa się automatycznie (sumowanie polegające na
agregacji i dodawaniu) zgodnie z poniższym wzorem
P
(5.12)
p
=
−
P R R
gdzie:
– wektor wypadkowy obciążeń węzłowych,
– wektor wypadkowy z ob-
ciążeń międzywęzłowych wyznaczany poprzez agregację wektorów sił przywęzłowych
R
p
R
p
j
S
od obciążeń międzywęzłowych, agregacja przebiega analogicznie jak agregacja
globalnej macierzy sztywności.
Obliczenie obciążeń węzłowych.
Wektor
wypadkowych obciążeń działających na węzły otrzymujemy sumując bez-
pośrednie obciążenia w węzłach z obciążeniami węzłów pochodzącymi od sił przywę-
złowych.
P
Sumowane siły przywęzłowe od obciążeń międzywęzłowych
p
j
S
zapisane są w ukła-
dzie globalnym x, y, z w odróżnieniu od obliczonych uprzednio sił w układzie lokal-
nym
j
j
j
x , y , z zestawionych w wektorach
p
j
S
.
Składowe wektora muszą być zgodne z przyjętym wektorem niewiadomych tak,
aby iloczyn
przedstawiał całkowitą pracę sił zewnętrznych działających na
układ.
P
q
T
z
L
=
⋅
q P
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 52 -
EA
EI
L
1
C
2
C
Numer pręta
(węzły)
KH
[kN] [kNm
2
] [m] [-] [-]
1 (1–2)
11
1440600
6000
3.0
1.0
0.0
2 (2–3)
11
1440600
12000
3.0
0.0
1.0
3 (2–4)
11
2478000
6000
5.0
0.8
0.6
4 (3–5)
10
1440600
6000
5.0
0.8
0.6
5 (4–5)
11
1440600
6000
3.0
0.0
1.0
6 (5–6)
11
1440600
6000
3.0
0.0
1.0
Tabela 5.1
Budowa macierzy sztywności
j
K
elementów i transformacja do układu globalnego
wykonana jest na podstawie cech prętów, które zawiera Tabela 5.1 (CEPR).
Oznaczenia:
KH
– symbol połączenia pręta z węzłami (
1
– utwierdzenie, –
przegub),
– sztywność podłużna pręta,
– sztywność na zginanie, – długość
pręta,
0
EA
EI
L
1
j
C
cos
α
=
,
2
j
C
sin
α
=
.
Wyznaczenie wektorów
p
j
S
.
Niezerowe wielkości występują jedynie w przypadku elementów 1 i 3.
Element
1
. Wektor
p
1
S
.
Rys. 5.4 Element
1
– wyjściowe siły przywęzłowe od obciążenia międzywęzłowego
p
p
12
21
p
p
12
21
2
p
p
12
21
0 [kN]
3
1
1 5 [kN]
2
3
1
0 75 [kNm
12
N
N
,
T
T
.
,
M
M
.
=
=
=
= − ⋅ = −
−
=
= ⋅
=
]
(5.13)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 53 -
Element
3
. Wektor
p
3
S
.
Rys. 5.5 Element – rzutowanie i rozkład danego obciążenia
celem wyznaczenia wyjściowych siły przywęzłowych od obciążenia międzywęzłowego
3
p
p
24
42
p
p
24
42
2
p
p
24
42
5
0 48
1 2 [kN]
2
5
0 64
1 6 [kN]
2
5
16
0 64
1 33333 [kNm]
12 12
N
N
.
.
,
T
T
.
.
,
M
M
.
.
=
= −
⋅ = −
=
= −
⋅ = −
−
=
=
⋅
=
=
(5.14)
Wektory sił przywęzłowych
p
j
S
od obciążeń międzywęzłowych (przęsłowych) zawiera
Tabela 5.2 niezerowych sił wyjściowych (SILY).
i
k
Numer pręta
(węzły)
p
ik
N
p
ik
T
p
ik
M
p
ki
N
p
ki
T
p
ki
M
1
(1–2)
0 -1.5
-0.75 0 -1.5
0.75
3
(2–4)
-1.2 -1.6 -1.333 -1.2 -1.6 1.333
Tabela 5.2
Uwaga!
W przykładzie pominięto agregację wektorów
p
j
S
sił międzywęzłowych do wektora .
P
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 54 -
W celu lepszego prześledzenia poszczególnych etapów tworzenia wektora
P
, przepro-
wadzimy je (w dalszej części) „ręcznie”. Poniżej (zob. Rys. 5.6) pokazano graficzną
interpretację sumowania wpływu obciążeń (węzłowych i międzywęzłowych).
Rys. 5.6 Graficzna interpretacja sumowania wpływu obciążeń (węzłowych i międzywęzłowych)
p
p
24
2
21
3
2
1 5 2 2 5 5 [kN]
y
T
P
T
P
.
.
cos
α
= −
−
+
=
+ + =
p
p
2
21
24
0 75 1 333 0 583 [kNm]
M
M
M
.
.
.
= −
−
= −
+
=
3
1 [kN]
x
P
P
= =
3
1 [kN]
y
P
P
= =
p
42
4
3
2 [kN]
y
T
P
cos
α
= −
=
p
4 42
1 333 [kNm]
M
M
.
