Korzybski Obwody elektryczne 2

background image

Konspekt jest współfinansowany przez Unię Europejską

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

w projekcie:

"Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń

- zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej zarządzanie Uczelnią,

nowoczesna oferta edukacyjna

i wzmacniania zdolności do zatrudniania,

także osób niepełnosprawnych".











Materiały pomocnicze do przedmiotu

Obwody Elektryczne 2




background image















Przedmowa

Materiały pomocnicze do przedmiotu Obwody Elektryczne 2 są przeznaczone głównie dla
studentów studiów niestacjonarnych. Mają ułatwić samodzielną naukę praktycznego

wykorzystania metod analizy obwodów poznawanych w ramach przedmiotu Obwody
Elektryczne 2. Materiały nie są typowym zbiorem zadań, nie zawierają propozycji zadań do
samodzielnego rozwiązania lecz zadania o niezbyt dużym stopniu trudności, których
rozwiązania są dokładnie opisane. Ma to służyć lepszemu zrozumieniu problemów analizy
obwodów, szczególnie w zakresie podstaw tej dziedziny. Opanowanie analizy obwodów w
zakresie przewidzianym przez zajęcia ćwiczeniowe z Obwodów Elektrycznych 2 wymaga
opanowania zagadnień zawartych w odpowiednich rozdziałach podręcznika: TEORIA
OBWODÓW, ZADANIA opracowanego pod redakcją profesora M.Tadeusiewicza.






















2

background image

Zadanie 1

Znajdź wartości symboliczne prądów i napięć na podstawie ich wartości chwilowych:

1. u

1

(t)=35sin(ωt+60°)V;

2. i

1

(t)=4,5

2

sin(ωt-150°)A;

3. u

2

(t)=230

2

sinωt V;

4. i

2

(t)=8,2

2

cos(ωt+30°)A;

Rozwiązanie:

Rozwiązania punktów 1 – 4 otrzymuje się na podstawie definicji wartości symbolicznej:

x

φ

j

e

X

X

=

(1.1)

gdzie: X jest wartością symboliczną,

X

jest wartością skuteczną a

φ fazą początkową

sinusoidalnie zmiennej wielkości:

x

(

)

x

φ

t

ω

X

)

t

(

x

+

=

sin

2

(1.2)

Do rozwiązania zadania pamiętać należy o relacji między wartością skuteczną

X

a wartością

maksymalną

, która obowiązuje dla wielkości sinusoidalnie zmiennych:

m

X

2

m

X

X

=

(1.3)

Do zamiany postaci wykładniczej wartości symbolicznej, przedstawionej wzorem (1.1), na
postać trygonometryczną oraz algebraiczną wykorzystać należy wzór Eulera:

(

)

x

x

φ

j

φ

j

φ

X

e

X

x

sin

cos

+

=

(1.4)

Punkt 1:
Korzystając ze wzoru (1.1):

(

)

(

)

(

)

V

5

17

38

12

2

5

0

5

0

75

24

60

sin

60

cos

75

24

2

35

60

1

,

j

,

,

j

,

,

j

,

e

U

j

+

=

+

=

°

+

°

=

=

°

Punkt 2:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

) (

)

A

25

2

897

3

5

0

866

0

5

4

150

sin

150

cos

5

4

150

sin

150

cos

5

4

5

4

150

1

,

j

,

,

j

,

,

j

,

j

,

e

,

I

j

=

=

=

°

°

=

°

+

°

=

=

°

Punkt 3:

(

)

(

)

V

230

0

1

230

0

sin

0

cos

230

230

0

2

=

+

=

+

=

=

°

j

j

e

U

j

Punkt 4:
Wykorzystując znaną tożsamość trygonometryczną (wzór redukcyjny):

(

)

α

α

cos

90

sin

=

+

°

(1.5)

należy przedstawić wartość chwilową prądu tak, aby w wyrażeniu określającym tę wartość
występowała funkcja sinus a nie cosinus.

( )

(

)

(

)

(

)

°

+

=

°

+

°

+

=

°

+

=

120

sin

2

8

90

30

sin

2

8

30

cos

2

8

2

t

ω

,

t

ω

,

t

ω

,

t

i

Do otrzymanej postaci prądu można już zastosować bezpośrednio wzór (1.1):

(

)

(

)

[

]

(

)

(

) (

)

A

25

2

897

3

5

0

866

0

5

4

150

sin

150

cos

5

4

150

sin

150

cos

5

4

2

8

150

2

,

j

,

,

j

,

,

j

,

j

,

e

,

I

j

=

=

=

°

°

=

°

+

°

=

=

°

3

background image

Zadanie 2

Znajdź wartości chwilowe prądów i napięć na podstawie ich wartości symbolicznych:

1.

;

(

)

V

8

5

1

j

U

+

=

2.

(

)

A

5

6

2

3

1

,

j

,

I

+

=

3.

V

8

45

2

,

U

=

4.

A

4

2

2

,

j

I

=

Rozwiązanie:

Zależność wartości chwilowej

wielkości sinusoidalnie zmiennej od jej wartości

symbolicznej określa wzór:

( )

t

x

( )

{

}

{

}

(

)

{

}

(

x

φ

t

ω

j

t

ω

j

φ

j

t

ω

j

φ

t

ω

X

e

X

e

e

X

Xe

t

x

x

x

+

=

=

=

=

+

sin

2

2

Im

2

Im

2

Im

)

(2.1)

Jak wynika z zależności (2.2) wartość chwilową

( )

t

x

wielkości sinusoidalnie zmiennej można

najprościej określić na podstawie postaci wykładniczej odpowiadającej jej wartości
symbolicznej. Postać wykładniczą wartości symbolicznej przedstawia wzór (1.1).
Związek między wartością skuteczną

X

wielkości sinusoidalnie zmiennej

a częścią

rzeczywistą oraz częścią urojoną odpowiadającej jej wartości symbolicznej określa
następująca zależność:

( )

t

x

( )

[

]

( )

[

]

2

2

Im

Re

X

X

X

+

=

(2.2)

Fazę początkową

wielkości sinusoidalnie zmiennej

x

φ

( )

t

x

określa się na podstawie części

rzeczywistej oraz części urojonej odpowiadającej jej wartości symbolicznej w następujący
sposób:

( )

( )

( )

( )

( )

( )



<

°

±

>

=

0

Re

gdy

180

Re

Im

arctan

0

Re

gdy

Re

Im

arctan

X

X

X

X

X

X

φ

x

(2.3)

Punkt 1:
Na podstawie zależności (2.2):

V

434

9

89

8

5

2

2

1

,

U

=

=

+

=

Wykorzystując zależność (2.3) określa się fazę początkową napięcia

( )

t

1

u

:

°

=

=

99

57

5

8

arctan

,

φ

x

Wartość chwilowa napięcia to:

( )

(

)

(

)

V

99

57

13,342sin

V

99

57

sin

2

434

9

1

°

+

=

°

+

=

,

t

ω

,

t

ω

,

t

u

Punkt 2:
Postępując podobnie jak w punkcie 1 otrzymuje się:

( ) ( )

A

245

7

5

6

2

3

2

2

1

,

,

,

I

=

+

=

4

background image

°

=

°

+

=

21

116

180

2

3

5

6

arctan

1

,

,

,

φ

I

( )

(

)

(

)

A

21

116

sin

246

10

21

116

sin

2

245

7

1

°

+

=

°

+

=

,

t

ω

,

,

t

ω

,

t

i

Punkt 3:

(

)

V

8

45

8

45

2

2

,

,

U

=

=

0

8

45

0

arctan

2

=

=

,

φ

U

( )

V

sin

77

64

V

sin

2

8

45

2

t

ω

,

t

ω

,

t

u

=

=

Punkt 4:

( )

A

4

2

4

2

2

2

,

,

I

=

=

Część rzeczywista wartości symbolicznej prądu I

2

jest równa 0, część urojona jest dodatnia.

Oznacza to, że faza początkowa tego prądu wynosi 90°.

( )

(

)

(

)

A

3,394cos

A

90

sin

394

3

90

sin

2

4

2

2

t

ω

t

ω

,

t

ω

,

t

i

=

°

+

=

°

+

=

Zadanie 3

W przedstawionym na rysunku 3.1 obwodzie wyznacz stosując metodę symboliczną:

1. wartości symboliczne oraz chwilowe napięcia na kondensatorze i cewce oraz prądów

płynących przez opornik i cewkę,

2. wartość napięcia źródłowego

( )

t

e

,

3. impedancję Z widzianą z zacisków źródła

( )

t

e

,

4. moc czynną, bierną, symboliczną oraz pozorną połączenia elementów R, L, C.

