1

Podstawy elektrotechniki

2

Uk

łady wielofazowe

)

t

sin(

U

u

1

m1

1

ϕ

+

ω

=

m

Nm

U

U

=

n

2

)1
N(

N

π

−

−

=
ϕ

n
2,1
N

K
=

Uk

ład n-

fa

zow

y

D

la n=

3 –

uk

ła

d tró

jfazow

y

Tr

ójf

az

ow

y sym

etr

yczn

y u

kł

ad na

pi

ęć

za

sila

ją

cy

ch

0j

f

A

e

U

U

=

Zbi

ór

n

obw

od

ów

el

ektr

ycz

nyc

h (

faz)

, w

kt

ór

yc

h d

zia

łaj

ą

na

pi

ęci

a

źród

łow

e s

in

us

oi

da

lne

o

je

dn

ako

w

ej

cz

ęst

ot

liwo

ści, przes

un

ię

te

w

fazie i w

ytw

arz

ane

przew

aż

ni

e w j

ed

nym

ź

ródle

ener

gi

i –

gen

erat

orze

w

ielof

az

ow

ym

)

t

sin(

U

u

2

m

2

2

ϕ

+

ω

=

)

t

sin(

U

u

3

m3

3

ϕ

+

ω

=

n-

fazow

y

sym

etr

ycz

ny uk

ład

na

pi

ęć

t

sin
U

u

m

A

ω

=

 



 



π

−

ω

=

3

2

t

sin
U

u

m

B

 



 



π

−

ω

=

3

4

t

sin
U

u

m

C

 



 



π

+

ω

=

3

2

t

sin
U

m

3

2 j

f

B

e

U

U

π

−

=

3

2 j

f

C

e

U

U

π

=

W

postac

i zes

po

lone

j

3

2 j

A

e
U

π

−

=

3

2 j

A

e
U

π

=

3

Sym

etryczny uk

ład napi

ęć

3-fazowych

0

U

U

U

C

B

A

=

+

+

0

u

u

u

C

B

A

=

+

+

u

A

ω

t

u

B

u

C

U

A

U

B

U

C

3

2π

3

2π

3

2π

4

Uk

ład trójfazowy

Uk

ład 3-fazowy nieskojarzony

U

A

Z

A

U

B

Z

B

U

C

Z

C

U

C

Z

C

U

B

Z

B

U

A

Z

A

Uk

ład 3-fazowy sk

ojarzony

I

A

I

B

I

C

A

A

A

Z

U

I

=

B

B

B

Z

U

I

=

C

C

C

Z

U

I

=

I

A

I

B

I

C

C

B

A

N

I

I

I

I

+
+

=

I

N

1) U

A

,U

B

,U

C

-

symetryczny

uk

ład napi

ęć

2) Z

A

=Z

B

=Z

C

Obwód 3-f

s

ym

etr

yc

zn

y

2

5

Obwód 3-fazowy skoj

arzony sym

etryczny

U

C

Z

f

U

B

Z

f

U

A

Z

f

f

A

A

Z

U

I

=

f

B

B

Z

U

I

=

f

C

C

Z

U

I

=

I

A

I

B

I

C

0

I

I

I

C

B

A

=
+
+

I

N

ψ

=

j

f

f

e

Z

Z

ψ

=

j

f

A

e

Z

U

()

ψ−

=

j

f

A

e

Z

U

ψ

π

−

=

j

f

3

2 j

A

e

Z

e
U

 



 



π

−

ψ−

=

3

2

j

f

A

e

Z

U

ψ

π

=

j

f

3

2 j

A

e

Z

e
U

 



 



π

+

ψ−

=

3

2

j

f

A

e

Z

U

(

)

