Konspekt jest współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
w projekcie:
"Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń
- zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej zarządzanie Uczelnią,
nowoczesna oferta edukacyjna
i wzmacniania zdolności do zatrudniania,
także osób niepełnosprawnych".
Materiały pomocnicze do przedmiotu
Obwody Elektryczne 2
Przedmowa
Materiały pomocnicze do przedmiotu Obwody Elektryczne 2 są przeznaczone głównie dla
studentów studiów niestacjonarnych. Mają ułatwić samodzielną naukę praktycznego
wykorzystania metod analizy obwodów poznawanych w ramach przedmiotu Obwody
Elektryczne 2. Materiały nie są typowym zbiorem zadań, nie zawierają propozycji zadań do
samodzielnego rozwiązania lecz zadania o niezbyt dużym stopniu trudności, których
rozwiązania są dokładnie opisane. Ma to służyć lepszemu zrozumieniu problemów analizy
obwodów, szczególnie w zakresie podstaw tej dziedziny. Opanowanie analizy obwodów w
zakresie przewidzianym przez zajęcia ćwiczeniowe z Obwodów Elektrycznych 2 wymaga
opanowania zagadnień zawartych w odpowiednich rozdziałach podręcznika: TEORIA
OBWODÓW, ZADANIA opracowanego pod redakcją profesora M.Tadeusiewicza.
2
Zadanie 1
Znajdź wartości symboliczne prądów i napięć na podstawie ich wartości chwilowych:
1. u
1
(t)=35sin(ωt+60°)V;
2. i
1
(t)=4,5
2
sin(ωt-150°)A;
3. u
2
(t)=230
2
sinωt V;
4. i
2
(t)=8,2
2
cos(ωt+30°)A;
Rozwiązanie:
Rozwiązania punktów 1 – 4 otrzymuje się na podstawie definicji wartości symbolicznej:
x
φ
j
e
X
X
=
(1.1)
gdzie: X jest wartością symboliczną,
X
jest wartością skuteczną a
φ fazą początkową
sinusoidalnie zmiennej wielkości:
x
(
)
x
φ
t
ω
X
)
t
(
x
+
=
sin
2
(1.2)
Do rozwiązania zadania pamiętać należy o relacji między wartością skuteczną
X
a wartością
maksymalną
, która obowiązuje dla wielkości sinusoidalnie zmiennych:
m
X
2
m
X
X
=
(1.3)
Do zamiany postaci wykładniczej wartości symbolicznej, przedstawionej wzorem (1.1), na
postać trygonometryczną oraz algebraiczną wykorzystać należy wzór Eulera:
(
)
x
x
φ
j
φ
j
φ
X
e
X
x
sin
cos
+
=
(1.4)
Punkt 1:
Korzystając ze wzoru (1.1):
(
)
(
)
(
)
V
5
17
38
12
2
5
0
5
0
75
24
60
sin
60
cos
75
24
2
35
60
1
,
j
,
,
j
,
,
j
,
e
U
j
+
=
+
=
°
+
°
=
=
°
Punkt 2:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
) (
)
A
25
2
897
3
5
0
866
0
5
4
150
sin
150
cos
5
4
150
sin
150
cos
5
4
5
4
150
1
,
j
,
,
j
,
,
j
,
j
,
e
,
I
j
−
−
=
−
−
=
=
°
−
°
=
°
−
+
°
−
=
=
°
−
Punkt 3:
(
)
(
)
V
230
0
1
230
0
sin
0
cos
230
230
0
2
=
+
=
+
=
=
°
j
j
e
U
j
Punkt 4:
Wykorzystując znaną tożsamość trygonometryczną (wzór redukcyjny):
(
)
α
α
cos
90
sin
=
+
°
(1.5)
należy przedstawić wartość chwilową prądu tak, aby w wyrażeniu określającym tę wartość
występowała funkcja sinus a nie cosinus.
( )
(
)
(
)
(
)
°
+
=
°
+
°
+
=
°
+
=
120
sin
2
8
90
30
sin
2
8
30
cos
2
8
2
t
ω
,
t
ω
,
t
ω
,
t
i
Do otrzymanej postaci prądu można już zastosować bezpośrednio wzór (1.1):
(
)
(
)
[
]
(
)
(
) (
)
A
25
2
897
3
5
0
866
0
5
4
150
sin
150
cos
5
4
150
sin
150
cos
5
4
2
8
150
2
,
j
,
,
j
,
,
j
,
j
,
e
,
I
j
−
−
=
−
−
=
=
°
−
°
=
°
−
+
°
−
=
=
°
−
3
Zadanie 2
Znajdź wartości chwilowe prądów i napięć na podstawie ich wartości symbolicznych:
1.
;
(
)
V
8
5
1
j
U
+
=
2.
(
)
A
5
6
2
3
1
,
j
,
I
+
−
=
3.
V
8
45
2
,
U
=
4.
A
4
2
2
,
j
I
=
Rozwiązanie:
Zależność wartości chwilowej
wielkości sinusoidalnie zmiennej od jej wartości
symbolicznej określa wzór:
( )
t
x
( )
{
}
{
}
(
)
{
}
(
x
φ
t
ω
j
t
ω
j
φ
j
t
ω
j
φ
t
ω
X
e
X
e
e
X
Xe
t
x
x
x
+
=
=
=
=
+
sin
2
2
Im
2
Im
2
Im
)
(2.1)
Jak wynika z zależności (2.2) wartość chwilową
( )
t
x
wielkości sinusoidalnie zmiennej można
najprościej określić na podstawie postaci wykładniczej odpowiadającej jej wartości
symbolicznej. Postać wykładniczą wartości symbolicznej przedstawia wzór (1.1).
Związek między wartością skuteczną
X
wielkości sinusoidalnie zmiennej
a częścią
rzeczywistą oraz częścią urojoną odpowiadającej jej wartości symbolicznej określa
następująca zależność:
( )
t
x
( )
[
]
( )
[
]
2
2
Im
Re
X
X
X
+
=
(2.2)
Fazę początkową
wielkości sinusoidalnie zmiennej
x
φ
( )
t
x
określa się na podstawie części
rzeczywistej oraz części urojonej odpowiadającej jej wartości symbolicznej w następujący
sposób:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
<
°
±
>
=
0
Re
gdy
180
Re
Im
arctan
0
Re
gdy
Re
Im
arctan
X
X
X
X
X
X
φ
x
(2.3)
Punkt 1:
Na podstawie zależności (2.2):
V
434
9
89
8
5
2
2
1
,
U
=
=
+
=
Wykorzystując zależność (2.3) określa się fazę początkową napięcia
( )
t
1
u
:
°
=
=
99
57
5
8
arctan
,
φ
x
Wartość chwilowa napięcia to:
( )
(
)
(
)
V
99
57
13,342sin
V
99
57
sin
2
434
9
1
°
+
=
°
+
=
,
t
ω
,
t
ω
,
t
u
Punkt 2:
Postępując podobnie jak w punkcie 1 otrzymuje się:
( ) ( )
A
245
7
5
6
2
3
2
2
1
,
,
,
I
=
+
=
4
°
=
°
+
−
=
21
116
180
2
3
5
6
arctan
1
,
,
,
φ
I
( )
(
)
(
)
A
21
116
sin
246
10
21
116
sin
2
245
7
1
°
+
=
°
+
=
,
t
ω
,
,
t
ω
,
t
i
Punkt 3:
(
)
V
8
45
8
45
2
2
,
,
U
=
=
0
8
45
0
arctan
2
=
=
,
φ
U
( )
V
sin
77
64
V
sin
2
8
45
2
t
ω
,
t
ω
,
t
u
=
=
Punkt 4:
( )
A
4
2
4
2
2
2
,
,
I
=
=
Część rzeczywista wartości symbolicznej prądu I
2
jest równa 0, część urojona jest dodatnia.
Oznacza to, że faza początkowa tego prądu wynosi 90°.
( )
(
)
(
)
A
3,394cos
A
90
sin
394
3
90
sin
2
4
2
2
t
ω
t
ω
,
t
ω
,
t
i
=
°
+
=
°
+
=
Zadanie 3
W przedstawionym na rysunku 3.1 obwodzie wyznacz stosując metodę symboliczną:
1. wartości symboliczne oraz chwilowe napięcia na kondensatorze i cewce oraz prądów
płynących przez opornik i cewkę,
2. wartość napięcia źródłowego
( )
t
e
,
3. impedancję Z widzianą z zacisków źródła
( )
t
e
,
4. moc czynną, bierną, symboliczną oraz pozorną połączenia elementów R, L, C.
