Dariusz Wójcik
Instytut Elektroniki
Politechnika ´Sl ˛

aska w Gliwicach

Długo´s´c skuteczna anteny

Niniejszy materiał stanowi uzupełnienie wykładu z przedmiotu Pola i Fale Elektromagne-
tyczne, prowadzonego na Wydziale Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechniki ´Sl ˛

a-

skiej w Gliwicach, i przeznaczony jest do wył ˛

acznego u˙zytku Studentów IV sem. kierunku

Elektronika i Telekomunikacja.

Jednym z wa˙zniejszych parametrów anteny, który mo˙ze słu˙zy´c do opisu zarówno jej własno´sci nadaw-
czych jak i odbiorczych, jest tak zwana wektorowa długo´s´c skuteczna, oznaczana dalej jako

l

sk

. Po-

mijaj ˛

ac do´s´c skomplikowane wyprowadzenia matematycznie rozpocznijmy od stwierdzenia, ˙ze pole

elektryczne wytworzone przez dowoln ˛

a anten˛e mo˙zna zapisa´c w postaci

E =

−jηke

−jkr

4πr

I

0

l

sk

,

(1)

gdzie I

0

jest pr ˛

adem na zaciskach wej´sciowych anteny, r – odległo´sci ˛

a punktu obserwacji od pocz ˛

atku

układu współrz˛ednych, a k i η, odpowiednio, liczb ˛

a falow ˛

a i impedancj ˛

a wła´sciw ˛

a o´srodka, w którym

umieszczona jest antena. Pole w du˙zej odległo´sci od anteny ma lokalnie struktur˛e fali płaskiej, tzn.

H =

1
η

[1

r

× E] .

Tak wi˛ec, składow ˛

a magnetyczn ˛

a pola wytwarzonego przez anten˛e opisuje wzór

H =

−jke

−jkr

4πr

I

0

[1

r

× l

sk

] .

Z własno´sci fali płaskiej, która jest fal ˛

a poprzeczn ˛

a, wynika, ˙ze wektor

l

sk

mo˙ze mie´c tylko dwie

niezerowe składowe:

l

sk

(θ, φ) = l

θ

(θ, φ) 1

θ

+ l

φ

(θ, φ) 1

φ

.

W powy˙zszym wzorze wyra´znie zaznaczono, ˙ze składowe wektorowej długo´sci skutecznej s ˛

a funk-

cjami kierunku, to znaczy zale˙z ˛

a od zmiennych θ i φ, opisuj ˛

acych poło˙zenie punktu obserwacji

w układzie współrz˛ednych sferycznych zwi ˛

azanych z anten ˛

a. Wektorowa długo´s´c skuteczna jest wek-

torem zespolonym, który w pełni opisuje własno´sci kierunkowe ´zródła. Znaj ˛

ac wektor

l

sk

mo˙zna

wi˛ec wyznaczy´c wiele innych parametrów anteny, takich jak charakterystyka promieniowania czy
zysk kierunkowy. W odró˙znieniu jednak od tych parametrów, wektorowa długo´s´c skuteczna opisuje
dodatkowo zmiany fazy składowych pola w funkcji zmiennych θ i φ.

W literaturze wyst˛epuje równie˙z poj˛ecie długo´sci skutecznej anteny l

sk

, które ma zdecydowanie

w˛e˙zsze znaczenie ni˙z zdefiniowany wcze´sniej wektor

l

sk

. Długo´s´c skuteczn ˛

a anteny nale˙zy rozumie´c

jako warto´s´c maksymaln ˛

a modułu wektorowej długo´sci skutecznej, czyli długo´s´c wektora

l

sk

na kie-

runku maksymalnego promieniowania anteny:

l

sk

= |l

sk

|

max

.

Długo´s´c skuteczn ˛

a anteny mo˙zna interpretowa´c jako długo´s´c anteny liniowej z jednorodnym rozkła-

dem pr ˛

adu o warto´s´ci I

0

, która umieszczona prostopadle do kierunku maksymalnego promieniowania

wytworzy w tym kierunku takie samo nat˛e˙zenie pola, jak antena badana.

Zwi ˛

azek długo´sci skutecznej z charakterystyk ˛

a promieniowania anteny.

Charakterystyk˛e promieniowania anteny definiuje si˛e jako funkcj˛e opisuj ˛

ac ˛

a przestrzenny rozkład

pola elektrycznego na powierzchni kuli o du˙zym promieniu otaczaj ˛

acym anten˛e, unormowany wzgl˛e-

dem warto´sci maksymalnej. Z definicji długo´sci skutecznej anteny widzimy, ˙ze musi zachodzi´c na-
st˛epuj ˛

acy zwi ˛

azek

f

(θ, φ) =

E

(θ, φ)

E

m

=

|l

sk

|

l

sk

.