Narysuj wykres wskazowy układu.

e(t)

u

L

(t)

C

i

C

(t)

i(t)

u

C

(t)

L

R

Rys.3.1

Dane:

( )

(

)

A

60

sin

2

8

30

1

40

°

+

=

=

=

=

t

ω

t

i

;

C

ω

L

ω

;

R

C

Rozwiązanie:

Punkt 1:
Wykorzystanie metody symbolicznej wymaga znalezienia wartości symbolicznej prądu
kondensatora:

(

)

(

) (

)

A

3

1

4

3

5

0

5

0

8

60

sin

60

cos

8

8

60

j

,

j

,

j

e

I

j

C

+

=

+

=

°

+

°

=

=

°

5

background image

Prawo Ohma dla wartości symbolicznych umożliwia wyznaczenie napięcia U

C

:

(

)

(

)

V

3

120

3

1

4

30

1

j

j

j

I

C

ω

U

C

C

=

+

=

=

Elementy R oraz C połączone są równolegle, panuje zatem na ich zaciskach to samo napięcie.
Prąd płynący przez opornik R wyznaczyć można korzystając z prawa Ohma:

(

) ( )

A

3

3

40

3

120

j

j

R

U

I

C

R

=

=

=

Prądowe prawo Kirchhoffa dla jednego z węzłów obwodu (dla obu węzłów otrzymuje się to
samo równanie) pozwala na wyznaczenie prądu I:

(

) (

) (

) (

)

(

)

A

928

3

196

9

3

3

4

3

3

4

3

3

3

1

4

,

j

,

j

j

j

I

I

I

R

C

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

Napięcie na cewce wyznaczone zostaje na podstawie prawa Ohma:

(

) (

)

V

88

275

84

117

928

3

196

9

30

,

j

,

,

j

,

j

I

L

ω

j

U

L

+

=

+

=

=

Na podstawie wyznaczonych wartości symbolicznych określa się poszukiwane wartości
chwilowe:

( )

( )

(

)

V

30

sin

2

240

30

3

1

arctan

V

240

1

3

120

2

2

°

=

°

=

=

=

+

=

t

ω

t

u

φ

U

C

U

C

C

( )

( )

(

)

A

30

sin

2

6

30

3

1

arctan

A

6

1

3

3

2

2

°

=

°

=

=

=

+

=

t

ω

t

i

φ

I

R

I

R

R

(

) (

)

( )

(

)

A

13

23

sin

2

10

13

23

196

9

928

3

arctan

A

10

928

3

196

9

2

2

°

+

=

°

=

=

=

+

=

,

t

ω

t

i

,

,

,

φ

,

,

I

I

(

) (

)

( )

(

)

V

13

113

sin

2

300

13

113

180

13

23

180

84

117

88

275

arctan

V

300

88

275

84

117

2

2

°

+

=

°

=

°

+

°

=

°

+

=

=

+

=

,

t

ω

t

u

,

,

,

,

φ

,

,

U

L

U

L

L

Punkt 2:
Napięciowe prawo Kirchhoffa dla wartości symbolicznych pozwala na sformułowanie
równania:

C

L

C

L

U

U

E

U

U

E

+

=

=

0

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

V

88

155

0

90

120

88

275

3

120

84

117

3

120

88

275

84

117

,

j

,

,

j

,

j

,

j

,

E

+

=

=

+

+

=

+

+

=

Wartość chwilowa napięcia źródłowego to:

6

background image

( ) (

)

( )

(

)

V

60

sin

2

180

60

90

88

155

arctan

V

180

88

155

90

2

2

°

+

=

°

=

=

=

+

=

t

ω

t

e

,

φ

,

E

E

Punkt 3:
Z zacisków źródła widziana jest impedancja Z, która jest szeregowym połączeniem
impedancji cewki Z

L

oraz impedancji Z

RC

równoległego połączenia opornika i kondensatora.

(

)

(

) (

)

(

) ( )

=

+

=

+

=

+

=

=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

°

87

36

4

14

8

10

arctan

2

2

2

2

18

8

10

4

14

8

10

4

14

4

3

8

4

30

3

4

3

4

120

30

40

30

40

30

30

1

1

,

j

,

,

j

RC

L

e

e

,

,

,

j

,

j

,

j

j

j

j

j

j

j

R

C

ω

j

R

C

ω

j

L

ω

j

Z

Z

Z

Punkt 4:
Moc czynna połączenia elementów R,L,C związana jest wyłącznie z opornikiem R. Określa ją
zależność:

2

R

I

R

P

=

(3.1)

Korzystając z obliczeń wykonanych w punkcie 1:

1,44kW

W

1440

6

40

2

=

=

=

P

Moc bierna związana jest z cewką Q

L

oraz kondensatorem Q

C

. Moce te są określone przez

zależności:

2

I

L

ω

Q

L

=

(3.2)

2

1

C

C

I

C

ω

Q

=

(3.3)

Wartości tych mocy obliczone na podstawie wyznaczonych w punkcie 1 wartości
skutecznych prądów wynoszą:

( )

-1,92kvar

var

1920

8

30

Q

3kvar

var

3000

10

30

2

C

2

=

=

=

=

=

=

L

Q

Moc bierna połączenia to suma mocy obu elementów:

kvar

08

1

var

1080

1920

3000

,

Q

Q

Q

C

L

=

=

=

+

=

Do obliczenia mocy symbolicznej S można wykorzystać wzór definicyjny:

jQ

P

S

+

=

(3.4)

Po podstawieniu obliczonych już wartości otrzymuje się:

(

)

VA

1080

1440

j

S

+

=

Moc pozorna

S

jest zdefiniowana zależnością:

2

2

Q

P

S

+

=

(3.5)

Jej wartość w analizowanym obwodzie to:

(

) (

)

1,8kVA

VA

1800

1080

1440

2

2

=

=

+

=

S

7

background image

Moce dwójnika, na którego zaciskach panuje napięcie o wartości symbolicznej U i przez
który płynie prąd o wartości symbolicznej I można również obliczyć posługując się
zależnościami:

(3.6)

=

I

U

S

( )

S

P

Re

=

(3.7)

( )

S

Q

Im

=

(3.8)

Wykorzystanie zależności (3.6)÷(3.8) prowadzi do wyników takich, jak już obliczone.

(

) (

) (

) (

)

(

)

VA

1080

1440

95

1079

94

1439

52

353

47

1433

3

612

64

827

928

3

196

9

88

155

90

j

,

j

,

.

,

j

,

,

,

j

,

,

j

S

+

+

=

=

+

+

=

+

=

Wykres wskazowy układu:

Im

Re

E

U

L

U

C

I

L

I

C

I

R

100V

5A

Rys.3.2. Wykres wskazowy prądów i napięć obwodu z rys.3.1

Sposób rysowania wykresu wskazowego jest następujący. Należy przyjąć skale dla prądów
oraz napięć. Są one umieszczone w górnej części rysunku. Rysowanie wykresu rozpoczyna
się od wskazu prądu kondensatora. Jego wartość była wielkością daną. Długość wskazu
odpowiada wartości skutecznej prądu

A

8

=

C

I

w skali przyjętej dla prądów. Jego nachylenie

do osi rzeczywistych przyjętego układu osi płaszczyzny zmiennej zespolonej jest równe fazie

8

background image

początkowej prądu

. Napięcie na kondensatorze jest opóźnione o 90° w stosunku

do prądu, długość wskazu napięcia odpowiada wyznaczonej wartości skutecznej w przyjętej
dla napięć skali. Wskaz prądu opornika I

°

= 60

C

I

φ

R

jest skierowany zgodnie z napięciem. Jego

początek został umieszczony w punkcie, który jest końcem wskazu prądu kondensatora aby
łatwo wyznaczyć sumę obu prądów. Jest ona prądem cewki I. Napięcie na cewce wyprzedza
wyznaczony wskaz jej prądu o 90°. Jego początek pokrywa się z końcem wskazu napięcia na
kondensatorze w celu prostego uzyskania sumy obu wskazów, która odpowiada napięciu
źródłowemu E.