Narysuj wykres wskazowy układu.
e(t)
u
L
(t)
C
i
C
(t)
i(t)
u
C
(t)
L
R
Rys.3.1
Dane:
( )
(
)
A
60
sin
2
8
30
1
40
°
+
=
Ω
=
=
Ω
=
t
ω
t
i
;
C
ω
L
ω
;
R
C
Rozwiązanie:
Punkt 1:
Wykorzystanie metody symbolicznej wymaga znalezienia wartości symbolicznej prądu
kondensatora:
(
)
(
) (
)
A
3
1
4
3
5
0
5
0
8
60
sin
60
cos
8
8
60
j
,
j
,
j
e
I
j
C
+
=
+
=
°
+
°
=
=
°
5
Prawo Ohma dla wartości symbolicznych umożliwia wyznaczenie napięcia U
C
:
(
)
(
)
V
3
120
3
1
4
30
1
j
j
j
I
C
ω
U
C
C
−
=
+
⋅
−
=
−
=
Elementy R oraz C połączone są równolegle, panuje zatem na ich zaciskach to samo napięcie.
Prąd płynący przez opornik R wyznaczyć można korzystając z prawa Ohma:
(
) ( )
A
3
3
40
3
120
j
j
R
U
I
C
R
−
=
−
=
=
Prądowe prawo Kirchhoffa dla jednego z węzłów obwodu (dla obu węzłów otrzymuje się to
samo równanie) pozwala na wyznaczenie prądu I:
(
) (
) (
) (
)
(
)
A
928
3
196
9
3
3
4
3
3
4
3
3
3
1
4
,
j
,
j
j
j
I
I
I
R
C
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
+
=
Napięcie na cewce wyznaczone zostaje na podstawie prawa Ohma:
(
) (
)
V
88
275
84
117
928
3
196
9
30
,
j
,
,
j
,
j
I
L
ω
j
U
L
+
−
=
+
⋅
=
⋅
=
Na podstawie wyznaczonych wartości symbolicznych określa się poszukiwane wartości
chwilowe:
( )
( )
(
)
V
30
sin
2
240
30
3
1
arctan
V
240
1
3
120
2
2
°
−
=
°
−
=
−
=
=
+
=
t
ω
t
u
φ
U
C
U
C
C
( )
( )
(
)
A
30
sin
2
6
30
3
1
arctan
A
6
1
3
3
2
2
°
−
=
°
−
=
−
=
=
+
=
t
ω
t
i
φ
I
R
I
R
R
(
) (
)
( )
(
)
A
13
23
sin
2
10
13
23
196
9
928
3
arctan
A
10
928
3
196
9
2
2
°
+
=
°
=
=
=
+
=
,
t
ω
t
i
,
,
,
φ
,
,
I
I
(
) (
)
( )
(
)
V
13
113
sin
2
300
13
113
180
13
23
180
84
117
88
275
arctan
V
300
88
275
84
117
2
2
°
+
=
°
=
°
+
°
−
=
°
+
−
=
=
+
−
=
,
t
ω
t
u
,
,
,
,
φ
,
,
U
L
U
L
L
Punkt 2:
Napięciowe prawo Kirchhoffa dla wartości symbolicznych pozwala na sformułowanie
równania:
C
L
C
L
U
U
E
U
U
E
+
=
⇒
=
−
−
0
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
V
88
155
0
90
120
88
275
3
120
84
117
3
120
88
275
84
117
,
j
,
,
j
,
j
,
j
,
E
+
=
=
−
+
+
−
=
−
+
+
−
=
Wartość chwilowa napięcia źródłowego to:
6
( ) (
)
( )
(
)
V
60
sin
2
180
60
90
88
155
arctan
V
180
88
155
90
2
2
°
+
=
°
=
=
=
+
=
t
ω
t
e
,
φ
,
E
E
Punkt 3:
Z zacisków źródła widziana jest impedancja Z, która jest szeregowym połączeniem
impedancji cewki Z
L
oraz impedancji Z
RC
równoległego połączenia opornika i kondensatora.
(
)
(
) (
)
(
) ( )
Ω
=
+
=
Ω
+
=
−
+
=
=
+
+
−
+
=
+
−
⋅
−
+
=
+
−
−
+
=
+
=
°
87
36
4
14
8
10
arctan
2
2
2
2
18
8
10
4
14
8
10
4
14
4
3
8
4
30
3
4
3
4
120
30
40
30
40
30
30
1
1
,
j
,
,
j
RC
L
e
e
,
,
,
j
,
j
,
j
j
j
j
j
j
j
R
C
ω
j
R
C
ω
j
L
ω
j
Z
Z
Z
Punkt 4:
Moc czynna połączenia elementów R,L,C związana jest wyłącznie z opornikiem R. Określa ją
zależność:
2
R
I
R
P
⋅
=
(3.1)
Korzystając z obliczeń wykonanych w punkcie 1:
1,44kW
W
1440
6
40
2
=
=
⋅
=
P
Moc bierna związana jest z cewką Q
L
oraz kondensatorem Q
C
. Moce te są określone przez
zależności:
2
I
L
ω
Q
L
⋅
=
(3.2)
2
1
C
C
I
C
ω
Q
⋅
−
=
(3.3)
Wartości tych mocy obliczone na podstawie wyznaczonych w punkcie 1 wartości
skutecznych prądów wynoszą:
( )
-1,92kvar
var
1920
8
30
Q
3kvar
var
3000
10
30
2
C
2
=
−
=
⋅
−
=
=
=
⋅
=
L
Q
Moc bierna połączenia to suma mocy obu elementów:
kvar
08
1
var
1080
1920
3000
,
Q
Q
Q
C
L
=
=
−
=
+
=
Do obliczenia mocy symbolicznej S można wykorzystać wzór definicyjny:
jQ
P
S
+
=
(3.4)
Po podstawieniu obliczonych już wartości otrzymuje się:
(
)
VA
1080
1440
j
S
+
=
Moc pozorna
S
jest zdefiniowana zależnością:
2
2
Q
P
S
+
=
(3.5)
Jej wartość w analizowanym obwodzie to:
(
) (
)
1,8kVA
VA
1800
1080
1440
2
2
=
=
+
=
S
7
Moce dwójnika, na którego zaciskach panuje napięcie o wartości symbolicznej U i przez
który płynie prąd o wartości symbolicznej I można również obliczyć posługując się
zależnościami:
(3.6)
∗
⋅
=
I
U
S
( )
S
P
Re
=
(3.7)
( )
S
Q
Im
=
(3.8)
Wykorzystanie zależności (3.6)÷(3.8) prowadzi do wyników takich, jak już obliczone.
(
) (
) (
) (
)
(
)
VA
1080
1440
95
1079
94
1439
52
353
47
1433
3
612
64
827
928
3
196
9
88
155
90
j
,
j
,
.
,
j
,
,
,
j
,
,
j
S
+
≈
+
=
=
−
+
+
=
−
⋅
+
=
Wykres wskazowy układu:
Im
Re
E
U
L
U
C
I
L
I
C
I
R
100V
5A
Rys.3.2. Wykres wskazowy prądów i napięć obwodu z rys.3.1
Sposób rysowania wykresu wskazowego jest następujący. Należy przyjąć skale dla prądów
oraz napięć. Są one umieszczone w górnej części rysunku. Rysowanie wykresu rozpoczyna
się od wskazu prądu kondensatora. Jego wartość była wielkością daną. Długość wskazu
odpowiada wartości skutecznej prądu
A
8
=
C
I
w skali przyjętej dla prądów. Jego nachylenie
do osi rzeczywistych przyjętego układu osi płaszczyzny zmiennej zespolonej jest równe fazie
8
początkowej prądu
. Napięcie na kondensatorze jest opóźnione o 90° w stosunku
do prądu, długość wskazu napięcia odpowiada wyznaczonej wartości skutecznej w przyjętej
dla napięć skali. Wskaz prądu opornika I
°
= 60
C
I
φ
R
jest skierowany zgodnie z napięciem. Jego
początek został umieszczony w punkcie, który jest końcem wskazu prądu kondensatora aby
łatwo wyznaczyć sumę obu prądów. Jest ona prądem cewki I. Napięcie na cewce wyprzedza
wyznaczony wskaz jej prądu o 90°. Jego początek pokrywa się z końcem wskazu napięcia na
kondensatorze w celu prostego uzyskania sumy obu wskazów, która odpowiada napięciu
źródłowemu E.
