Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

13

CAŁKA OZNACZONA

Podział odcinka

Dana jest funkcja

)

(x

f

y



ciągła w rozpatrywanym przedziale

]

,

[

b

a

.

Rozważmy podział

n



przedziału

]

,

[

b

a

na dowolną ilość

n części:

b

x

x

x

x

x

a

n

n

n



















1

2

1

0

...

:

,

o następujących własnościach:

1. długości przedziałów:

0

1

1

x

x

x







,

1

2

2

x

x

x







, … ,

1









n

n

n

x

x

x

;

2. średnica podziału:

)

,

...

,

,

max(

2

1

n

n

x

x

x











;

3.

0

lim







n

n



;

4.

]

,

[

1

k

k

k

x

x







- dowolny punkt z przedziału

]

,

[

1

k

k

x

x



;

5.

)

(

k

f



- wartość funkcji w punkcie

k



.

Ciąg podziałów

N

n

n





)

(

spełniający warunki (1) - (3) nazywamy ciągiem normalnym

podziałów.

DEFINICJA [SUMA CAŁKOWA]

Sumą całkową

n



funkcji

f w

]

,

[

b

a

odpowiadającą podziałowi

n



nazywamy wyrażenie











n

k

k

k

n

x

f

1

)

(





.

Rysunek

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

14

DEFINICJA [CAŁKA OZNACZONA]

Dla każdego podziału normalnego odcinka

]

,

[

b

a

skończoną granicę sumy całkowej

n



niezależną od sposobu wyboru punktów

k



nazywamy całką oznaczoną (całką Riemanna)

funkcji

f w przedziale

]

,

[

b

a

i oznaczamy:























b

a

n

k

k

k

n

n

n

dx

x

f

x

f

)

(

)

(

lim

lim

1





Funkcja

f jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka



b

a

dx

x

f

)

(

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

15

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

TWIERDZENIE [LEIBNIZA-NEWTONA]

Jeżeli funkcja

f jest ciągła na przedziale

]

,

[

b

a

, to

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a







,

gdzie

F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.

Przykłady

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

16

Własności całki oznaczonej

1.

0

0





b

a

dx

;

2.

0

)

(





a

a

dx

x

f

;

3.











b

a

b

a

dx

x

f

k

dx

x

f

k

)

(

)

(

;

4.









a

b

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

;

5.













b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

;

6.











b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

, gdzie

b

c

a





;

7.



























dt

t

f

b

g

a

g

dt

dx

x

g

t

x

g

dx

x

g

x

g

f

b

a

)

(

)

(

,

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

))

(

(

;

8.

























b

a

b
a

b
a

b

a

du

v

v

u

du

v

v

u

dv

u

]

[

]

[

.

Przykłady

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

17

TWIERDZENIE [O WARTOŚCI ŚREDNIEJ]

Dla każdej funkcji

f ciągłej w przedziale

]

,

[

b

a

istnieje

]

,

[

b

a

c



takie, że







b

a

dx

x

f

a

b

c

f

)

(

1

)

(

.

Liczbę





b

a

dx

x

f

a

b

)

(

1

nazywamy wartością średnią funkcji

f w przedziale

]

,

[

b

a

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

18

Wybrane zastosowania całki oznaczonej

1. Obliczanie pól obszarów płaskich

Niech

)

(

)

(

x

f

x

g



dla

]

,

[

b

a

x



oraz niech

D będzie obszarem ograniczonym wykresami

funkcji

f i g oraz prostymi

a

x



i

b

x



.

Rysunek

Wtedy pole obszaru

D wyraża się wzorem







b

a

D

dx

x

g

x

f

P

)]

(

)

(

[

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

19

Współrzędne biegunowe

Położenie punktu

)

,

(

y

x

P

w

2

R można określić podając odległość r tego punktu od

początku układu współrzędnych oraz kąt

ϕ, jaki tworzy dodatnia półoś Ox z promieniem

wodzącym







OP

r

tego punktu.

Rysunek

Stąd

0



r

i przyjmujemy ponadto, że

0





dla

0



r

oraz

]

2

,

0

[







. Zatem

skonstruowaliśmy bijekcję



(odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne):

)

,

(

)

,

(

:

y

x

r







,

gdzie

)}

0

,

0

{(

)

2

,

0

[

)

,

0

(

)

,

(















r

oraz

2

)

,

(

R

y

x



, taką, że



















sin

cos

r

y

r

x

.

Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną równaniem biegunowym

Niech będzie dany łuk

AB

zadany równaniem biegunowym

)

(



r

r



,

gdzie

0



r

,











oraz







2





.

Niech

D będzie obszarem ograniczonym łukiem AB i promieniami wodzącymi



OA i



OB .

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

20

Rysunek

Wtedy pole obszaru

D jest równe









d

r

P

D







)

(

2

1

2

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

21

Krzywa określona parametrycznie

Niech krzywa

K będzie określona parametrycznie











)

(

)

(

:

t

y

y

t

x

x

K

,

gdzie

]

,

[







t

.

Zakładamy, że

])

,

([

)

(

),

(

1





C

t

y

t

x



,

0

)

(



t

y

oraz

0

)

(

'



t

x

dla

]

,

[







t

.

Wtedy pole obszaru ograniczonego krzywą

K i prostymi

)

(



x

x



,

)

(



x

x



,

0



y

Rysunek

wyraża się wzorem











dt

t

x

t

y

P

D

)

(

'

)

(

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

22

2. Długość krzywej

Niech krzywa

K będzie określona parametrycznie











)

(

)

(

:

t

y

y

t

x

x

K

,

gdzie

]

,

[







t

.

Tworzymy podział normalny przedziału

]

,

[





:















n

t

t

t

...

1

0

0

.

Punktom podziału odpowiadają na krzywej punkty

i

A , gdzie

n

i

,

...

,

2

,

1



.

Tworzymy łamaną

n

A

A

A

,

...

,

,

1

0

,

Rysunek

której długość wyraża się wzorem











n

i

i

i

n

A

A

l

1

1

||

||

.

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

23

DEFINICJA [KRZYWA PROSTOWALNA, DŁUGOŚĆ KRZYWEJ]

Jeżeli istnieje granica

n

n

l





lim niezależna od doboru punktów podziału, to krzywą

K

nazywamy prostowalną, a granicę

n

n

l

l







lim

długością krzywej.

DEFINICJA [ŁUK ZWYKŁY]

Łuk zwykły (łuk Jordana) jest to krzywa bez punktów wielokrotnych, tzn.

)

(

)

(

2

1

2

1

t

A

t

A

t

t







.

DEFINICJA [ŁUK GŁADKI]

Łuk gładki jest to łuk zwykły taki, że

















]

,

[

,

0

))

(

'

(

))

(

'

(

])

,

([

)

(

),

(

2

2

1









t

dla

t

y

t

x

C

t

y

t

x

.

Jeżeli krzywą można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, to taką krzywą

nazywamy odcinkami gładką. Każda krzywa odcinkami gładka jest prostowalna oraz

dt

t

y

t

x

l











2

2

))

(

'

(

))

(

'

(

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

24

Jeżeli krzywa

K zadana jest w sposób jawny

)

(

:

x

f

y

K



, dla

]

,

[

b

a

x



oraz

])

,

([

1

b

a

C

f



,

to







b

a

dx

x

f

l

2

))

(

'

(

1

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

25

Jeśli krzywa zadana jest we współrzędnych biegunowych

]

,

[

),

(

:













r

r

K

oraz

)]

,

[(

1





C

r



,

to











d

r

r

l







2

2

))

(

'

(

))

(

(

.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

26

3. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

Bryłę obrotową otrzymujemy obracając dookoła osi

Ox o kąt



2

krzywą płaską o równaniu

)

(x

f

y



,

]

,

[

b

a

x



oraz

0

)

(



x

f

.

Rysunek

Objętość takiej bryły obrotowej wyraża się wzorem







b

a

dx

x

f

V

2

)]

(

[



.

Jeżeli krzywa

)

(x

f

y



jest łukiem gładkim, to powierzchnia obrotowa ma pole, które

wyraża się wzorem











b

a

dx

x

f

x

f

S

2

)]

(

'

[

1

)

(

2



.

Przykład

Wykład

I Budownictwo NS

Całki oznaczone

27