Konspekt jest współfinansowany przez Unię Europejską

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

w projekcie:

"Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń

- zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej zarządzanie Uczelnią,

nowoczesna oferta edukacyjna

i wzmacniania zdolności do zatrudniania,

także osób niepełnosprawnych".

Materiały pomocnicze do przedmiotu

Obwody Elektryczne 3

Przedmowa

Materiały pomocnicze do przedmiotu Obwody Elektryczne 3 są przeznaczone głównie dla
studentów studiów niestacjonarnych. Mają ułatwić samodzielną naukę praktycznego

wykorzystania metod analizy obwodów poznawanych w ramach przedmiotu Obwody
Elektryczne 3. Materiały nie są typowym zbiorem zadań, nie zawierają propozycji zadań do
samodzielnego rozwiązania lecz zadania o niezbyt dużym stopniu trudności, których
rozwiązania są dokładnie opisane. Ma to służyć lepszemu zrozumieniu problemów analizy
obwodów, szczególnie w zakresie podstaw tej dziedziny. Opanowanie analizy obwodów w
zakresie przewidzianym przez zajęcia ćwiczeniowe z Obwodów Elektrycznych 3 wymaga
opanowania zagadnień zawartych w odpowiednich rozdziałach podręcznika: TEORIA
OBWODÓW, ZADANIA opracowanego pod redakcją profesora M.Tadeusiewicza.

2

Zadanie 1

Wyznacz opis łańcuchowy czwórnika przedstawionego na rys.1.1.

2

’

1

Z

2

Z

1

1

’

2

Rys.1.1

Rozwiązanie

Do opisu czwórników wykorzystuje się cztery wielości związane z czwórnikiem: napięcie na
zaciskach wejściowych, prąd wejściowy, napięcie na zaciskach wyjściowych oraz prąd
wyjściowy. Są one przedstawione na rys.1.2.

1

’

czwórnik

i

1

u

2

2

2

’

1

i

2

u

1

Rys.1.2. Wielkości używane w opisach czwórników

Do analizy układu, w którym występują dowolne sygnały nieokresowe może być
wykorzystane przekształcenie Laplace’a. Do opisu czwórników wykorzystane zostaną zatem
wielkości operatorowe, które oznaczane są w następujący sposób:

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

1

1

1

1

i

s

I

u

s

U

i

s

I

u

s

U

=

=

=

=

(1.1)

Równania łańcuchowe czwórnika są jednymi z sześciu rodzajów wykorzystywanych do opisu
czwórników. Zależność (1.2) przedstawia równania łańcuchowe:

a

a

u

+

=

(1.2)

( )

( )

2

22

2

21

1

2

12

2

11

1

i

a

u

a

i

i

u

−

+

=

−

Postać macierzowa tych równań to:

(1.3)













−

=













2

2

1

1

i

u

i

u

A

gdzie:

(1.4)













=

22

21

12

11

a

a

a

a

A

3

Współczynniki wiążące napięcia i prądy wejściowe oraz wyjściowe, które są elementami
macierzy A mogą zostać wyznaczone poprzez analizę układu czwórnika w dwóch różnych
stanach, np. w stanie zwarcia zacisków wyjściowych (rys.1.3) oraz w stanie jałowym, czyli w
stanie rozwarcia zacisków wyjściowych (rys.1.4).

Rys.1.3. Czwórnik w stanie zwarcia zacisków wyjściowych

Rys.1.4. Czwórnik w stanie rozwarcia zacisków wyjściowych

Analiza zależności (1.2) pozwala na wyznaczenie sposobu wyznaczenia wyrazów macierzy
łańcuchowej. Wyrazy

oraz

zostaną wyznaczone na podstawie analizy stanu

rozwarcia zacisków wyjściowych

11

a

21

a

2

1

2

1

0

21

0

11

2

2

u

i

u

u

i

i

a

a

=

=

=

=

(1.5)

Odpowiada to następującemu stanowi analizowanego czwórnika:

1

1

i

czwórnik

0

2

=

i

1

u

2

u

1

2

i

1

i

czwórnik

1

u

0

2

=

u

1

i

0

2

=

i

1

u

2

u

Z

1

Z

2

Rys.1.5. Stan rozwarcia zacisków wyjściowych analizowanego czwórnika

Na podstawie rys.1.5 można sformułować równania:

(

)

(

) (

)

2

2

1

21

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

11

2

1

2

2

1

1

1

1

1

Z

u

i

a

Z

i

u

Z

Z

Z

Z

Z

Z

i

Z

Z

i

u

u

a

Z

i

u

Z

Z

i

u

=

=

⇒

=

+

=

+

=

+

=

=

⇒









=

+

=

4

Wyrazy

oraz

a

zostaną wyznaczone na podstawie analizy stanu zwarcia zacisków

wyjściowych czwórnika

12

a

22

2

1

2

1

0

22

0

12

2

2

i

i

i

u

u

u

a

a

−

−

=

=

=

=

(1.6)

