OBWODY ELEKTRYCZNE i

MAGNETYCZNE

0

3

4

I d l r

d B

r

μ

×

=

⋅

Π

0

3

4

L

I

d l r

B

r

μ

∫

×

=

⋅

Π

α

d l

r

I

L

prawo

prawo

Biot’a

Biot’a

-

-

Savart’a

Savart’a

-

-

Laplace’a

Laplace’a

prawo Biot’a-Savart’a-Laplace’a

α

d l

r

I

L

(

,

,

)

P

x

y

z

P

r

d l

r

P

d l

r

r

r

=

−

(

',

',

')

x

y

z

prawo Biot’a-Savart’a-Laplace’a

0

3

4

V

j r

B

dV

r

μ

∫

×

=

Π

r

( , , )

P x y z

P

r

dl

r

P

dl

r

r

r

= −

j

j

V

r

d

≈

Siła Lorentza

I

B

d l

F

d F

Id l B

=

×

F

qv B

=

×

wektor indukcji magnetycznej

B

[ ] [ ]

[ ][ ]

2

2

1

1

1

1

1

F

N

J

Vs

T

B

I l

Am

Am

m

=

=

=

=

=

L

F

d F

∫

=

Zasada superpozycji

• Pole wektorowe indukcji jest wytworzone

przez prądy płynące w przewodach,

• Jeżeli pole jest wytworzone przez układ

obwodów prądowych I

1

, I

2

, I

3

,....I

n

, z których

każdy wytwarza odpowiednio pole

• to pole wypadkowe jest ich superpozycją

• Źródłem pola magnetycznego są również ciała

magnetyczne

B

B

1

2

3

,

,

, .....

n

B B

B

B

1

2

3

1

....

n

n

i

i

B

B

B

B

B

B

=

∑

=

+

+

+

+

=

Moment mechaniczny działający na

obwód z prądem

na mały obwód z prądem I

umieszczony w polu indukcji

działa moment mechaniczny
siły

gdzie: wektor powierzchni

moment magnetyczny obwodu

F

M

I s B

m B

=

× = ×

s

m

[ ]

F

M

Nm

J

=

=

[ ]

2

m

Am

=

I

s

B

F

M

Pole indukcji dipola magnetycznego

• analogia z dipolem elektrycznym

• Przyjmuje się , że pole dipola

magnetycznego jest określone analogicznym
wzorem jak pole dipola elektrycznego

• Dowolny makroskopowy obwód prądowy

można potraktować jako złożenie bardzo
małych obwodów ( dipoli magnetycznych ).

F

M

p E

p

qh

= ×

=

B

E

0

3

3

0

4

4

P

p r

m

E

grad

B

grad

r

r

r

μ

ε

= −

= −

Π

Π

D

D

P

r

m

Pole indukcji dowolnego obwodu prądowego

• z zasady superpozycji

• czyli

• można zauważyć,że

• stąd

I

S

Id s

r

B

0

3

(

)

4

P

S

Id s r

B

grad

r

μ

∫

= −

Π

D

0

3

(

)

4

P

S

Id s r

B

grad

r

μ

∫

= −

Π

D

3

2

n

ds

d s r

d

r

r

ω

=

=

D

0

0

(

)

4

4

P

P

I

I

B

grad

d

grad

ω

μ

μ

ω

ω

∫

= −

= −

Π

Π

Id s

r

d

ω

P

Pole indukcji dowolnego obwodu prądowego

P

ω

I

można pokazać że:

3

P

L

r d l

grad

r

ω

∫

×

=

v

stąd

0

3

4

L

I d l r

B

r

μ

∫

×

=

Π

v

Wzór Laplace’a, który wyraża prawo Biot’a-Savart’a w przypadku płaskim

0

2

sin

4

L

I

B

dl

r

μ

α

∫

=

Π

v

Wirowość pola indukcji magnetycznej

1

P

1

ω

I

2

P

2

ω

12

L

0

0

1

2

12

12

(

)