ψ

−

=

j

A

A

e

I

I

f

A

A

Z

U

I

=

3

2 j

A

e

I

π

−

=

3

2 j

A

e

I

π

=

0

I

N

=

U

A

U

B

U

C

I

A

I

B

I

C

-ψ

-ψ

-ψ

6

Uk

ład gwiazda-gwiazda

U

C

Z

f

U

B

Z

f

U

A

Z

f

I

A

I

B

I

C

I

N

0

I

N

=

Uk

ład 4-przewodo

wy

U

C

Z

f

U

B

Z

f

U

A

Z

f

I

A

I

B

I

C

Uk

ład 3-przewodo

wy

7

Uk

ład gwiazda-gwiazda

U

C

U

A

Z

f

U

B

Z

f

Z

f

U

AB

U

BC

U

CA

V

I

B

I

A

I

C

0

I

I

I

C

B

A

=
+
+

0

Z

V

U

Z

V

U

Z

V

U

f

C

f

B

f

A

=

−

+

−

+

−

0

V3

U

U

U

C

B

A

=

−

+

+

3

U

U

U

V

C

B

A

+

+

=

0

=

Napi

ęcia pr

ze

wod

owe

(m

ię

dzyprzew

odo

we,

mi

ęd

zyf

azo

we)

B

A

AB

U

U

U

−

=

C

B

BC

U

U

U

−

=

A

C

CA

U

U

U

−

=

U

A

U

B

U

C

U

AB

U

BC

U

CA

U

0A

U

0B

U

0C

Napi

ęcia f

azo

we

A

A

0

U

U

=

B

B

0

U

U

=

C

C

0

U

U

=

8

6

π

Napi

ęcia przewodo

we

6

j

AB

Ue

U

π

=

2

j

BC

Ue

U

π

−

=

6

5 j

CA

Ue

U

π

=

 



 



π

−

π

=

3

2

6

j

Ue

 



 



π

+

π

=

3

2

6

j

Ue

3

2 j

AB

e
U

π

−

=

3

2 j

AB

e
U

π

=

6

π

U

B

U

C

U

A

U

AB

U

BC

U

CA

6

5π

2

π

−

6

cos
U2

U

A

AB

π

=

3

U

A

=

3

U

U

f

=

3

9

Z

Z

Z

Uk

ład gwiazda-trójk

ąt

U

AB

U

BC

U

CA

U

C

U

A

U

B

I

B

I

A

I

C

I

AB

I

BC

I

CA

Pr

ądy przewodow

e (liniowe)

Pr

ądy fazowe

Z

U

I

AB

AB

=

I

A

, I

B

, I

C

Z

U

I

BC

BC

=

Z

e
U

3

2 j

AB

π

−

=

3

2 j

AB

e
I

π

−

=

Z

U

I

CA

CA

=

Z

e
U

3

2 j

AB

π

=

3

2 j

AB

e
I

π

=

CA

AB

A

I

I

I

−

=

AB

BC

B

I

I

I

−

=

BC

CA

C

I

I

I

−

=

I

AB

I

BC

I

CA

I

B

I

C

I

A

3
I
I

f

=

I

I

I

I

C

B

A

=

=

=

f

CA

BC

AB

I

I

I

I

=

=

=

10

Ź

ród

ło po

łą

czone w trójk

ąt

U

BC

U

AB

U

CA

I

B

I

A

I

C

I

AB

I

BC

I

CA

Z

Z

Z

I

B

I

A

I

C

U

BC

U

AB

U

CA

Z

f

Z

f

Z

f

Z

U

I

AB

AB

=

3

2 j

AB

BC

e
I

I

π

−

=

3

2 j

AB

CA

e
I

I

π

=

6

j

AB

A

e3

I

I

π

−

=

3

2 j

A

B

e

I

I

π

−

=

3

2 j

A

C

e

I

I

π

=

U

A

f

A

A

Z

U

I

=

f

6

j

AB

Z

1

e

3

U

π

−

=

11

Moc chwilowa odbiornika 3-fazowego

Z

f

Z

f

Z

f

i

A

u

A

u

B

u

C

i

B

i

C

C

B

A

p

p

p
p

+

+

=

A
A

A

i

u

p

=

)

t

sin(
I)

t

sin(

U

i

mf

u

mf

ϕ

+

ω

ϕ

+

ω

=

2

)

cos(
)

cos(

sin

sin

β

+

α

−

β

−

α

=

β

α

2

)

t
2

cos(
)

cos(

I
U

p

i

u

i

u

mf
mf

A

ϕ

+

ϕ

+

ω

−
ϕ

−

ϕ

=

[]

