RACHUNEK CAŁKOWY
Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona
Niech oznacza dowolny przedział i
Definicja (funkcji pierwotnej)
Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji na przedziale
jeżeli pochodna funkcji jest równa funkcji na tym przedziale,
czyli
Jeżeli to przez pochodną
funkcji w punktach oraz rozumiemy odpowiednio pochodne
jednostronne
Twierdzenie
Jeżeli jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji na
przedziale natomiast jest dowolną stałą, to wszystkie funkcje
postaci i tylko takie funkcje są funkcjami
pierwotnymi funkcji na przedziale

F

f

,

I

F

f

.

dla

),

(

)

(

'

I

x

x

f

x

F

,

,

(

lub

)

,

lub

,

b

a

I

b

a

I

b

a

I

f

a

b

).

(

'

oraz

)

(

'

b

F

a

F

F

f

,

I

C

I

x

C

x

F

dla

)

(

.

I

f

.

R

I

f :

I

Definicja (całki nieoznaczonej)
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji na przedziale
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji na przedziale
i zapisujemy
gdzie oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji
jest dowolną stałą, natomiast wskazuje zmienną całkowania.
Definicja
Funkcję, dla której istnieje całka nieoznaczona na pewnym
przedziale nazywamy funkcją całkowalną na tym przedziale.
Twierdzenie (warunek wystarczający całkowalności)
Jeżeli funkcja jest ciągła na pewnym przedziale, to jest funkcją
całkowalną na tym przedziale.
Wyznaczanie całki nieoznaczonej danej funkcji nazywa się
całkowaniem tej funkcji. Całokształt zagadnieo z tym związanych
nosi nazwę rachunku całkowego.

f

I

f

I

),

(

)

(

lub

)

(

)

(

x

F

dx

x

f

C

x

F

dx

x

f

C

F

,

f

C

dx

Wzory bezpośrednie rachunku całkowego

,

arccos

arcsin

1

1

.

10

,

1

1

.

9

,

cos

1

.

8

,

sin

1

.

7

,

sin

cos

.

6

,

cos

sin

.

5

,

1

0

gdy

,

ln

.

4

,

.

3

,

1

gdy

,

ln

1

gdy

,

1

.

2

,

,

0

.

1

1

2

1

2

2

2

1

C

x

C

x

dx

x

C

arcctgx

C

arctgx

dx

x

C

tgx

dx

x

C

ctgx

dx

x

C

x

xdx

C

x

xdx

a

a

C

a

a

dx

a

C

e

dx

e

C

x

C

x

dx

x

const

C

C

dx

x

x

x

x

Własności całki nieoznaczonej
Twierdzenie
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna na przedziale
to
Twierdzenie
Jeżeli funkcja jest całkowalna na przedziale
to
Twierdzenie
Jeżeli funkcje oraz są całkowalne na przedziale to funkcja
jest też całkowalna na przedziale i przy tym

Twierdzenie
Jeżeli funkcja jest całkowalna na przedziale i jest pewną
stałą, to funkcja jest też całkowalna na tym przedziale i przy
tym

.

dla

)

(

)

(

'

I

x

C

x

f

dx

x

f

,

I

f

,

I

f

.

dla

)

(

)'

)

(

(

I

x

x

f

dx

x

f

f

g

,

I

g

f

I

.

dla

)

(

)

(

))

(

)

(

(

I

x

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

f

I

k

f

k

.

dla

)

(

)

(

I

x

dx

x

f

k

dx

x

f

k

Metody całkowania
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie (lub zamianę
zmiennej))
Jeżeli
1. funkcja jest ciągła na przedziale
2. funkcja jest klasy na przedziale
to
Przykład


Sposób praktycznego stosowania wzoru na całkowanie przez
podstawienie:

.

4

)

(

'

))

(

(

,

)

(

,

4

)

(

'

,

1

2

)

(

gdyż

,

)

(

4

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

x

e

x

g

x

g

f

e

t

f

x

x

g

x

x

g

t

C

e

C

e

dt

e

xdx

e

x

t

x

t

t

x

t

t

x

x

.

2

2

2

2

1

2

1

1

x

C

t

C

t

x

x

e

e

dt

e

dt

dx

x

dt

dx

x

t

x

dx

x

e

dx

x

e

R

I

f :

,

I

I

J

g :

1

C

,

J

).

(

gdzie

,

)

(

)

(

'

))

(

(

x

g

t

dt

t

f

dx

x

g

x

g

f

Wzory uzyskane przy pomocy całkowania przez podstawienie



Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje oraz są klasy na przedziale , to na tym
przedziale prawdziwy jest wzór (zwany wzorem na całkowanie przez
części):
Dowód Funkcje oraz są klasy na przedziale , więc

Całkując obustronnie powyższą równośd na przedziale otrzymamy
Zatem
co w równoważny sposób
można zapisad w postaci
gdyż występuje w całkach nieoznaczonych po obu stronach równości

0

)

(

gdy

,

)

(

2

)

(

)

(

'

,

0

)

(

gdy

,

)

(

ln

)

(

)

(

'

x

f

C

x

f

dx

x

f

x

f

x

f

C

x

f

dx

x

f

x

f

f

g

1

C

.

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

f

g

1

C

I

I

).

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)]'

(

)

(

[

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

I

x

I

.

)]

(

'

)

(

)

(

)

(

'

[

)

(

)

(

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

C

x

g

x

f

,

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

C

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

,

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

C

Całkowanie ułamków prostych
I – go rodzaju





II – go rodzaju
A.



