I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

1

CAŁKA NIEOZNACZONA

DEFINICJA

[FUNKCJA PIERWOTNA]

Niech

R

D



będzie przedziałem oraz niech

R

D

f



:

będzie funkcją. Funkcję

R

D

F



:

nazywamy funkcją pierwotną funkcji

f jeśli F jest różniczkowalna i

f

F



'

.

TWIERDZENIE
Dwie dowolne funkcje pierwotne funkcji

R

D

R

f





:

różnią się o stałą, to znaczy

(1) Jeśli

F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f to

c

G

F





dla pewnego

R

c



(2) Jeśli

F jest funkcją pierwotną funkcji f oraz

c

G

F





dla pewnego

R

c



to

G też jest

funkcją pierwotną funkcji

f.

D

EFINICJA

[

CAŁKA NIEOZNACZONA

]

Całką nieoznaczoną funkcji

f nazywamy zbiór jej funkcji pierwotnych i oznaczamy przez



dx

x

f

)

(

.

Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.
Oczywiście, jeśli zmienną funkcji

f jest np. t, to piszemy



dt

t

f

)

(

.

W

NIOSEK

Jeśli

F jest funkcją pierwotną funkcji f to

c

x

F

dx

x

f







)

(

)

(

.

T

WIERDZENIE

[ISTNIENIE

CAŁKI

NIEOZNACZONEJ]

Każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

2

Podstawowe wzory rachunku całkowego

(1)

c

dx





0

;

(2)

c

x

dx







1

;

(3)

c

x

dx

x











1

1

1







,

1







;

(4)

c

x

dx

x







|

|

ln

1

,

0

|

|



x

;

(5)

c

a

a

dx

a

x

x







ln

dla

1

,

0





a

a

;

(6)

c

e

dx

e

x

x







;

(7)

c

x

dx

x









cos

sin

;

(8)

c

x

dx

x







sin

cos

;

(9)

c

tgx

dx

x







2

cos

1

,

0

cos



x

;

(10)

c

ctgx

dx

x









2

sin

1

,

0

sin



x

;

(11)

c

x

c

x

dx

x















arccos

arcsin

1

1

2

,

1

1







x

;

(12)

c

arctgx

dx

x









2

1

1

;

Uwaga. Wzory całkowe do druku znajdują się na stronie kursu.

T

WIERDZENIE

[WŁASNOŚCI

CAŁKI

NIEOZNACZONEJ]

Niech

R

D

R

g

f





:

,

będą funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone oraz

R

k



.

Wtedy:
(1) całka sumy jest równa sumie całek (addytywność), tzn.

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f













)

(

)

(

))

(

)

(

(

;

(2) stały współczynnik można wyłączyć przed całkę, tzn.

dx

x

f

k

dx

x

f

k











)

(

)

(

.

Uwaga. Całka iloczynu funkcji nie jest równa iloczynowi całek (podobnie dla ilorazu
funkcji).

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

3

Przykłady













T

WIERDZENIE

[C

AŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

]

Jeśli

R

I



jest przedziałem,

R

I

g

f



:

,

są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje

całka nieoznaczona dla funkcji

'

g

f



to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji

g

f



'

oraz

dx

g

f

g

f

dx

g

f















'

'

.

D

OWÓD

Niech funkcje

f i g będą różniczkowalne. Wtedy różniczkowalny jest także iloczyn

g

f



oraz zachodzi wzór

'

'

)'

(

g

f

g

f

g

f











zatem

'

)'

(

'

g

f

g

f

g

f











.

Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także
jest całkowalna i mamy





































dx

g

f

g

f

dx

g

f

dx

g

f

dx

g

f

g

f

dx

g

f

'

'

)'

(

]

'

)'

[(

'

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

4

Przykłady

T

WIERDZENIE

[C

AŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIANIE

]

Jeśli

R

J

I



,

są przedziałami,

J

I

f



:

jest funkcją różniczkowalną oraz

R

J

g



:

jest

funkcją, dla której istnieje funkcja pierwotna

R

J

G



:

, to istnieje całka nieoznaczona dla

funkcji

'

)

(

f

f

g





oraz







f

G

dx

f

f

g





'

)

(

.

D

OWÓD

Niech funkcje

G i f będą różniczkowalne. Wtedy ich złożenie także jest różniczkowalne

oraz mamy

'

)

(

'

)

'

(

)'

(

f

f

g

f

f

G

f

G















.

Całkując obie strony, otrzymujemy tezę naszego twierdzenia.

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

5

Uwaga.
Wzór całkowania przez podstawianie można zapisać jako:







dt

t

g

dx

x

f

x

f

g

)

(

)

(

'

))

(

(

.

Całkowanie przez podstawienie pozwala w pewnych sytuacjach obliczyć całkę z funkcji
zawierającej złożenie dwóch funkcji.