)

t
2

cos(
)

cos(
I
U

i

u

i

u

f
f

ϕ

+

ϕ

+

ω

−
ϕ

−

ϕ

=

B
B

B

i

u

p

=

)

3

2

t

sin(
I)

3

2

t

sin(

U

i

mf

u

mf

π

−

ϕ

+

ω

π

−

ϕ

+

ω

=

 



 



π

−

ϕ

+
ϕ

+

ω

−
ϕ

−
ϕ

=

)

3

4

t
2

cos(
)

cos(
I
U

i

u

i

u

f
f

C
C

C

i

u

p

=

)

3

2

t

sin(
I)

3

2

t

sin(

U

i

mf

u

mf

π

+

ϕ

+

ω

π

+

ϕ

+

ω

=

 



 



π

+

ϕ

+
ϕ

+

ω

−
ϕ

−
ϕ

=

)

3

4

t
2

cos(
)

cos(
I
U

i

u

i

u

f
f

12

Moc chwilowa odbiornika 3-fazowego

Z

f

Z

f

Z

f

i

A

u

A

u

B

u

C

i

B

i

C

−
ϕ

−
ϕ

=

)

cos(

I
U3
p

i

u

f
f

[]

 



 



π

+

ϕ

+

ϕ

+

ω

−  



 



π

−

ϕ

+
ϕ

+

ω

−
ϕ

+
ϕ

+

ω

)

3

4

t
2

cos(
I
U

)

3

4

t
2

cos(
I
U
)

t
2

cos(

I
U

i

u

f
f

i

u

f
f

i

u

f
f

ω

t

0

2π

p

A

p

C

p

B

u

A

=0

4

13

Moc chwilowa odbiornika 3-fazowego

Z

f

Z

f

Z

f

i

A

u

A

u

B

u

C

i

B

i

C

ϕ

=

cos

I
U3
p

f
f

2

U

U

mf

f

=

2

I

I

mf

f

=

i

u

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

P

=

14

Moc pozorna odbiornika 3-fazowego

Z

f

Z

f

Z

f

I

A

U

A

U

B

U

C

I

B

I

C

U

AB

U

BC

U

CA

*

C
C

*

B
B

*

A
A

I
U

I
U

I
U
S

+

+

=

*

A
A

I
U
S

=

3

2 j

*

A

3

2 j

A

e

I

e
U

π

π

−

+

3

2 j

*

A

3

2 j

A

e

I
e
U

π

−

π

+

*

A
A

I
U3

=

3

U

U

f

=

i

u

j

f

j

f

e

I
e

U3

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

=

j

f
f

e

I
U3

ϕ

=

j

UIe3

S

I

I

f

=

Z

Z

Z

U

AB

U

BC

U

CA

I

A

I

B

I

C

I

AB

I

BC

I

CA

*

CA

CA

*

BC

BC

*

AB

AB

I

U

I

U

I

U
S

+

+

=

*

AB

AB

I

U
S

=

3

2 j

*

AB

3

2 j

AB

e
I

e
U

π

π

−

+

3

2 j

*

AB

3

2 j

AB

e
I
e
U

π

−

π

+

*

AB

AB

I

U3

=

i

u

j

f

j

f

e

I
e

U3

ψ

−

ψ

=

ϕ

=

j

f
f

e

I
U3

3

I

I

f

=

ϕ

=

j

UIe3

S

U

U

f

=

15

Moc pozorna odbiornika 3-fazowego

ϕ

=

j

UIe3

S

()

