XIII Konferencja Naukowa – Korbielów 2001
"Metody Numeryczne w Projektowaniu i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych"
Analiza konstrukcji 2D z betonu w stanach granicznych
dla procesów doraźnych i długotrwałych
Krzysztof Podleś
1
Jan Szarliński
2
Andrzej Truty
3
1. WSTĘP
Rozwój nowoczesnych metod komputerowych dokonany w ostatnich latach umożliwił
przeprowadzanie obliczeń numerycznych i analizę 2D
4
konstrukcji z betonu, betonowych i
żelbetowych, w stanach granicznych, przy poddaniu tych konstrukcji działaniu różnych
wpływów występujących w złożonych ścieżkach obciążeń. W ramach systemu Z_SOIL
pracownicy Samodzielnego Zakładu Podstaw Konstrukcji Budowli Wodnych Politechniki
Krakowskiej opracowali szereg modeli i procedur pozwalających wyznaczać stan graniczny
nośności i zarysowania tych konstrukcji, w szczególności konstrukcji masywnych, w
których procesy długotrwałe, takie jak skurcz i termika młodego betonu oraz jego pełzanie,
odgrywają znaczącą rolę.
W referacie zostanie przedstawione modelowanie, metoda i program MES oraz
obliczenia wybranych konstrukcji z betonu i omówienie tych obliczeń, umożliwiające ocenę
zalet i niedoskonałości modeli opracowanych i stosowanych przez Autorów referatu
zarówno do rozwiązywania zagadnień krótko- jak i długo-trwałych. W zakończeniu zostaną
podane wnioski i kierunki dalszych prac badawczo-rozwojowych, jakie ich zdaniem
powinny być prowadzone w przedmiotowej tematyce w celu udoskonalenia stosowanych
modeli.
2. MODELOWANIE BETONU I STALI ZBROJENIOWEJ
Modelowanie betonu.
Ponieważ modelem dla betonu stosowanym w MES przez Autorów dla procesów
doraźnych jest wielomechanizmowy model sprężysto-plastyczny z degradacją i dla
1
1
mgr inż., S. Z. Podstaw Konstrukcji Budowli Wodnych, WIŚ, Politechnika Krakowska
2
2
dr hab.inż., prof.PK, jw.
3
3
dr inż., jw.
4
4
Dla uproszczenia i skrócenia terminologii konstrukcjami 2D będą nazywane konstrukcje będące w
płaskim stanie 2D, a więc zarówno w płaskim stanie naprężenia - 2D,
jak i płaskim stanie odkształcenia -
2D,
. Oba te stany nie zależą od współrzędnej Z prostopadłej do płaskiego układu X, Y, w którym rozpatruje
się konstrukcję. Należą więc do tego typu konstrukcji, odpowiednio, np. tarcze i teoretycznie nieskończenie
grube ściany oporowe, konstrukcje ścianowo-płytowe itp. Takie natomiast konstrukcje jak płyty, chociaż ze
względu na ich geometrię są konstrukcjami płaskimi, to jednak zgodnie z powyższą definicją nie są
konstrukcjami będącymi w płaskim stanie 2D, gdyż stan naprężenia zmienia się po ich grubości. Dlatego nie są
one przedmiotem niniejszego referatu
procesów długotrwałych jest on jedynie wzbogacony o elementy uwzględniające zjawiska
czasowe (pełzanie i odkształcenia narzucone), model ten zostanie najpierw ogólnie opisany.
Bardziej szczegółowe informacje na jego temat można znaleźć np. w [1,2,3].
Powierzchnia graniczna przyjętego modelu sprężysto-plastycznego z degradacją
skonstruowana jest z następujących czterech powierzchni (
)
3
2
1
0
)
(
0
0
0
)
(
1
4
1
3
3
1
2
2
3
1
1
c
f
F
F
F
c
k
K
F
t
f
(2)
gdzie:
c
t
f
f
f
K
;
t
f
k
;
2
;
)
/
(
)
(
r
e
c
Rys.1. Powierzchnia graniczna
Pierwsze trzy powierzchnie opisują powierzchnię typu Coulomba-Mohra (dla
jest
to klasyczna powierzchnia C-M), natomiast czwarta odpowiada warunkowi typu Rankina.