= −
= −
(5.15)
{
}
{
}
T
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
T
0
5 5
0 583 1 1 0
0
2
1 333 0
0
0
x
y
x
y
x
y
x
y
P ,
P ,
,
P ,
P ,
,
P ,
P ,
,
P ,
P ,
,
. ,
.
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
=
Μ
Μ
Μ
Μ
=
−
P
=
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 55 -
Wektory
j
LM
alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze
q
j
D
.
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 5.3 (ALOK).
.
i
k
Numer pręta
(węzły)
u v ϕ
u v ϕ
1
(1–2) 0 0 0 1 2 3
2
(2–3) 1 2 3 4 5 6
3
(2–4) 1 2 3 7 8 9
4
(3–5) 4 5 6 10 11 0
5
(4–5) 7 8 9 10 11 12
6
(5–6) 10 11 12 0 0 0
Tabela 5.3
Po uzupełnieniu (agregacja) macierzy
K
o sztywność podpory sprężystej
(4,4)
(4,4)
s
k
k
←
+ k (5.16)
rozwiązując równanie (5.11) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia:
(5.17)
-1
=
⋅
q K P
Wyznaczenie sił przywęzłowych w elementach przebiega wg równania (5.4).
ALGORYTM ROZWIĄZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela wektorów alokacji
LM
(ALOK),
tabela
sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych
(SILY),
P
S
sumaryczny
wektor
obciążeń węzłowych
P
.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 56 -
1.
Inicjacja globalnej macierzy sztywności
=
K O
.
2. Kolejne
dla
(w pętli po elementach),
1
e
j
, l
=
6
e
l
= :
- obliczenie macierzy sztywności elementu
j
K
wg tabeli CEPR,
- agregacja
j
K
do wg tabeli ALOK.
K
3. Uwzględnienie podpór sprężystych
- ( , )
( , )
s
k n n
k n n
k
←
+ ( n - numer stopnia odpowiadającego
s
k )
4. Obliczenie
.
-1
=
⋅
q K P
5. Kolejne
dla
(w pętli po elementach),
1
e
j
, l
=
6
e
l
= :
- obliczenie
j
K
wg tabeli CEPR (bez
i
),
1
C
2
C
- ekstrakcja (wydzielenie)
j
D
z wg tabeli ALOK,
q
- transformacja przemieszczeń do układu lokalnego
j
j
j
=
⋅
D
C D
wg
j
cos
α i
j
sin
α z tabeli CEPR
- obliczenie sił przywęzłowych
p
j
j
j
j
=
⋅
+
S
K D
S
.
Wykresy sił wewnętrznych zamieszczono na Rys. 5.7, Rys. 5.8 i Rys. 5.9.
Rys. 5.7 Wykres sił normalnych
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 57 -
Rys. 5.8 Wykres sił tnących
Rys. 5.9 Wykres momentów zginających
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 58 -
6. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
– element rusztowy
6.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć przemieszczenia i siły wewnętrzne w
układzie obciążonym prostopadle do swojej płaszczyzny.
Dane:
,
,
1[kN/m]
q
=
1
2
2 [kN]
P
P
=
=
0 5 [kNm]
M
.
=
,
1[m]
l
=
,
,
.
4
2
2 10 [kNm ]
EI
= ⋅
4
2
10 [kNm ]
s
GI
=
Rys. 6.1 Dany układ
ROZWIĄZANIE
Na wstępie rozwiązania dokonujemy dyskretyzacji układu: przyjmujemy globalny układ
współrzędnych, określamy węzły, numerujemy je, numerujemy elementy przyjmując
lokalne układy współrzędnych.
Uwaga!
W każdym węźle mogą wystąpić trzy przemieszczenia
i
xi
y
w ,
i
ϕ ϕ .
Definiujemy globalny wektor (niewiadomych) uogólnionych przemieszczeń węzłowych
(6.1)
T
2
2
2
3
3
3
4
4
5
1
2
4
5
7
3
6
8
x
y
x
y
x
y
y
w ,
,
, w ,
,
,
,
,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩
⎭
q
9
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 59 -
Rys. 6.2 Dyskretyzacja układu
Dla każdego elementu definiujemy wektory przemieszczeń
j
D
i sił
j
S
, oraz tworzymy
macierz sztywności
j
K
. Ponadto wyznaczamy wektory
p
j
S
sił przywęzłowych od ob-
ciążeń międzywęzłowych (przęsłowych).
T
1
2
4
5
3
6
j
i
xi
yi
k
xk
yk
w ,
,
,
w ,
,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⎧
=
⎨
⎩
⎭
D
⎫
⎬
(6.2)
{
T
j
ik
xik
yik
ki
xki
yki
T ,
M
,
M
,
T ,
M
,
M
=
S
}
(6.3)
Wektory
j
D
,
j
S
i
p
j
S
są związane zależnością
p
j
j
j
=
⋅
+
S
K D
S
j
(6.4)
Rys. 6.3 Przemieszczenia węzłów elementu oraz siły przywęzłowe
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 60 -
Zapisanie równań kanonicznych metody wymaga transformacji wektorów
j
S
i
j
D
do
układu globalnego
, ,
x y z
.