Odpowiada to następującemu stanowi analizowanego czwórnika:

2

i

1

i

1

u

0

2

=

u

Z

1

Z

2

Rys.1.6. Stan zwarcia zacisków wyjściowych analizowanego czwórnika

Na podstawie rys.1.6 można sformułować równania:

1

2

1

22

1

2

1

1

1

1

2

1

12

1

2

1

1

1

=

−

=

⇒

−

=

=

=

−

=

⇒







−

=

=

i

i

a

i

i

Z

i

Z

i

i

u

a

i

i

Z

i

u

Poszukiwana macierz łańcuchowa czwórnika to:























 +

=

1

1

1

2

1

2

1

Z

Z

Z

Z

A

Zadanie 2

Wyznacz opis admitancyjny czwórnika typu Π przedstawionego na rys.2.1.

Y

1

2

’

1

Y

2

Y

1

1

’

2

Rys.2.1

Rozwiązanie

5

Opis admitancyjny czwórnika przedstawiają równania (2.1) ÷ (2.3).

(2.1)

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

u

y

u

y

i

u

y

u

y

i

+

=

+

=

W postaci macierzowej:

(2.2)













=













2

1

2

1

u

u

i

i

Y

gdzie:

(2.3)













=

22

21

12

11

y

y

y

y

Y

Podobnie, jak w zadaniu 1, wyrazy macierzy Y zostaną wyznaczone przez analizę dwóch
różnych stanów czwórnika. Z zależności (2.1) wynika, że najwygodniejszym sposobem
wyznaczenia poszukiwanych parametrów będzie analiza czwórnika ze zwartymi zaciskami
wyjściowymi, tzn. dla

oraz ze zwartymi zaciskami wejściowymi, tzn. przy

0

2

=

u

0

1

=

u

.

Pierwszy z tych stanów przedstawia rys.2.2.

1

i

2

i

1

u

0

2

=

u

Y

1

Y

1

Y

2

Rys.2.2. Analizowany czwórnik przy zwartych zaciskach wyjściowych

Dla

u

zależności (2.1) przyjmują postać

0

2

=

1

21

2

1

11

1

u

y

i

u

y

i

=

=

Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:

0

1

2

21

0

1

1

11

2

2

=

=

=

=

u

u

u

i

y

u

i

y

Analiza obwodu z rys.2.2 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikają poszukiwane parametry:

(

)

2

0

1

2

21

1

2

2

2

1

0

1

1

11

1

2

1

1

2

1

1

1

2

2

Y

u

i

y

u

Y

i

Y

Y

u

i

y

u

Y

Y

u

Y

u

Y

i

u

u

−

=

=

⇒

⋅

=

−

+

=

=

⇒

+

=

⋅

+

⋅

=

=

=

Drugi z analizowanych stanów to stan zwarcia zacisków wejściowych czwórnika,

0

1

=

u

.

Stan ten przedstawiony jest na rys.2.3

6

2

i

1

i

0

1

=

u

2

u

Y

1

Y

1

Y

2

Rys.2.3. Analizowany czwórnik przy zwartych zaciskach wejściowych

Dla

u

zależności (2.1) przyjmują postać:

0

1

=

2

22

2

2

12

1

u

y

i

u

y

i

=

=

Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:

0

2

2

22

0

2

1

12

1

1

=

=

=

=

u

u

u

i

y

u

i

y

Analiza obwodu z rys.2.3 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikają poszukiwane parametry:

(

)

2

0

2

1

12

2

2

1

2

1

0

1

1

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Y

u

i

y

u

Y

i

Y

Y

u

i

y

u

Y

Y

u

Y

u

Y

i

u

u

−

=

=

⇒

⋅

=

−

+

=

=

⇒

+

=

⋅

+

⋅

=

=

=

Poszukiwana macierz admitancyjna to:













+

−

−

+

=

2

1

2

2

2

1

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Zadanie 3

L

2

’

1

C

L

1

’

2

Rys.3.1

7

1. Wyznacz opis impedancyjny czwórnika typu T przedstawionego na rys.3.1 na

podstawie analizy dwóch wybranych jego stanów.

2. Wyznacz opis hybrydowy czwórnika korzystając z wyznaczonego w punkcie 1 opisu

impedancyjnego.

Rozwiązanie
Punkt 1

Opis impedancyjny czwórnika przedstawiają równania (3.1) ÷ (3.3).

(3.1)

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

i

z

i

z

u

i

z

i

z

u

+

=

+

=

W postaci macierzowej:

(3.2)













=













2

1

2

1

i

i

u

u

Z

gdzie:

(3.3)













=

22

21

12

11

z

z

z

z

Z

Podobnie, jak w zadaniu 1, wyrazy macierzy Z zostaną wyznaczone przez analizę dwóch
różnych stanów czwórnika. Z zależności (3.1) wynika, że najwygodniejszym sposobem
wyznaczenia poszukiwanych parametrów będzie analiza czwórnika z rozwartymi zaciskami
wyjściowymi, tzn. dla

i

oraz z rozwartymi zaciskami wejściowymi, tzn. przy

0

=

0

2

1

=

i

.