Prawo płynięcia plastycznego opisane jest następującym równaniem (w którym
k
jest
mnożnikiem plastycznym, a Jact jest zbiorem aktywnych mechanizmów plastycznych)
Jact
k
k
k
k
p
Q
d
d
4
1
(3)
gdzie potencjały plastyczne wyrażone są następującymi formułami
1
4
1
3
3
1
2
2
3
1
1
Q
Q
Q
K
Q
g
(4)
natomiast współczynnik dylatancji zmienia się w zakresie
f
g
K
K
0
.
Prawo ewolucji dla parametru osłabienia
wyraża się następującym równaniem (sumacja
dotyczy tylko dodatnich części przyrostu odkształceń plastycznych przetransformowanych
do kierunków głównych):
3
1
/
i
p
i
e
d
N
h
d
(5)
w którym
2
1
3
3
1
1
cos
1
2
1
3
3
2
2
/
1
3
3
/
1
)
(
2
1
2
1
2
1
J
I
dla
b
J
I
J
I
dla
N
(6)
f
t
f
c
gdzie h
e
jest wielkością elementu skończonego,
r
jest krytyczną rozwartością rysy
szacowaną na podstawie wartości energii pękania G
f
, natomiast
i b są parametrami
materiałowymi przyjmowanymi zwykle
b = 10, jak w [3]).
Dla opisania nieliniowego zachowania się betonu w procesach długotrwałych w
programach stosowanych przez Autorów został rozwinięty model lepko-sprężysto-
plastyczny z degradacją, bazujący na przedstawionej wyżej wersji dla modelu
wielomechanizmowego, uwzględniający dodatkowo pełzanie i odkształcenia narzucone
(skurcz i odkształcenia termiczne). W modelu beton traktuje się jako w pełni dojrzały
(„zsolidyfikowany”/„stary”).
Rozszerzenie modelu sprężysto-plastycznego z degradacją na procesy długotrwałe
prowadzi do otrzymania związku konstytutywnego w formie
)
(
0
c
xy
xy
pl
xy
xy
ev
xy
xy
D
(7)
gdzie
ev
xy
D
jest macierzą lepko-sprężystą na danym kroku obliczeniowym a w nawiasie są
przyrosty odkształceń całkowitych, plastycznych, narzuconych i pełzania. Te ostatnie są
obliczane według liniowej formuły rekurencyjnej, co jest z reguły po stronie bezpiecznej,
gdyż - zmniejszając odkształcenia pełzania w stosunku do nieliniowej formuły - zwiększa
się odkształcenia sprężyste na ścieżce pokrytycznej, powodując zmniejszenie całkowitych
naprężeń, a więc mniejszą nośność konstrukcji.
Jak wynika to z tego co wyżej powiedziano, model nie opisuje dojrzewania
(solidyfikacji) betonu, dlatego nadaje się do obliczania nim konstrukcji, w których proces
dojrzewania można uznać za zakończony.
Już na początku jako wady przedstawionego modelu należy wymienić:
- krzywa
- w stanie pokrytycznym ma podobny charakter opadania po osiągnięciu
maksymalnej wytrzymałości zarówno dla ściskania jak i rozciągania (brak półki
plastycznej), co zaniża nośność graniczną przy dużych odkształceniach ściskających,
przekraczających te odpowiadające maksymalnej wytrzymałości
- równomierne kurczenie się powierzchni granicznej wytrzymałości (plastyczności) dla
ściskania i rozciągania, co może prowadzić do zaniżania granicznej nośności w
przypadkach gdy beton jest znacznie wytężony na wskutek ściskań i jednocześnie
zarysowany od poprzecznego rozciągania (np. w tarczach ścinanych silnie zbrojonych).