23
R
U
L
ω
=
Zadanie 4
W przedstawionym na rysunku 4.1 obwodzie wyznacz:
1. reaktancję ωL i indukcyjność L jeżeli wiadomo, że napięcie U
L
wyprzedza napięcie
U
C2
o 120°,
2. moduł reaktancji kondensatora C
1
, czyli wielkość X
C1
=1/ωC
1
oraz pojemność C
1
jeżeli
wiadomo, że napięcie U oraz prąd I
1
są w fazie,
3. impedancję wejściową układu Z,
4. wskazanie woltomierza, jeżeli wiadomo, że wartość skuteczna napięcia na zaciskach
cewki |U
L
|=30V.
Narysuj wykres wskazowy układu.
Dane:
R
1
=20Ω, R
2
=100√3Ω, R
3
=100Ω, ωC
2
=0,01S, ω=100rd/s
U
U
C2
C
2
I
2
R
1
R
3
C
1
V
I
3
I
1
U
L
L
R
2
U
23
Rys.4.1
Rozwiązanie:
Punkt 1:
Kąt przesunięcia między dwiema wielkościami sinusoidalnie zmiennymi, który jest równy
różnicy faz początkowych tych wielkości można wyznaczyć obliczając argument stosunku
odpowiadających tym wielkościom wartości symbolicznych. Kąt, o jaki napięcie U
L
wyprzedza napięcie U
C2
jest zatem argumentem stosunku wartości symbolicznych tych
wielkości. Oba napięcia są częścią napięcia U
23
. Wzory określające oba napięcia w zależności
od napięcia U
23
można wyznaczyć wykorzystując własności podziału napięć w połączeniu
szeregowym impedancji, tzn. własności dzielnika napięciowego.
2
2
2
23
2
2
2
23
2
3
3
23
1
1
C
C
C
L
L
L
jX
R
jX
U
C
ω
j
R
C
ω
j
U
U
jX
jX
j
R
L
ω
j
U
−
−
=
+
=
+
+
=
U
9
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
100
arctg
150
100
arctg
30
180
100
arctg
3
100
100
arctg
180
arctg
arctg
180
arctg
90
arctg
90
arg
-
arg
-
arg
arg
arg
arg
arg
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
23
3
23
2
L
L
L
L
C
L
C
L
C
C
L
L
C
C
L
C
C
L
L
C
L
X
X
X
R
X
R
X
R
X
R
X
jX
R
jX
jX
R
jX
jX
R
jX
jX
R
jX
jX
R
jX
U
jX
R
jX
U
U
U
−
°
=
−
°
−
°
=
−
−
°
=
=
−
−
°
=
−
°
+
−
°
=
=
+
−
−
+
=
=
+
−
−
=
−
−
+
=
Z danych zadania wiadomo, że
°
=
120
arg
2
C
L
U
U
Prowadzi to do równania:
°
=
−
°
120
100
arctg
L
X
150
Rozwiązując to równanie otrzymuje się:
577mH
0,577H
H
3
3
7
57
3
3
100
3
1
100
30
100
arctg
=
=
=
=
Ω
=
Ω
=
⇒
=
⇒
°
=
ω
X
L
,
X
X
X
L
L
L
L
Punkt 2:
Moduł reaktancji oraz pojemność elementu C
1
wyznaczyć można korzystając z faktu, że prąd
I
1
jest w fazie z napięciem U. Argument stosunku wartości symbolicznych napięcia U oraz
prądu I
1
jest zatem równy 0. Wynika stąd:
0
Im
0
Re
Im
arctg
arg
1
1
1
1
=
⇒
=
=
I
U
I
U
I
U
I
U
(4.1)
Stosunek napięcia U do prądu I
1
jest impedancją dwójnika widzianą z zacisków, do których
dołączony jest woltomierz. Jest to impedancja wejściowa układu z rys.4.1 widziana z
punktów dołączenia woltomierza. Impedancja wejściowa Z układu jest szeregowym
połączeniem rezystancji R
1
, kondensatora C
1
oraz dwójnika utworzonego z elementów R
2
, R
3
,
C
2
, L. Dwójnik ten jest równoległym połączeniem dwóch gałęzi, z których każda jest
szeregowym połączeniem dwóch elementów, jedna rezystora R
2
oraz kondensatora C
2
, druga
rezystora R
3
i cewki L. Impedancja wejściowa Z układu wynosi zatem:
10
(
)
(
)
L
ω
j
R
C
ω
j
R
L
ω
j
R
C
ω
j
R
C
ω
j
R
Z
I
U
+
+
−
+
−
+
−
=
=
3
2
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
(4.2)
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje się:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
−
+
=
+
+
−
=
=
+
+
−
=
−
+
+
−
−
+
+
+
−
=
=
+
+
−
+
−
+
−
=
+
+
−
+
−
+
−
=
=
+
+
−
+
−
+
−
=
1
1
1
2
2
1
1
1
3
2
2
3
2
2
1
1
1
781
12
546
102
781
12
546
82
1
20
423
0
732
2
642
7
309
2
100
1
20
1
3
3
1
3
1
3
3
1
3
3
1
1
3
100
1
20
3
3
1
3
3
3
1
3
100
1
20
3
3
100
100
100
3
100
3
3
100
100
100
3
100
1
20
1
1
1
C
ω
,
j
,
,
j
,
C
ω
j
,
j
,
,
,
C
ω
j
j
C
ω
j
j
j
j
j
C
ω
j
j
j
j
j
C
ω
j
L
ω
j
R
C
ω
j
R
L
ω
j
R
C
ω
j
R
C
ω
j
R
Z
Aby prąd I
1
był w fazie z napięciem U część urojona impedancji Z zgodnie z zależnością (4.1)
musi być równa 0.
{ }
mF
782
0
781
12
1
781
12
1
0
Im
1
1
,
ω
,
C
,
C
ω
Z
=
=
⇒
Ω
=
⇒
=
Punkt 3:
Zgodnie z obliczeniami wykonanymi w punkcie 2 impedancja wejściowa układu Z wynosi:
Ω
=
546
102,
Z
Punkt 4:
Niech faza napięcia U
L
będzie równa 0. Jest to dopuszczalne założenie, ponieważ w danych
zadania nie była określona faza początkowa którejkolwiek wielkości analizowanego obwodu.
Wynika stąd:
(
)
+
=
+
=
+
=
−
=
−
=
=
=
⇒
=
=
L
ω
j
R
U
L
ω
j
L
ω
j
R
U
L
ω
j
R
I
U
,
j
,
j
j
L
ω
j
U
I
U
U
L
L
L
L
L
3
3
3
3
23
3
1
A
520
0
3
3
0
3
3
100
30
V
30
Podstawiając wartości liczbowe do wyznaczonego wzoru otrzymuje się:
11
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
A
150
0
260
0
4
3
3
1
3
0
100
3
100
3
1
30
1
V
3
1
30
3
3
100
100
1
30
2
2
23
2
23
,
j
,
j
j
,
j
j
C
ω
j
R
U
I
j
j
U
−
=
+
−
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
Na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa otrzymuje się:
(
)
A
670
0
260
0
520
0
150
0
260
0
3
2
1
,
j
,
,
j
,
j
,
I
I
I
−
=
−
−
=
+
=
Napięcie U można wyznaczyć dodając do wyznaczonego już napięcia U
23
napięcie na
elementach R
1
oraz C
1
:
(
)
(
)(
(
)
)
(
) (
)
V
04
74
68
68
64
26
U
A
68
68
64
26
56
8
40
13
32
3
2
5
96
51
30
781
12
20
670
0
260
0
3
1
30
1
2
2
1
1
1
23
,
,
,
,
j
,
,
,
j
,
j
,
,
j
,
j
,
j
,
j
C
ω
j
R
I
U
U
=
+
=
−
=
−
−
−
+
−
=
=
−
−
+
−
=
−
+
=
Obliczona wartość symboliczna napięcia U jest słuszna wyłącznie przy założeniu zerowej
fazy początkowej napięcia U
L
. Wyznaczona wartość skuteczna tego napięcia jest niezależna
od przyjętej fazy początkowej napięcia U
L
.
Wykres wskazowy układu:
U
R2
U
L
U
R3
U
23
U
R1
U
C1
U
U
C2
I
2
I
3
I
1
Rys.4.2.Wykres
wskazowy układu
z rys.4.1
12
Zadanie 5
W obwodzie przedstawionym na rys.5.1 przed zamknięciem wyłącznika w panował stan
ustalony.