ϕ

+

ϕ

=

sinj

cos
UI3

jQ
P

+
=

ϕ

=

cos
UI3

P

ϕ

=

sin
UI3

Q

16

Schem

at zast

ępczy odbiornika 3-fazowego

fn

fn

f

I

U

Z

=

n

j

fn

0j

fn

e

I

e
U

ϕ

=

nf

nf

U3

U3

⋅

n

j

fn
fn

2 fn

e

I
U3

U3

ϕ

−

=

3

U

U

n

fn

=

Da

ne

z

nam

iono

we

P

n

–

zn

am

iono

wa

m

oc

c

zyn

na

S

n

–

zn

am

iono

wa

m

oc

po

zo

rna

U

n

–

znam

io

no

w

a na

pi

ęci

e zas

ila

ją

ce (p

rzewo

do

w

e)

cos

ϕ

n

–

znam

ion

ow

y w

spó

łcz

yn

ni

k m

ocy

im

pe

da

ncja

faz

y

odbiornika

po

łą

cz

one

go w

gw

iaz

dę

n

j

n

2 n

f

e

S

U

Z

ϕ

−

=

n

n

n

cos

P

S

ϕ

=

n

j

n

n

2 n

f

e

P

cos
U

Z

ϕ

−

ϕ

=

ϕ

n

>0

ϕ

n

<0

Char

ak

ter

po

jem

no

ści

ow

y

Char

ak

ter

in

du

kc

yj

ny

znam

io

no

w

y pr

ąd

zas

il

aj

ący:

f

fn

n

Z

U

I

=

n

j

2 n

n

fn

e

U

S
U

ϕ

=

S

n

n

j

n

n

e

U3

S

ϕ

=

n

j

n

n

n

e

cos
U3

P

ϕ

ϕ

=

(

)

n

n

cos
cos
arc

ϕ

=
ϕ

5

17

3-fazo

wy uk

ład elek

troenergetyczny

G

od

b

1

od

b

2

S

n

, U

n

, e

G

, x

%

S

n

, U

n1

/U

n2

, x

z%

P

n

, U

n

, cos

ϕ

n

Q

n

, U

n

18

Schem

at zast

ępczy u

kł

adu 3-fazowego

∼

∼

∼

L1

L2

L3

L1

L2

L3

∼

∼

∼

L1

L2

L3

∼

∼

∼

L1

L2

L3

∼

∼

∼

I=

0

I=

0

1

2

3

4

∼

schem

at z

ast

ępc

zy 1

-fazow

y

N

N

N

19

Pole wiruj

ące

i

A

i

B

i

C

B

C

B

A

B

B

t

sin

I

i

m

A

ω

=

)

120
t

sin(

I

i

m

B

°

−

ω

=

)

120
t

sin(

I

i

m

C

°

+

ω

=

t

sin
B

B

m

A

ω

=

)

120
t

sin(
B

B

m

B

°

−

ω

=

)

120
t

sin(
B

B

m

C

°

+

ω

=

0

B

B

B

C

B

A

=

+

+

B

A

B

B

B

C

t

sin
e
B

B

0j

m

A

ω

=

°

)

120
t

sin(

e
B

B

120j

m

B

°

−

ω

=

°

−

)

120
t

sin(

e
B

B

120j

m

C

°

+

ω

=

°

Re

Im

20

Pole wiruj

ące

=

+

+

=

C

B

A

B

B

B
B

+

ω

t

sin
B

m

(

)

(

)

[]

(

)

(

)

[

]

+

°

−

ω

+

°

−

ω

⋅

°

−

+

°

−

120

sin)t

cos(

120

cos)t

sin(

120

sinj

120

cos
B

m

(

)

(

)

[]

(

)

(

)

[

]

=

°

ω

+

°

ω

⋅

°

+

°

120
sin)t

cos(

120
cos)t

sin(

120
sinj

120
cos
B

m

[]

=
ω

+
ω

)t

cos(j
)t

sin(
B

2

3

m

()

t

90

j

m

e
B

2

3

ω−

°

Re

Im

B

90

º−

ω

t

m

B

2

3