Modelowanie stali zbrojeniowej.
Podobnie jak stosuje się to z reguły w metodach opartych o normy, tak i w analizie
konstrukcji wykonywanej przy pomocy MES przyjmuje się, iż pręty zbrojeniowe pracują
jako elementy liniowe, występują więc w nich jedynie siły osiowe. Takie upraszczające
założenie pomija m.in. efekt poprzecznej nośności pręta, tzw. działanie kołkowe (ang.
dowel action), które przyjmuje się, że jest w jakimś stopniu uwzględnione w podwyższeniu
nośności betonu ponad to co przenosi on po zarysowaniu, czyli w tzw. stress stiffening.
Ponadto przyjmuje się, że właściwości mechaniczne stali są identyczne przy jej
rozciąganiu i ściskaniu, przy czym związek konstytutywny jest sprężysto (liniowo)-idealnie
plastyczny, tak jak podaje to większość norm.
3. SYSTEM MES PT. Z_SOIL
.
Z_SOIL
jest systemem analizy obliczeniowej bazującym na Metodzie Elementów
Skończonych (MES), ukierunkowanym na rozwiązywanie różnorodnych praktycznych
problemów projektowych i wykonawczych szeroko pojętej geotechniki, a w szczególności
zagadnień: fundamentowania, ziemnych i betonowych budowli hydrotechnicznych,
budownictwa drogowego i mostowego, górnictwa podziemnego i odkrywkowego.
Jako najistotniejsze zalety systemu należy wymienić następujące:
- dużą bibliotekę elementów skończonych i modeli konstytutywnych,
- możliwość wprowadzenia do systemu dowolnego modelu konstytutywnego poprzez
wykorzystanie funkcji interfejsowych oraz specjalnie przygotowanej biblioteki z
podstawowymi funkcjami systemu ,
- stosunkowo dużą niezawodność w przeprowadzeniu obliczeń do stanu krytycznego i
poza ten stan, m.in. dzięki stosunkowo dużej optymalizacji i prostocie procedur
stosowanych w algorytmach obliczeniowych, możliwości włączania do procesu obliczeń
różnych wersji arc length method itd.,
- możliwość etapowania konstrukcji (dokładania w czasie jej nowych elementów),
- możliwość wyznaczania i graficznego przedstawiania stanów granicznych nośności
przez rysowanie wykresu zależności P -
dowolnego punktu konstrukcji,
Opisane w p.2 modele betonu i stali zostały wprowadzone do systemu Z_SOIL
jako
modele użytkownika i obecnie wykorzystywane są do wyznaczania stanu granicznego
nośności konstrukcji 2D i 3D z betonu. Dla wyznaczania stanu zarysowania w programie
zastosowano sposób, który można nazwać sposobem mieszanym MES-owo-normowym.
Zakłada on kontynualne odkształcenie konstrukcji i brak poślizgu pomiędzy zbrojeniem i
betonem a szerokość rysy oblicza się na podstawie stanu odkształcenia otrzymanego z
obliczeń MES uwzględniając strefę, z której gromadzi się rysa, zasadniczo z warunku
normowego na odległość między rysami. Algorytm obliczeniowy opracowany dla tego
sposobu, szczegółowo podany w pracy [6], jest stosowany w systemie programów MES
przez Autorów.
4. PRZYKŁADY OBLICZEŃ I ICH OMÓWIENIE
Dla zilustrowania działania programu Z_SOIL
prezentuje się dwa przykłady: pierwszy
- dla procesu doraźnego – i drugi – dla procesu długotrwałego.
Przykład 1 (dla procesu doraźnego). Wysoka belka (tarcza) obciążona w środku siłą
skupioną, badana i obliczana przez Cervenkę [7] i obliczana przez Winnickiego [8],
pokazana na rys. 2 a), została obliczona programem Z_SOIL
z wykorzystaniem modelu
omówionego w punkcie 2. Obciążenie było realizowane w jednej ścieżce obliczeń. Ażeby
uzyskać porównywalną zgodność wyników otrzymanych z doświadczenia i z obliczeń,
wszystkie dane materiałowe i obciążeniowe przyjęto zgodnie z tymi jakie miały miejsce w
doświadczeniu.
