Obwody elektryczne I

Literatura:

1. Michał Tadeusiewicz -

Teoria Obwodów

część I

wyd. PŁ

2. Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin -

Podstawy Teorii Obwodów

tom I

wyd. WNT

3.

Teoria Obwodów - zadania

pod redakcją M. Tadeusiewicza
wyd. PŁ

Podstawowe wiadomości

o obwodach elektrycznych

Elementy obwodów –
strzałkowanie prądów i napięć

i

u

Element dwukońcówkowy - dwójnik

Układ
n - zaciskowy

1

2
3

n-1

n

i

1

i

n

u

n-1

u

3

u

2

u

1

Przykład układu n - zaciskowego to czwórnik

1

1’

2

2’

Czwórnik

U

1

U

2

u

1

u

2

u

3

u

4

u

5

u

6

i

1

i

2

i

3

i

6

i

4

i

5

Przykład

obwodu

A

B

C

D

1

2

3

4

5

6

Przykłady pętli

I

II

III

1

2

3

4

5

6

V

IV

1

2

3

4

5

6

Przykłady pętli

Pętle I, II, III nazywamy „oczkami” obwodu.

I

II

III

Wewnątrz oczek nie ma innych gałęzi.

Prawa Kirchhoffa

PPK

Dla każdego obwodu,
dla każdego jego węzła
w każdej chwili t
suma algebraiczna wszystkich prądów
w gałęziach zbiegających się w węźle
jest równa zero.

W sumie tej znak + przypisujemy
prądowi „od węzła”.







n

k

k

i

1

0

PPK

Sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach
w węźle. Jest ich n.

Można napisać tyle równań ile jest węzłów

i

1

i

2

i

3

i

6

i

4

i

5

A

B

C

D

A: i

1

+ i

2

+ i

3

= 0 B: -i

1

+ i

4

+ i

6

= 0

C: - i

2

- i

4

+ i

5

= 0D: - i

3

- i

5

- i

6

= 0

Napisaliśmy 4 równania, tzn. tyle, ile jest węzłów.
Tworzą one układ równań zależnych, gdy dodamy
je stronami otrzymamy

0=0

gdyż każdy prąd
wypływa z jednego węzła („+”)
i wpływa do innego („-”).

Piszemy zawsze równań prądowych

1







-

liczba węzłów

NPK

Dla każdego obwodu,
dla każdej jego pętli
w każdej chwili t
suma algebraiczna napięć gałęziowych
w rozpatrywanej pętli
jest równa zero.

W sumie tej znak + przypisujemy
napięciom zgodnym z przyjętym
kierunkiem obiegu pętli







n

k

k

u

1

0

NPK

Sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach
tworzących pętlę. Jest ich n.

u

1

u

2

u

3

u

4

u

5

u

6

I

II

III

I: - u

1

- u

4

+ u

2

= 0

II: - u

2

- u

5

+ u

3

= 0

III: u

4

- u

6

+ u

5

= 0

Ile równań napisaliśmy na podstawie
praw Kirchhoffa?

Przyjmijmy, że gałęzi jest

b,

potrzebne jest zatem

b

równań – tyle , ile jest niewiadomych

prądów w gałęziach.

1





Z PPK

równań

Z NPK

1







b

równań

Właśnie jest oczek w obwodzie

1







b

Moc i energia

Moc chwilowa

)

(

)

(

)

(

t

i

t

u

t

p 

Energia









t

d

i

u

t

w







)

(

)

(

)

(

Związek między mocą i energią:

dt

t

dw

t

p

)

(

)

( 









t

d

p

t

w





)

(

)

(

i

u

Uwaga:

Wartości chwilowe wielkości obwodowych,
np.prądów i napięć (funkcje czasu)
oznaczamy zawsze małymi literami

np.

u(t), i(t), p(t), w(t)

Jednostki

 

V

u 1

1 

Jednostka napięcia

Jednostka

natężenia

prądu:

 

A

i 1

1 

Jednostka oporu (rezystancji):

 



1

1R

Jednostka mocy:

 

W

p 1

1 

Stosujemy jednostki podstawowe układu SI:

Jednostka energii:

 

J

w 1

1



Będziemy rozważać elementy SLS:

•skupione (S)

•liniowe (L)

•stacjonarne (S)

Opornik

i

u

R

 

 

t

i

R

t

u 

Jest to prawo Ohma

.

const

R 

u(t)

i(t)

gdy

charakterystyka
prądowo-napięciowa
opornika liniowego jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.

Ri

u 

Rezystor

 

 

t

i

G

t

u

1



 

 

t

u

G

t

i 

Wprowadzimy pojęcie

konduktancji (przewodności)

R

G

1



Jednostką konduktancji jest 1 simens

 

S

G 1

1



Cewka

 

 

t

i

L

t 



Strumień magnetyczny
przenikający przez uzwojenie
jest proporcjonalny do prądu



i

.

const

L 

gdy

i

u

L

charakterystyka
strumieniowo-prądowa
cewki liniowej
jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.