Pierwszy z tych stanów przedstawia rys.3.2.

1

i

0

2

=

i

1

u

2

u

sC

1

sL

sL

Rys.3.2. Analizowany czwórnik przy rozwartych zaciskach wyjściowych

Dla

i

zależności (3.1) przyjmują postać

0

2

=

1

21

2

1

11

1

i

z

u

i

z

u

=

=

Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:

0

1

2

21

0

1

1

11

2

2

=

=

=

=

i

i

i

u

y

i

u

z

8

Analiza obwodu z rys.3.2 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikają poszukiwane parametry:

sC

i

u

z

i

sC

u

sC

sL

i

u

z

i

sC

sL

i

sC

i

sL

u

i

i

1

1

1

1

1

0

1

2

21

1

2

0

1

1

11

1

1

1

1

2

2

=

=

⇒

⋅

=

+

=

=

⇒













+

=

⋅

+

⋅

=

=

=

Drugi z analizowanych stanów to stan rozwarcia zacisków wejściowych czwórnika,

0

1

=

i

.

Stan ten przedstawiony jest na rys.3.3.

2

i

0

1

=

i

2

u

sL

sC

1

sL

1

u

Rys.3.3. Analizowany czwórnik przy rozwartych zaciskach wejściowych

Dla

i

zależności (3.1) przyjmują postać:

0

1

=

2

22

2

2

12

1

i

z

u

i

z

u

=

=

Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:

0

2

2

22

0

2

1

12

1

1

=

=

=

=

i

i

i

u

z

i

u

z

Analiza obwodu z rys.3.3 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikają poszukiwane parametry:

sC

i

u

z

i

sC

u

sC

sL

i

u

z

i

sC

sL

i

sC

i

sL

u

i

i

1

1

1

1

1

0

2

1

12

2

1

0

2

2

22

2

2

2

2

1

1

=

=

⇒

⋅

=

+

=

=

⇒













+

=

⋅

+

⋅

=

=

=

Poszukiwana macierz impedancyjna to:





















+

+

=

sC

sL

sC

sC

sC

sL

1

1

1

1

Z

Punkt 2

Równania hybrydowe czwórnika przedstawiają zależności (3.4) ÷ (3.6)

9

(3.4)

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

u

h

i

h

i

u

h

i

h

u

+

=

+

=

W postaci macierzowej:

(3.5)













=













2

1

2

1

u

i

i

u

H

gdzie:

(3.6)













=

22

21

12

11

h

h

h

h

H

Poszukiwane parametry zostaną wyznaczone przez rozwiązanie równań (3.1) o znanych
współczynnikach względem napięcia

oraz prądu

. Pierwsze z równań (3.4) jest

związkiem napięć

oraz prądu . Z równań (3.1) należy zatem wyeliminować prąd

i

.

Pomnożenie drugiego z równań przez

1

u

2

i

2

1

u

,

u

1

i

2

22

12

z

z

−

a następnie dodanie stronami obu równań

pozwala na osiągnięcie tego celu.

2

12

1

22

21

12

2

22

12

2

12

1

11

1

i

z

i

z

z

z

u

z

z

i

z

i

z

u

−

−

=

−

+

=

Po dodaniu stronami i uporządkowaniu otrzymanego równania zgodnie z pierwszym
równaniem (3.4) otrzymuje się:

2

22

12

1

22

21

12

11

2

22

12

1

22

21

12

1

11

1

1

22

21

12

1

11

2

22

12

1

u

z

z

i

z

z

z

z

u

z

z

i

z

z

z

i

z

u

i

z

z

z

i

z

u

z

z

u

+













−

=

+

−

=

−

=

−

Porównanie ostatniej zależności z pierwszym równaniem (3.4) prowadzi do równań:

22

12

12

22

21

12

11

11

z

z

h

z

z

z

z

h

=

−

=

Przekształcenie drugiego równania (3.1) do postaci zgodnej z drugim równaniem (3.4) daje
następujący wynik:

2

22

1

22

21

2

2

22

1

21

2

1

u

z

i

z

z

i

i

z

i

z

u

+

−

=

+

=

Porównanie ostatniego równania z drugim równaniem (3.4) prowadzi do następujących
wyników:

10

22

22

22

21

21

1

z

h

z

z

h

=

−

=

Poszukiwana macierz hybrydowa to:

























−

−

=

22

22

21

22

12

22

21

12

11

1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

H

Po uwzględnieniu wyznaczonych w punkcie wartości elementów macierzy Z otrzymuje się:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

























+

+

−

+

+

+

=

+

=

+

=

=

+

−

=

−

=

+

=

=

+

+

=

+

−

+

=

+

⋅

−

+

=

−

=

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

22

22

2

22

21

21

2

22

12

12

2

2

2

2

22

21

12

11

11

LC

s

sC

LC

s

LC

s

LC

s

LC

s

sL

LC

s

sC

sC

sL

z

h

LC

s

z

z

h

LC

s

z

z

h

LC

s

LC

s

sL

LC

s

sC

sC

LC

s

sC

sL

sC

sC

sC

sL

z

z

z

z

h

H

Zadanie 4

Wyznacz opis stanowy obwodu przedstawionego na rys.4.1.