Dane materiałowe:
Beton: f
c
= 26.8 MPa; f
t
=3.65 MPa; E
c
=20.0 GPa;
= 0.167; G
f
=100 N/m; dylatancja
= 5
0
;
Stal: : f
y
= 353.0 Mpa; E
s
= 200.0 GPa;
Na rys. 2 b), c) i d) przedstawiono wyniki obliczeń w kolejności odpowiednio: wykresy
P -
otrzymane z doświadczenia i z obliczeń oraz stany zarysowania wyznaczone
programem Z_SOIL
dla obciążenia charakterystycznego i maksymalnej nośności.
Obciążenie charakterystyczne przyjęto dzieląc P
max
otrzymane z obliczeń MES przez
arbitralnie przyjęty współczynnik bezpieczeństwa
f
= 1.3.
a)
S
x
=5.08 cm (15.24 cm od dołu) S
x
=10.16 cm (60.96 cm od góry) S
y
=10.16 cm F
s
=0.7126 cm2
b)
0
20
40
60
80
100
120
0
1
2
3
[mm]
P [kN]
AT-WIN
wyniki doświadczalne
Z_SOIL
c)
d)
0.0
0.04
0.08
0.12
0.16
MAX CRACK
WIDTH
0.0113
0.0
0.04
0.08
0.12
0.16
MAX CRACK
WIDTH
0.2402
Rys. 2. a) Rysunek belki „Cervenki”, b) Wykresy P -
dla punku „C” w środku
rozpiętości belki, c), d) Obraz zarysowania odpowiednio na poziomie
obciążenia charakterystycznego i na poziomie nośności granicznej (P
max
)
Omówienie wyników obliczeń:
Obliczenia przeprowadzone programem Z_SOIL
dały dość dobrą zgodność z
doświadczeniem (oraz podanymi w [8]) odnośnie stanu granicznego nośności (różnica
wynosi max
3%), natomiast znacznie gorszą zgodność otrzymano dla przemieszczenia ,
zwłaszcza na poziomie dla obciążenia charakterystycznego wynoszącego około P = 80 KN,
gdzie różnica wynosi około 30%. Charakter krzywej na odcinku od poziomu zarysowania
(P
43 KN) do maksymalnej nośności (P
max
114 KN) wydaje się wyraźnie wskazywać na
przyjęcie w obliczeniach zbyt dużej wielkości efektu „stress stiffening” i/lub ciągliwości dla
betonu przy stosunkowo niskim stopniu zbrojenia belki na ścinanie (
9%), co ma miejsce
w tym przykładzie.
Można też powiedzieć, że w przykładzie tym, gdzie przy małym stopniu zbrojenia o
osiągnięciu stanu granicznego nośności zadecydowała nośność stali, równomierne
mięknięcie dla rozciągania i ściskania nie miało wpływu na ten stan z powodu małego
wytężenia betonu.
Przykład 2 (dla procesu długotrwałego).
Przykład ten pokazuje jak osłabienie konstrukcji w pierwszej ścieżce odkształceniami
narzuconymi wpływa na stany graniczne od obciążenia zewnętrznego działającego na nią w
drugiej ścieżce oraz jak wyniki obliczeń MES wykonane systemem Z_SOIL
korespondują
z obliczeniami przeprowadzonymi w oparciu o polskie normy z 1984 r. i 1999 r.
Badaną konstrukcją, a właściwie fragmentem hipotetycznej konstrukcji z betonu, jest
środkowe przęsło, masywna płyta, trójkomorowego ramowego spustu dennego pewnej
ziemnej zapory wodnej.
