dr Krzysztof Kisiel

Elementy rachunku całkowego

Definicja 1. Funkcja pierwotna Funkcja

F

jest funkcj ˛

a pierwotn ˛

a funkcji

f

na

przedziale

I

, je˙zeli

F

0

(x) = f (x)

dla ka˙zdego

x ∈ I

.

Podstawowe o funkcjach pierwotnych

Twierdzenie 2. Niech

F

b˛edzie funkcj ˛

a pierwotn ˛

a funkcji

f

na przedziale

I

.

Wtedy

1. G(x) = F (x) + C

, gdzie

C ∈ R

, jest funkcj ˛

a pierwtn ˛

a funkcji

f

na

przedziale

I

.

2.

ka˙zd ˛

a funkcj˛e pierwotn ˛

a funkcji

f

na

I

mo˙zna przedstawi´c w postaci

F (x)+

D

, gdzie

D ∈ R

.

Warunek wystarczaj ˛

acy istnienia funkcji pierwotnej

Twierdzenie 3. Je˙zeli funkcja jest ci ˛

agła na przedziale, to ma funkcj˛e pierwot-

n ˛

a na tym przedziale.

Warunek wystarczaj ˛

acy istnienia funkcji pierwotnej

Uwaga 4. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi by´c funkcj ˛

a ele-

mentarn ˛

a, np:

f (x) = e

−x

2

.

Całka nieoznaczona

Definicja 5. Niech

F

b˛edzie funkcj ˛

a pierwotn ˛

a funkcji

f

na przedziale

I

. Całk ˛

a

nieoznaczon ˛

a funkcji

f

na przedziale

I

nazywamy zbiór funkcji

{F (x) + C : C ∈ R}

Całk˛e nieoznaczon ˛

a funkcji

f

oznaczamy przez

R f (x)dx

.

pochodna całki nieoznaczonej, całka nieoznaczona pochodnej

Uwaga 6.

1.

Niech

f

ma funkcj˛e pierwotn ˛

a na przedziale

I

. Wtedy dla ka˙z-

dego

x ∈ I

 Z

f (x)dx



0

= f (x)

2.

Niech funkcja

f

ma pochodn ˛

a na przedziale

I

. Wtedy dla ka˙zdego

I

Z

f

0

(x)dx = f (x) + C,

gdzie

C ∈ R

Niech funkcje

f

i

g

maj ˛

a funkcje pierwotne oraz niech

α ∈ R

. Wtedy

1.

Z

(f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx

2.

Z

αf (x)dx = α

Z

f (x)dx

Twierdzenie 7. o całkowaniu przez podstawienie Je˙zeli

1.

Funkcja

f : I 7→ R

jest ci ˛

agła na przedziale

I

,

2.

Funkcja

g : J 7→ I

jest klasy

C

1

na przedziale

J

, to

Z

f (g(x))g

0

(x)dx =

Z

f (t)dt

Twierdzenie 8. o całkowaniu przez cz˛e´sci Je˙zeli funkcje

f

i

g

maj ˛

a ci ˛

agłe po-

chodne (s ˛

a klasy

C

1

),to

Z

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x) −

Z

f

0

(x)g(x)dx