L

i

L

i

R

Rys.4.1

C

e

u

C

i

C

R

2

R

1

11

Rozwiązanie

Opis stanowy układu liniowego ma postać:

(4.1)

( )

t

t

b

Ax

x

+

=

d

d

gdzie:

(4.2)

[ ]

n

n

ij

a

×

=

A

jest macierzą stanu,

(4.3)

[

]

T

1

n

x

x K

=

x

jest wektorem stanu, jego składowe

n

,

i

x

i

K

1

;

=

to zmienne stanu,

n jest rzędem obwodu a

(4.4)

( )

( )

[

]

T

1

t

b

t

b

n

K

=

b

to wektor źródłowy. Wektor

(4.5)

T

1

d

d

d

d

d

d









=

t

x

t

x

t

n

K

x

jest wektorem pochodnych zmiennych stanu. Zależność (4.1) przedstawia

n równań

następującej postaci :

( )

( )

( )

t

b

x

a

x

a

x

a

t

x

t

b

x

a

x

a

x

a

t

x

t

b

x

a

x

a

x

a

t

x

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

K

M

K

K

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

d

d

d

d

d

d

(4.6)

Cechą charakterystyczną równań (4.6) jest to, że po lewej stronie każdego równania
występuje pochodna zmiennej stanu, w każdym równaniu innej, po prawej stronie mogą
występować wszystkie zmienne stanu z odpowiednimi współczynnikami oraz elementy
wektora źródłowego.
Obwód z rys.4.1 jest układem drugiego rzędu. Jako zmienne stanu przyjęte zostają: napięcie
na kondensatorze

( )

t

C

u

oraz prąd płynący przez cewkę

( )

t

i

L

. W przypadku prostych

obwodów, takich jak przedstawiony na rys.4.1, równania stanu można sformułować
posługując się prawami Kirchhoffa oraz zależnościami elementarnymi.
Prądowe prawo Kirchoffa dla każdego z dwóch węzłów obwodu ma postać:

0

=

+

+

L

C

R

i

i

i

Wielkość

( )

t

i

L

jest zmienną stanu,

( )

t

C

i

- pochodną zmiennej stanu. Z równania należy

zatem wyeliminować tylko prąd

( )

t

i

R

zastępując go wyrażeniem zależnym wyłącznie od

zmiennych stanu oraz ewentualnie prądu

( )

t

i

C

. Podstawiając:

2

R

u

i

C

R

=

12

otrzymuje się zależność, która nie zawiera żadnych wielkości obwodowych poza zmiennymi
stanu oraz pochodną jednej z nich. Jest to zatem równanie stanu w nieuporządkowanej jeszcze
formie.

0

d

d

0

2

=

+

+

⇒

=

+

+

L

C

C

L

C

R

i

t

u

C

R

u

i

i

i

Wynikiem uporządkowania ostatniego równania zgodnie z formatem zależności (4.6) jest
pierwsze z równań stanu:

C

i

CR

u

t

u

L

C

C

−

−

=

2

d

d

W celu wyznaczenia drugiego równania stanu sformułowane zostaje napięciowe prawo
Kirchhoffa dla prawego oczka obwodu z rys.4.1.

0

d

d

1

=

−

−

−

R

i

e

t

i

L

u

L

L

C

Jest to równanie stanu, które wymaga uporządkowania zgodnie z zależnością (4.6).

L

e

i

L

R

L

u

t

i

L

C

L

−

−

=

1

d

d

Poszukiwany opis stanowy to:

L

e

i

L

R

L

u

t

i

C

i

CR

u

t

u

L

C

L

L

C

C

−

−

=

−

−

=

1

2

d

d

d

d

lub w postaci macierzowej:















−

+





































−

−

−

=





















L

e

i

u

L

R

L

C

CR

t

i

t

u

L

C

L

C

0

1

1

1

d

d

d

d

1

2

Zadanie 5

Na rys.5.1 przedstawiony jest obwód dynamiczny zawierający cewki i kondensatory.
Wyznacz rząd tego obwodu.

Rozwiązanie

Rząd obwodu jest najmniejszą liczbą warunków początkowych niezbędnych do
jednoznacznego określenia stanu obwodu w dowolnej chwili.

13

R

1

L

7

j

9

i

7

L

5

C

4

C

3

e

8

R

2

L

6

u

3

i

6

i

5

u

4

Rys.5.1

Dla obwodów zawierających niezależne źródła napięciowe i prądowe oraz elementy R, L i C
(bez źródeł sterowanych) rząd obwodu jest równy liczbie cewek i kondensatorów obecnych w
obwodzie pomniejszonej o liczbę pętli CE (pętli zawierających wyłącznie kondensatory oraz
idealne źródła napięciowe) oraz liczbę przekrojów LJ (przekrojów zawierających wyłącznie
gałęzie z cewkami oraz idealnymi źródłami prądowymi).