Analizą porównawczą objęto dwa rodzaje płyt, a mianowicie płytę, typ „A”, zbrojoną
wyłącznie na zginanie (bez strzemion) i płytę, typ „B”, zbrojoną zarówno na zginanie jak i
na ścinanie (ze strzemionami). Każdą płytę poddano dwóm przypadkom obciążeniowym:
przypadek 1), składający się wyłącznie z pionowej siły skupionej w środku przęsła o
wielkości P = 2Q, oraz przypadek 2), składający się z odkształczeń narzuconych,
0
,
działających od chwili t = 0 do chwili obliczeniowej t = 28 dni, i sile zewnętrznej P = 2Q,
przyłożonej natychmiastowo w chwili t = 28 d.
Układ statyczny całego spustu przedstawiono na rys.3 a), a analizowane przęsło płyty (do
osi symetrii), wraz z jego dyskretyzacją w MES, na rys.3 b). Na rys.4 a) i b) pokazano
schematycznie sposób zazbrojenia płyty odpowiednio dla typu „A” i „B”.
Dane materiałowe (w nawiasach wielkości wg PN- 84/B-03264):
Beton: f
ck
= 16 MPa (R
bk
= 13,5MPa); f
ctk
= 1,3 MPa (R
bzk
= 1.35 MPa); f
cd
= 10.6 MPa; f
ctd
= 0.87
MPa (R
bbz
= 0.71MPa);
Rd
= 0.22 Mpa; E
cm
= 27.5 GPa (E
a
= 27.0 GPa);
c
= 0.20;
,to
=
1.0;
o
c,
= -3.3E-4; w
r
= 0.1 i 0.2mm
G
f
= 100 N/m ; dylatancja
= 0
o
.
Stal: f
yk
= 355 Mpa (= R
ak
); f
yd
= 310 Mpa (= R
a
); E
s
= 200.0 GPa (E
a
= 210.0 GPa);
o
s,T,
= -3.3
E-4
(odkształcenia narzucone w stali od temperatury ochładzającego się betonu).
Dane przekroju tarczy: b
w
= h = 1.0 m; d = 0.95 m.
Rys.3. a) Schemat spustu, b) Dyskretyzacja w MES płyty.
Rys.4. a) Płyta zbrojona wyłącznie na zginanie, typ „A”,
b) Płyta zbrojona na zginanie i ścinanie, typ „B”
Na rys.5 a), b) i c) przedstawiono porównanie dla przypadku 1) i 2), tj. sama siła i odkształcenia
narzucone i potem siła, obrazów zarysowania dla płyty typu „A”, na poziomie obciążenia
charakterystycznego i wykresów P -
, natomiast na rys.6 a), b) i c) takie samo porównanie lecz
dla płyty typu „B”. W tablicy 1. podano wyniki maksymalnej siły Q obliczeniowej i szerokości
rozwarcia rysy otrzymane z obliczeń MES i na podstawie polskich norm z 1984 r. [N4] i z 1999 r.
[N5].
8
25
8
25
25
25
25
25
8
25
8
25
4
25
4
25
4
25
4
25
8
co 15
P
Rys.5. a) Obraz zarysowania dla schematu bez pełzania, (typ „A”)
b) Obraz zarysowania dla schematu z pełzaniem, (typ „A”)
c) Porównanie wykresów P -
, (typ „A”)
Rys.6. a) Obraz zarysowania dla schematu bez pełzania, (typ „B”)
b) Obraz zarysowania dla schematu z pełzaniem, (typ „B”)
c) Porównanie wykresów P -
, (typ „B”)
Tablica 1 . Zestawienie porównawcze nośności granicznej i szerokości rysy dla przykładu 2.