23

R

U

L

ω

=


Zadanie 4

W przedstawionym na rysunku 4.1 obwodzie wyznacz:

1. reaktancję ωL i indukcyjność L jeżeli wiadomo, że napięcie U

L

wyprzedza napięcie

U

C2

o 120°,

2. moduł reaktancji kondensatora C

1

, czyli wielkość X

C1

=1/ωC

1

oraz pojemność C

1

jeżeli

wiadomo, że napięcie U oraz prąd I

1

są w fazie,

3. impedancję wejściową układu Z,
4. wskazanie woltomierza, jeżeli wiadomo, że wartość skuteczna napięcia na zaciskach

cewki |U

L

|=30V.

Narysuj wykres wskazowy układu.
Dane:

R

1

=20Ω, R

2

=100√3Ω, R

3

=100Ω, ωC

2

=0,01S, ω=100rd/s

U

U

C2

C

2

I

2

R

1

R

3

C

1

V

I

3

I

1

U

L

L

R

2

U

23

Rys.4.1

Rozwiązanie:

Punkt 1:

Kąt przesunięcia między dwiema wielkościami sinusoidalnie zmiennymi, który jest równy
różnicy faz początkowych tych wielkości można wyznaczyć obliczając argument stosunku
odpowiadających tym wielkościom wartości symbolicznych. Kąt, o jaki napięcie U

L

wyprzedza napięcie U

C2

jest zatem argumentem stosunku wartości symbolicznych tych

wielkości. Oba napięcia są częścią napięcia U

23

. Wzory określające oba napięcia w zależności

od napięcia U

23

można wyznaczyć wykorzystując własności podziału napięć w połączeniu

szeregowym impedancji, tzn. własności dzielnika napięciowego.

2

2

2

23

2

2

2

23

2

3

3

23

1

1

C

C

C

L

L

L

jX

R

jX

U

C

ω

j

R

C

ω

j

U

U

jX

jX

j

R

L

ω

j

U

=

+

=

+

+

=

U

9

background image

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

100

arctg

150

100

arctg

30

180

100

arctg

3

100

100

arctg

180

arctg

arctg

180

arctg

90

arctg

90

arg

-

arg

-

arg

arg

arg

arg

arg

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

23

3

23

2

L

L

L

L

C

L

C

L

C

C

L

L

C

C

L

C

C

L

L

C

L

X

X

X

R

X

R

X

R

X

R

X

jX

R

jX

jX

R

jX

jX

R

jX

jX

R

jX

jX

R

jX

U

jX

R

jX

U

U

U

°

=

°

°

=

°

=

=

°

=

°

+

°

=

=

+

+

=

=

+

=







+

=

Z danych zadania wiadomo, że

°

=

120

arg

2

C

L

U

U

Prowadzi to do równania:

°

=

°

120

100

arctg

L

X

150

Rozwiązując to równanie otrzymuje się:

577mH

0,577H

H

3

3

7

57

3

3

100

3

1

100

30

100

arctg

=

=

=

=

=

=

=

°

=

ω

X

L

,

X

X

X

L

L

L

L


Punkt 2:
Moduł reaktancji oraz pojemność elementu C

1

wyznaczyć można korzystając z faktu, że prąd

I

1

jest w fazie z napięciem U. Argument stosunku wartości symbolicznych napięcia U oraz

prądu I

1

jest zatem równy 0. Wynika stąd:

0

Im

0

Re

Im

arctg

arg

1

1

1

1

=





=









=

I

U

I

U

I

U

I

U

(4.1)

Stosunek napięcia U do prądu I

1

jest impedancją dwójnika widzianą z zacisków, do których

dołączony jest woltomierz. Jest to impedancja wejściowa układu z rys.4.1 widziana z
punktów dołączenia woltomierza. Impedancja wejściowa Z układu jest szeregowym
połączeniem rezystancji R

1

, kondensatora C

1

oraz dwójnika utworzonego z elementów R

2

, R

3

,

C

2

, L. Dwójnik ten jest równoległym połączeniem dwóch gałęzi, z których każda jest

szeregowym połączeniem dwóch elementów, jedna rezystora R

2

oraz kondensatora C

2

, druga

rezystora R

3

i cewki L. Impedancja wejściowa Z układu wynosi zatem:



10

background image

(

)

(

)

L

ω

j

R

C

ω

j

R

L

ω

j

R

C

ω

j

R

C

ω

j

R

Z

I

U

+

+





+





+

=

=

3

2

2

3

2

2

1

1

1

1

1

1

(4.2)

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)





+

=

+

+

=

=

+

+

=





+

+





+

+

+

=

=





+

+





+

+

=





+

+





+

+

=

=

+

+





+





+

=

1

1

1

2

2

1

1

1

3

2

2

3

2

2

1

1

1

781

12

546

102

781

12

546

82

1

20

423

0

732

2

642

7

309

2

100

1

20

1

3

3

1

3

1

3

3

1

3

3

1

1

3

100

1

20

3

3

1

3

3

3

1

3

100

1

20

3

3

100

100

100

3

100

3

3

100

100

100

3

100

1

20

1

1

1

C

ω

,

j

,

,

j

,

C

ω

j

,

j

,

,

,

C

ω

j

j

C

ω

j

j

j

j

j

C

ω

j

j

j

j

j

C

ω

j

L

ω

j

R

C

ω

j

R

L

ω

j

R

C

ω

j

R

C

ω

j

R

Z

Aby prąd I

1

był w fazie z napięciem U część urojona impedancji Z zgodnie z zależnością (4.1)

musi być równa 0.

{ }

mF

782

0

781

12

1

781

12

1

0

Im

1

1

,

ω

,

C

,

C

ω

Z

=

=

=

=

Punkt 3:
Zgodnie z obliczeniami wykonanymi w punkcie 2 impedancja wejściowa układu Z wynosi:

=

546

102,

Z

Punkt 4:
Niech faza napięcia U

L

będzie równa 0. Jest to dopuszczalne założenie, ponieważ w danych

zadania nie była określona faza początkowa którejkolwiek wielkości analizowanego obwodu.
Wynika stąd:

(

)





+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

=

L

ω

j

R

U

L

ω

j

L

ω

j

R

U

L

ω

j

R

I

U

,

j

,

j

j

L

ω

j

U

I

U

U

L

L

L

L

L

3

3

3

3

23

3

1

A

520

0

3

3

0

3

3

100

30

V

30

Podstawiając wartości liczbowe do wyznaczonego wzoru otrzymuje się:

11

background image

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

A

150

0

260

0

4

3

3

1

3

0

100

3

100

3

1

30

1

V

3

1

30

3

3

100

100

1

30

2

2

23

2

23

,

j

,

j

j

,

j

j

C

ω

j

R

U

I

j

j

U

=

+

=

=





=

=

+

=

Na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa otrzymuje się:

(

)

A

670

0

260

0

520

0

150

0

260

0

3

2

1

,

j

,

,

j

,

j

,

I

I

I

=

=

+

=

Napięcie U można wyznaczyć dodając do wyznaczonego już napięcia U

23

napięcie na

elementach R

1

oraz C

1

:

(

)

(

)(

(

)

)

(

) (

)

V

04

74

68

68

64

26

U

A

68

68

64

26

56

8

40

13

32

3

2

5

96

51

30

781

12

20

670

0

260

0

3

1

30

1

2

2

1

1

1

23

,

,

,

,

j

,

,

,

j

,

j

,

,

j

,

j

,

j

,

j

C

ω

j

R

I

U

U

=

+

=

=

+

=

=

+

=





+

=

Obliczona wartość symboliczna napięcia U jest słuszna wyłącznie przy założeniu zerowej
fazy początkowej napięcia U

L

. Wyznaczona wartość skuteczna tego napięcia jest niezależna

od przyjętej fazy początkowej napięcia U

L

.

Wykres wskazowy układu:


U

R2

U

L

U

R3

U

23

U

R1

U

C1

U

U

C2

I

2

I

3

I

1

















Rys.4.2.Wykres
wskazowy układu
z rys.4.1

12

background image

Zadanie 5

W obwodzie przedstawionym na rys.5.1 przed zamknięciem wyłącznika w panował stan
ustalony.

1. Wyznacz i(t), i

C

(t)

oraz u

C

(t)

po zamknięciu w chwili t=0 wyłącznika w.