1. Wyznacz i(t), i
C
(t)
oraz u
C
(t)
po zamknięciu w chwili t=0 wyłącznika w.
2. Narysuj przebiegi i
C
(t)
oraz u
C
(t)
dla tє(-∞,+∞).
C
E
w
t=0
i
R
1
R
2
i
C
u
C
R
3
Rys.5.1
Dane
: E=80V, R
2
=R
3
=10kΩ, R
1
=20kΩ, C=0,1µF
Rozwiązanie:
Stan nieustalony w obwodach liniowych opisują równania różniczkowe Rząd tych równań
jest tożsamy z rzędem obwodu. Przedstawiony na rys.5.1 obwód jest układem pierwszego
rzędu (jeden kondensator C i brak źródeł sterowanych), opisujące go równania są równaniami
pierwszego rzędu. Rozwiązania tych równań określające prądy i napięcia w obwodzie
(oznaczmy je jako
)składają się z dwóch składników: składowej swobodnej
, która
jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego oraz składowej wymuszonej
, która
jest rozwiązaniem szczególnym równania pełnego.
( )
t
x
( )
t
x
s
( )
t
x
w
( )
( )
( )
t
x
t
x
t
x
w
s
+
=
(5.1)
Składowa swobodna
, określana w obwodach pierwszego rzędu również jako składowa
przejściowa, jest rozwiązaniem ogólnym jednorodnego równania różniczkowego pierwszego
rzędu. Jej ogólna postać to:
( )
t
x
s
( )
τ
t
s
Ae
t
x
−
=
(5.2)
gdzie A jest pewną stałą wyznaczaną na podstawie warunków początkowych, τ jest stałą
czasową obwodu wyznaczaną na podstawie schematu obwodu w stanie nieustalonym.
Składowa wymuszona
jest równa rozwiązaniu całkowitemu
( )
t
x
w
( )
t
x
wtedy, gdy składowa
swobodna zaniknie. Na podstawie zależności (5.2) można stwierdzić, że ma to miejsce dla
. Może zostać zatem wyznaczona jako wynik analizy obwodu prowadzonej dla stanu
ustalonego.
∞
→
t
Pełne rozwiązanie określające wielkość
( )
t
x
jest zatem równe:
( )
( )
t
x
Ae
t
x
w
τ
t
+
=
−
(5.3)
Stała A występująca w równaniu (5.3) może zostać wyznaczona na podstawie informacji o
wartości wielkości x w dowolnej chwili stanu nieustalonego, np. w chwili
.
0
=
t
13
( )
( )
0
0
w
x
A
x
+
=
(5.4)
( )
( )
0
0
w
x
x
A
−
=
(5.5)
W obwodach liniowych napięcia na kondensatorach oraz prądy cewek są wielkościami
ciągłymi. Stała A może zostać zatem wyznaczona, gdy równanie (5.3) opisuje napięcie na
kondensatorze lub prąd cewki, a wartość napięcia na kondensatorze lub prądu cewki może
być wyznaczona na podstawie analizy obwodu dla czasu przed początkiem stanu
nieustalonego, dla
t
. Równania określające napięcie na kondensatorze oraz prąd cewki w
stanie nieustalonym, to:
0
<
( )
( )
( )
[
]
( )
t
u
e
u
u
t
u
Cw
τ
t
Cw
C
C
+
−
=
−
0
0
(5.6)
( )
( )
( )
[
]
( )
t
i
e
i
i
t
i
Lw
τ
t
Lw
L
L
+
−
=
−
0
0
(5.7)
W obwodach, w których w stania nieustalonym działają wyłącznie wymuszenia stałe
składowe wymuszone są również wartościami stałymi, nie są funkcjami czasu. Zależności dla
napięcia na kondensatorze oraz prądu cewki upraszczają się do następujących:
( )
( )
[
]
Cw
τ
t
Cw
C
C
u
e
u
u
t
u
+
−
=
−
0
(5.8)
( )
( )
[
]
Lw
τ
t
Lw
L
L
i
e
i
i
t
i
+
−
=
−
0
(5.9)
Występująca w równaniach (5.2), (5.3) oraz (5.6) – (5.9) wielkość τ określana jako stała
czasowa obwodu jest wyznaczana na podstawie schematu obwodu w stanie nieustalonym. W
obwodach RC jest równa:
C
R
τ
C
⋅
=
(5.10)
a w obwodach RL:
R
L
τ
L
=
(5.11)
gdzie R jest rezystancją widzianą z zacisków odpowiednio kondensatora lub cewki.
Wyznaczenie przebiegu napięcia na kondensatorze w obwodzie RC lub prądu cewki w
obwodzie RL wymaga:
1. analizy obwodu przed początkiem stanu nieustalonego, dla
0
<
t
w celu wyznaczenia
wartości
lub
( )
0
C
u
( )
0
L
i
,
2. analizy stanu ustalonego obwodu, którego schemat odpowiada obwodowi w stanie
nieustalonym w celu wyznaczenia
( )
t
u
Cw
, następnie
( )
0
Cw
u
lub i
a następnie
,
( )
t
Lw
( )
0
Lw
i
3. analizy obwodu, z którego usunięte zostały wszystkie źródła niezależne, w celu
wyznaczenia rezystancji zastępczej widzianej z zacisków kondensatora lub cewki, a
następnie obliczenia stałej czasowej obwodu,
4. wykorzystaniu zależności (5.6) lub odpowiednio (5.7) w obwodach z wymuszeniami
zmiennymi lub zależności (5.8) lub odpowiednio (5.9) w obwodach z wymuszeniami
stałymi do wyznaczenia napięcia na kondensatorze lub prądu cewki,
14
5. wyznaczenie poszukiwanych wielkości obwodowych na podstawie praw Kirchhoffa
oraz zależności obowiązujących dla liniowego kondensatora oraz liniowej cewki
wiążących prąd i napięcie zmienne w dowolny sposób:
dt
du
C
i
C
C
=
(5.12)
dt
di
L
u
L
L
=
(5.13)
Punkt 1:
Warunek początkowy w postaci napięcia w chwili
0
=
t
wyznaczony zostanie na podstawie
analizy obwodu przed zamknięciem wyłącznika w (dla t<0). Na rys.5.2 kondensator został
usunięty z obwodu w celu podkreślenia, że stanowi on przerwę przy wymuszeniach stałych w
stanie ustalonym.
E
i
R
1
R
2
u
C
R
3
Rys.5.2. Obwód do wyznaczenia warunku początkowego dla napięcia kondensatora
Prąd i określony jest przez zależność:
(
)
mA
2
10
10
10
20
80
3
2
3
1
=
+
+
=
+
+
=
R
R
R
E
i
Napięcie na kondensatorze wynosi:
( )
0
V
20
10
10
10
2
3
3
2
C
C
u
R
i
u
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
−
Po zamknięciu wyłącznika w rozpoczyna się stan nieustalony w obwodzie. Jego schemat
przedstawiony jest na rys.5.3.
C
E
i
R
2
i
C
u
C
R
3
i
R2
Rys.5.3. Schemat obwodu po zamknięciu wyłącznika w
Składową wymuszoną napięcia na kondensatorze u
wyznacza się w obwodzie po
zamknięciu wyłącznika w (rys.5.3), dla
Cw
∞
→
t
. Kondensator stanowi wówczas przerwę
ponieważ rozpatruje się stan ustalony przedstawionego obwodu a jedyne źródło obecne w
15
obwodzie E jest źródłem napięcia stałego. Schemat obwodu dla wyznaczenia składowej
wymuszonej napięcia na kondensatorze przedstawiony jest na rys.5.4.
E
R
3
u
Cw
i
R
2
Rys.5.4. Obwód do wyznaczenia składowej wymuszonej napięcia na kondensatorze
Na podstawie zależności obowiązujących dla dzielnika napięciowego otrzymuje się:
(
)
V
40
10
10
10
10
10
80
3
3
3
2
2
=
⋅
+
⋅
=
+
=
R
R
R
E
u
Cw
Rezystancja zastępcza widziana z zacisków kondensatora, służąca do wyznaczenia stałej
czasowej obwodu, zostaje wyznaczona w obwodzie przedstawionym na rys .5.5.