Przypadek
Obliczenia
według
Qmax,obl
1)
[MN]
Szerokość rysy [mm] (Qchar [MN])
A
1)
PN-B-1999
0.400
-
PN-B-1984
0.525
-
MES
1.089
0.27 (Qchar = 0.838)
2)
PN-B-1999
0.400
2)
-
PN-B-1984
0.525
2)
-
MES
0.987
0.19 (Qchar = 0.759)
B
1)
PN-B-1999
2.535
0.65
PN-B-1984
2.014
0.61
MES
1.255
0.18 (Qchar = 0.965)
2)
PN-B-1999
2.535
2)
0.65
2)
PN-B-1984
2.014
2)
0.61
2)
MES
1.042
0.16 (Qchar = 0.965 jak dla B1)
Objaśnienia do tablicy 1:
1)
Graniczną obliczeniową siłę Q
max,obl
wyznaczano korygując Q
max,char
stosunkiem odpowiednich
wytrzymałości obliczeniowych i charakterystycznych. Poziom obciążenia charakterystycznego
dla obliczenia szerokości rysy przyjmowano dla
f
= 1.3.
2
) Odpowiednie wielkości siły przyjęto jak dla przypadku 1), tj. bez odkształceń narzuconych,
gdyż nie ma podanego w normach sposobu ich uwzględniania.
Omówienie wyników obliczeń:
0.00E+0
4.00E-4
8.00E-4
1.20E-3
1.60E-3
u [m]
0
400
800
1200
1600
P [kN]
z odkształceniami narzuconymi
bez odkształceń narzuconych
0.00E+0
1.00E-3
2.00E-3
3.00E-3
u [m]
0
400
800
1200
1600
2000
P [kN]
z odkształceniami narzuconymi
bez odkształceń narzuconych
1. Większa nośność płyty według MES niż według norm dla płyty bez strzemion wynika
zasadniczo stąd, że w tym przypadku wzory normowe są ogólnie konserwatywne, a
obliczenie MES uwzględnia jeszcze efekt pewnego przesklepiania się grubej płyty, co
ma miejsce w przykładzie.
2. Otrzymana według MES większa wielkość siły granicznej dla płyty (B), tj. ze
zbrojeniem poprzecznym, niż dla płyty (A), tj. bez tego zbrojenia, wynosząca dla
przypadku 1) 15% i dla przypadku 2) 6%, jest ogólnie logiczna. Podwyższenie jednak
nośności w przypadku 2) o znacznie mniejszą wielkość niż w przypadku 1) jest
nieuzasadnione i wydaje się wynikać z nadmiernego zmniejszenia nośności betonu na
ściskanie przy ścinaniu w płycie ze strzemionami, na skutek większej strefy betonu
(liczby elementów skończonych) o zredukowanej wytrzymałości, co spowodowane jest
obecnością strzemion. Innymi słowy, strzemiona w obliczeniach MES przeciwdziałają
lokalizowaniu się rys i odciążaniu się między nimi stref, które przenosiłyby większe
ściskania. Jest to wada modelu betonu, wynikająca z przyjęcia dla niego równomiernego
(izotropowego) mięknięcia dla rozciągania i ściskania.
3. Otrzymana o około połowę mniejsza nośność według MES niż normowo wynika także,
jw., z przyjętego w modelu równomiernego mięknięcia betonu dla ściskania i
rozciągania i dochodzi do tego jeszcze niesłuszne zawyżenie (nawet do 40%) normowej
nośności na skutek nie uwzględniania w normach pewnego obniżenia wytrzymałości na
ściskanie, co ma miejsce przy występowaniu poprzecznie do niego odkształceń
rozciągających i uwzględniane jest w tzw. modified field theory.
5. UWAGI KOŃCOWE I WNIOSKI
Na podstawie tego co wyżej powiedziano, a zwłaszcza przykładów zarówno
pokazanych w p. 4. jak i innych, których z powodu ograniczonej objętości referatu nie
zamieszczono, wydaje się uzasadnione sformułowanie niżej podanych uwag końcowych i
wniosków.