(2)

Własno´sci odbiorcze anteny.
Je˙zeli anten˛e o´swietlimy fal ˛

a płask ˛

a, to napi˛ecie na rozwartych zaciskach anteny b˛edzie równe

U

o

= −E · l

sk

,

(3)

gdzie

E jest wektorem pola elektrycznego fali płaskiej o´swietlaj ˛

acej anten˛e mierzonym w pocz ˛

atku

układu współrz˛ednych. Z punktu widzenia zacisków wyj´sciowych anten˛e odbiorcz ˛

a mo˙zna traktowa´c

jako dwójnik aktywny, reprezentowany przez szeregowe poł ˛

aczenie siły elektromotorycznej o war-

to´sci U

o

i impedancji anteny Z

A

= R

A

+ jX

A

. Załó˙zmy, ˙ze antena współpracuje z dopasowanym

obci ˛

a˙zeniem Z

L

= Z

∗

A

= R

A

− jX

A

. Moc dostarczona do obci ˛

a˙zenia b˛edzie wtedy równa

P

o

=

U

2

o

4R

A

=

|E · l

sk

|

2

4R

A

.

Je˙zeli b˛edziemy zmienia´c orientacj˛e anteny wzgl˛edem padaj ˛

acej fali, lub, nie zmieniaj ˛

ac orientacji

anteny, polaryzacj˛e fali padaj ˛

acej, to zmienia´c si˛e b˛edzie warto´s´c napi˛ecia U

o

. Oczywi´scie, b˛edzie

to powodowa´c zmian˛e warto´s´ci moc dostarczonej do obci ˛

a˙zenia. Je˙zeli antena umieszczona jest tak,

˙ze moc dostarczona do obci ˛

a˙zenia jest najwi˛eksza, to mówimy o tzw. dopasowaniu polaryzacyjnym.

Stosunek mocy dostarczonej do obci ˛

a˙zenia do warto´sci maksymalnej tej mocy uzyskanej przy pełnym

dopasowaniu polaryzacyjnym nazywany jest współczynnikiem dopasowania polaryzacyjnego anteny,
który mo˙zna wyliczy´c ze wzoru

p

=

|E · l

sk

|

2

|E|

2

|l

sk

|

2

.

(4)

Współczynnik p przyjmuje warto´sci w granicach od 0 (pełne niedopasowanie polaryzacyjne) do 1, co
odpowiada pełnemu dopasowaniu. Mo˙zna go te˙z policzy´c w nast˛epuj ˛

acy sposób

p

=

|E · l

sk

|

2

|E|

2

|l

sk

|

2

=

|1

e

· 1

l

|

2

|1

e

|

2

|1

l

|

2

= |1

e

· 1

l

|

2

,

(5)

gdzie

1

e

i

1

l

s ˛

a unormowanymi wzgl˛edem swych długo´sci wektorami nat˛e˙zenia pola elektrycznego

i długo´sci skutecznej, odpowiednio.

Moc dostarczana przez anten˛e odbiorcz ˛

a do dopasowanego obci ˛

a˙zenia mo˙zna równie˙z wyliczy´c

ze wzoru Frissa, który przy uwzgl˛ednieniu stanu dopasowania polaryzacyjnego przyjmuje posta´c

P

o

=

P

n

G

n

G

o

L

p

gdzie

L

=



4πr

λ



2

.

(6)

Wielko´s´c L nazywana jest tłumieniem wolnej przestrzeni.

Wyprowadzimy teraz zwi ˛

azek pomi˛edzy długo´sci ˛

a skuteczn ˛

a anteny a jej zyskiem energetycz-

nym. W warunkach dopasowania moc dostarczon ˛

a do obci ˛

a˙zenia mo˙zna zapisa´c jako

P

o

=

U

2

o

4R

A

=

l

2
sk

E

2

4R

A

=

E

2

η

0

·

η

0

l

2
sk

4R

A

= S ·

η

0

l

2
sk

4R

A

.

We wzorach tych skorzystano ze wzorów na długo´s´c skuteczn ˛

a anteny i g˛esto´s´c strumienia mocy

fali płaskiej. Bior ˛

ac pod uwag˛e zwi ˛

azek pomi˛edzy powierzchni ˛

a skuteczn ˛

a a zyskiem energetycznym

oraz, ˙ze P

o

= SA

e

dostajemy ostatecznie

A

e

=

η

0

l

2
sk

4R

A

= G

λ

2

4π

→

η

0

l

2
sk

R

A

= G

c

2

πf

2

.