4

4

L

L

I

I

B d l

grad

d l

μ

μ

ω

ω ω

∫

∫

= −

=

−

Π

Π

D

D

w przypadku gdy krzywa L

12

jest krzywą

zamkniętą

0

0

L

B d l

I

μ

∫

⎧

= ⎨

⎩

v

D

gdy krzywa L nie obejmuje
przewodu

gdy krzywa L obejmuje
przewód

ogólnie

0

(

)

L S

S

B d l

j d s

μ

∫

∫

=

v

D

D

Twierdzenia analizy wektorowej

• Twierdzenie Ostrogradskiego-

Gauss’a

• Twierdzenie Stokes’a

(

)

S V

V

B d s

divBdV

∫

∫

=

v

D

(

)

L S

S

B d l

rot B d s

∫

∫

=

v

D

D

Rachunek operatorowy pola wektorowego

• Dywergencja lub rozbieżność

• Rotacja lub cyrkulacja

• kierunek wyznacza wektor normalny do ΔS
• zwrot definiuje prawoskrętność brzegu ΔS

0

0

(

)

(

)

1

1

lim

lim

n

V

V

S

V

S

V

divB

B d s

B ds

V

V

Δ →

Δ →

Δ

Δ

∫

∫

=

=

Δ

Δ

v

v

D

0

(

)

1

lim

S

L

S

rot B

B d l

S

Δ →

Δ

∫

=

Δ

v

D

Wirowość pola indukcji magnetycznej

0

(

)

L S

S

B d l

j d s

μ

∫

∫

=

v

D

D

Wykorzystując twierdzenie Stokes’a

0

S

S

rot B d s

j d s

μ

∫

∫

=

D

D

j

d s

L

z dowolności S wynika, że

0

rot B

j

μ

=

Wzór ten wyraża wirowość pola indukcji magnetycznej
Pole magnetyczne jest POLEM WIROWYM
a dla prądów makroskopowych w próżni przyjmuje postać

0

(

)

(

)

i

S

L S

B d l

I

μ

∑

∫

=

±

v

D

Potencjał wektorowy pola magnetycznego

Id l

j sd l

jdV

= ⋅

=

0

0

3

3

4

4

L

V

I

d l r

j r

B

dV

r

r

μ

μ

∫

∫

×

×

=

⋅

=

Π

Π

ale

3

1

( )

r

grad

r

r

= −

0

0

3

1

( )

4

4

L

L

I

I

d l r

B

d l

r

r

μ

μ

∫

∫

×

=

⋅

= −

⋅

×∇

Π

Π

korzystając z tożsamości

(

)

(

)

f F

f

F

f

F

∇×

= ∇× + ∇ ×

Przyjmując f=1/r i

F

d l

=

otrzymamy

1

1

( )

( )

(

)

d l

d l

d l

r

r

r

×∇

=

∇ ×

− ∇ ×

Potencjał wektorowy pola magnetycznego

• ponieważ nabla różniczkuje po zmiennych (x,y,z) a wektor jest

funkcją zmiennych (x’,y’,z’) to

d l

0

d l

∇ ×

=

zatem

1

1

( )

d l

r

r

⎛ ⎞

×∇

= −∇×⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

0

4

4

L

V

I d l

j

B

rot

rot

dV

r

r

μ

μ

∫

∫

⎛

⎞

⎛

⎞

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

Π

Π

⎝

⎠

⎝

⎠

Okazuje się, że wektor indukcji magnetycznej jest rotacją pola wektorowego,
które nazywamy MAGNETYCZNYM POTENCJAŁEM WEKTOROWYM

B

rot A

A

=

= ∇×

0

0

4

4

L

V

I d l

j

A

dV

r

r

μ

μ

∫

∫

⎛

⎞ ⎛

⎞

=

=

⎜

⎟ ⎜

⎟

Π

Π

⎝

⎠ ⎝

⎠

[ ]

1

Vs

A

m

=

Bezźródłowość pola magnetycznego

(

)

0

divB

div rot A

=

=

W magnetostatyce obowiązują relacje

0

div A

=

2

0

A

j

μ

∇

= −

Równanie Poissona dla potencjału magnetycznego