1. Program Z_SOIL
ze sprężysto-plastycznym z degradacją modelem betonu dla
procesów doraźnych i sprężystolepko-plastycznym z degradacją modelem betonu dla
procesów długotrwałych jest skutecznym narzędziem dla wyznaczania stanów
granicznych 2D konstrukcji z betonu, chociaż w przypadkach występowania w
konstrukcjach, zwłaszcza silnie zbrojonych, dużego ścinania powodującego znaczną
redukcję wytrzymałości betonu na ściskanie przez jego duże uszkodzenie na
rozciąganie, wyniki otrzymywane dla tych stanów są z reguły nieco zaniżane, a więc
zawsze po stronie bezpiecznej. To zaniżenie stanu granicznego nośności w „złośliwych”
sytuacjach obliczeniowych może dochodzić nawet do około 30%.
2. Ażeby wyeliminować niedoskonałości czy wręcz wady modelu betonu planuje się jego
ulepszenie polegające na:
- wprowadzeniu nierównomiernej miary uszkodzeń betonu w zakresie ściskania i
rozciągania, czyli nierównomiernej degradacji dla ściskań i rozciągań, zwanej często
– zdaniem Autorów mylnie – anizotropową degradacją; innymi słowy wprowadzeniu
różnych miar uszkodzeń betonu dla ściskania i rozciągania, co może odbywać się
izotropowo - tak samo we wszystkich kierunkach (ma to szczególne znaczenie w
konstrukcjach ścinanych, gdzie np. całkowita utrata nośności na rozciąganie w jednym
kierunku nie musi powodować utraty nośności na ściskanie w kierunku do niego
prostopadłym)
- lepszym dostosowaniu związku
- dla betonu w stanie pokrytycznym przy
ściskaniu do krzywych doświadczalnych (długa półka plastyczna), co powinno
prowadzić do bardziej realistycznego opisu zachowania się konstrukcji z betonu silnie
zbrojonych.
6. LITERATURA
[1] Crisfield M.A.: Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Vol.2,
Advanced Topics, J. Wiley, 1997
[2] Simo J.C., Hughes T.J.R.: Computational Inelasticity. Springer, New York, 1998
[3] Truty A.,Szarliński J.,: FEM implementation of multi-mechanism elasto-plastic
model with degradation for concrete. Proc.of II Conf. "Analytical Models and
New Concepts in Mechanics of Concrete Structures", p.91-98, Łódź, 1996.
[4] Bazant Z., Prasannan S.: Solidification theory for concrete creep: II formulation. ASCE
Journal of Engineering Mechanics, 1989.
[5] Szarliński J., Truty A.: Multilaminate non-linear model for cracked aging concrete.
Proc.of Int.Conf.on Computational Modelling of Concrete Structures "EURO-C
[6] Szarliński J., Podleś K., Rysiewicz M.: Lokalizacja i szerokość rys w 2D konstrukcjach
z betonu. Mat.Pokonf.XI Konf.Naukowej nt.“Metody Numeryczne w Projektowaniu
i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych", s.158-167, Korbielów, marzec, 1999.
[7] Cervenka V., Gerstle K.H.: Inelastic FEM analysis of RC panels: Experimental
verification and application. IABSE Publ., Vol.32-II, 1972.
[8] Winnicki A.: Model betonu przy obciążeniach doraźnych. Teoria i weryfikacja
numeryczna dla płaskiego stanu naprężenia. Praca doktorska. Wydział Inżynierii
Lądowej, Politechnika Krakowska, Kraków, maj 1994.
7. STRESZCZENIE
W referacie przedstawiono model betonu i program MES stosowany do obliczeń i
analizy stanów granicznych 2D konstrukcji z betonu w procesach doraźnych i
długotrwałych. Działanie programu zilustrowano dwoma przykładami obliczeniowymi:
belki Cervenki i płytowo-ramowej konstrukcji z betonu z różnym stopniem zbrojenia. W
zakończeniu omówiono wyniki obliczeń i podano wnioski.
8. SUMMARY
In the paper a model of concrete and FEM programme applied for computing and
analysing limit states of 2D concrete structures in short- and long-term processes is
presented. Functioning of the programme is illustrated with two calculation examples: one
of the Cervenka beam and the other of a concrete plate-frame structure with different steel
ratios. At the end, the computing results are discussed an some conclusions formulated.