I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
1
CAŁKA NIEOZNACZONA
DEFINICJA
[FUNKCJA PIERWOTNA]
Niech
R
D
będzie przedziałem oraz niech
R
D
f
:
będzie funkcją. Funkcję
R
D
F
:
nazywamy funkcją pierwotną funkcji
f jeśli F jest różniczkowalna i
f
F
'
.
TWIERDZENIE
Dwie dowolne funkcje pierwotne funkcji
R
D
R
f
:
różnią się o stałą, to znaczy
(1) Jeśli
F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f to
c
G
F
dla pewnego
R
c
(2) Jeśli
F jest funkcją pierwotną funkcji f oraz
c
G
F
dla pewnego
R
c
to
G też jest
funkcją pierwotną funkcji
f.
D
EFINICJA
[
CAŁKA NIEOZNACZONA
]
Całką nieoznaczoną funkcji
f nazywamy zbiór jej funkcji pierwotnych i oznaczamy przez
dx
x
f
)
(
.
Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.
Oczywiście, jeśli zmienną funkcji
f jest np. t, to piszemy
dt
t
f
)
(
.
W
NIOSEK
Jeśli
F jest funkcją pierwotną funkcji f to
c
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
.
T
WIERDZENIE
[ISTNIENIE
CAŁKI
NIEOZNACZONEJ]
Każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
2
Podstawowe wzory rachunku całkowego
(1)
c
dx
0
;
(2)
c
x
dx
1
;
(3)
c
x
dx
x
1
1
1
,
1
;
(4)
c
x
dx
x
|
|
ln
1
,
0
|
|
x
;
(5)
c
a
a
dx
a
x
x
ln
dla
1
,
0
a
a
;
(6)
c
e
dx
e
x
x
;
(7)
c
x
dx
x
cos
sin
;
(8)
c
x
dx
x
sin
cos
;
(9)
c
tgx
dx
x
2
cos
1
,
0
cos
x
;
(10)
c
ctgx
dx
x
2
sin
1
,
0
sin
x
;
(11)
c
x
c
x
dx
x
arccos
arcsin
1
1
2
,
1
1
x
;
(12)
c
arctgx
dx
x
2
1
1
;
Uwaga. Wzory całkowe do druku znajdują się na stronie kursu.
T
WIERDZENIE
[WŁASNOŚCI
CAŁKI
NIEOZNACZONEJ]
Niech
R
D
R
g
f
:
,
będą funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone oraz
R
k
.
Wtedy:
(1) całka sumy jest równa sumie całek (addytywność), tzn.
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
))
(
)
(
(
;
(2) stały współczynnik można wyłączyć przed całkę, tzn.
dx
x
f
k
dx
x
f
k
)
(
)
(
.
Uwaga. Całka iloczynu funkcji nie jest równa iloczynowi całek (podobnie dla ilorazu
funkcji).
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
3
Przykłady
T
WIERDZENIE
[C
AŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
]
Jeśli
R
I
jest przedziałem,
R
I
g
f
:
,
są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje
całka nieoznaczona dla funkcji
'
g
f
to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji
g
f
'
oraz
dx
g
f
g
f
dx
g
f
'
'
.
D
OWÓD
Niech funkcje
f i g będą różniczkowalne. Wtedy różniczkowalny jest także iloczyn
g
f
oraz zachodzi wzór
'
'
)'
(
g
f
g
f
g
f
zatem
'
)'
(
'
g
f
g
f
g
f
.
Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także
jest całkowalna i mamy
dx
g
f
g
f
dx
g
f
dx
g
f
dx
g
f
g
f
dx
g
f
'
'
)'
(
]
'
)'
[(
'
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
4
Przykłady
T
WIERDZENIE
[C
AŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIANIE
]
Jeśli
R
J
I
,
są przedziałami,
J
I
f
:
jest funkcją różniczkowalną oraz
R
J
g
:
jest
funkcją, dla której istnieje funkcja pierwotna
R
J
G
:
, to istnieje całka nieoznaczona dla
funkcji
'
)
(
f
f
g
oraz
f
G
dx
f
f
g
'
)
(
.
D
OWÓD
Niech funkcje
G i f będą różniczkowalne. Wtedy ich złożenie także jest różniczkowalne
oraz mamy
'
)
(
'
)
'
(
)'
(
f
f
g
f
f
G
f
G
.
Całkując obie strony, otrzymujemy tezę naszego twierdzenia.
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
5
Uwaga.
Wzór całkowania przez podstawianie można zapisać jako:
dt
t
g
dx
x
f
x
f
g
)
(
)
(
'
))
(
(
.
Całkowanie przez podstawienie pozwala w pewnych sytuacjach obliczyć całkę z funkcji
zawierającej złożenie dwóch funkcji.