Li





indukcyjność

L - indukcyjność cewki

 

H

L 1

1 

 

dt

di

L

dt

d

t

u







Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie
„strumień skojarzony” z uzwojeniem:





z



 

dt

d

t

u





Kondensator

C

i

u

 

 

t

u

C

t

q 

Ładunek elektryczny
na okładkach kondensatora
jest proporcjonalny do napięcia

gdy

.

const

C 

charakterystyka
napięciowo-ładunkowa
kondensatora liniowego
jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.

q

u

Cu

q

pojemność

C - pojemność kondensatora

 

F

C 1

1



 

dt

du

C

dt

dq

t

i





Elementy pasywne i aktywne obwodów

Element pasywny pobiera energię
Element aktywny dostarcza ją do obwodu









t

d

i

u

t

w







)

(

)

(

)

(

0



pasywny









t

d

i

u

t

w







)

(

)

(

)

(

0



aktywny

Źródła niezależne:

a) źródła napięcia

Idealne:

rzeczywiste:

E

u

AB

=E

A

B

A

B

E

R

w

u

AB

Charakterystyki źródeł:

Źródło idealne napięcia stałego

E

u

i

E

Źródło rzeczywiste napięcia stałego

E

R

w

u

i

i

R

E

u

w





E

u

i

w

R

E

b) źródła prądu

idealne:

rzeczywiste:

A

J

u

AB

B

J

G

w

u

AB

A

B

Źródło idealne prądu stałego

J

u

J

i

Źródło rzeczywiste prądu stałego

J

G

w

i

w

i

u





i

G

G

J

G

i

J

G

i

R

i

u

w

w

w

w

w

w

w

1

1

1















i

u

J

J

G

w

i

R

E

u

w





Połączenia oporników

a. Połączenie szeregowe:

R

1

R

2

R

n

U

1

U

2

U

n

U

i

n

U

U

U

U















2

1

















n

R

i

R

i

R

i

2

1





n

R

R

R

i















2

1









n

k

k

z

R

i

U

R

1









n

k

k

z

R

i

U

R

1

W połączeniu szeregowym
rezystancje oporników dodają się

Dzielnik napięcia

U

R

1

R

2

U

1

U

2

i

2

1

R

R

U

i





2

1

1

1

1

R

R

R

U

R

i

U







2

1

2

2

2

R

R

R

U

R

i

U







b. Połączenie równoległe:

i

i

1

i

2

R

1

R

2

u

1

1

R

i

u 

2

2

R

i

u 

2

1

i

i

i





1

1

R

u

i 

2

2

R

u

i 

















2

1

1

1

R

R

u

i

2

1

1

1

1

R

R

u

i

R

z







W połączeniu równoległym
odwrotności rezystancji oporników dodają się







n

k

k

z

R

R

1

1

1

Dla dwóch oporników otrzymamy:

2

1

2

1

R

R

R

R

R

z





R

R

R

R

R

gdy

z

2

1

2

1









Dzielnik prądu

i

i

1

i

2

u

R

1

R

2

Jaka część prądu i popłynie przez R

1

,

a jaka przez R

2

?

2

2

1

1

R

i

R

i



2

1

i

i

i





2

1

2

1

R

R

R

i

i





2

1

1

2

R

R

R

i

i





Przykład:

i

i

1

i

2

R

1

R

2

A

i

R

R

9

6

12

2

1











A

R

R

R

i

i

3

3

1

9

6

12

6

9

2

1

2

1















A

R

R

R

i

i

6

3

2

9

6

12

12

9

2

1

1

2















V

R

i

u

36

12

3

1

1









V

R

i

u

36

6

6

2

2









V

R

i

u

z

36

4

9 

















4

12

6

12

6

z

R

Zasada superpozycji

x

y

x

1

x

2

x

1

+x

2

y

1

+y

2

y

2

y

1

y=Ax

Odpowiedź układu liniowego
na sumę wymuszeń
równa się sumie odpowiedzi na
poszczególne wymuszenia
działające z osobna.

UL

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

x

y

x

1

x

2

x

1

+x

2

y

2

y

1

y=f(x)

y=y

1

+y

2

Dlaczego superpozycji nie można stosować
do układów nieliniowych:

Przykład:

W obwodzie działają dwa źródła napięcia e

1

i

e

2

. Celem jest obliczenie napięcia u

AB

metodą superpozycji.

i

1

i

2

e

1

e

2

R

1

R

2

R

3

u

AB

A

B

i

3

Pierwszy etap superpozycji

-

pozostawiamy w obwodzie tylko źródło e

1

, a

źródło e

2

zwieramy:

i

2

’

e

1

R

1

R

2

R

3

u

AB

’

A

B

i

1

’

i

3

’

1

3

2

3

2

R

R

R

R

R

R

z







i

1

’=

e

1

R

z

3

2

3

2

'

1

'

R

R

R

R

i

u

AB





Drugi etap superpozycji

- pozostawiamy

w obwodzie tylko źródło e

2

, a e

1

zwieramy:

i

1

’’

i

2

’’

e

2

R

1

R

2

R

3

u

AB

A

B

i

3

’’

3

2

3

2

''

2

''

R

R

R

R

i

u

AB





2

3

1

3

1

''

R

R

R

R

R

R

z







''

2

''

2

z

R

e

i 

3

2

3

2

'

1

'

R

R

R

R

i

u

AB





3

2

3

2

''

2

''

R

R

R

R

i

u

AB





AB

AB

AB

u

u

u

''

'