(5.1)

CE

LJ

C

L

n

n

n

n

n

−

−

+

=

gdzie: n jest rzędem obwodu, n

L

– liczbą cewek w obwodzie, n

C

– liczbą kondensatorów w

obwodzie, n

LJ

– liczbą przekrojów LJ a n

CE

– liczbą pętli CE.

Przedstawiony obwód zawiera 2 kondensatory oraz 3 cewki. Pierwszym przybliżeniem rzędu
obwodu jest liczba 5 (suma cewek i kondensatorów. Rząd obwodu ulega jednak obniżeniu o
liczbę pętli CE oraz liczbę przekrojów LJ. Na rys.5.2 przedstawione zostały znalezione pętle
CE oraz przekroje LJ.

j

9

C

3

e

8

L

7

R

1

R

2

C

4

L

6

L

5

u

3

i

5

i

6

i

7

u

4

Rys.5.2. Znalezione w obwodzie pętle CE oraz przekroje LJ.

14

W obwodzie jest jedna pętla CE, oznaczona kolorem czerwonym na rys.5.2 oraz jeden
przekrój LJ oznaczony na niebiesko na rys.5.2. Można sformułować zatem dwa równania. Dla
pętli CE – napięciowe prawo Kirchhoffa:

0

4

8

3

=

−

+

u

e

u

oraz dla przekroju LJ – prądowe prawo Kirchhoffa

0

7

6

9

5

=

+

+

+

i

i

j

i

Pierwsze równanie pozwala na wyznaczenie jednego z napięć na kondensatorach u

3

lub u

4

jeżeli znamy wartość drugiego. Jeden z warunków początkowych dla napięć na
kondensatorach staje się zbyteczny a rząd obwodu obniża się o 1. Drugie równanie pozwala
na obliczenie jednego z prądów cewek: i

5,

i

6

lub i

7

gdy znamy wartości dwóch pozostałych.

Jeden z warunków początkowych dla prądów staje się niepotrzebny a rząd obwodu ulega
obniżeniu o 1. Rząd obwodu wynosi zatem 3.

Zadanie 6

Na rys.6.1 przedstawiony jest obwód dynamiczny zawierający cewki i kondensatory.
Wyznacz opis stanowy tego obwodu. Jako zmienne stanu przyjmij prąd cewki

L

i

oraz

napięcia na kondensatorach:

i u

.

1

C

u

2

C

u

C1

j

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

i

L

L

C

1

C

2

u

C2

Rys.6.1

Rozwiązanie

Do rozwiązania problemu zostanie zastosowana następująca koncepcja wyznaczania opisu
stanowego. Kolejność postępowania jest następująca:

1. zastąpienie kondensatorów źródłami napięcia o wartościach napięć źródłowych

równych napięciom na kondensatorach (są to zmienne stanu) oraz zastąpieniu cewek
źródłami prądu o wartościach prądów źródłowych równych prądom płynącym przez
cewki (są to też zmienne stanu)

2. rozwiązanie otrzymanego w ten sposób obwodu rezystancyjnego względem prądów

kondensatorów oraz napięć na cewkach

3. wprowadzenie do otrzymanych równań zależności:

15

(6.1)

t

i

L

u

t

u

C

i

L

L

C

C

d

d

d

d

=

=

4. podzielenie równań przez C lub odpowiednio L, co kończy formułowanie równań

stanu

Realizacja punktu 1 polega na zastąpieniu kondensatorów C

1

oraz C

2

idealnymi źródłami

napięciowymi o napięciach źródłowych:

i u

oraz zastąpieniu cewki L idealnym

źródłem prądowym o prądzie źródłowym

1

C

u

2

C

L

i

. Prowadzi to do otrzymania obwodu

rezystancyjnego przedstawionego na rys.6.2.

i

C1

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

i

L

u

C2

j

u

C1

u

L

i

C2

Rys.6.2. Obwód rezystancyjny otrzymany po wprowadzeniu źródeł

zastępujących kondensatory oraz cewkę

Otrzymany obwód zostanie rozwiązany względem prądów płynących przez źródła napięciowe
zastępujące kondensatory:

oraz

i napięcia panującego na zaciskach źródła prądowego

zastępującego cewkę

1

C

i

2

C

i

L

u

. Zastosowana będzie metoda superpozycji. Wyniki analiz

poszczególnych obwodów, w których obecne są kolejno różne źródła będą oznaczane
górnymi indeksami.
Pierwszym analizowanym obwodem będzie przedstawiony na rys.6.3. Powstał on przez
usunięcie źródeł zastępujących kondensatory i cewkę oraz pozostawienie w obwodzie jedynie
źródła prądowego j. Usunięcie z obwodu źródeł napięciowych związane jest ze zwarciem
zacisków tych źródeł, usunięcie źródła prądowego wymaga pozostawienia jego zacisków
rozwartych.
W obwodzie z rys.6.3 prąd płynie tylko przez opornik R

1

. Jest to prąd źródłowy j. Prądy w

obu gałęziach, w których znajdowały się kondensatory są równe 0.