2. Narysuj przebiegi i

C

(t)

oraz u

C

(t)

dla tє(-∞,+∞).

C

E

w

t=0

i

R

1

R

2

i

C

u

C

R

3









Rys.5.1


Dane

: E=80V, R

2

=R

3

=10kΩ, R

1

=20kΩ, C=0,1µF

Rozwiązanie:

Stan nieustalony w obwodach liniowych opisują równania różniczkowe Rząd tych równań
jest tożsamy z rzędem obwodu. Przedstawiony na rys.5.1 obwód jest układem pierwszego
rzędu (jeden kondensator C i brak źródeł sterowanych), opisujące go równania są równaniami
pierwszego rzędu. Rozwiązania tych równań określające prądy i napięcia w obwodzie
(oznaczmy je jako

)składają się z dwóch składników: składowej swobodnej

, która

jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego oraz składowej wymuszonej

, która

jest rozwiązaniem szczególnym równania pełnego.

( )

t

x

( )

t

x

s

( )

t

x

w

( )

( )

( )

t

x

t

x

t

x

w

s

+

=

(5.1)

Składowa swobodna

, określana w obwodach pierwszego rzędu również jako składowa

przejściowa, jest rozwiązaniem ogólnym jednorodnego równania różniczkowego pierwszego
rzędu. Jej ogólna postać to:

( )

t

x

s

( )

τ

t

s

Ae

t

x

=

(5.2)

gdzie A jest pewną stałą wyznaczaną na podstawie warunków początkowych, τ jest stałą
czasową obwodu wyznaczaną na podstawie schematu obwodu w stanie nieustalonym.
Składowa wymuszona

jest równa rozwiązaniu całkowitemu

( )

t

x

w

( )

t

x

wtedy, gdy składowa

swobodna zaniknie. Na podstawie zależności (5.2) można stwierdzić, że ma to miejsce dla

. Może zostać zatem wyznaczona jako wynik analizy obwodu prowadzonej dla stanu

ustalonego.

t

Pełne rozwiązanie określające wielkość

( )

t

x

jest zatem równe:

( )

( )

t

x

Ae

t

x

w

τ

t

+

=

(5.3)

Stała A występująca w równaniu (5.3) może zostać wyznaczona na podstawie informacji o
wartości wielkości x w dowolnej chwili stanu nieustalonego, np. w chwili

.

0

=

t

13

background image

( )

( )

0

0

w

x

A

x

+

=

(5.4)

( )

( )

0

0

w

x

x

A

=

(5.5)

W obwodach liniowych napięcia na kondensatorach oraz prądy cewek są wielkościami
ciągłymi. Stała A może zostać zatem wyznaczona, gdy równanie (5.3) opisuje napięcie na
kondensatorze lub prąd cewki, a wartość napięcia na kondensatorze lub prądu cewki może
być wyznaczona na podstawie analizy obwodu dla czasu przed początkiem stanu
nieustalonego, dla

t

. Równania określające napięcie na kondensatorze oraz prąd cewki w

stanie nieustalonym, to:

0

<

( )

( )

( )

[

]

( )

t

u

e

u

u

t

u

Cw

τ

t

Cw

C

C

+

=

0

0

(5.6)

( )

( )

( )

[

]

( )

t

i

e

i

i

t

i

Lw

τ

t

Lw

L

L

+

=

0

0

(5.7)

W obwodach, w których w stania nieustalonym działają wyłącznie wymuszenia stałe
składowe wymuszone są również wartościami stałymi, nie są funkcjami czasu. Zależności dla
napięcia na kondensatorze oraz prądu cewki upraszczają się do następujących:

( )

( )

[

]

Cw

τ

t

Cw

C

C

u

e

u

u

t

u

+

=

0

(5.8)

( )

( )

[

]

Lw

τ

t

Lw

L

L

i

e

i

i

t

i

+

=

0

(5.9)

Występująca w równaniach (5.2), (5.3) oraz (5.6) – (5.9) wielkość τ określana jako stała
czasowa obwodu jest wyznaczana na podstawie schematu obwodu w stanie nieustalonym. W
obwodach RC jest równa:

C

R

τ

C

=

(5.10)

a w obwodach RL:

R

L

τ

L

=

(5.11)

gdzie R jest rezystancją widzianą z zacisków odpowiednio kondensatora lub cewki.
Wyznaczenie przebiegu napięcia na kondensatorze w obwodzie RC lub prądu cewki w
obwodzie RL wymaga:

1. analizy obwodu przed początkiem stanu nieustalonego, dla

0

<

t

w celu wyznaczenia

wartości

lub

( )

0

C

u

( )

0

L

i

,

2. analizy stanu ustalonego obwodu, którego schemat odpowiada obwodowi w stanie

nieustalonym w celu wyznaczenia

( )

t

u

Cw

, następnie

( )

0

Cw

u

lub i

a następnie

,

( )

t

Lw

( )

0

Lw

i

3. analizy obwodu, z którego usunięte zostały wszystkie źródła niezależne, w celu

wyznaczenia rezystancji zastępczej widzianej z zacisków kondensatora lub cewki, a
następnie obliczenia stałej czasowej obwodu,

4. wykorzystaniu zależności (5.6) lub odpowiednio (5.7) w obwodach z wymuszeniami

zmiennymi lub zależności (5.8) lub odpowiednio (5.9) w obwodach z wymuszeniami
stałymi do wyznaczenia napięcia na kondensatorze lub prądu cewki,

14

background image

5. wyznaczenie poszukiwanych wielkości obwodowych na podstawie praw Kirchhoffa

oraz zależności obowiązujących dla liniowego kondensatora oraz liniowej cewki
wiążących prąd i napięcie zmienne w dowolny sposób:

dt

du

C

i

C

C

=

(5.12)

dt

di

L

u

L

L

=

(5.13)


Punkt 1:

Warunek początkowy w postaci napięcia w chwili

0

=

t

wyznaczony zostanie na podstawie

analizy obwodu przed zamknięciem wyłącznika w (dla t<0). Na rys.5.2 kondensator został
usunięty z obwodu w celu podkreślenia, że stanowi on przerwę przy wymuszeniach stałych w
stanie ustalonym.

E

i

R

1

R

2

u

C

R

3

Rys.5.2. Obwód do wyznaczenia warunku początkowego dla napięcia kondensatora

Prąd i określony jest przez zależność:

(

)

mA

2

10

10

10

20

80

3

2

3

1

=

+

+

=

+

+

=

R

R

R

E

i

Napięcie na kondensatorze wynosi:

( )

0

V

20

10

10

10

2

3

3

2

C

C

u

R

i

u

=

=

=

=

Po zamknięciu wyłącznika w rozpoczyna się stan nieustalony w obwodzie. Jego schemat
przedstawiony jest na rys.5.3.

C

E

i

R

2

i

C

u

C

R

3

i

R2

Rys.5.3. Schemat obwodu po zamknięciu wyłącznika w

Składową wymuszoną napięcia na kondensatorze u

wyznacza się w obwodzie po

zamknięciu wyłącznika w (rys.5.3), dla

Cw

t

. Kondensator stanowi wówczas przerwę

ponieważ rozpatruje się stan ustalony przedstawionego obwodu a jedyne źródło obecne w

15

background image

obwodzie E jest źródłem napięcia stałego. Schemat obwodu dla wyznaczenia składowej
wymuszonej napięcia na kondensatorze przedstawiony jest na rys.5.4.

E

R

3

u

Cw

i

R

2

Rys.5.4. Obwód do wyznaczenia składowej wymuszonej napięcia na kondensatorze

Na podstawie zależności obowiązujących dla dzielnika napięciowego otrzymuje się:

(

)

V

40

10

10

10

10

10

80

3

3

3

2

2

=

+

=

+

=

R

R

R

E

u

Cw


Rezystancja zastępcza widziana z zacisków kondensatora, służąca do wyznaczenia stałej
czasowej obwodu, zostaje wyznaczona w obwodzie przedstawionym na rys .5.5.

R

Z

R

3

R

2

Rys.5.5. Schemat do wyznaczenia rezystancji zastępczej widzianej z zacisków kondensatora

Jest ona równa rezystancji równoległego połączenia R

2

oraz R

3

.

