Nauka o Materiałach

Wykład VIII

Odkształcenie materiałów –
właściwości sprężyste

Jerzy Lis

Nauka o Materiałach

Treść wykładu:

1. Właściwości materiałów -wprowadzenie

2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia

materiałów.

3. Statyczna próba rozciągania.

4. Odkształcenie sprężyste

4.1. Prawo Hooke’a - moduły sprężystości

4.2. Właściwości sprężyste układu dwu

atomów

4.3. 0dkształcenie sprężyste kryształów

4.4. Właściwości sprężyste materiałów

wielofazowych

4.5. Właściwości sprężyste materiałów

porowatych

4.6. Metody pomiaru modułów sprężystości

4.7 Niesprężystość

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI TWORZYW - WPROWADZENIE

•

O możliwości zastosowania danego materiału decydują jego

właściwości użytkowe

•

Zachowanie się danego materiału w środowisku pracy to

zaplanowana przez użytkownika (założona) odpowiedź na

działające na niego czynniki (bodźce)

SCHEMAT ODDZIAŁYWANIA CZYNNIKÓW NA MATERIAŁ

MATERIAŁ

Czynnik

odzew

(właściwości)

(Czas)

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI TWORZYW - WPROWADZENIE

PODEJŚCIE INŻYNIERSKIE

Materiał traktowany jest jak „czarna skrzynka” - nie

interesuje nas jego charakterystyka jedynie istniejące

zależności funkcyjne

W wypadku parametrów ilościowych (mierzalnych)

odzew = funkcja ( czynników)

Sprowadza się tą zależność do możliwie najprostszych funkcji

(modeli) matematycznych

np.:

zależność liniowa prawo

Hooke’a

σ = Eε

Stałe w danym modelu charakterystyczne dla danego

materiału określane w ściśle zdefiniowanych warunkach

noszą nazwę stałych materiałowych

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI TWORZYW - WPROWADZENIE

Podejście charakterystyczne dla nauki o materiałach

Materiał nie jest traktowany jako „czarna skrzynka” lecz w
myśl nauki o materiałach posiada swoją budowę wynikającą

ze sposobu jego otrzymywania.

Stałe w modelach (materiałowe) charakterystyczne dla

materiału będą zależeć od jego budowy (sposobu
otrzymywania)

MATERIAŁ:
- budowa
nano
mikro
makro

Czynnik

odzew

(właściwości)

(Czas)

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI TWORZYW - WPROWADZENIE

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI TWORZYW - WPROWADZENIE

Podstawowym czynnikiem weryfikującym materiały

inżynierskie jest działanie sił (naprężeń).

odkształcenie

naprężenie

MATERIAŁ

dekohezja

Naprężenia mogą zmienić wymiary (liniowe, kątowe) lub ciągłość

materiału (dekohezja)

Nauka o materiałach

MODELE ODKSZTAŁCENIA

Nauką opisującą nieniszczące odkształcanie się ciał pod wpływem

działania sił jest reologia.

•

Reologia opiera się na modelach makroskopowych ciał

poddawanych działaniu sił ścinania.

•

Modele te w sposób ogólny opisują zachowanie się ciał zarówno

odkształcających się postaciowo (ciała sztywne i ciecze) jak i

objętościowo (gazy)

•W klasyfikacji reologicznej (makroskopowej) jako najbardziej

typowe można przyjąć trzy podstawowe modele zachowania się

ciał:

* odkształcenie sprężyste

* odkształcenie plastyczne

* odkształcenie lepkościowe

Nauka o materiałach

MODELE ODKSZTAŁCENIA

Odkształcenie sprężyste

(odwracalne)

Ciało liniowo-sprężyste

Ciało o sprężystości opóźnionej

(Hooke’a)

(Kelvina)

σ = Eε

σ = Eε + ηdε/dt

ε(t) = σ

o

/E (1 - exp (- t/

τ))

τ - czas relaksacji

Nauka o materiałach

MODELE ODKSZTAŁCENIA

Odkształcenie plastyczne

(nieodwracalne)

Ciało doskonale plastyczne

τ = τ

y

τ

y

- granica plastyczności

Nauka o materiałach

MODELE ODKSZTAŁCENIA

Odkształcenie lepkościowe

Ciecz Newtona

σ = ηε

η - współczynnik lepkości

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Zachowanie się materiałów pod

wpływem naprężeń -

statyczna próba rozciągania

(ściskania, zginania, ...)

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Rzeczywiste zachowanie się materiałów łączy ze sobą

elementy zachowania modelowego sprężystego,

plastycznego i lepkościowego

MATERIAŁY „KRUCHE”, „PLASTYCZNE”, „LEPKOSPRĘŻYSTE”

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Dla materiałów sztywnych w pierwszym etapie przy rosnących

naprężeniach materiały zachowują się sprężyście tj. odkształcają

się nietrwale.

W pewnym zakresie odkształcenie jest proporcjonalne do

naprężenia.

Prawo Hooke’a

σ = E ε

τ = G γ

p = - K

∆

E - moduł Younga

G - moduł sztywności (ścinania)

K - moduł ścisliwości (postaci)

ν- liczba Poissona

Moduły E, G, K i l. Poissona określają właściwości sprężyste

materiałów.

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Pytania:

•od czego zależą moduły sprężystości

materiałów?