(6.2)

0

0

1

2

1

1

=

=

)

(

C

)

(

C

i

i

Płynący przez opornik R

1

prąd źródła powoduje powstanie napięcia, które jest równe napięciu

na zaciskach usuniętego źródła prądowego. Jego wartość wynika z prawa Ohma.

(6.3)

1

1

R

j

u

)

(

L

⋅

−

=

16

i

C1

(1)

R

1

R

2

R

3

R

4

j

u

L

(1)

i

C2

(1)

R

5

Rys.6.3. Pierwszy z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

W drugim z analizowanych obwodów pozostawione zostanie źródło napięciowe

. Inne

źródła zostają usunięte. Otrzymany w ten sposób obwód przedstawiony jest na rys.6.4.

1

C

u

u

C1

i

C1

(2)

R

1

R

2

R

3

R

4

u

L

(2)

i

C2

(2)

R

5

Rys.6.4. Drugi z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

W obwodzie z rys.6.4 źródło

wywołuje przepływ prądu przez opornik R

1

C

u

2

. Jego wartość

wynika z prawa Ohma.

2

1

2

1

R

u

i

C

)

(

C

−

=

(6.4)

Drugi z prądów w gałęziach z kondensatorami to

0 (6.5)

2

2

=

)

(

C

i

17

Ponieważ przez rezystory R

1

oraz R

4

nie płynie prąd, napięcia na ich zaciskach są równe 0.

Napięcie na rozwartych zaciskach źródła prądowego

L

i

jest równe napięciu źródłowemu

.

1

C

u

(6.6)

1

2

C

)

(

L

u

u

=

Trzeci z analizowanych obwodów zawierający jedynie źródło

przedstawiony jest na

rys.6.5.

2

C

u

u

C2

i

C1

(3)

R

1

R

2

R

3

R

4

R

5

u

L

(3)

i

C2

(3)

Rys.6.5. Trzeci z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

W obwodzie z rys.6.5 źródło

wywołuje przepływ prądu przez oporniki R

2

C

u

4

oraz R

5

. Jego

wartość wynika z prawa Ohma.

5

4

2

3

2

R

R

u

i

C

)

(

C

+

−

=

(6.7)

Drugi z prądów w gałęziach z kondensatorami to

(6.8)

0

3

1

=

)

(

C

i

Ponieważ przez rezystory R

1

, R

2

oraz R

3

nie płynie prąd, napięcia na ich zaciskach są równe 0.

Napięcie na rozwartych zaciskach źródła prądowego

L

i

jest równe napięciu panującemu na

zaciskach rezystora R

4

. Wynosi ono:

5

4

4

2

4

3

2

3

R

R

R

u

R

i

u

C

)

(

C

)

(

L

+

=

⋅

−

=

(6.9)

Ostatni z analizowanych obwodów zawierający jedynie źródło prądowe

L

i

przedstawiony

jest na rys.6.6. Prąd źródła

L

i

płynie przez rezystor R

3

, połączony szeregowo ze źródłem,

następnie przez równoległe połączenie oporników R

4

oraz R

5

, przez bezoporową zworę

łączącą zaciski rezystora R

2

i przez opornik R

1

. Prądy w gałęziach, w których były

umieszczone kondensatory wynoszą:

(6.10)

L

)

(

C

i

i

−

=

4

1

18

i na podstawie zależności obowiązującej dla dzielnika prądowego:

5

4

4

4

2

R

R

R

i

i

L

)

(

C

+

−

=

(6.11)

i

L

i

C1

(4)

R

1

R

2

R

3

R

4

u

L

(4)

i

C2

(4)

R

5

Rys.6.6. Czwarty z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji

Napięcie na źródle prądowym

L

i

wynosi zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa:













+

+

+

−

=

1

5

4

5

4

3

4

R

R

R

R

R

R

i

u

L

)

(

L

(6.12)

Podsumowanie otrzymanych wyników analizy czterech układów dla trzech poszukiwanych
wielkości, przedstawionych przez zależności (6.2) ÷ (6.12) prowadzi do następujących
wzorów:













+

+

+

−

+

+

+

⋅

−

=

+

+

+

=

+

−

+

−

+

=

+

+

+

=

−

+

−

=

+

+

+

=

1

5

4

5

4

3

5

4

4

2

1

1

4

3

2

1

5

4

4

5

4

2

4

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

4

1

3

1

2

1

1

1

1

0

0

0

0

R

R

R

R

R

R

i

R

R

R

u

u

R

j

u

u

u

u

u

R

R

R

i

R

R

u

i

i

i

i

i

i

R

u

i

i

i

i

i

L

C

C

)