(

)

=

+

=

+

=

k

5

10

10

10

10

10

10

10

3

3

3

3

2

3

2

R

R

R

R

R

z

Stała czasowa analizowanego obwodu jest zatem równa:

s

10

5

0

10

5

10

1

0

3

3

6

=

=

=

,

,

R

C

τ

z

Napięcie na kondensatorze określone jest zależnością (5.8). Po podstawieniu wartości
liczbowych otrzymuje się:

( )

( )

[

]

(

)

(

)

V

20e

-

40

V

40

40

20

0

2000

-

10

5

0

3

t

,

t

Cw

τ

t

Cw

C

C

e

u

e

u

u

t

u

=



+

=

+

=

Prąd kondensatora określony jest zależnością (5.12):

(

)

mA

e

4

A

e

10

4

e

20

40

10

1

0

2000

2000

3

2000

6

t

t

t

C

C

dt

d

,

dt

du

C

i

=

=

=

=

16

background image

Prąd

zostanie wyznaczony na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa zastosowanego do

jednego z dwóch węzłów obwodu z rys. 5.3.

( )

t

i

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

mA

e

2

4

A

10

e

2

4

e

20

40

10

10

1

e

10

4

2000

3

2000

2000

3

2000

3

2

2

t

t

t

t

C

C

R

C

R

t

u

t

i

t

i

t

i

t

i

+

=

+

=

=

+

=

+

=

+

=

Punkt 2:

0,0004

0,0008

0,0012

0,0016

0,0020

0,0024

0

10

20

30

40

50

[V] u

C

(t)

t

[s]

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0

2

4

i

C

(t)

[A]

[s]

t

Zamieszczone powyżej wykresy napięcia oraz prądu kondensatora potwierdzają, że napięcie
na kondensatorze jest wielkością ciągłą, natomiast prąd kondensatora nie musi być ciągły.
Nieciągłość prądu jest widoczna w punkcie t=0.


Zadanie 6

W obwodzie przedstawionym na rys.6.1 przed otwarciem wyłącznika

w

panował stan

ustalony.

1.

Wyznacz

i

L

(t)

oraz

u

L

(t)

po otwarciu w chwili t=0 wyłącznika

w

.

17

background image

2. Narysuj przebiegi i

L

(t)

oraz u

L

(t)

dla tє(-∞,+∞).

w

t=0

R

1

R

2

i

L

u

L

L

R

3

e

Rys.6.1.

Dane:

e(t)=100sin(1000t+60°)V; R

1

=R

3

=10Ω; R

2

=R

4

=5Ω; L=0,01H

Rozwiązanie:

Przedstawiony na rys.6.1 obwód jest układem pierwszego rzędu. Zgodnie z podanym w
rozwiązaniu poprzedniego zadania planem zostanie przeprowadzona analiza układu przed
otwarciem wyłącznika w, dla t<0. Celem analizy jest wyznaczenie wartości i

L

(0).

Zastosowana zostanie metoda symboliczna ponieważ źródło e ma charakter sinusoidalnie
zmienny. Schemat obwodu dla t<0 jest przedstawiony na rys.6.2.

i

R

1

R

2

i

L

u

L

L

R

3

e

Rys.6.2. Schemat analizowanego obwodu dla t<0

Wartość symboliczna napięcia źródłowego e oraz impedancja cewki L wynoszą:

(

)

(

)

(

)

V

866

0

5

0

71

70

3

5

0

5

0

71

70

60

sin

60

cos

2

100

e

2

100

60

,

j

,

,

,

j

,

,

j

E

j

+

=

+

=

°

+

°

=

=

°

=

=

10

01

0

1000 ,

L

ω

Impedancja widziana z zacisków źródła to

(

)

(

)

(

)

(

+

=

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

308

0

538

1

10

308

0

538

0

10

10

10

5

10

10

5

10

10

2

1

2

1

3

,

j

,

,

j

,

j

j

L

ω

j

R

R

L

ω

j

R

R

R

Z

)

Wartość symboliczna I prądu płynącego przez źródło wynosi:

(

)

(

)

(

) (

A

386

3

978

2

178

1

036

1

46

2

1

071

7

308

0

538

1

10

866

0

5

0

71

70

,

j

,

,

j

,

,

,

,

j

,

,

j

,

,

Z

E

I

+

=

+

=

+

+

=

=

)

Prąd cewki wyznaczony jest na podstawie zależności określającej podział prądu w dzielniku
prądowym (równoległym połączeniu impedancji).

18

background image

(

)

(

) (

)

(

)

A

5

2

646

0

416

2

13

2

3

2

386

3

978

2

10

5

10

10

386

3

978

2

97

14

2

1

1

°

=

+

=

=

+

=

+

+

+

=

+

+

=

,

j

L

e

,

,

j

,

j

,

j

,

j

,

j

,

L

ω

j

R

R

R

I

I

Wartość chwilowa prądu cewki oraz jego wartość w chwili t=0 to:

(

)

(

)

(

)

(

)

0,913A

A

97

14

sin

2

5

2

0

A

97

14

1000

sin

2

5

2

0

=

°

=

=

°

+

=

<

,

,

t

i

,

t

,

t

i

L

L

Składowa wymuszona prądu cewki oraz stała czasowa obwodu zostaną wyznaczone przez
analizę obwodu po otwarciu wyłącznika.

R

2

i

L

u

L

L

R

3

e

Rys.6.3. Analizowany obwód dla

t

0

>

Składowa wymuszona zostanie wyznaczona metodą symboliczną. Jest ona równa stosunkowi
wymuszenia do impedancji widzianej z jego zacisków:

(

)

(

)(

) (

( )

)

(

)

A

44

24

1000

sin

2

3,862

A

862

3

598

1

516

3

2

3

866

0

5

0

088

1

10

5

10

866

0

5

0

71

70

44

24

2

3

°

+

=

=

=

+

=

+

=

+

+

+

=

+

+

=

°

,

t

t

i

e

,

,

j

,

j

,

j

,

,

j

,

j

,

,

L

ω

j

R

R

E

I

Lw

,

j

L

Rezystancja R

Z

widziana z zacisków cewki zostanie wyznaczona z obwodu przedstawionego

na rys.6.4.

R

Z

R

2

R

3

Rys.6.4. Schemat obwodu służący wyznaczaniu rezystancji zastępczej

widzianej z zacisków cewki

Na podstawie rys.6.4 można stwierdzić, że rezystancja R

Z

jest szeregowym połączeniem

rezystancji R

3

oraz R

2

:

=

+

=

+

=

15

10

5

3

2

R

R

R

Z

Stała czasowa obwodu zgodnie z zależnością 5.11 wynosi

19

background image

ms

3

2

s

10

3

2

1500

1

15

01

0

3

=

=

=

=

=

,

R

L

τ

Z

Zgodnie z zależnością 5.7 prąd cewki po zamknięciu wyłącznika to:

( )

( )

( )

[

]

( )

(

)

(

)

°

+

+

°

=

=

+

=

44

24

1000

sin

2

862

3

e

44

24

sin

2

862

3

913

0

e

0

0

1500

,

t

,

,

,

,

t

i

i

i

t

i

t

Lw

τ

t

Lw

L

L

Po wykonaniu obliczeń:

( )

(

)

[

]

A

e

347

1

44

24

1000

sin

462

5

1500

t

L

,

,

t

,

t

i

°

+

=

Otrzymana zależność pozwala na stwierdzenie, że składowa wymuszona jest przebiegiem
sinusoidalnym. Prąd cewki dąży zatem wykładniczo nie do wartości stałej lecz do przebiegu
zmiennego sinusoidalnie.
Napięcie na zaciskach cewki zostaje wyznaczone na podstawie zależności 5.13:

(

)

[

]

(

)

[

]

A

e

205

20

44

24

1000

cos

62

54

e

347

1

1500

44

24

1000

cos

1000

462

5

01

0

1500

1500

t

t

L

L

,

,

t

,

,

,

t

,

,

dt

di

L

u

+

°

+

=

=

+

°

+

=

=

Podobnie, jak prąd cewki, napięcie panujące na jej zaciskach dąży do wartości sinusoidalnie
zmiennej.