Przykłady
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
6
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
DEFINICJA [FUNKCJA WYMIERNA WŁAŚCIWA]
Funkcję wymierną
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
P
x
F
m
n
nazywamy właściwą, gdy stopień
n wielomianu z licznika jest mniejszy od stopnia m
wielomianu z mianownika. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja niewymierna
jest niewłaściwa.
1
0
. Jeżeli
m
n
, to wykonujemy dzielenie licznika przez mianownik.
Przykład
2
0
. Jeżeli
m
n
, to dokonujemy rozkładu ułamka na sumę ułamków prostych.
DEFINICJA [ UŁAMKI PROSTE PIERWSZEGO I DRUGIEGO RODZAJU]
1. Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
n
a
x
A
)
(
,
gdzie
N
n
oraz
R
A
a
,
.
2. Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci
n
q
px
x
C
Bx
)
(
2
,
gdzie
N
n
oraz
R
C
B
q
p
,
,
,
, przy czym
0
4
2
q
p
.
TWIERDZENIE [O ROZKŁADZIE NA UŁAMKI PROSTE]
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie przy pomocy sumy
ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
7
Ta więc rozkładając funkcję
l
k
n
q
px
x
x
x
x
W
x
F
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
0
na sumę ułamków prostych, otrzymujemy:
rodzaju
II
prostych
ułłamkó
l
l
l
l
rodzaju
I
prostych
ułłamkó
k
k
k
q
px
x
C
x
B
q
px
x
C
x
B
q
px
x
C
x
B
x
x
A
x
x
A
x
x
A
x
F
2
2
2
2
2
2
1
1
0
2
0
2
0
1
...
...
)
(
...
)
(
)
(
Przykłady
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
8
Całkowanie funkcji niewymiernych
Zacznijmy od rozważenia następującej całki:
dx
r
qx
px
x
W
n
2
)
(
,
gdzie
)
(x
W
n
jest dowolnym wielomianem (stopnia
n). Okazuje się, że istnieje ogólna
metoda obliczania tego typu całek, nazywana metodą współczynników nieoznaczonych.
Opiera się ona na twierdzeniu, które mówi, iż mamy następującą równość
r
qx
px
dx
r
qx
px
x
Q
dx
r
qx
px
x
W
n
n
2
2
1
2
)
(
)
(
,
gdzie
)
(
1
x
Q
n
jest wielomianem stopnia
n – 1.Współczynniki wielomianu
)
(
1
x
Q
n
oraz stałą
λ znajdujemy, licząc pochodną z obu stron powyższej równości (pamiętamy, że pochodna
z całki to funkcja podcałkowa!) i mnożąc potem obie strony przez
r
qx
px
2
.
Dostaniemy wtedy:
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
'
1
q
px
x
Q
r
qx
px
x
Q
x
W
n
n
n
.
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej
x wyznaczmy
współczynniki wielomianu
)
(
1
x
Q
n
oraz stałą λ.
Pozostaje jeszcze do obliczenia
r
qx
px
dx
2
,
którą przez odpowiednie podstawienie sprowadzamy do jednej z całek
2
1 t
dt
lub
2
1 t
dt
.
Policzymy teraz pewną całkę, którą bardzo często wykorzystuje się w całkowaniu funkcji
niewymiernych.
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
9
Przykład
Oblicz całkę
dx
x
R
2
2
.
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
10
Podstawienia Eulera
Do policzenia całki postaci
dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
gdzie
)
,
(
x
R
R
jest funkcją wymierną,
R
c
b
a
,
,
,
0
a
można zastosować następujące
podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):
Niech
0
a
. Podstawiamy
x
a
t
c
bx
ax
2
.
Niech
0
c
Podstawiamy
c
xt
c
bx
ax
2
.
Niech trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki
λ, μ, to znaczy
)
)(
(
2
x
x
a
c
bx
ax
.
Podstawiamy
)
(
2
x
t
c
bx
ax
.
Przykłady
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
11
Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne
Aby policzyć całkę
dx
tgx
x
x
R
)
,
cos
,
(sin
stosujemy podstawienie
Po podstawieniu dostajemy całkę
2
2
2
2
2
1
2
1
2
,
1
1
,
1
2
t
dt
t
t
t
t
t
t
R
.
Przykład
2
x
tg
t
,
2
1
2
sin
t
t
x
,
2
2
1
1
cos
t
t
x
,
2
1
2
t
dt
dx
I Budownictwo NS
Całki nieoznaczone
12
Aby policzyć całkę
dx
x
x
x
x
R
)
cos
sin
,
cos
,
(sin
2
2
stosujemy podstawienie
Zatem po podstawieniu dostajemy całkę
2
2
2
2
2
1
1
,
1
1
,
1
t
dt
t
t
t
t
t
R
.
Przykład
tgx
t
,
2
2
2
1
sin
t
t
x
,
2
2
1
1
cos
t
x
,
2
1
cos
sin
t
t
x
x
2
1 t
dt
dx