(

L

)

(

L

)

(

L

)

(

L

L

L

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

C

L

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

)

(

C

C

(6.13)

Uwzględnienie zależności (6.1) prowadzi do równań stanu:

(

)

(

)

(

)

L

R

R

R

R

R

R

i

L

R

R

R

u

L

u

L

R

j

t

i

C

R

R

R

i

C

R

R

u

t

u

C

i

R

C

u

t

u

L

C

C

L

L

C

C

L

C

C

1

1

d

d

d

d

1

d

d

1

5

4

5

4

3

5

4

4

2

1

1

2

5

4

4

2

5

4

2

2

1

2

1

1

1













+

+

+

−

+

+

+

⋅

−

=

+

−

+

−

=

−

−

=

(6.14)

19

Postać macierzowa tych równań to:

(

)

(

)

(

)

























⋅

−

+





















⋅

















































+

+

+

−

+

+

−

+

−

−

−

=

































L

R

j

i

u

u

L

R

R

R

R

R

R

L

R

R

R

L

C

R

R

R

C

R

R

C

R

C

t

i

t

u

t

u

L

C

C

L

C

C

1

2

1

1

5

4

5

4

3

5

4

4

2

5

4

4

2

5

4

1

2

1

2

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

d

d

d

d

d

d

(6.15)

Zadanie 7

W układzie przedstawionym na rys.7.1 oblicz prądy fazowe i przewodowe oraz
narysuj wykres wskazowy. Generator jest symetryczny.

Z

CA

Z

AB

Z

BC

Z

p

Z

p

C

B

Z

p

A

U

AB

U

BC

I

C

I

B

I

A

E

C

E

A

E

B

I

CA

I

BC

U

CA

I

AB

Rys.7.1

Dane:

(

)

(

Ω

+

=

=

Ω

=

Ω

+

=

=

=

=

50

50

;

100

;

20

10

;

230

j

Z

Z

Z

j

Z

V

E

E

E

CA

BC

AB

p

C

B

A

)

Rozwiązanie

Odbiornik połączony jest w trójkąt. W celu wyznaczenia prądów przewodowych oraz
fazowych należy zamienić trójkąt obciążenia na równoważną gwiazdę zgodnie z
zależnościami podanymi poniżej.

CA

BC

AB

BC

CA

C

CA

BC

AB

AB

BC

B

CA

BC

AB

CA

AB

A

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

+

+

=

+

+

=

+

+

=

(7.1)

Po wprowadzeniu do zależności (7.1) wartości liczbowych określających impedancje trójkąta
otrzymuje się:

(

) (

)

Ω

+

=

+

+

=

+

+

=

10

30

100

200

50

50

100

j

j

j

Z

Z

Z

Z

Z

Z

CA

BC

AB

CA

AB

A

20

(

) (

)

Ω

+

=

+

+

=

+

+

=

10

30

100

200

50

50

100

j

j

j

Z

Z

Z

Z

Z

Z

CA

BC

AB

AB

BC

B

(

)(

) (

)

Ω

+

=

+

+

+

=

+

+

=

20

10

100

200

50

50

50

50

j

j

j

j

Z

Z

Z

Z

Z

Z

CA

BC

AB

BC

CA

C

Z

p

E

A

0’

A

B

Z

p

Z

p

U

A

U

B

C

U

C

Z

B

Z

A

Z

C

I

C

I

B

I

A

E

C

E

B

0

U

0

Rys.7.2. Analizowany obwód po zamianie obciążenia trójkątowego na gwiazdę

Do dalszej analizy układu założona zostaje zerowa faza początkową

A

E

. Stąd:

V

E

A

230

=

(

V

j

j

a

E

E

A

B

199

115

2

3

2

1

230

2

−

−

=













−

−

=

=

)

(7.2)

(

)

V

j

j

a

E

E

A

C

199

115

2

3

2

1

230

+

−

=













+

−

=

=

Początkiem analizy układu z rys.7.2 jest wyznaczenie napięcia

pomiędzy punktami

gwiazdowymi generatora i odbiornika. Określa je zależność (7.3).

0

U

p

C

p

B

p

A

p

C

C

p

B

B

p

A

A

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

Z

E

Z

Z

E

U

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

1

1

1

0

(7.3)

Podstawienie wartości liczbowych daje w wyniku:

(

)

V

,

j

,

j

j

j

j

j

j

j

j

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

E

Z

Z

E

Z

Z

E

U

p

C

p

B

p

A

p

C

C

p

B

B

p

A

A

03

24

21

29

40

20

1

30

40

1

30

40

1

40

20

199

115

30

40

199

115

30

40

230

1

1

1

0

+

=

=

+

+

+

+

+

+

+

−

+

+

−

−

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

21

Wyznaczona wartość napięcia U pozwala na obliczenie prądów przewodowych. Zależności
pozwalające na obliczenie tych prądów otrzymuje się na podstawie napięciowego prawa
Kirchhoffa dla pętli utworzonych przez przewód każdej fazy oraz domkniętych strzałką
napięcia U .