R
Z
R
3
R
2
Rys.5.5. Schemat do wyznaczenia rezystancji zastępczej widzianej z zacisków kondensatora
Jest ona równa rezystancji równoległego połączenia R
2
oraz R
3
.
(
)
Ω
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
+
=
k
5
10
10
10
10
10
10
10
3
3
3
3
2
3
2
R
R
R
R
R
z
Stała czasowa analizowanego obwodu jest zatem równa:
s
10
5
0
10
5
10
1
0
3
3
6
−
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
,
,
R
C
τ
z
Napięcie na kondensatorze określone jest zależnością (5.8). Po podstawieniu wartości
liczbowych otrzymuje się:
( )
( )
[
]
(
)
(
)
V
20e
-
40
V
40
40
20
0
2000
-
10
5
0
3
t
,
t
Cw
τ
t
Cw
C
C
e
u
e
u
u
t
u
=
+
−
=
+
−
=
−
−
Prąd kondensatora określony jest zależnością (5.12):
(
)
mA
e
4
A
e
10
4
e
20
40
10
1
0
2000
2000
3
2000
6
t
t
t
C
C
dt
d
,
dt
du
C
i
−
−
−
−
−
=
⋅
=
−
⋅
=
=
16
Prąd
zostanie wyznaczony na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa zastosowanego do
jednego z dwóch węzłów obwodu z rys. 5.3.
( )
t
i
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
mA
e
2
4
A
10
e
2
4
e
20
40
10
10
1
e
10
4
2000
3
2000
2000
3
2000
3
2
2
t
t
t
t
C
C
R
C
R
t
u
t
i
t
i
t
i
t
i
−
−
−
−
−
−
+
=
⋅
+
=
=
−
⋅
+
⋅
=
+
=
+
=
Punkt 2:
0,0004
0,0008
0,0012
0,0016
0,0020
0,0024
0
10
20
30
40
50
[V] u
C
(t)
t
[s]
0,0005
0,0010
0,0015
0,0020
0,0025
0
2
4
i
C
(t)
[A]
[s]
t
Zamieszczone powyżej wykresy napięcia oraz prądu kondensatora potwierdzają, że napięcie
na kondensatorze jest wielkością ciągłą, natomiast prąd kondensatora nie musi być ciągły.
Nieciągłość prądu jest widoczna w punkcie t=0.
Zadanie 6
W obwodzie przedstawionym na rys.6.1 przed otwarciem wyłącznika
w
panował stan
ustalony.
1.
Wyznacz
i
L
(t)
oraz
u
L
(t)
po otwarciu w chwili t=0 wyłącznika
w
.
17
2. Narysuj przebiegi i
L
(t)
oraz u
L
(t)
dla tє(-∞,+∞).
w
t=0
R
1
R
2
i
L
u
L
L
R
3
e
Rys.6.1.
Dane:
e(t)=100sin(1000t+60°)V; R
1
=R
3
=10Ω; R
2
=R
4
=5Ω; L=0,01H
Rozwiązanie:
Przedstawiony na rys.6.1 obwód jest układem pierwszego rzędu. Zgodnie z podanym w
rozwiązaniu poprzedniego zadania planem zostanie przeprowadzona analiza układu przed
otwarciem wyłącznika w, dla t<0. Celem analizy jest wyznaczenie wartości i
L
(0).
Zastosowana zostanie metoda symboliczna ponieważ źródło e ma charakter sinusoidalnie
zmienny. Schemat obwodu dla t<0 jest przedstawiony na rys.6.2.
i
R
1
R
2
i
L
u
L
L
R
3
e
Rys.6.2. Schemat analizowanego obwodu dla t<0
Wartość symboliczna napięcia źródłowego e oraz impedancja cewki L wynoszą:
(
)
(
)
(
)
V
866
0
5
0
71
70
3
5
0
5
0
71
70
60
sin
60
cos
2
100
e
2
100
60
,
j
,
,
,
j
,
,
j
E
j
+
=
+
=
°
+
°
=
=
°
Ω
=
⋅
=
10
01
0
1000 ,
L
ω
Impedancja widziana z zacisków źródła to
(
)
(
)
(
)
(
Ω
+
=
+
+
=
+
+
+
⋅
+
=
+
+
+
⋅
+
=
308
0
538
1
10
308
0
538
0
10
10
10
5
10
10
5
10
10
2
1
2
1
3
,
j
,
,
j
,
j
j
L
ω
j
R
R
L
ω
j
R
R
R
Z
)
Wartość symboliczna I prądu płynącego przez źródło wynosi:
(
)
(
)
(
) (
A
386
3
978
2
178
1
036
1
46
2
1
071
7
308
0
538
1
10
866
0
5
0
71
70
,
j
,
,
j
,
,
,
,
j
,
,
j
,
,
Z
E
I
+
=
+
=
+
+
=
=
)
Prąd cewki wyznaczony jest na podstawie zależności określającej podział prądu w dzielniku
prądowym (równoległym połączeniu impedancji).
18
(
)
(
) (
)
(
)
A
5
2
646
0
416
2
13
2
3
2
386
3
978
2
10
5
10
10
386
3
978
2
97
14
2
1
1
°
=
+
=
=
−
+
=
+
+
+
=
+
+
=
,
j
L
e
,
,
j
,
j
,
j
,
j
,
j
,
L
ω
j
R
R
R
I
I
Wartość chwilowa prądu cewki oraz jego wartość w chwili t=0 to:
(
)
(
)
(
)
(
)
0,913A
A
97
14
sin
2
5
2
0
A
97
14
1000
sin
2
5
2
0
=
°
=
=
⇒
°
+
=
<
,
,
t
i
,
t
,
t
i
L
L
Składowa wymuszona prądu cewki oraz stała czasowa obwodu zostaną wyznaczone przez
analizę obwodu po otwarciu wyłącznika.
R
2
i
L
u
L
L
R
3
e
Rys.6.3. Analizowany obwód dla
t
0
>
Składowa wymuszona zostanie wyznaczona metodą symboliczną. Jest ona równa stosunkowi
wymuszenia do impedancji widzianej z jego zacisków:
(
)
(
)(
) (
( )
)
(
)
A
44
24
1000
sin
2
3,862
A
862
3
598
1
516
3
2
3
866
0
5
0
088
1
10
5
10
866
0
5
0
71
70
44
24
2
3
°
+
=
⇒
=
=
+
=
−
+
=
+
+
+
=
+
+
=
°
,
t
t
i
e
,
,
j
,
j
,
j
,
,
j
,
j
,
,
L
ω
j
R
R
E
I
Lw
,
j
L
Rezystancja R
Z
widziana z zacisków cewki zostanie wyznaczona z obwodu przedstawionego
na rys.6.4.
R
Z
R
2
R
3
Rys.6.4. Schemat obwodu służący wyznaczaniu rezystancji zastępczej
widzianej z zacisków cewki
Na podstawie rys.6.4 można stwierdzić, że rezystancja R
Z
jest szeregowym połączeniem
rezystancji R
3
oraz R
2
:
Ω
=
+
=
+
=
15
10
5
3
2
R
R
R
Z
Stała czasowa obwodu zgodnie z zależnością 5.11 wynosi
19
ms
3
2
s
10
3
2
1500
1
15
01
0
3
=
=
=
=
=
−
,
R
L
τ
Z
Zgodnie z zależnością 5.7 prąd cewki po zamknięciu wyłącznika to:
( )
( )
( )
[
]
( )
(
)
(
)
°
+
+
°
−
=
=
+
−
=
−
−
44
24
1000
sin
2
862
3
e
44
24
sin
2
862
3
913
0
e
0
0
1500
,
t
,
,
,
,
t
i
i
i
t
i
t
Lw
τ
t
Lw
L
L
Po wykonaniu obliczeń:
( )
(
)
[
]
A
e
347
1
44
24
1000
sin
462
5
1500
t
L
,
,
t
,
t
i
−
−
°
+
=
Otrzymana zależność pozwala na stwierdzenie, że składowa wymuszona jest przebiegiem
sinusoidalnym. Prąd cewki dąży zatem wykładniczo nie do wartości stałej lecz do przebiegu
zmiennego sinusoidalnie.
Napięcie na zaciskach cewki zostaje wyznaczone na podstawie zależności 5.13:
(
)
[
]
(
)
[
]
A
e
205
20
44
24
1000
cos
62
54
e
347
1
1500
44
24
1000
cos
1000
462
5
01
0
1500
1500
t
t
L
L
,
,
t
,
,
,
t
,
,
dt
di
L
u
−
−
+
°
+
=
=
⋅
+
°
+
⋅
=
=
Podobnie, jak prąd cewki, napięcie panujące na jej zaciskach dąży do wartości sinusoidalnie
zmiennej.
