Opracował i wykonał: Stanisław Zoń

1/2

Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych

Zadania na ćwiczenia

Przygotuj funkcję wymierną do całkowania:

Zad. 1.

x

x

x

x







3

2

4

1

2

=

Odp.

1

2

1

2

1













x

x

x

x

Zad. 2.

3

5

2

3

4

5

1

4

3

4

x

x

x

x

x

x











Odp.

1

1

1

2

4

2

3











x

x

x

x

Tw. Każdy wielomian W(x) 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.
Tw. Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n różnych pierwiastków.
Tw. Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Tw. Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu

)

(x

W

wtedy i tylko wtedy,

gdy

)

(x

W

jest podzielny przez dwumian

)

(

a

x 

.

Wyznaczyć całki:

Zad. 3.







x

a

x

d

1

…

Odp.

C

a

x



 |

|

ln

Zad. 4. dla

1



m

,











x

a

x

m

d

)

(

1

…

Odp.

1

dla

1

)

)(

1

(

1













m

C

m

a

x

m

Zad. 5.









x

x

f

x

f

d

)

(

)

(

'

)

('

d

)

(

x

f

t

x

f

t





= …

Odp.

C

x

f



|

)

(

|

ln

Niech trójmian kwadratowy

q

px

x





2

ma wyróżnik

0

4

2









q

p

, czyli

0

)

4

/

(







,

np. zad. 10 na poprzednich ćwiczeniach:

13

4

2



 x

x

ma

0

36

13

4

4

2















,

0

9

)

4

/

(









.

Zad. 6.















x

q

px

x

p

x

d

2

2

....

..........

d

2









t

q

px

x

t

=…

Odp.

C

q

px

x







|

|

ln

2

Zad. 7.













x

q

px

x

d

1

2

…

Odp.

C

p

x























4

/

2

/

arctg

4

/

1

Zad. 8.















x

q

px

x

B

Ax

d

2

x

q

px

x

p

A

B

p

x

A

d

2

)

2

(

2

2
























x

q

px

x

p

A

B

x

q

px

x

p

x

A

d

1

2

d

2

2

2

2































Zad. 9.















x

x

x

x

d

8

4

1

3

2

16

8

4

)

4

(

2















=

x

x

x

x

d

8

4

....

1

)

4

2

(

2

...

2


















…

Zad. 10. Dla

0

,

1





a

n





t

a

t

n

n

d

1

2

2











I





1

2

2

3

2

)

1

(

2

2

1

2

2

2

1

1



















n

n

n

a

a

x

n

a

I

t

n

.

Zad. 11.



















x

n

q

px

x

B

Ax

d

2





x

n

q

px

x

p

A

B

p

x

A

d

2

)

2

(

2

2

































x

n

q

px

x

p

A

B

x

n

q

px

x

p

x

A

d

1

2

d

2

2

2

2































Opracował i wykonał: Stanisław Zoń

2/2

Zadanie domowe

Zaproponuj rozkład na ułamki proste funkcji

Zad. 1.













2

2

2

2

2

4

7

)

(

b

x

a

x

x

x

W

Odp.











2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

7

)

(

b

x

H

Gx

b

x

F

Ex

a

x

D

a

x

C

x

B

x

A

b

x

a

x

x

x

W





























Wyznacz całki:

Zad. 2.















x

x

x

x

x

x

d

4

4

8

2

4

3

5

Odp. = 



























x

x

x

x

x

x

d

4

1

1

2

2

2

=

=

 

C

x

x

x

x

x













2

arctg

2

1

4

ln

2

1

1

ln

2

2

2

2

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Dla całki







x

x

x

R

d

)

cos(

),

sin(

gdzie R oznacza funkcję wymierną:

 stosujemy podstawienie

)

2

/

(

tg x

t 

,

wtedy:

)

(

arctg

2

t

x 

,

2

1

d

2

d

t

t

x





,

2

1

2

)

sin(

t

t

x





,

2

2

1

1

)

cos(

t

t

x







.

W szczególności:

 jeśli





)

cos(

),

sin(

x

x

R

jest nieparzystą funkcją sin(x), tzn,









)

cos(

),

sin(

)

cos(

),

sin(

x

x

R

x

x

R







tzn. że całka jest postaci







x

x

x

x

R

d

)

sin(

)

cos(

),

(

sin

~

2



więc stosujemy podstawienie t = cos(x),

 jeśli





)

cos(

),

sin(

x

x

R

jest nieparzystą funkcją cos(x) tzn,









)

cos(

),

sin(

)

cos(

),

sin(

x

x

R

x

x

R







tzn. że całka jest postaci







x

x

x

x

R

d

)

cos(

)

(

cos

),

sin(

~

2



więc stosujemy podstawienie t = sin(x),

 jeśli





)

cos(

),

sin(

x

x

R

jest parzystą funkcją sin(x) i cos(x) tzn,









)

cos(

),

sin(

)

cos(

),

sin(

x

x

R

x

x

R







tzn. że całka jest postaci







x

x

x

x

R

d

)

(

tg

),

(

cos

),

(

sin

~

2

2

więc stosujemy podstawienie t = tg(x),

wtedy:

)

(

arctg t

x 

,

2

1

d

d

t

t

x





,

2

1

)

sin(

t

t

x





,

2

1

1

)

cos(

t

x





.

Wyznacz całkę:

Zad. 3.













x

x

x

x

x

d

)

(

sin

)

(

sin

)

(

cos

)

(

cos

4

2

5

3

…

.Wskazówka Zastosuj podstawienie t = sin(x)

Odp.





















C

x

x

x

t

t

t

t

t

t

-t

-t



























)

sin(

arctg

6

)

sin(

2

)

sin(

...

d

1

1

d

1

2

1

2

2

2

2

2

2

6

2

.

Zad. 4.









x

x

x

d

)

(

sin

)

(

cos

4

2

… Wsk. Zastosuj podstawienie t = tg(x).

Odp.

C

x 



)

(

ctg

)

3

/

1

(

3

.

Ciekawe związki:





'

)

(

tg

)

(

cos

1

1

)

(

tg

2

2

x

x

x







,





'

)

(

ctg

)

(

sin

1

1

)

(

ctg

2

2

x

x

x









.