Budowa macierzy sztywności
j
K
elementów i transformacja do układu globalnego
wykonywana jest na podstawie cech prętów, które zawiera Tabela 6.1 (CEPR).
s
GI
EI
L
1
C
2
C
Numer
pręta
(węzły)
KH
[kNm
2
] [kNm
2
]
[m] [-] [-]
1 (1–2)
11 10000 20000
3.0
1.0
0.0
2 (2–3)
11 10000 20000
4.0
1.0
0.0
3 (2–4)
11 10000 20000
5.0
0.0
-1.0
4 (3–5)
11 10000 20000
5.0
0.0
-1.0
Tabela 6.1
Oznaczenia:
KH
– symbol połączenia pręta z węzłami (
1
– utwierdzenie,
0
– prze-
gub)
s
GI
– sztywność skrętna pręta,
– sztywność na zginanie, – długość pręta,
EI
L
1
j
C
cos
α
=
,
2
j
C
sin
α
=
Wyznaczenie wektorów
p
j
S
.
Element
1
. Wektor
p
1
S
.
Rys. 6.4 Element
1
- wyznaczenie sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego
p
p
12
21
p
p
12
21
2
p
p
12
21
3
1
1 5 [kN]
2
0
3
1
0 75 [kN
12
x
x
y
y
T
T
.
M
M
M
M
.
=
= − ⋅
= −
=
=
−
=
= ⋅
=
m]
(6.5)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 61 -
Element . Wektor
2
p
2
S
.
Rys. 6.5 Element - wyznaczenie sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego
2
p
p
23
32
p
p
23
32
2
p
p
23
32
4
1
2 0 [kN]
2
0
4
1
1 333 [kN
12
x
x
y
y
T
T
.
M
M
M
M
.
=
= − ⋅
= −
=
=
−
=
= ⋅
=
m]
(6.6)
Element . Wektor
4
p
4
S
.
Rys. 6.6 Element - wyznaczenie sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego
4
(
)
(
)
(
)
p
3
35
p
3
53
p
p
35
53
p
3
35
p
53
1
2 3 0 4 0 4
1 136 [kN]
2
1
2 2 3 0 4
0 4
0 864 [kN]
2
0
1
2 5 0 4 0 4
1 68 [kNm]
2
0
x
x
y
y
T
.
.
.
T
.
.
.
M
M
M
.
.
.
M
= − ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
= − ⋅ ⋅ − ⋅
+
= −
=
=
= − ⋅ ⋅ ⋅
−
= −
=
(6.7)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 62 -
Wektory sił przywęzłowych
p
j
S
od obciążeń międzywęzłowych (przęsłowych) zawiera
Tabela 6.2 niezerowych sił wyjściowych (SILY).
i
k
Numer pręta
(węzły)
p
ik
T
p
x ik
M
p
y ik
M
p
ik
T
p
x ki
M
p
y ki
M
1 (1–2)
-1.5
0
-0.75
-1.5
0
0.75
2 (2–3)
-2.0
0
-1.333
-2.0
0
1.333
4 (3–5)
-1.136
0
-1.68
-0.864
0
0
Tabela 6.2
Obliczenie obciążeń węzłowych.
Wektor
P
wypadkowych obciążeń działających na węzły
(6.8)
{
}
T
2
2
2
3
3
3
4
4
5
z
x
y
z
x
y
x
y
y
P ,
M ,
M
,
P ,
M ,
M ,
M ,
M
,
M
=
P
otrzymujemy sumując bezpośrednie obciążenia węzłów z obciążeniami węzłów pocho-
dzącymi od sił przywęzłowych od obciążeń międzywęzłowych.
(6.9)
p
=
−
P R R
gdzie:
– wektor wypadkowy obciążeń węzłowych,
– wektor wypadkowy z ob-
ciążeń międzywęzłowych.
R
p
R
(6.10)
{
T
2
0
0
0
0 0 5 0
0
0
,
,
,
,
,
. ,
,
,
,
=
R
}
Agregacja
z wektorów
p
R
p
j
S (wektory
p
j
S po transformacji do układu globalnego)
p
p
p
p
T
1
,
e
l
j
j
j
j
j
=
=
=
∑
R
S
S
C
⋅S (6.11)
(6.12)
{
}
T
p
3 5
0
0 583 3 136 1 68
1 333
0
0
0
. ,
,
.
,
.
, .
,
.
,
,
,
,
= −
−
−
R
(6.13)
{
}
T
5 5
0
0 583 3 136
1 68 1 833
0
0
0
. ,
,
.
, .
,
.
, .
,
,
,
,
=
−
−
P
Kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń.
(6.14)
=
⋅
K q P
gdzie:
K
– globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 63 -
Wektory
j
LM alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze
q
j
D
. Wektory alokacji prezentuje Tabela 6.3 (ALLO).
i
k
Numer pręta
(węzły)
w
x
ϕ
y
ϕ
w
x
ϕ
y
ϕ
1
(1–2) 0 0 0 1 2 3
2
(2–3) 1 2 3 4 5 6
3
(2–4) 1 2 3 0 7 8
4
(3–5) 4 5 6 0 9 0
Tabela 6.3
Rozwiązując równanie (6.14) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia
(6.15)
-1
=
⋅
q K P
Siły przywęzłowe w elementach wyznaczamy z zależności (6.4).
ALGORYTM ROZWIĄZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela
alokacji
ALLO,
tabela
sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych
(SILY),
p
S
wektor
obciążeń węzłowych
P
.