Zadanie 7

W obwodzie przedstawionym na rys.7.1 przed otwarciem wyłącznika w panował stan
ustalony. Wyznacz napięcie u

w

(t)

panujące na wyłączniku w (rys.7.1)

E

C

R

R

t=0

i

C

(t)

u

w

(t)

L

i

L

(t)

u

C

(t)

R

w

u

L

(t)

Rys.7.1

Dane:

E=12V, R=2kΩ, C=1µF, L=10mH

Rozwiązanie:

Przedstawiony na rys.7.1 obwód jest po otwarciu wyłącznika w połączeniem dwóch układów
pierwszego rzędu. Jeden z nich tworzą elementy R oraz C, drugi elementy R, L, E. Oba
układy są połączone dolnym węzłem. Pozwala to na wyznaczenie napięcia u

w

(t) po otwarciu

wyłącznika na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa.
Schemat obwodu przed otwarciem wyłącznika został przedstawiony na rys.7.2. Umożliwia on
wyznaczenie warunków początkowych dla elementów tworzących oba obwody stanu
nieustalonego: napięcia

oraz prądu

( )

0

C

u

( )

0

L

i

.

20

background image

R

u

C

(t)

i

L

(t)

L

R

R

C

E

Rys.7.2. Analizowany obwód w stanie ustalonym przed otwarciem wyłącznika w

Źródło E wytwarza napięcie stałe. Kondensator C jest zatem równoważny przerwie w
obwodzie bo prąd stały przez kondensator nie płynie, cewka L jest równoważna zwarciu bo
przepływ prądu stałego nie powoduje powstania napięcia na cewce. Obwód przed otwarciem
wyłącznika przyjmuje zatem postać przedstawioną na rys.7.3.

u

C

(0)

R

R

E

i

L

(0)

R

Rys.7.3. Obwód do wyznaczenia warunków początkowych:

( )

0

C

u

oraz

( )

0

L

i

Prąd płynący przez źródło E jest stosunkiem napięcia źródłowego do rezystancji widzianej z
zacisków źródła, prąd cewki stanowi połowę prądu źródła (druga połowa płynie przez
opornik po lewej stronie rysunku).

( )

(

)

mA

2

10

1

2

12

5

0

0

3

=

+

=

+

+

+

=

,

R

R

R

R

R

E

R

R

R

i

L

Napięcie na zaciskach kondensatora to:

( )

( )

V

4

10

2

10

2

0

0

3

3

=

=

=

R

i

u

L

C

Otwarcie wyłącznika w skutkuje pojawieniem się w obu obwodach stanu nieustalonego. Oba
obwody to układy pierwszego rzędu.

R

u

w

(t)

u

L

(t)

u

C

(t)

i

L

(t)

L

i

C

(t)

R

R

C

E

Rys.7.4. Obwody powstałe po otwarciu wyłącznika w

21

background image


Analiza obwodu RC:
Powstały po otwarciu wyłącznika w obwód RC przedstawiony jest na rys.7.5.

oraz pojemności C. Przebieg napięcia na kondensatorze

zgodnie z zale

Rys.7.5. Analizowany obwód RC

Wartość wymuszona napięcia na kondensatorze jest równa 0 bo w analizowanym obwodzie
brak jest źródeł. Rezystancja widziana z zacisków kondensatora to R. Stała czasowa obwodu
jest zatem iloczynem rezystancji R

żnością 5.8 wynosi:

( )

( )

[

]

(

)

500

10

1

10

2

6

3

t

t

RC

t



nkiem

zystancji w

obwodzie bo w stanie ustalonym, dla

Analiza obwodu RL:
Powstały po otwarciu wyłącznika w obwód RL przedstawiony jest na rys.7.6. Składowa
wymuszona prądu cewki jest stosu

napięcia źródłowego do sumy re

t

, napięcie na cewce będzie równe 0.

(

)

3mA

A

10

3

10

2

2

12

3

3

=

=

+

=

+

=

R

R

E

i

Lw

umą połączonych szeregowo dwóch rezystancji

R. Stała czasowa obwodu jest zatem równa:

Rys.7.6. Analizowany obwód RL

Rezystancja widziana z zacisków cewki jest s

s

10

5

2

01

0

6

=

=

=

,

,

L

τ

10

2

2

2

3

R

L

Zgodnie z zależnością 5.9 prąd cewki po otwarciu wyłącznika wynosi:

( )

( )

[

]

(

)

mA

e

-

3

mA

3

e

3

2

5

5

10

4

10

4

=





+

t

t

τ

t

L

e

0

=

+

=

Lw

Lw

L

L

i

i

i

t

i

Wyznaczenie napięcia na wyłączniku:
Na podstawie rys.7.1 lub rys.7.4 można sformułować równanie:

C

R

u

C

(t)

V

e

4

0

e

0

4

e

0

Cw

Cw

u

u

u

t

u

=

+

=

+

=

C

C

R

L

i

L

(t)

R

E

22

background image

( )

( )

( )

( )

( )

(

t

u

R

t

i

E

t

u

t

u

E

R

t

i

t

u

C

L

w

C

L

w

)

=

=

+

+

0

Podstawiając wyniki dotychczasowych analiz otrzymuje się:

( )

V

e

4

e

2

6

e

4

10

2

10

e

3

12

500

10

4

500

3

3

10

4

5

5

+

=

 −

=

t

t

t

t

w

t

u


Zadanie 8

W obwodzie przedstawionym na rys.8.1 przed zamknięciem wyłącznika w panował stan
ustalony. Wyznacz prąd i(t) płynący przez zamknięty wyłącznik.

i(t)

w
t
=0

R

R

C

E

L

R

Rys.8.1

Dane:

E=120V, R=1kΩ, C=1µF, L=1mH

Rozwiązanie:

Po zamknięciu wyłącznika analizowany układ składa się z dwóch obwodów pierwszego
rzędu. Jeden z nich utworzony jest przez gałąź E,R, kondensator C oraz opornik R w górnej
gałęzi. Drugi przez elementy L oraz R. Oba obwody rozdziela gałąź z zamkniętym
wyłącznikiem w, między zaciskami której panuje zerowe napięcie. Schemat obwodu po
zamknięciu wyłącznika przedstawiony jest na rys.8.2.

E

R

C

R

i(t)

i

R

(t)

i

L

(t)

L

R

Rys.8.2. Analizowany obwód po zamknięciu wyłącznika w

Wyznaczenie prądu płynącego przez zamknięty wyłącznik umożliwia prądowe prawo
Kirchhoffa zastosowane do prądów

( ) ( ) ( )

t

i,

t

i,

t

i

L

R

. Wyznaczenie przebiegów tych prądów

wymaga wykonania analizy stanu nieustalonego w dwóch obwodach powstających po
zamknięciu wyłącznika w.
Warunki początkowe niezbędne w analizie stanów nieustalonych, napięcie na kondensatorze
oraz prąd cewki, należy wyznaczyć z obwodu przed zamknięciem wyłącznika. Jego schemat
przedstawia rys.8.3.

23

background image

E

i

L

(t)

R

R

u

C

(t)

R

L

C

Rys.8.3. Obwód przed zamknięciem wyłącznika w

Jedyne źródło obecne w obwodzie jest źródłem napięcia stałego. Kondensator jest zatem
równoważny przerwie w gałęzi, w której jest umieszczony a cewka równoważna jest zwarciu
między swoimi zaciskami. Schemat obwodu przed zamknięciem wyłącznika jest
przedstawiony na rys.8.4.

E

u

C

(0)

i

L

(0)

R

R

R

Rys.8.4. Schemat obwodu do wyznaczenia warunków początkowych

Przedstawiony obwód posiada jedno oczko a napięciowe prawo Kirchhoffa pozwala na
wyznaczenie prądu cewki. Napięcie na kondensatorze jest równe napięciu na dwóch
opornikach R.

( )

40mA

A

10

40

10

3

120

3

0

3

3

=

=

=

=

R

E

i

L

( )

( )

V

80

10

2

10

40

2

0

0

3

3

=

=

=

R

i

u

L

C

Po zamknięciu wyłącznika w powstają dwa niezależne obwody pierwszego rzędu, których
schematy są przedstawione na rys.8.5.

u

C

(t)

R

R

C

E

i

L

(t)

L

R

Rys.8.5. Dwa obwody pierwszego rzędu utworzone przez zamknięcie wyłącznika w

Analiza obwodu RC:
Napięcie na kondensatorze jest określone wzorem (5.8). Źródło E ma charakter stały, zatem
przy wyznaczaniu składowej wymuszonej napięcia na kondensatorze C (analiza obwodu dla
t→ ∞) kondensator stanowi przerwę w obwodzie. Składowa wymuszona napięcia

jest

Cw

u

24

background image

więc określona przez podział napięcia źródłowego E na dwie równe części, które są
napięciami na opornikach R. Jedno z nich jest napięciem u

na kondensatorze.