(7)

Przykład 1. Wyznaczy´c wektorow ˛

a długo´s´c skuteczn ˛

a anteny wytwarzaj ˛

acej pole o polaryzacji ko-

łowej prawoskr˛etnej, zysku energetycznym G

= 4 dBi i charakterystyce promieniowania f (θ, φ) =

| sin θ cos φ|. Rezystancja anteny R

A

= 75 Ω, a cz˛estotliwo´s´c robocza f = 27 MHz.

Rozwi ˛

azanie: Długo´s´c skuteczn ˛

a anteny wyznaczymy stosuj ˛

ac wzór (7)

η

0

l

2
sk

R

A

= G

c

2

πf

2

→

l

sk

=

c

f

s

GR

A

πη

0

= λ

0

s

GR

A

πη

0

≈ 4.43 (m) .

Wektorowa długo´s´c skuteczna i charakterystyka promieniowania powi ˛

azane s ˛

a zale˙zno´sci ˛

a (2)

f

(θ, φ) =

|l

sk

|

l

sk

→

|l

sk

| = f(θ.φ) l

sk

l

sk

= |l

sk

| 1

l

= l

sk

f

(θ, φ) 1

l

Wektor

1

l

nale˙zy dobra´c tak, aby pole wytwarzane przez anten˛e miało zadan ˛

a polaryzacj˛e, na przykład

1

l

=

1

θ

− j1

φ

√

2

.

Ostatecznie dostajemy

l

sk

= λ

0

s

GR

A

πη

0

| sin θ cos φ|

1

θ

− j1

φ

√

2

≈ 3.13| sin θ cos φ| (1

θ

− j1

φ

) .

Przykład 2. Ł ˛

acze radiowe wykorzystuje anteny o polaryzacji kołowej. Policzy´c współczynnik do-

pasowania polaryzacyjnego, gdy antena nadawcza ma polaryzacj˛e prawoskr˛etn ˛

a, a antena odbiorcza

a) lewoskr˛etn ˛

a, b)prawoskr˛etn ˛

a.

Rozwi ˛

azanie: Polaryzacja anteny jest okre´slona poprzez polaryzacj˛e fali przez ni ˛

a wypromieniowanej

– jest wi˛ec okre´slana w trybie nadawczym. Współczynnik dopasowania polaryzacyjnego charakteryzuje
natomiast odbiór fali. Przed jego wyzaczeniem istnieje wi˛ec konieczno´s´c zapisania pola fali padaj ˛

acej

w ukł ˛

adzie współrz˛ednych zwi ˛

azanym z anten ˛

a odbiorcz ˛

a, co wyja´snia poni˙zszy rysunek.

x

y

z

x’

y’

z’

1

θ

1

φ

1

θ

1

φ

z

L

U

g

antena nadawcza

antena odbiorcza

Składow ˛

a elektryczn ˛

a pola anteny nadawczej w pobli˙zu anteny odbiorczej zapisujemy jako (fala o pola-

ryzacji prawoskr˛etnej):

E = E

0

(1

0

θ

− j1

0

φ

) = E

0

(1

θ

+ j1

φ

) ,

gdzie współrz˛edne primowane odnosz ˛

a si˛e do układu współrz˛ednych zwi ˛

azanego z anten ˛

a nadawcz ˛

a.

Wektor jednostkowy opisuj ˛

acy polaryzacj˛e fali padaj ˛

acej jest równy

1

e

=

1

θ

+ j1

φ

√

2

.

Polaryzacj˛e anteny odbiorczej opisuje natomiast nast˛epuj ˛

acy wektor:

polaryzacja prawoskr˛etna

1

l

=

1

θ

−j1

φ

√

2

,

polaryzacja lewoskr˛etna

1

l

=

1

θ

+j1

φ

√

2

.

Wpółczynnik dopasowania polaryzacyjnego jest wi˛ec równy

polaryzacja prawoskr˛etna

p

=

1
4

|(1

θ

+ j1

φ

) · (1

θ

− j1

φ

)|

2

= 1 ,

polaryzacja lewoskr˛etna

p

=

1
4

|(1

θ

+ j1

φ

) · (1

θ

+ j1

φ

)|

2

= 0 .

Widzimy, ˙ze w przypadku, gdy jako antena odbiorcza zastosowana zostanie antena o polaryzacji prawo-
skr˛etnej uzyskamy pełne dopasowanie. Je´sli natomiast zastosujemy anten˛e o polaryzacji lewoskr˛etnej,
to ˙zadna moc nie zostanie dostarczona do obci ˛

a˙zenia. Widzimy wi˛ec, ˙ze antena nadawcza i odbiorcza

powinny mie´c t˛e sam ˛

a polaryzacj˛e.