1.
Inicjacja globalnej macierzy sztywności
=
K O
.
2. Kolejne
dla
(w pętli po elementach),
1
e
j
, l
=
4
e
l
= :
- obliczenie macierzy sztywności elementu
j
K
wg tabeli CEPR,
- agregacja
j
K
do wg tabeli ALLO.
K
3. Obliczenie
-1
=
⋅
q K P
4. Kolejne
dla
(w pętli po elementach),
1
e
j
, l
=
4
e
l
= :
- obliczenie
j
K
wg tabeli CEPR (bez
i
),
1
C
2
C
- wydzielenie
j
D
z wg tabeli ALLO,
q
- transformacja przemieszczeń do układu lokalnego
j
j
j
=
⋅
D
C D
wg
j
cos
α i
j
sin
α z tabeli CEPR
- obliczenie sił przywęzłowych
p
j
j
j
j
=
⋅
+
S
K D
S
.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 64 -
Wykresy sił wewnętrznych Rys. 6.7
Rys. 6.7 Wykres momentów skręcających
Rys. 6.8 Wykres momentów zginających
Rys. 6.9 Wykres sił tnących
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 65 -
7. Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
– element kratowy
7.1. Przykład
Macierzową metodą przemieszczeń wyznaczyć siły w prętach kratownicy.
Dane:
,
,
44.5 [kN]
P
=
0.762 [m]
h
=
1.016 [m]
l
=
,
.
2
68975138 [kN/m ]
E
=
Przekroje prętów:
pręty pionowe
, (
4
2
1
1.6129 10 [m ]
A
−
=
×
1
11125 [kN]
EA
=
);
pozostałe pręty
, (
4
2
2
1.2903 10 [m ]
A
−
=
×
2
8900 [kN]
EA
=
).
Rys. 7.1
ROZWIĄZANIE
Dyskretyzacja układu.
Uwaga!
W każdym węźle mogą wystąpić dwa przemieszczenia
.
,
i
i
u v
Przyjęcie wektora przemieszczeń uogólnionych.
(7.1)
{
T
3
3
4
4
5
5
6
6
, ,
, , , ,
,
u v u v u v u
v
=
q
}
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 66 -
Rys. 7.2
Element o numerze łączy węzły i , w lokalnym układzie współrzędnych
j
i
k
,
,
j
j
j
x
y
z
.
Rys. 7.3
{
T
,
j
i
k
u u
=
D
}
(7.2)
{
T
,
j
ik
ki
N
N
=
S
}
(7.3)
Wektory te w układzie lokalnym związane są zależnością:
j
j
=
⋅
S
K D
j
(7.4)
Zapisanie równań kanonicznych metody wymaga transformacji wektorów
j
S
i
j
D
do
układu globalnego
, ,
x y z
.
Budowa macierzy sztywności
j
K
elementów i transformacja do układu globalnego
wykonywana jest na podstawie cech prętów, które zawiera Tabela 7.1 (CEPR).
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 67 -
EA
L
1
C
2
C
Numer pręta
(węzły)
[kN] [m] [-] [-]
1 (1–3)
11125
0.762
0.0
1.0
2
(1–4) 8900 1.270 0.8 0.6
3 (2–3)
8900
1.270
-0.8
0.6
4 (2–4)
11125
0.762
0.0
1.0
5
(3–4) 8900 1.016 1.0 0.0
6 (3–5)
11125
0.762
0.0
1.0
7
(3–6) 8900 1.270 0.8 0.6
8 (4–5)
8900
1.270
-0.8
0.6
9 (4–6)
11125
0.762
0.0
1.0
10(5–6) 8900 1.016 1.0 0.0
Tabela 7.1
Oznaczenia:
EA
– sztywność podłużna pręta,
L
– długość pręta,
1
cos
j
C
α
=
,
2
sin
j
C
α
=
Wektor przemieszczeń przywęzłowych układu
i odpowiadający mu wektor sił przy-
węzłowych
S
utworzone są z wektorów
D
j
D i
j
S (zapisanych w układzie globalnym).
(7.5)
{
}
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=
D
D D D D D D D D D
D
(7.6)
{
}
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=
S
S S S S S S S S S S
Obciążenia węzłowe.
Wektor P wypadkowych obciążeń działających na węzły.
(7.7)
{
}
{
}
T
3
3
4
4
5
5
6
6
T
,
,
,
,
,
,
,
0,
0,
0,
0,
0,
0, 44.5, 0
x
y
x
y
x
y
x
y
P
P
P
P
P
P
P
P
=
=
=
P
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 68 -
Kanoniczne równanie macierzowej metody przemieszczeń.
(7.8)
=
⋅
K q P
gdzie:
K
– globalna macierz sztywności układu, – wektor obciążeń węzłowych.
P
Wektory
j
LM
alokacji, sterujące procesem agregacji (sumowania) globalnej macierzy
sztywności wskazują (dla każdego elementu), jakiemu numerowi niewiadomego prze-
mieszczenia zapisanego w globalnym wektorze przemieszczeń odpowiada lokalne
przemieszczenie w wektorze
q
j
D
(przy ustalaniu wektorów alokacji zakłada się zgod-
ność orientacji lokalnego i globalnego układu współrzędnych).