Zadanie 7
W obwodzie przedstawionym na rys.7.1 przed otwarciem wyłącznika w panował stan
ustalony. Wyznacz napięcie u
w
(t)
panujące na wyłączniku w (rys.7.1)
E
C
R
R
t=0
i
C
(t)
u
w
(t)
L
i
L
(t)
u
C
(t)
R
w
u
L
(t)
Rys.7.1
Dane:
E=12V, R=2kΩ, C=1µF, L=10mH
Rozwiązanie:
Przedstawiony na rys.7.1 obwód jest po otwarciu wyłącznika w połączeniem dwóch układów
pierwszego rzędu. Jeden z nich tworzą elementy R oraz C, drugi elementy R, L, E. Oba
układy są połączone dolnym węzłem. Pozwala to na wyznaczenie napięcia u
w
(t) po otwarciu
wyłącznika na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa.
Schemat obwodu przed otwarciem wyłącznika został przedstawiony na rys.7.2. Umożliwia on
wyznaczenie warunków początkowych dla elementów tworzących oba obwody stanu
nieustalonego: napięcia
oraz prądu
( )
0
C
u
( )
0
L
i
.
20
R
u
C
(t)
i
L
(t)
L
R
R
C
E
Rys.7.2. Analizowany obwód w stanie ustalonym przed otwarciem wyłącznika w
Źródło E wytwarza napięcie stałe. Kondensator C jest zatem równoważny przerwie w
obwodzie bo prąd stały przez kondensator nie płynie, cewka L jest równoważna zwarciu bo
przepływ prądu stałego nie powoduje powstania napięcia na cewce. Obwód przed otwarciem
wyłącznika przyjmuje zatem postać przedstawioną na rys.7.3.
u
C
(0)
R
R
E
i
L
(0)
R
Rys.7.3. Obwód do wyznaczenia warunków początkowych:
( )
0
C
u
oraz
( )
0
L
i
Prąd płynący przez źródło E jest stosunkiem napięcia źródłowego do rezystancji widzianej z
zacisków źródła, prąd cewki stanowi połowę prądu źródła (druga połowa płynie przez
opornik po lewej stronie rysunku).
( )
(
)
mA
2
10
1
2
12
5
0
0
3
=
⋅
+
=
+
⋅
+
⋅
+
=
,
R
R
R
R
R
E
R
R
R
i
L
Napięcie na zaciskach kondensatora to:
( )
( )
V
4
10
2
10
2
0
0
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
−
R
i
u
L
C
Otwarcie wyłącznika w skutkuje pojawieniem się w obu obwodach stanu nieustalonego. Oba
obwody to układy pierwszego rzędu.
R
u
w
(t)
u
L
(t)
u
C
(t)
i
L
(t)
L
i
C
(t)
R
R
C
E
Rys.7.4. Obwody powstałe po otwarciu wyłącznika w
21
Analiza obwodu RC:
Powstały po otwarciu wyłącznika w obwód RC przedstawiony jest na rys.7.5.
oraz pojemności C. Przebieg napięcia na kondensatorze
zgodnie z zale
Rys.7.5. Analizowany obwód RC
Wartość wymuszona napięcia na kondensatorze jest równa 0 bo w analizowanym obwodzie
brak jest źródeł. Rezystancja widziana z zacisków kondensatora to R. Stała czasowa obwodu
jest zatem iloczynem rezystancji R
żnością 5.8 wynosi:
( )
( )
[
]
(
)
500
10
1
10
2
6
3
t
t
RC
t
−
⋅
⋅
⋅
−
−
−
nkiem
zystancji w
obwodzie bo w stanie ustalonym, dla
Analiza obwodu RL:
Powstały po otwarciu wyłącznika w obwód RL przedstawiony jest na rys.7.6. Składowa
wymuszona prądu cewki jest stosu
napięcia źródłowego do sumy re
∞
→
t
, napięcie na cewce będzie równe 0.
(
)
3mA
A
10
3
10
2
2
12
3
3
=
⋅
=
⋅
+
=
+
=
−
R
R
E
i
Lw
umą połączonych szeregowo dwóch rezystancji
R. Stała czasowa obwodu jest zatem równa:
Rys.7.6. Analizowany obwód RL
Rezystancja widziana z zacisków cewki jest s
s
10
5
2
01
0
6
−
⋅
=
=
=
,
,
L
τ
10
2
2
2
3
⋅
⋅
R
L
Zgodnie z zależnością 5.9 prąd cewki po otwarciu wyłącznika wynosi:
( )
( )
[
]
(
)
mA
e
-
3
mA
3
e
3
2
5
5
10
4
10
4
=
+
−
⋅
−
⋅
−
−
t
t
τ
t
L
e
0
=
+
−
=
Lw
Lw
L
L
i
i
i
t
i
Wyznaczenie napięcia na wyłączniku:
Na podstawie rys.7.1 lub rys.7.4 można sformułować równanie:
C
R
u
C
(t)
V
e
4
0
e
0
4
e
0
Cw
Cw
u
u
u
t
u
=
+
−
=
+
−
=
C
C
R
L
i
L
(t)
R
E
22
( )
( )
( )
( )
( )
(
t
u
R
t
i
E
t
u
t
u
E
R
t
i
t
u
C
L
w
C
L
w
−
)
⋅
−
=
⇒
=
+
−
⋅
+
0
Podstawiając wyniki dotychczasowych analiz otrzymuje się:
( )
V
e
4
e
2
6
e
4
10
2
10
e
3
12
500
10
4
500
3
3
10
4
5
5
−
⋅
+
=
−
⋅
⋅
⋅
−
−
=
−
⋅
−
−
−
⋅
−
t
t
t
t
w
t
u
Zadanie 8
W obwodzie przedstawionym na rys.8.1 przed zamknięciem wyłącznika w panował stan
ustalony. Wyznacz prąd i(t) płynący przez zamknięty wyłącznik.
i(t)
w
t=0
R
R
C
E
L
R
Rys.8.1
Dane:
E=120V, R=1kΩ, C=1µF, L=1mH
Rozwiązanie:
Po zamknięciu wyłącznika analizowany układ składa się z dwóch obwodów pierwszego
rzędu. Jeden z nich utworzony jest przez gałąź E,R, kondensator C oraz opornik R w górnej
gałęzi. Drugi przez elementy L oraz R. Oba obwody rozdziela gałąź z zamkniętym
wyłącznikiem w, między zaciskami której panuje zerowe napięcie. Schemat obwodu po
zamknięciu wyłącznika przedstawiony jest na rys.8.2.
E
R
C
R
i(t)
i
R
(t)
i
L
(t)
L
R
Rys.8.2. Analizowany obwód po zamknięciu wyłącznika w
Wyznaczenie prądu płynącego przez zamknięty wyłącznik umożliwia prądowe prawo
Kirchhoffa zastosowane do prądów
( ) ( ) ( )
t
i,
t
i,
t
i
L
R
. Wyznaczenie przebiegów tych prądów
wymaga wykonania analizy stanu nieustalonego w dwóch obwodach powstających po
zamknięciu wyłącznika w.
Warunki początkowe niezbędne w analizie stanów nieustalonych, napięcie na kondensatorze
oraz prąd cewki, należy wyznaczyć z obwodu przed zamknięciem wyłącznika. Jego schemat
przedstawia rys.8.3.
23
E
i
L
(t)
R
R
u
C
(t)
R
L
C
Rys.8.3. Obwód przed zamknięciem wyłącznika w
Jedyne źródło obecne w obwodzie jest źródłem napięcia stałego. Kondensator jest zatem
równoważny przerwie w gałęzi, w której jest umieszczony a cewka równoważna jest zwarciu
między swoimi zaciskami. Schemat obwodu przed zamknięciem wyłącznika jest
przedstawiony na rys.8.4.
E
u
C
(0)
i
L
(0)
R
R
R
Rys.8.4. Schemat obwodu do wyznaczenia warunków początkowych
Przedstawiony obwód posiada jedno oczko a napięciowe prawo Kirchhoffa pozwala na
wyznaczenie prądu cewki. Napięcie na kondensatorze jest równe napięciu na dwóch
opornikach R.