Zatem

.

1

dla

ln

1

dla

1

)

(

1

dla

ln

1

dla

1

1

1

)

(

)

(

1

1

n

b

ax

n

n

b

ax

a

A

n

t

n

n

t

a

A

dt

t

a

A

dt

a

dx

dt

adx

t

b

ax

dx

b

ax

A

dx

b

ax

A

n

C

n

C

C

n

n

n

.

0

gdzie

,

1

1

)

(

1

1

2

2

2

k

C

k

x

arctg

k

k

C

arctgt

k

k

t

dt

k

k

dt

k

dx

t

k

x

dx

k

x

k

k

x

dx

.

0

gdzie

,

2

k

C

k

x

arctg

k

k

k

x

dx

B.

gdzie natomiast

są tak dobranymi stałymi, że
C.

Wykorzystujemy wzór rekurencyjny


Całkowanie dowolnych funkcji wymiernych
Aby scałkowad dowolną funkcję wymierną należy ją przedstawid
w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych, a następnie
scałkowad składniki tego rozkładu.

,

2

2

2

2

1

2

c

bx

ax

dx

A

dx

c

bx

ax

b

ax

A

dx

c

bx

ax

B

Ax

,

0

,

0

,

0

4

2

2

2

B

A

a

ac

b

2

1

oraz

A

A

.

)

2

(

2

1

A

b

ax

A

B

Ax

}

{

-

N

1

,

0

A

,

0

,

0

4

gdzie

,

)

(

2

2

2

2

n

B

a

ac

b

dx

c

bx

ax

B

Ax

n

,...

3

,

2

,

)

1

(

2

3

2

)

(

)

1

(

2

1

)

(

1

1

2

2

n

J

n

k

n

k

x

x

n

k

k

x

dx

J

n

n

n

n

Całkowanie wybranych funkcji niewymiernych
I. Całki typu oznacza funkcję
wymierną swoich argumentów, natomiast dla


Stosując podstawienie , gdzie
sprowadza się rozważane całki do całek z funkcji wymiernych.
II. Całki typu Korzystamy z wzorów:
A.



Zatem
B.

k

k

x

h

x

p

)

(

)

(

t

x

h

N

)

(

.

0

0

gdzie

,

2

a

c

bx

ax

dx

.

0

,

arcsin

arcsin

1

1

)

(

1

1

2

2

2

k

C

k

x

C

t

t

dt

k

k

dt

k

dx

t

k

x

k

x

dx

k

x

k

dx

.

0

gdzie

,

arcsin

2

k

C

k

x

x

k

dx

R

dx

x

p

x

p

x

p

x

R

n

czym

przy

,

))

(

),...,

(

),

(

,

(

3

2

.

lub

)

(

lub

)

(

gdzie

,

,...,

3

,

2

d

cx

b

ax

h(x)

b

ax

x

h

x

x

h

n

k

)

,...,

3

,

2

(

NWW

n

N

.

0

gdzie

,

ln

2

2

k

C

x

k

x

x

k

dx

III. Całki typu



przy czym są tak dobranymi współczynnikami, że

IV. Metoda współczynników nieoznaczonych


Całkowanie funkcji trygonometrycznych
I. jest funkcją wymierną sinusa i cosinusa.
A. Stosujemy podstawienie uniwersalne ale mogące

czasami prowadzid do całki z takiej funkcji wymiernej, której
obliczenie wymaga długich rachunków. Wtedy

.

0

0

,

gdzie

,

2

a

A

dx

c

bx

ax

B

Ax

,

2

2

2

2

c

bx

ax

dx

dx

c

bx

ax

b

ax

dx

c

bx

ax

B

Ax

,

2

t

tg

x

2

2

2

2

1

1

cos

,

1

2

sin

,

1

2

,

2

t

t

x

t

t

x

dt

t

dx

arctgt

x

oraz

.

2

b)

ax

(

B

Ax

R

dx

x

x

R

gdzie

,

)

cos

,

(sin

a

stał

-

},

1

{

dla

,

1

stopnia

wielomian

-

,

stopnia

wielomian

-

0,

gdzie

,

)

(

)

(

1

2

2

1

2

N

n

n

P

n

W

c

bx

ax

dx

c

bx

ax

x

P

dx

c

bx

ax

x

W

n

n

n

n

B. Jeżeli jest funkcją nieparzystą względem sinusa tzn.
to stosujemy podstawienie

C. Jeżeli jest funkcją nieparzystą względem cosinusa tzn.
to stosujemy podstawienie

D. Jeżeli to stosujemy podstawienie

E. Aby obliczyd całki
korzystamy ze wzorów:


Uwaga Niektóre całki funkcji elementarnych np.
nie wyrażają się za pomocą skooczonej liczby działao przez funkcje
elementarne.

.

sin

sin

2

cos

cos

,

cos

cos

2

cos

cos

,

cos

sin

2

sin

sin

2

2

2

2

2

2

dx

e

dx

x

x

x

2

,

sin

)

cos(

)

cos(

,

)

cos(

)

sin(

,

)

sin(

)

sin(

dx

bx

ax

dx

bx

ax

dx

bx

ax

),

cos

,

(sin

)

cos

,

sin

(

x

x

R

x

x

R

.

cos

t

x

),

cos

,

(sin

)

cos

,

(sin

x

x

R

x

x

R

.

sin

t

x

),

cos

,

(sin

)

cos

,

sin

(

x

x

R

x

x

R

.

t

tgx

R

R