Cw

V

60

10

6

=

10

3

+

s

6

6

10

t

=

5

0

2

=

=

=

E

,

E

R

R

u

Cw

Stała czasowa obwodu RC określona jest zależnością (5.10). Rezystancję zastępczą widzianą
z zacisków kondensatora określa schemat na rys.8.6.

R

R

Z

R

Rys.8.6. Schemat do wyznaczenia rezystancji zastępczej widzianej z zacisków C

Rezystancja zastępcza jest rezystancją równoległego połączenia dwóch oporników R. Stała
czasowa obwodu RC jest określona zatem zależnością:

0,5ms

s

10

5

0

1

10

1

5

0

5

0

2

3

3

2

=

=

=

=

=

,

,

RC

,

C

R

R

C

R

τ

Z

C

Zgodnie z zależnością (5.8) napięcie na kondensatorze wynosi:

( )

( )

[

]

(

)

(

)

V

60

20

V

60

60

80

0

2000

5

0

+

=

=

+

=

t

,

t

Cw

τ

t

Cw

C

C

e

e

u

e

u

u

t

u

C

Analiza obwodu RL:
Analizowany obwód przedstawiony jest na rys.8.5. Rozwiązanie w postaci prądu cewki
określone jest przez zależność (5.9). Składowa wymuszona prądu cewki jest równa 0,
ponieważ brak jest w obwodzie jakiegokolwiek wymuszenia.

0

=

Lw

i

Stałą czasową obwodu określa zależność (5.11). Występująca we wzorze wartość rezystancji
zastępczej widzianej z zacisków cewki jest równa rezystancji R. Stała czasowa obwodu oraz
prąd cewki określony zależnością (5.9) wynoszą:

10

1

10

1

10

1

3

3

=

=

=

τ

R

L

L

( )

( )

[

]

mA

e

40

e

40

e

0

6

10 t

Lw

t

Lw

L

L

i

i

i

t

i

L

τ

=

+

=

Obliczenie prądu wyłącznika:
Dla węzła obwodu przedstawionego na rys.8.2, w którym zbiegają się prądy

( ) ( ) ( )

t

i

,

t

i

,

t

i

L

R

można sformułować równanie:

( )

( )

( )

t

i

t

i

t

i

L

R

=

25

background image

Na oporniku R panuje napięcie

, prąd

( )

t

u

C

( )

t

i

R

można zatem wyznaczyć z prawa Ohma.

Poszukiwany prąd wyłącznika wynosi:

( )

( )

( )

( )

( )

mA

40

20

60

A

10

40

20

60

10

40

10

1

60

20

6

6

6

10

2000

3

10

2000

10

3

3

2000

+

=

+

=

=

+

=

=

=

t

t

t

t

t

t

L

C

L

R

e

e

e

e

e

e

t

i

R

t

u

t

i

t

i

t

i


Zadanie 9

W przedstawionym na rys.9.1 obwodzie wyznacz i(t), I

sk

oraz wskazanie woltomierza

e

V

C

i

L

R

Rys.9.1


Dane:

e(t)=(3+10sinωt+4cos2ωt)V,

R=4/3Ω, L=1mH, C=0,25mF, ω=1000rd/s

Rozwiązanie:

Źródło obecne w obwodzie składa się ze składowej stałej oraz dwóch harmonicznych.
Analizowany układ jest liniowy, możliwe jest więc zastosowanie przy jego analizie zasady
superpozycji. Analiza obwodu zostanie wykonana w trzech etapach: dla składowej stałej oraz
oddzielnie dla każdej z obecnych w wymuszeniu harmonicznych. Analiza obwodu przy
wymuszeniu stałym będzie przeprowadzona jedną z metod przewidzianych dla obwodów
prądu stałego. Analizy obwodów przy wymuszeniu zawierającym jedną z harmonicznych
będą realizowane przy wykorzystaniu metody symbolicznej, najbardziej skutecznej w
obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego. Celem każdej analizy będzie wyznaczenie prądu
źródła i(t) oraz napięcia mierzonego przez woltomierz u(t), które jest napięciem panującym na
równoległym połączeniu cewki i kondensatora Wyniki analiz zostaną zgodnie z zasadą
superpozycji dodane do siebie. Sumowanie musi być zrealizowane na poziomie wartości
chwilowych.
Analiza dla składowej stałej:
Przy wymuszeniach stałych cewka jest równoważna zwarciu, kondensator rozwarciu swoich
zacisków. Analizowany obwód przy wymuszeniach stałych przedstawiony jest na rys.9.2.

U

0

E

0

V

I

0

R

Rys.9.2. Obwód dla składowej stałej

26

background image

Składowa stała źródła napięcia równa jest 3V. Prąd źródła oraz napięcie na kondensatorze
wynoszą:

0

A

25

2

4

9

3

4

3

0

0

0

=

=

=

=

=

U

,

R

E

I

Analiza dla pierwszej harmonicznej:
Przy wymuszeniu sinusoidalnym o pulsacji ω schemat analizowanego obwodu jest
przedstawiony na rys.9.3.

U

1

E

1

V

1/ωC

I

1

ωL

R

Rys.9.3. Analizowany obwód dla pierwszej harmonicznej

Impedancja widziana z zacisków źródła dla pierwszej harmonicznej wynosi:

(

)

+

=

+

=

+

+

=

+

+

=

j

j

j

,

j

,

j

,

j

,

j

C

ω

j

L

ω

j

C

ω

j

L

ω

j

R

Z

1

3

4

4

4

3

4

10

25

0

1000

1

001

0

1000

10

25

0

1000

1

001

0

1000

3

4

1

1

3

3

1

Wartość symboliczna pierwszej harmonicznej prądu I to:

(

)

(

)

(

)

A

e

4

15

1

2

4

15

2

2

4

1

3

10

1

3

4

2

10

45

1

1

1

°

=

=

=

+

=

=

j

j

j

j

Z

E

I

Jej wartość chwilowa wynosi:

( )

(

)

(

)

A

45

sin

2

75

3

45

sin

2

4

15

1

°

=

°

=

t

ω

,

t

ω

t

i

Pierwsza harmoniczna napięcia na zaciskach woltomierza zostanie obliczona na podstawie
prawa Ohma:

V

e

5

e

e

5

3

4

e

4

15

1

1

45

90

45

45

1

1

°

°

°

°

=

=

=

+

=

j

j

j

j

j

C

ω

j

L

ω

j

C

ω

j

L

ω

j

I

U

Analiza dla drugiej harmonicznej:
Przy wymuszeniu sinusoidalnym o pulsacji 2ω schemat analizowanego obwodu jest
przedstawiony na rys.9.4.

27

background image

2ωL

I

2

R

1/2ωC

E

2

V U

2

Rys.9.4. Analizowany obwód dla drugiej harmonicznej

Admitancja połączenia równoległego LC dla drugiej harmonicznej wynosi:

0

5

0

5

0

001

0

2000

1

10

25

0

2000

2

1

2

3

2

=

=

=

+

=

,

j

,

j

,

j

,

j

L

ω

j

C

ω

j

Y

Równoległe połączenie LC dla drugiej harmonicznej jest przerwą w obwodzie (zachodzi
rezonans prądów drugiej harmonicznej). Druga harmoniczna prądu i jest zatem równa 0,
napięcie źródła panuje na połączeniu LC.

( )

( )

( )

V

2

cos

4

0

2

2

2

t

ω

t

e

t

u

t

i

=

=

=

Sumując wyniki trzech analiz: stałoprądowej oraz dla obu harmonicznych otrzymujemy
poszukiwaną wartość chwilową prądu źródła:

( )

( )

( )

(

)

[

]

A

45

sin

2

75

3

25

2

2

1

0

°

+

=

+

+

=

t

ω

,

,

t

i

t

i

I

t

i

Wartość skuteczna prądu to:

(

) (

)

A

37

4

75

3

25

2

2

2

,

,

,

I

sk

=

+

=

Napięcie wskazywane przez woltomierz to wartość skuteczna napięcia u(t):

( )

V

74

5

33

2

2

5

2

2

,

U

sk

=

=

+

=

Zadanie 10

W przedstawionym na rys.10.1 obwodzie napięcie

źródłowe

( )

(

)

V

t

cos2

10

sin

2

20

ω

t

ω

t

e

+

=

wywołuje przepływ prądu

( )

(

)

A

2

cos

2

2

t

ω

t

i

=

.