Przykłady

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

6

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

DEFINICJA [FUNKCJA WYMIERNA WŁAŚCIWA]
Funkcję wymierną

)

(

)

(

)

(

x

Q

x

P

x

F

m

n



nazywamy właściwą, gdy stopień

n wielomianu z licznika jest mniejszy od stopnia m

wielomianu z mianownika. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja niewymierna
jest niewłaściwa.

1

0

. Jeżeli

m

n



, to wykonujemy dzielenie licznika przez mianownik.

Przykład








2

0

. Jeżeli

m

n



, to dokonujemy rozkładu ułamka na sumę ułamków prostych.

DEFINICJA [ UŁAMKI PROSTE PIERWSZEGO I DRUGIEGO RODZAJU]
1. Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci

n

a

x

A

)

(



,

gdzie

N

n



oraz

R

A

a



,

.

2. Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci

n

q

px

x

C

Bx

)

(

2







,

gdzie

N

n



oraz

R

C

B

q

p



,

,

,

, przy czym

0

4

2









q

p

.

TWIERDZENIE [O ROZKŁADZIE NA UŁAMKI PROSTE]
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie przy pomocy sumy
ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

7

Ta więc rozkładając funkcję

l

k

n

q

px

x

x

x

x

W

x

F

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

0













na sumę ułamków prostych, otrzymujemy:

















































































rodzaju

II

prostych

ułłamkó

l

l

l

l

rodzaju

I

prostych

ułłamkó

k

k

k

q

px

x

C

x

B

q

px

x

C

x

B

q

px

x

C

x

B

x

x

A

x

x

A

x

x

A

x

F











































2

2

2

2

2

2

1

1

0

2

0

2

0

1

...

...

)

(

...

)

(

)

(

Przykłady

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

8

Całkowanie funkcji niewymiernych

Zacznijmy od rozważenia następującej całki:







dx

r

qx

px

x

W

n

2

)

(

,

gdzie

)

(x

W

n

jest dowolnym wielomianem (stopnia

n). Okazuje się, że istnieje ogólna

metoda obliczania tego typu całek, nazywana metodą współczynników nieoznaczonych.
Opiera się ona na twierdzeniu, które mówi, iż mamy następującą równość



























r

qx

px

dx

r

qx

px

x

Q

dx

r

qx

px

x

W

n

n

2

2

1

2

)

(

)

(



,

gdzie

)

(

1

x

Q

n



jest wielomianem stopnia

n – 1.Współczynniki wielomianu

)

(

1

x

Q

n



oraz stałą

λ znajdujemy, licząc pochodną z obu stron powyższej równości (pamiętamy, że pochodna
z całki to funkcja podcałkowa!) i mnożąc potem obie strony przez

r

qx

px





2

.

Dostaniemy wtedy:























)

2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

'

1

q

px

x

Q

r

qx

px

x

Q

x

W

n

n

n

.

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej

x wyznaczmy

współczynniki wielomianu

)

(

1

x

Q

n



oraz stałą λ.

Pozostaje jeszcze do obliczenia







r

qx

px

dx

2

,

którą przez odpowiednie podstawienie sprowadzamy do jednej z całek





2

1 t

dt

lub





2

1 t

dt

.

Policzymy teraz pewną całkę, którą bardzo często wykorzystuje się w całkowaniu funkcji
niewymiernych.

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

9

Przykład
Oblicz całkę

dx

x

R





2

2

.

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

10

Podstawienia Eulera

Do policzenia całki postaci

dx

c

bx

ax

x

R







)

,

(

2

gdzie

)

,

(



x

R

R



jest funkcją wymierną,

R

c

b

a



,

,

,

0



a

można zastosować następujące

podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):



Niech

0



a

. Podstawiamy

x

a

t

c

bx

ax









2

.



Niech

0



c

Podstawiamy

c

xt

c

bx

ax









2

.



Niech trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki

λ, μ, to znaczy

)

)(

(

2















x

x

a

c

bx

ax

.

Podstawiamy

)

(

2











x

t

c

bx

ax

.

Przykłady

I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

11

Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne

Aby policzyć całkę

dx

tgx

x

x

R



)

,

cos

,

(sin

stosujemy podstawienie








Po podstawieniu dostajemy całkę

2

2

2

2

2

1

2

1

2

,

1

1

,

1

2

t

dt

t

t

t

t

t

t

R

























.

Przykład

2

x

tg

t



,

2

1

2

sin

t

t

x





,

2

2

1

1

cos

t

t

x







,

2

1

2

t

dt

dx





I Budownictwo NS

Całki nieoznaczone

12

Aby policzyć całkę

dx

x

x

x

x

R



)

cos

sin

,

cos

,

(sin

2

2

stosujemy podstawienie









Zatem po podstawieniu dostajemy całkę

2

2

2

2

2

1

1

,

1

1

,

1

t

dt

t

t

t

t

t

R























.

Przykład

tgx

t



,

2

2

2

1

sin

t

t

x





,

2

2

1

1

cos

t

x





,

2

1

cos

sin

t

t

x

x





2

1 t

dt

dx