* jak je można określić?

* jak je można zmieniać?

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Odkształcenie sprężyste w układzie dwu atomów

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

ε

δ

δ

σ

ε

δ

δ

σ

ε

ε

δ

δ

σ

σ

ε

σ

d

r

F

r

d

r

F

r

d

r

dr

d

r

r

dr

r

F

r

d

r

F

r

F

a

F

o

r

r

o

o

r

r

o

o

o

o

r

r

o

o

=

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

=

∆

=

=

≈

=

∫

∫

1

)

(

1

)

(

1

~

0

0

2

2

W modelu rozważamy zależność

naprężenia od odkształcenia dla dwu

atomów odchylanych od położenia

równowago przez siłę zewnętrzną.

Działania sił zewnętrznych wywołuje

wewnętrzną przeciwnie skierowaną

reakcję układu

Zakładamy układ izolowany w którym

atomy są odchylany od położenia

równowagi (r

o

) na niewielką odległość

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

C - stała sprężystości ~ modułu sprężystości

Im większa siła wiązania i im krótsze wiązanie tym

większy moduł sprężystości materiału.

ε

σ

ε

δ

δ

σ

C

r

F

r

o

r

r

o

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

1

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

•Pełna macierz - 36 stałych sprężystości

•Wyższa symetria - redukcja stałych

* Materiał izotropowy - 3 stałe : S

11

, S

12

, S

44

ε

1

= S

11

σ

1

+ S

12

σ

2

+ S

12

σ

3

ε

2

= S

12

σ

1

+ S

11

σ

2

+ S1

2

σ

3

ε

11

= S

11

σ

1

+ S

12

σ

2

+ S

11

σ

3

ε

4

= S

44

σ

4

Przy czym

E = 1/ S

11

G = 1/S

44

ν = - S

12

/S

11

k

i

j

i

j

i

j

i

j

i

G

j

i

E

σ

σ

δε

δε

ν

δε

δσ

δε

δσ

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

6

,

5

,

4

......

3

,

2

,

1

......

Zależność między stałymi

materiałowymi:

E=2G (1+

ν)

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Porównanie wielkości E dla różnych materiałów

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Porównanie wielkości E dla różnych materiałów

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Energia odkształceń sprężystych

Energia

równa się

polu pod

krzywą

Gęstość energii( ilość na jednostkę objętości) w [J/m

2

]

E

E

d

W

i

i

i

2

2

2

2

0

σ

ε

ε

ε

σ

ε

=

=

=

∫

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Właściwości sprężyste materiałów wielofazowych

Model równoległy

E = V

1

E

1

+ V

2

E

2

prawo mieszanin

Model szeregowy

1/E = V

1

/E

1

+ V

2

/E

2

Modele równoległy i szeregowy (uproszczone)
E – moduł Younga
V – udział objętościowy fazy

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Moduł Younga kompozytów

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Właściwości sprężyste materiałów porowatych

Fazę gazową w materiale można traktować jak

fazę o E=0
stąd

Z prawa mieszanin

E = E

o

(1- V

p

)

gdzie:
V

p

- udział objętościowy porów

E

o

- moduł Younga materiału gęstego

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

W rzeczywistych materiałach następuje tzw. koncentracja

naprężeń czyli

naprężenie wewnątrz materiału jest większe niż

przyłożone na zewnątrz

ρ

σ

ρ

σ

σ

c

c

z

z

2

2

1

≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Ogólnie

σ

ρ

= k

σ

z

k współczynnik koncentracji naprężeń

stąd

E = E

o

(1- k V

p

)

Na przykład
dla porów eliptycznych
wzór Rossi’ego
k = (5/4)(a/c) + 3/4

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

METODY POMIARU MODUŁÓW SPRĘŻYSTOŚCI

STATYCZNE

DYNAMICZNE

moduł zrelaksowany

moduł niezrelaksowany

statyczne próby odkształcenie pomiar szybkości fali mechanicznej

próbek materiałów penetrującej przez materiał

(rozciąganie)

(m. ultradźwiękowe)

(ściskanie)

(m. rezonansowe)

(zginanie)
(skręcanie)

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Zjawisko niesprężystości

Zjawisko zależności odkształcenia sprężystego od czasu nosi

nazwę niesprężystości (sprężystości opóźnionej)

σ

o

=

const

ε = ε

o

+(

ε

U

-

ε

R

)exp(-t/

Θ)

gdzie:

ε

R

–

odkształcenie zrelaksowane

ε

U

–

odkształcenie niezrelaksowane

Θ -

czas relaksacji

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

Procesy relaksacyjne odkształcenia sprężystego w materiałach

Jeżeli czas pomiaru właściwości sprężystych jest większy niż czas

niezbędny dla zajścia danego procesu relaksacyjnego to proces ten nie

będzie miał wpływu na pomiar

Nauka o materiałach

WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTE

E

niezrelaksowany

≥ E

zrelaksowany

R

o

U

o

R

o

U

o

R

o

E

t

b

E

t

a

t

E

E

E

σ

ε

θ

σ

ε

θ

θ

σ

σ

σ

ε

≈

∞

→

≈

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

.........

)

..........

0

)

exp

Nauka o Materiałach

Dziękuję

do zobaczenia za

tydzień