Wyznacz

parametry:

, prądy

oraz moc czynną P oraz moc bierną Q oddawaną przez

źródło E do obwodu.

2

1

L

,

L

,

R

( ) ( )

t

i

,

t

i

2

1

L

1

i

2

(t)

i

1

(t)

e(t)

R

C

i(t)

L

2

Rys.10.1

Dane:

C=0,1mF, ω=1000rd/s

Rozwiązanie:

Analiza obwodu dla pierwszej harmonicznej:

28

background image

Napięcie źródłowe

zawiera dwie harmoniczne: pierwszą i drugą, prąd źródła

tylko

drugą harmoniczną. Oznacza to, że w połączeniu równoległym elementów

zachodzi

rezonans pierwszych harmonicznych prądów

( )

t

e

( )

t

i

2

2

C

,

L

( ) ( )

t

i,

t

i

2

1

i połączenie to stanowi przerwę w

obwodzie dla pierwszej harmonicznej. Rezonans prądów prowadzi do sformułowania
warunku:

mH

10

H

10

1

10

10

1

1

1

0

1

0

1

2

4

6

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=





=

+

L

C

ω

L

L

ω

C

ω

L

ω

C

ω

j

C

ω

j

L

ω

j

Brak pierwszej harmonicznej prądu

( )

t

i

oznacza zerową wartość pierwszej harmonicznej

napięcia na rezystorze R oraz cewce L

1

. Z napięciowego prawa Kirchhoffa wynika, że

pierwsza harmoniczna napięcia źródłowego panuje na zaciskach połączenia równoległego
elementów

. Wartości symboliczne i chwilowe pierwszych harmonicznych tych prądów

określa prawo Ohma:

C

,

L

2

( )

( )

( )

( )

(

)

A

cos

2

2

A

90

sin

2

2

A

2

0001

0

1000

20

1

1

1

1

1

t

ω

t

ω

t

i

j

,

j

C

ω

j

E

I

=

°

+

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

A

cos

2

2

A

90

sin

2

2

A

90

sin

2

2

A

2

01

0

1000

20

1

2

1

1

2

t

ω

t

ω

t

ω

t

i

j

,

j

L

ω

j

E

I

=

°

=

°

=

=

=

=

Wyznaczone wartości prądów potwierdzają stwierdzenie o ich rezonansie, bo:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t

i

t

i

I

I

1

2

1

1

1

2

1

1

=

=

Moce w obwodach, w których występują różne harmoniczne, są wytwarzane tylko przez
harmoniczne prądów i napięć tego samego rzędu. W analizowanym obwodzie moc czynna
związana jest z rezystorem R, a moc bierna z elementami

Dla pierwszej

harmonicznej moc czynna równa jest 0 bo prąd

C

,

L

,

L

2

1

( )

( )

t

i

1

jest równy 0. Z tego samego powodu

moc bierna cewki L

1

jest równa zero. Moce bierne elementów

wynoszą:

C

,

L

2

( )

( )

C

ω

I

Q

L

ω

I

Q

C

L

1

2

1

1

2

1

2

2

=

=

Dla pierwszej harmonicznej zachodzi:

( )

( )

1

2

1

1

2

oraz

1

I

I

L

ω

C

ω

=

=

to:

0

0

2

2

=

=

+

=

Q

Q

Q

Q

Q

C

L

C

L

Analiza obwodu dla drugiej harmonicznej:
Druga harmoniczna prądu

i

jest w fazie z drugą harmoniczną napięcia źródłowego, bo:

( )

t

( )

( ) (

)

V

t

cos2

10

2

ω

t

e

=

( )

( )

( )

(

)

A

2

cos

2

2

2

t

ω

t

i

t

i

=

=

29

background image

Oznacza to, że część urojona impedancji drugiej harmonicznej widzianej z zacisków źródła
jest równa 0. Oznacza to, że dla drugiej harmonicznej zachodzi rezonans napięć: na cewce

oraz na równoległym połączeniu elementów

.

1

L

C

,

L

2

( )

( )

3,33mH

H

10

3

1

0001

0

2000

1

01

0

2000

0001

0

2000

1

01

0

2

1

2

2

1

0

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

Im

2

1

2

2

1

2

2

Im

Im

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

=

=

=

=

=

=

=

+

=

+

+

+

=

,

,

,

,

C

ω

L

ω

C

ω

L

L

C

ω

L

ω

C

ω

L

ω

L

ω

C

ω

L

ω

C

ω

L

ω

j

L

ω

j

R

C

ω

j

L

ω

j

C

ω

j

L

ω

j

L

ω

j

R

Z

Część urojona impedancji drugiej harmonicznej widzianej z zacisków źródła jest równa 0.
Zatem:

( )

( )

( )

=

=

=

=

2

5

2

2

2

10

2

2

2

,

j

j

I

E

R

R

Z

Wartości symboliczne i chwilowe drugich harmonicznych prądów

( )

t

1

i

oraz

i

wynoszą:

( )

t

2

( )

( )

( )

A

3

8

0001

0

2000

1

01

0

2000

01

0

2000

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

j

,

,

,

j

C

ω

L

ω

L

ω

I

C

ω

j

L

ω

j

L

ω

j

I

I

=

=

=

+

=

( )

( )

( )

A

3

2

0001

0

2000

1

01

0

2000

0001

0

2000

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

j

,

,

,

j

C

ω

L

ω

C

ω

I

C

ω

j

L

ω

j

C

ω

j

I

I

=

=

=

+

=

( )

( )

( )

( )

A

cos2

2

33

0

cos

2

3

2

A

cos2

2

67

2

cos

2

3

8

2

2

2

1

t

ω

,

t

ω

t

i

t

ω

,

t

ω

t

i

=

=

=

=

Moc czynna drugiej harmonicznej to:

( )

( )

W

14

14

2

10

2

2

5

2

2

2

2

2

,

,

I

R

P

=

=

=

=

Moc bierna drugiej harmonicznej:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

Im

bo

0

Im

2

2

2

2

2

=

=

=

Z

I

Z

Q

Podsumowanie analiz obu harmonicznych:

Prądy

oraz

są sumą wartości chwilowych składowych tych prądów dla każdej

harmonicznej (nie wolno sumować wartości symbolicznych dla różnych pulsacji.

( )

t

i

1

( )

t

i

2

30

background image

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

A

cos2

2

67

2

cos

2

2

2

1

1

1

1

ωt

,

ωt

t

i

t

i

t

i

+

=

+

=

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

A

cos2

2

33

0

cos

2

2

2

2

1

2

2

ωt

,

ωt

t

i

t

i

t

i

=

+

=

Moce są sumą mocy obu harmonicznych.

( )

( )

( )

( )

( ) 0

W

14

14

2

1

2

2

1

=

+

=

=

=

+

=

Q

Q

Q

,

P

P

P

P



31


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Korzybski Obwody elektryczne 3 Laboratorium
Korzybski Obwody elektryczne 3 Laboratorium
Korzybski Obwody elektryczne 3
Korzybski Obwody elektryczne 2
Obwody elektryczne
Obwody elektryczne I
3 Obwody elektryczne i drgania elektromagnetyczne
Obwody elektryczne zbiór zada PG
OBWODY ELEKTRYCZNE i MAGNETYCZNE w5
cwiczenie 27 przyjęte Obwody elektryczne
7 Obwody Elektryczne
Konspekt lekcji obwody elektr, KONSPEKT LEKCJI
obwody elektryczne
obwody elektryczne prądu stałego, far, biofizyka, egzamin, materiały na ćwiczenia
Obwody elektryczne id 329051 Nieznany
Obwody elektryczne prądu stałego, Elektrotechnika
Obwody elektryczne-karta[1], karty pracy
el.cw5 - Obwody elektryczne z rdzeniami ferromagnetycznymi3, Politechnika Lubelska, Studia, Studia,

więcej podobnych podstron