( )
40mA
A
10
40
10
3
120
3
0
3
3
=
⋅
=
⋅
=
=
−
R
E
i
L
( )
( )
V
80
10
2
10
40
2
0
0
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
−
R
i
u
L
C
Po zamknięciu wyłącznika w powstają dwa niezależne obwody pierwszego rzędu, których
schematy są przedstawione na rys.8.5.
u
C
(t)
R
R
C
E
i
L
(t)
L
R
Rys.8.5. Dwa obwody pierwszego rzędu utworzone przez zamknięcie wyłącznika w
Analiza obwodu RC:
Napięcie na kondensatorze jest określone wzorem (5.8). Źródło E ma charakter stały, zatem
przy wyznaczaniu składowej wymuszonej napięcia na kondensatorze C (analiza obwodu dla
t→ ∞) kondensator stanowi przerwę w obwodzie. Składowa wymuszona napięcia
jest
Cw
u
24
więc określona przez podział napięcia źródłowego E na dwie równe części, które są
napięciami na opornikach R. Jedno z nich jest napięciem u
na kondensatorze.
Cw
V
60
10
6
=
−
10
3
+
−
s
6
−
6
10
t
=
−
5
0
2
=
=
=
E
,
E
R
R
u
Cw
Stała czasowa obwodu RC określona jest zależnością (5.10). Rezystancję zastępczą widzianą
z zacisków kondensatora określa schemat na rys.8.6.
R
R
Z
R
Rys.8.6. Schemat do wyznaczenia rezystancji zastępczej widzianej z zacisków C
Rezystancja zastępcza jest rezystancją równoległego połączenia dwóch oporników R. Stała
czasowa obwodu RC jest określona zatem zależnością:
0,5ms
s
10
5
0
1
10
1
5
0
5
0
2
3
3
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
⋅
=
−
,
,
RC
,
C
R
R
C
R
τ
Z
C
Zgodnie z zależnością (5.8) napięcie na kondensatorze wynosi:
( )
( )
[
]
(
)
(
)
V
60
20
V
60
60
80
0
2000
5
0
+
=
−
=
+
−
=
−
⋅
−
−
t
,
t
Cw
τ
t
Cw
C
C
e
e
u
e
u
u
t
u
C
Analiza obwodu RL:
Analizowany obwód przedstawiony jest na rys.8.5. Rozwiązanie w postaci prądu cewki
określone jest przez zależność (5.9). Składowa wymuszona prądu cewki jest równa 0,
ponieważ brak jest w obwodzie jakiegokolwiek wymuszenia.
0
=
Lw
i
Stałą czasową obwodu określa zależność (5.11). Występująca we wzorze wartość rezystancji
zastępczej widzianej z zacisków cewki jest równa rezystancji R. Stała czasowa obwodu oraz
prąd cewki określony zależnością (5.9) wynoszą:
10
1
10
1
10
1
3
3
−
⋅
=
⋅
⋅
=
=
τ
R
L
L
( )
( )
[
]
mA
e
40
e
40
e
0
6
10 t
Lw
t
Lw
L
L
i
i
i
t
i
L
−
−
τ
−
=
+
−
=
Obliczenie prądu wyłącznika:
Dla węzła obwodu przedstawionego na rys.8.2, w którym zbiegają się prądy
( ) ( ) ( )
t
i
,
t
i
,
t
i
L
R
można sformułować równanie:
( )
( )
( )
t
i
t
i
t
i
L
R
−
=
25
Na oporniku R panuje napięcie
, prąd
( )
t
u
C
( )
t
i
R
można zatem wyznaczyć z prawa Ohma.
Poszukiwany prąd wyłącznika wynosi:
( )
( )
( )
( )
( )
mA
40
20
60
A
10
40
20
60
10
40
10
1
60
20
6
6
6
10
2000
3
10
2000
10
3
3
2000
−
+
=
⋅
−
+
=
=
⋅
−
⋅
+
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
L
C
L
R
e
e
e
e
e
e
t
i
R
t
u
t
i
t
i
t
i
Zadanie 9
W przedstawionym na rys.9.1 obwodzie wyznacz i(t), I
sk
oraz wskazanie woltomierza
e
V
C
i
L
R
Rys.9.1
Dane:
e(t)=(3+10sinωt+4cos2ωt)V,
R=4/3Ω, L=1mH, C=0,25mF, ω=1000rd/s
Rozwiązanie:
Źródło obecne w obwodzie składa się ze składowej stałej oraz dwóch harmonicznych.
Analizowany układ jest liniowy, możliwe jest więc zastosowanie przy jego analizie zasady
superpozycji. Analiza obwodu zostanie wykonana w trzech etapach: dla składowej stałej oraz
oddzielnie dla każdej z obecnych w wymuszeniu harmonicznych. Analiza obwodu przy
wymuszeniu stałym będzie przeprowadzona jedną z metod przewidzianych dla obwodów
prądu stałego. Analizy obwodów przy wymuszeniu zawierającym jedną z harmonicznych
będą realizowane przy wykorzystaniu metody symbolicznej, najbardziej skutecznej w
obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego. Celem każdej analizy będzie wyznaczenie prądu
źródła i(t) oraz napięcia mierzonego przez woltomierz u(t), które jest napięciem panującym na
równoległym połączeniu cewki i kondensatora Wyniki analiz zostaną zgodnie z zasadą
superpozycji dodane do siebie. Sumowanie musi być zrealizowane na poziomie wartości
chwilowych.
Analiza dla składowej stałej:
Przy wymuszeniach stałych cewka jest równoważna zwarciu, kondensator rozwarciu swoich
zacisków. Analizowany obwód przy wymuszeniach stałych przedstawiony jest na rys.9.2.
U
0
E
0
V
I
0
R
Rys.9.2. Obwód dla składowej stałej
26
Składowa stała źródła napięcia równa jest 3V. Prąd źródła oraz napięcie na kondensatorze
wynoszą:
0
A
25
2
4
9
3
4
3
0
0
0
=
=
=
=
=
U
,
R
E
I
Analiza dla pierwszej harmonicznej:
Przy wymuszeniu sinusoidalnym o pulsacji ω schemat analizowanego obwodu jest
przedstawiony na rys.9.3.
U
1
E
1
V
1/ωC
I
1
ωL
R
Rys.9.3. Analizowany obwód dla pierwszej harmonicznej
Impedancja widziana z zacisków źródła dla pierwszej harmonicznej wynosi:
(
)
Ω
+
=
−
+
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
=
+
⋅
+
=
−
−
j
j
j
,
j
,
j
,
j
,
j
C
ω
j
L
ω
j
C
ω
j
L
ω
j
R
Z
1
3
4
4
4
3
4
10
25
0
1000
1
001
0
1000
10
25
0
1000
1
001
0
1000
3
4
1
1
3
3
1
Wartość symboliczna pierwszej harmonicznej prądu I to:
(
)
(
)
(
)
A
e
4
15
1
2
4
15
2
2
4
1
3
10
1
3
4
2
10
45
1
1
1
°
−
=
−
=
⋅
−
⋅
=
+
=
=
j
j
j
j
Z
E
I
Jej wartość chwilowa wynosi:
( )
(
)
(
)
A
45
sin
2
75
3
45
sin
2
4
15
1
°
−
=
°
−
=
t
ω
,
t
ω
t
i
Pierwsza harmoniczna napięcia na zaciskach woltomierza zostanie obliczona na podstawie
prawa Ohma:
V
e
5
e
e
5
3
4
e
4
15
1
1
45
90
45
45
1
1
°
°
°
−
°
−
=
=
⋅
=
+
⋅
=
j
j
j
j
j
C
ω
j
L
ω
j
C
ω
j
L
ω
j
I
U
Analiza dla drugiej harmonicznej:
Przy wymuszeniu sinusoidalnym o pulsacji 2ω schemat analizowanego obwodu jest
przedstawiony na rys.9.4.
27
2ωL
I
2
R
1/2ωC
E
2
V U
2
Rys.9.4. Analizowany obwód dla drugiej harmonicznej
Admitancja połączenia równoległego LC dla drugiej harmonicznej wynosi:
0
5
0
5
0
001
0
2000
1
10
25
0
2000
2
1
2
3
2
=
−
=
⋅
−
⋅
⋅
=
+
=
−
,
j
,
j
,
j
,
j
L
ω
j
C
ω
j
Y
Równoległe połączenie LC dla drugiej harmonicznej jest przerwą w obwodzie (zachodzi
rezonans prądów drugiej harmonicznej). Druga harmoniczna prądu i jest zatem równa 0,
napięcie źródła panuje na połączeniu LC.