Wektory alokacji zestawione wierszami prezentuje Tabela 7.2 (ALOK).
i
k
Numer pręta
(węzły)
u
v
u
v
1
(1–3) 0 0 1 2
2
(1–4) 0 0 3 4
3
(2–3) 0 0 1 2
4
(2–4) 0 0 3 4
5
(3–4) 1 2 3 4
6
(3–5) 1 2 5 6
7
(3–6) 1 2 7 8
8
(4–5) 3 4 5 6
9
(4–6) 3 4 7 8
10(5–6) 5 6 7 8
Tabela 7.2
Rozwiązując równanie (7.8) wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia.
(7.9)
-1
=
⋅
q K P
Siły przywęzłowe w elementach otrzymujemy z równania (7.4).
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 69 -
ALGORYTM ROZWIĄZANIA ZADANIA
Dane: tabela cech prętowych CEPR,
tabela
alokacji
ALOK,
wektor
obciążeń węzłowych
P
.
1.
Inicjacja globalnej macierzy sztywności
=
K O
.
2. Kolejne
dla
(w pętli po elementach),
1,
e
j
= l
10
e
l
=
:
- obliczenie macierzy sztywności elementu
K
j
wg tabeli CEPR,
- agregacja
K
j
do
wg tabeli ALOK.
K
3. Obliczenie
.
-1
=
⋅
q K P
4. Kolejne
dla
(w pętli po elementach)
1,
e
j
= l
10
e
l
=
:
- obliczenie
j
K
wg
EA
i
L
z tabeli CEPR,
- wydzielenie
j
D
z q wg tabeli ALOK,
- transformacja przemieszczeń do układu lokalnego
j
j
j
=
⋅
D
C D
wg
cos
j
α i
sin
j
α z tabeli CEPR,
- obliczenie sił przywęzłowych (normalnych)
j
j
j
=
⋅
S
K D .
Obliczone siły wewnętrzne (normalne) w prętach
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
50.53 [kN]
27.03 [kN]
28.59 [kN]
49.60 [kN]
2.85 [kN]
14.08 [kN]
32.16 [kN]
23.47 [kN]
19.29 [kN]
18.77 [kN]
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
=
=
= −
= −
= −
=
=
= −
= −
=
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 70 -
8. Załączniki
8.1. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
– pręt obustronnie utwierdzony
Rys. 8.1 Pręt obustronnie utwierdzony
dodatnie zwroty przemieszczeń węzłów oraz sił przywęzłowych
(
2
2
3
ik
i
k
ik
M
)
µ
ϕ ϕ
ψ
=
⋅
+
+
(8.1)
(
2
2
3
ki
i
k
ik
M
)
µ ϕ
ϕ
ψ
=
⋅
+
+
(8.2)
(
)
(
6
2
ik
ki
ik
i
k
ik
M
M
T
l
l
µ
)
ϕ ϕ
ψ
+
=
=
+
+
(8.3)
(
)
(
6
2
ik
ki
ki
i
k
ik
M
M
T
l
l
µ
)
ϕ ϕ
ψ
+
= −
= −
+
+
(8.4)
gdzie:
EI
l
µ =
i
k
ik
v
v
l
ψ
−
=
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 71 -
8.2. Wzory transformacyjne metody przemieszczeń
– pręt jednostronnie utwierdzony
Rys. 8.2 Pręt jednostronnie utwierdzony
dodatnie zwroty przemieszczeń węzłów oraz sił przywęzłowych
(
3
ik
i
ik
M
)
µ ϕ ψ
=
⋅
+
(8.5)
(
3
ik
ik
i
ik
M
T
l
l
µ
)
ϕ ψ
=
=
+
(8.6)
(
3
ik
ki
i
ik
M
T
l
l
µ
)
ϕ ψ
= −
= −
+
(8.7)
gdzie:
EI
l
µ =
i
k
ik
v
v
l
ψ
−
=
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 72 -
,
ik
ki
Μ
Μ
,
ik
ki
8.3. Wyjściowe siły przywęzłowe – pręt obustronnie utwierdzony
Wyjściowe momenty (
p
) oraz wyjściowe siły tnące (
p
p
p
Τ
Τ ) w belce obustronnie całkowicie zamocowanej przy danym
obciążeniu zewnętrznym wyznaczamy np. metodą sił. Siły wyjściowe od różnych obciążeń podane zawiera Tabela 8.1 .
Rys.8.3
Oznaczenia wielkości użytych we wzorach.