( )
( )
( )
V
2
cos
4
0
2
2
2
t
ω
t
e
t
u
t
i
=
=
⇒
=
Sumując wyniki trzech analiz: stałoprądowej oraz dla obu harmonicznych otrzymujemy
poszukiwaną wartość chwilową prądu źródła:
( )
( )
( )
(
)
[
]
A
45
sin
2
75
3
25
2
2
1
0
°
−
+
=
+
+
=
t
ω
,
,
t
i
t
i
I
t
i
Wartość skuteczna prądu to:
(
) (
)
A
37
4
75
3
25
2
2
2
,
,
,
I
sk
=
+
=
Napięcie wskazywane przez woltomierz to wartość skuteczna napięcia u(t):
( )
V
74
5
33
2
2
5
2
2
,
U
sk
=
=
+
=
Zadanie 10
W przedstawionym na rys.10.1 obwodzie napięcie
źródłowe
( )
(
)
V
t
cos2
10
sin
2
20
ω
t
ω
t
e
+
=
wywołuje przepływ prądu
( )
(
)
A
2
cos
2
2
t
ω
t
i
=
.
Wyznacz
parametry:
, prądy
oraz moc czynną P oraz moc bierną Q oddawaną przez
źródło E do obwodu.
2
1
L
,
L
,
R
( ) ( )
t
i
,
t
i
2
1
L
1
i
2
(t)
i
1
(t)
e(t)
R
C
i(t)
L
2
Rys.10.1
Dane:
C=0,1mF, ω=1000rd/s
Rozwiązanie:
Analiza obwodu dla pierwszej harmonicznej:
28
Napięcie źródłowe
zawiera dwie harmoniczne: pierwszą i drugą, prąd źródła
tylko
drugą harmoniczną. Oznacza to, że w połączeniu równoległym elementów
zachodzi
rezonans pierwszych harmonicznych prądów
( )
t
e
( )
t
i
2
2
C
,
L
( ) ( )
t
i,
t
i
2
1
i połączenie to stanowi przerwę w
obwodzie dla pierwszej harmonicznej. Rezonans prądów prowadzi do sformułowania
warunku:
mH
10
H
10
1
10
10
1
1
1
0
1
0
1
2
4
6
2
2
2
2
2
2
=
⋅
=
⋅
=
⇒
=
=
⇒
=
−
⇒
=
+
−
−
L
C
ω
L
L
ω
C
ω
L
ω
C
ω
j
C
ω
j
L
ω
j
Brak pierwszej harmonicznej prądu
( )
t
i
oznacza zerową wartość pierwszej harmonicznej
napięcia na rezystorze R oraz cewce L
1
. Z napięciowego prawa Kirchhoffa wynika, że
pierwsza harmoniczna napięcia źródłowego panuje na zaciskach połączenia równoległego
elementów
. Wartości symboliczne i chwilowe pierwszych harmonicznych tych prądów
określa prawo Ohma:
C
,
L
2
( )
( )
( )
( )
(
)
A
cos
2
2
A
90
sin
2
2
A
2
0001
0
1000
20
1
1
1
1
1
t
ω
t
ω
t
i
j
,
j
C
ω
j
E
I
=
°
+
=
=
⋅
⋅
=
=
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
A
cos
2
2
A
90
sin
2
2
A
90
sin
2
2
A
2
01
0
1000
20
1
2
1
1
2
t
ω
t
ω
t
ω
t
i
j
,
j
L
ω
j
E
I
−
=
−
°
−
=
°
−
=
−
=
⋅
=
=
Wyznaczone wartości prądów potwierdzają stwierdzenie o ich rezonansie, bo:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t
i
t
i
I
I
1
2
1
1
1
2
1
1
−
=
−
=
Moce w obwodach, w których występują różne harmoniczne, są wytwarzane tylko przez
harmoniczne prądów i napięć tego samego rzędu. W analizowanym obwodzie moc czynna
związana jest z rezystorem R, a moc bierna z elementami
Dla pierwszej
harmonicznej moc czynna równa jest 0 bo prąd
C
,
L
,
L
2
1
( )
( )
t
i
1
jest równy 0. Z tego samego powodu
moc bierna cewki L
1
jest równa zero. Moce bierne elementów
wynoszą:
C
,
L
2
( )
( )
C
ω
I
Q
L
ω
I
Q
C
L
1
2
1
1
2
1
2
2
−
=
=
Dla pierwszej harmonicznej zachodzi:
( )
( )
1
2
1
1
2
oraz
1
I
I
L
ω
C
ω
=
=
to:
0
0
2
2
=
⇒
=
+
⇒
−
=
Q
Q
Q
Q
Q
C
L
C
L
Analiza obwodu dla drugiej harmonicznej:
Druga harmoniczna prądu
i
jest w fazie z drugą harmoniczną napięcia źródłowego, bo:
( )
t
( )
( ) (
)
V
t
cos2
10
2
ω
t
e
=
( )
( )
( )
(
)
A
2
cos
2
2
2
t
ω
t
i
t
i
=
=
29
Oznacza to, że część urojona impedancji drugiej harmonicznej widzianej z zacisków źródła
jest równa 0. Oznacza to, że dla drugiej harmonicznej zachodzi rezonans napięć: na cewce
oraz na równoległym połączeniu elementów
.
1
L
C
,
L
2
( )
( )
3,33mH
H
10
3
1
0001
0
2000
1
01
0
2000
0001
0
2000
1
01
0
2
1
2
2
1
0
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
Im
2
1
2
2
1
2
2
Im
Im
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
=
=
⋅
−
⋅
⋅
=
−
⋅
=
=
−
⋅
−
=
=
−
⋅
−
+
=
+
⋅
+
+
=
−
,
,
,
,
C
ω
L
ω
C
ω
L
L
C
ω
L
ω
C
ω
L
ω
L
ω
C
ω
L
ω
C
ω
L
ω
j
L
ω
j
R
C
ω
j
L
ω
j
C
ω
j
L
ω
j
L
ω
j
R
Z
Część urojona impedancji drugiej harmonicznej widzianej z zacisków źródła jest równa 0.
Zatem:
( )
( )
( )
Ω
=
=
=
⇒
=
2
5
2
2
2
10
2
2
2
,
j
j
I
E
R
R
Z
Wartości symboliczne i chwilowe drugich harmonicznych prądów
( )
t
1
i
oraz
i
wynoszą:
( )
t
2
( )
( )
( )
A
3
8
0001
0
2000
1
01
0
2000
01
0
2000
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
j
,
,
,
j
C
ω
L
ω
L
ω
I
C
ω
j
L
ω
j
L
ω
j
I
I
=
⋅
−
⋅
⋅
=
−
=
+
=
( )
( )
( )
A
3
2
0001
0
2000
1
01
0
2000
0001
0
2000
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
j
,
,
,
j
C
ω
L
ω
C
ω
I
C
ω
j
L
ω
j
C
ω
j
I
I
−
=
⋅
−
⋅
⋅
−
=
−
−
=
+
=
( )
( )
( )
( )
A
cos2
2
33
0
cos
2
3
2
A
cos2
2
67
2
cos
2
3
8
2
2
2
1
t
ω
,
t
ω
t
i
t
ω
,
t
ω
t
i
−
=
−
=
=
=
Moc czynna drugiej harmonicznej to:
( )
( )
W
14
14
2
10
2
2
5
2
2
2
2
2
,
,
I
R
P
=
=
⋅
=
⋅
=
Moc bierna drugiej harmonicznej:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
Im
bo
0
Im
2
2
2
2
2
=
=
⋅
=
Z
I
Z
Q
Podsumowanie analiz obu harmonicznych:
Prądy
oraz
są sumą wartości chwilowych składowych tych prądów dla każdej
harmonicznej (nie wolno sumować wartości symbolicznych dla różnych pulsacji.
( )
t
i
1
( )
t
i
2
30
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
A
cos2
2
67
2
cos
2
2
2
1
1
1
1
ωt
,
ωt
t
i
t
i
t
i
+
=
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
A
cos2
2
33
0
cos
2
2
2
2
1
2
2
ωt
,
ωt
t
i
t
i
t
i
−
−
=
+
=
Moce są sumą mocy obu harmonicznych.
( )
( )
( )
( )
( ) 0
W
14
14
2
1
2
2
1
=
+
=
=
=
+
=
Q
Q
Q
,
P
P
P
P
31