'
,
,
x
x
a
b
c
ξ =
ξ ' =
α
, β
, γ
l
l
l
l
l
=
=
=
Poniżej Tabela 8.1
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 73 -
Nr
p
ik
Τ
p
ik
Μ
Obciążenie
p
ki
Μ
p
ki
Τ
1
(
)
3 2
2
-Pξ '
ξ '
−
2
-Plξξ '
2
Plξ ξ '
(
)
3 2
2
-Pξ
ξ
−
2
6
M
ξξ '
l
(
)
2 3
Mξ '
ξ '
−
(
)
2 3
Mξ
ξ
−
6
M
ξξ '
l
−
3
1
2
ql
−
2
1
12
ql
−
2
1
12
ql
1
2
ql
−
4
(
)
(
)
12
12
12
2
1
qlγ
β α β
αβ-3γ ⎤
−
+ − ⋅
⎡⎣
⎦
(
)
2
12
1
12
2
2
1
ql γ
αβ γ -3β
⎡
⎤
−
⋅
+
⎣
⎦
( )
2
12
1
12
2
2
1
ql γ
α β γ -3α
⎡
⎤
⋅
+
⎣
⎦
(
)
(
)
12
12
12
2
1
qlγ
α α β
αβ-3γ ⎤
−
⋅
+ − ⋅
⎡⎣
⎦
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 74 -
Nr
p
ik
Τ
p
ik
Μ
Obciążenie
p
ki
Μ
p
ki
Τ
5
1
ql
3
−
2
1
ql
15
−
2
1
ql
15
1
ql
3
−
6
1
ql
6
−
2
1
ql
60
−
2
1
ql
60
1
ql
6
−
7
(
)
10 15
8
20
2
3
1
qlγ
γ
γ
−
⋅
−
+
(
)
2
20 30
60
2
2
1
ql γ
γ+12γ
−
⋅
−
(
)
2
15 12
60
3
1
ql γ
γ
−
(
)
15 8
20
3
1
qlγ
γ
−
⋅
−
8
0
t
EI
α ∆t
h
−
t
EI
α ∆t
h
0
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 75 -
Nr
p
ik
Τ
p
ik
Μ
Obciążenie
p
ki
Μ
p
ki
Τ
9
(
)
6
i
k
2
EI
φ
φ
l
+
(
)
2
i
k
EI
2φ
φ
l
+
(
)
2
2
i
k
EI
φ
φ
l
+
(
)
6
i
k
2
EI
φ
φ
l
−
+
10
(
)
12
k
i
3
EI
v
v
l
−
−
(
)
6
k
i
2
EI
v
v
l
−
−
(
)
6
k
i
2
EI
v
v
l
−
−
(
)
12
k
i
3
EI
v
v
l
−
11
12
v
3
EI
∆
l
6
v
2
EI
∆
l
6
v
2
EI
∆
l
12
v
3
EI
∆
l
−
12
(
)
2
1
2
6EI
∆
l
ϕ
ξ
−
3
1
2
4EI
∆
l
ϕ
ξ
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
3
1
2EI
∆
l
ϕ
ξ
−
(
)
1 2
2
6EI
∆
l
ϕ
ξ
−
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 76 -
,
ik
ki
8.4. Wyjściowe siły przywęzłowe – pręt jednostronnie utwierdzony
Wyjściowe momenty (
) oraz wyjściowe siły tnące (
p
p
ik
Μ
p
Τ
Τ ) w belce jednostronnie całkowicie zamocowanej przy danym obcią-
żeniu zewnętrznym wyznaczamy np. metodą sił. Siły wyjściowe od różnych obciążeń podane zawiera Tabela 8.2 .
Rys.8.4
Oznaczenia wielkości użytych we wzorach.
'
,
,
x
x
a
b
c
ξ =
ξ ' =
α
, β
, γ
l
l
l
l
l
=
=
=
Poniżej Tabela 8.2
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 77 -
Nr
p
ik
Τ
p
ik
Μ
Obciążenie
p
ki
Τ
1
(
)
1
2 3
2
3
P
ξ + ξ
−
−
(
)
1
2
3
Pl ξ ξ
−
(
)
1
3
2
3
P ξ ξ
−
−
2
9
8
M
l
1
8
M
9
8
M
l
−
3
3
8
ql
−
2
1
8
ql
5
8
ql
−
4
( )
8
4
1
8
2
1
qlγ β αβ α
αγ
⎡
⎤
−
−
+ +
⎣
⎦
( )
2
4
1
8
2
1
ql αγ β α
γ
⎡
⎤
+ −
⎣
⎦
( )
8 4
1
8
2
1
qlαγ
β α
γ
⎡
⎤
−
+
+ −
⎣
⎦
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 78 -
Nr
p
ik
Τ
p
ik
Μ
Obciążenie
p
ki
Τ
5
7
ql
30
−
2
1
ql
10
13
ql
30
−
6
17
ql
120
−
2
1
ql
40
23
ql
120
−
7
(
)
5 5
10
3
1
qlγ
γ γ
−
⋅ − +
(
)
2
10 6
60
2
2
1
ql γ
γ
⋅
−
(
)
5
10
2
2
1
qlγ
γ
−
⋅ −
8
t
3EI
α ∆t
2hl
t
3EI
α ∆t
2h
t
3EI
α ∆t
2hl
−
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 79 -
Nr
p
ik
Τ
p
ik
Μ
Obciążenie
p
ki
Τ
9
3
k
2
EI
φ
l
3
k
EI
φ
l
3
k
2
EI
φ
l
−
10
(
)
3
k
i
3
EI
v
v
l
−
−
(
)
3
k
i
2
EI
v
v
l
−
−
(
)
3
k
i
3
EI
v
v
l
−
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 80 -
8.5. Macierz
sztywności płaskiego elementu kratowego
2×2
K
Rys. 8.5 Płaski element kratowy
e
EA
EA
l
l
EA
EA
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
}
(8.8)
Macierz odniesiona jest do wektora
(8.9)
{
T
,
e
i
k
u
u
=
q
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 81 -
8.6. Macierz
sztywności płaskiego elementu skręcanego
2×2
K
Rys. 8.6 Płaski element skręcany
s
s
e
s
s
GI
GI
l
l
GI
GI
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
}
(8.10)
Macierz odniesiona jest do wektora
(8.11)
{
T
,
e
i
k
u
u
=
q
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 82 -
8.7. Macierz
sztywności
płaskiego
(zginanego)
elementu
belkowego
- z pominięciem sił normalnych
4×4
K
Rys. 8.7 Płaski element belkowy
2
2
3
2
2
12
6
12
6
6
4
6
2
12
6
12
6
6
2
6
4
e
l
l
l
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
−
⎢
=
⎢ −
−
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
l
⎥
⎥
}
ϕ
(8.12)
Macierz odniesiona jest do wektora
(8.13)
{
T
,
,
,
e
i
i
k
k
v
v
ϕ
=
q
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 83 -
8.8. Macierz
sztywności płaskiego (zginanego) elementu ramowego
- z uwzględnieniem sił normalnych
6×6
K
Rys. 8.8 Płaski element ramowy
3
2
3
2
2
2
6 6
3
2
3
2
2
2
0
0
0
0
12
6
12
6
0
0
6
4
6
2
0
0
0
0
0
0
12
6
12
6
0
0
6
2
6
4
0
0
EA
EA
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
EI
EI
l
l
l
l
EA
EA
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
EI
EI
l
l
l
l
×
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
(8.14)
Macierz odniesiona jest do wektora
(8.15)
{
T
,
,
,
,
,
e
i
i
i
k
k
k
u
v
u
v
ϕ
=
q
}
ϕ
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 84 -
8.9. Macierz
sztywności elementu dźwigara załamanego w planie
zginanego w płaszczyźnie
6×6
K
xz i skręcanego,
obciążenie w płaszczyźnie prostopadłej do układu
Rys. 8.9 Płaski element dźwigara załamanego w planie
3
2
3
2
2
6 6
3
2
3
2
2
12
6
12
6
0
0
0
0
0
0
6
4
6
0
0
12
6
12
6
0
0
0
0
0
0
6
2
6
0
0
s
s
s
s
EI
EI
EI
EI
l
l
l
GI
GI
l
l
EI
EI
l
l
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
GI
GI
l
l
EI
EI
l
l
l
l
×
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
2
2
2
4
l
l
}
ϕ
(8.16)
Macierz odniesiona jest do wektora
(8.17)
{
T
,
,
,
,
,
e
i
i
yi
k
k
yk
u
v
u
v
ϕ
=
q
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 85 -
8.10. Macierz sztywności elementu ramy przestrzennej
12×12
K
Rys. 8.10 Przestrzenny element ramowy
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
2
12 12
0
0
0
0
0
-
0
0
0
0
0
12
6
12
6
0
0
0
0
0
-
0
0
0
12
6
12
6
0
0
0
-
0
0
0
-
0
-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-
0
0
6
4
6
2
0
0
0
0
0
0
0
0
6
4
6
0
0
0
0
0
-
0
0
0
-
z
z
z
y
y
y
y
s
s
y
y
y
y
z
z
z
EA
EA
l
l
2
2
z
z
EI
EI
EI
l
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
GI
GI
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
EA
l
×
−
=
K
EI
l
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
6
12
6
0
-
0
0
0
0
0
0
0
12
6
12
6
0
0
-
0
-
0
0
0
0
-
0
0
0
0
-
0
0
0
0
0
0
0
6
2
6
4
0
0
0
0
0
0
-
0
0
6
2
6
0
-
0
0
0
0
0
0
0
z
z
z
y
y
y
y
s
s
y
y
y
y
z
z
z
EA
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
GI
GI
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
EI
EI
EI
EI
l
l
l
l
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥⎦
2
4
z
z
l
(8.18)
Macierz odniesiona jest do wektora
(8.19)
{
}
T
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
e
i
i
i
xi
yi
zi
k
k
k
xk
yk
zk
u
v
w
u
v
w
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
q
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 86 -
8.11. Modyfikacja macierzy sztywności
Znany jest związek wiążący (na poziomie elementu) poprzez macierz sztywności
j
K
wektory:
j
D ,
j
S , oraz
p
j
S
.
p
j
j
j
=
⋅
+
S
K D
S
j
(8.20)
Załóżmy, że pewne przemieszczenia węzłowe równe są zero
0,
0
i
k
v
v
=
=
.
Rys. 8.11
Modyfikacja macierzy sztywności względem zerowych przemieszczeń polega na wy-
kreśleniu odpowiednich równań
p
p
p
p
0
0
ik
ik
ik
i
ik
ki
ki
ki
k
ki
T
T
A
B
M
φ
M
T
T
C
D
M
φ
M
⎡
⎤
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧ ⎫
⎢
⎥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎢
⎥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎢
⎥
=
⋅
+
⎨
⎬
⎨ ⎬
⎨
⎢
⎥
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎢
⎥
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎢
⎥
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
⎩ ⎭
⎢
⎥
⎩
⎭
⎣
⎦
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⎬ (8.21)
p
p
+
ik
i
ik
ki
k
ki
A
B
M
φ
M
C
D
M
φ
M
⎡
⎤
⎧
⎫
⎧
⎫
⎧ ⎫
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎢
⎥
=
⋅
⎨
⎬
⎨ ⎬
⎨
⎢
⎥
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
⎩ ⎭
⎩
⎭
⎣
⎦
(8.22)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 87 -
8.12. Kondensacja macierzy sztywności
Znany jest związek wiążący (na poziomie elementu) poprzez macierz sztywności
j
K
wektory:
j
D
,
j
S
, oraz
p
j
S
.
p
j
j
j
=
⋅
+
S
K D
S
j
(8.23)
Załóżmy, że pewne siły przywęzłowe równe są zero. Możemy zestawić je w wektorze
zerowych sił przywęzłowych
(8.24)
2
0
=
S
Zmieniając odpowiednio porządek wierszy i kolumn w równaniu (8.23) można zapisać
je w poniższej formie
p
11
12
1
1
1
p
21
22
2
2
2
j
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
⋅
+ ⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
K
K
S
D
S
K
K
S
D
S
S
(8.25)
W celu dalszych przekształceń, równanie (8.25) zapiszemy w postaci poniższych dwu
równań macierzowych
p
1
11
1
12
2
=
⋅
+
⋅
+
S
K D
K D
S
1
(8.26)
p
2
21
1
22
2
=
⋅
+
⋅
+
S
K
D
K
D
S
2
(8.27)
Bazując na powyższym zapisie, z równania (8.27) wyznaczmy wektor
, a następnie
podstawimy go do równania (8.26).
2
D
Przyrównując (8.27) do (8.24) zapiszemy
p
2
21
1
22
2
2
0
=
⋅
+
⋅
+
=
S
K
D
K
D
S
(8.28)
co pozwala wyznaczyć
p
22
2
21
1
2
⋅
= −
⋅
−
K
D
K
D
S
(8.29)
Mnożąc obustronnie równanie (8.29) przez
1
22
−
K
otrzymamy wektor
2
D
-1
-1
p
2
12
22
1
22
= −
⋅
⋅
−
⋅
D
K K
D
K
S
2
(8.30)
Można teraz podstawić (8.30) do (8.26), dzięki czemu otrzymamy
-1
p
-1
p
1
11
12
22
21
1
1
12
22
2
⎡
⎤
⎡
=
−
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⎣
⎦
⎣
S
K
K K
K
D
S
K K
S ⎤⎦
1
21
(8.31)
Zatem można zapisać skondensowaną postać równania (8.23)
(8.32)
p
1
1
1
=
⋅
+
S
K D
S
gdzie:
-1
1
11
12
22
=
−
⋅
⋅
K
K
K K
K
–
skondensowana
względem
macierz sztywności,
2
D
p
p
-1
1
1
12
22
2
=
−
⋅
⋅
S
S
K K
S
p
– skondensowany wektor sił wyjściowych.
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 88 -
Przykład
Kondensacja macierzy sztywności elementu belkowego (z pominięciem wpływu sił
normalnych)
(4 4)
e
×
K
2
2
3
2
2
12
6
12
6
6
4
6
2
12
6
12
6
6
2
6
4
e
l
l
l
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
l
l
⎡
⎤
−
⎢
⎥
−
⎢
=
⎢ −
−
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
K
⎥
⎥
(8.33)
Element (0–1), przywęzłowy moment
0
ik
M
=
.
{
}
0 1
2
3
3
2
2
2
3
3
2
2
3
2
12
12 6
6
1
12 12
6
6
6 ,
6 , 2
4
6
6
4
2
12 12 6
9
9
3
12 12
6
9
9
3
6
6
4
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
e
l
l
EI
EI
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EI
EI
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
−
⎡
⎤
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎡
⎤
=
−
−
−
−
⋅
⋅
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
−
−
−
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
−
⎢
=
−
−
⎢
⎢
−
⎣
K
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
(8.34)
Element (1–0), przywęzłowy moment
0
ki
M
=
.
{
}
1 0
2
2
2
3
3
2
2
2
3
3
2
3
12
6
12
6
1
6
4
6
2
6 , 2 , 6
4
12
6
12
6
12 6
12
9
3
9
6
4
6
3
1
3
12
6
12
9
3
9
3
3
3
3
3
3
3
3
3
e
l
l
EI
EI
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EI
EI
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
EI
l
l
l
l
l
−
⎡
⎤
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎡
⎤
=
−
−
⋅
⋅
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
−
−
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
−
⎢
=
−
−
−
⎣
K
⎤
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎦
−
=
(8.35)
Marek Krzysztof Jasina
Mechanika Budowli
- 89 -
9. Literatura
dodatkowa
1. C.
Branicki,
M.
Wizmur:
Metody macierzowe w mechanice budowli i dynami-
ka budowli, Skrypt Politechniki Gdańskiej.
2. C.
Branicki:
Komputerowa analiza konstrukcji prętowych Bezpośrednią Meto-
dą Przemieszczeń, Politechnika Gdańska.
3. T. Chmielewski, H. Nowak: Wspomaganie komputerowe „CAD CAM”, Opole.
4. Z.
Cywiński: Mechanika Budowli w zadaniach, tom II – Podstawy układów
statcznie niewyznaczalnych, PWN.
5. J. Pietrzak, G. Rakowski, K Wrześniowski: Macierzowa analiza konstrukcji,
PWN.
6. G.
Rakowski
(red.):
Mechanika Budowli z elementami ujęcia komputerowego,
Arkady.