0

0

(

)

(

)

(

)

p

C

C

C

p

C

C

C

p

B

B

B

p

B

B

B

p

A

A

A

p

A

A

A

Z

Z

U

E

I

U

Z

Z

I

E

Z

Z

U

E

I

U

Z

Z

I

E

Z

Z

U

E

I

U

Z

Z

I

E

+

−

=

⇒

=

−

+

−

+

−

=

⇒

=

−

+

−

+

−

=

⇒

=

−

+

−

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(7.4)

Po podstawieniu do zależności (7.4) wartości liczbowych otrzymuje się prądy przewodowe.

(

)

(

)

(

)

A

,

j

,

j

,

j

,

j

Z

Z

U

E

I

A

,

j

,

j

,

j

,

j

Z

Z

U

E

I

A

,

j

,

j

,

j

,

Z

Z

U

E

I

p

C

C

C

p

B

B

B

p

A

A

A

63

4

06

2

40

20

03

24

21

29

199

115

84

1

98

4

30

40

03

24

21

29

199

115

79

2

92

2

30

40

03

24

21

29

230

0

0

0

+

=

+

−

−

+

−

=

+

−

=

−

−

=

+

−

−

−

−

=

+

−

=

−

=

+

−

−

=

+

−

=

Znajomość prądów przewodowych pozwala na wyznaczenie napięć fazowych odbiornika
połączonego w trójkąt. Można je wyznaczyć z równań sformułowanych na podstawie
napięciowego prawa Kirchhoffa dla dwóch impedancji odbiornika z rys.7.2:

A

A

C

C

CA

C

C

B

B

BC

B

B

A

A

AB

Z

I

Z

I

U

Z

I

Z

I

U

Z

I

Z

I

U

−

=

−

=

−

=

(7.5)

Druga możliwość wyznaczenia napięć odbiornikowych to napięciowe prawa Kirchhoffa
napisane dla generatorów oraz napięć na impedancjach przewodów dwóch faz. Równania te
mogą być formułowane zarówno dla układu z rys.7.3 jak też z rys.7.4.

A

p

C

p

A

C

CA

C

p

B

p

C

B

BC

B

p

A

p

B

A

AB

I

Z

I

Z

E

E

U

I

Z

I

Z

E

E

U

I

Z

I

Z

E

E

U

+

−

−

=

+

−

−

=

+

−

−

=

(7.6)

Podstawiając do zależności (7.5) wyznaczone wartości prądów przewodowych otrzymuje się
napięcia U

odbiornika:

CA

,

BC

AB

U

U

,

(

)

(

)

(

)

V

j

,

,

j

,

,

j

Z

I

Z

I

U

V

,

j

,

j

j

Z

I

Z

I

U

V

,

j

,

j

,

j

,

Z

I

Z

I

U

A

A

C

C

CA

C

C

B

B

BC

B

B

A

A

AB

142

5

187

5

54

5

115

5

87

72

5

192

59

5

87

72

105

131

5

50

5

246

105

131

5

54

5

115

+

−

=

+

−

+

−

=

−

=

−

−

=

−

+

−

−

=

−

=

+

=

+

+

−

=

−

=

Znajomość napięć fazowych odbiornika pozwala na wyznaczenie prądów fazowych

odbiornika połączonego w trójkąt.

CA

,

BC

AB

I

I

,

I

22

(

)

(

)

(

)

A

,

j

,

j

j

,

Z

U

I

A

,

j

,

j

,

j

Z

U

I

A

,

j

,

,

j

,

Z

U

I

CA

CA

CA

BC

BC

BC

AB

AB

AB

30

3

46

0

50

50

142

5

187

34

1

52

2

50

50

5

192

59

51

0

47

2

100

5

50

5

246

+

−

=

+

+

−

=

=

−

−

=

+

−

−

=

=

+

=

+

=

=

Wykres wskazowy prądów i napięć analizowanego obwodu przedstawiony jest na rys.7.3.

U

0

I

CA

0

0’

I

C

I

AB

I

BC

U

A

+I

A

Z

p

I

A

E

C

E

B

E

A

U

B

+I

B

Z

p

I

B

U

C

+I

C

Z

p

Rys.7.3. Wykres wskazowy prądów i napięć analizowanego obwodu

Kolorem czerwonym oznaczone są prądy fazowe, zielonym – prądy przewodowe. Prądy
przewodowe są różnicą odpowiednich prądów fazowych.
Kolorem niebieskim oznaczone są napięcia na impedancjach połączenia gwiazdowego oraz
impedancjach przewodów w każdej fazie układu z rysunku 7.2. Punkt 0’ oraz napięcie

istnieje tylko w układzie z rys.7.2.

0

U

Rysowanie wykresu rozpoczyna się od symetrycznej gwiazdy napięć generatora

.

Przy jej rysowaniu należy uwzględnić poczynione założenie, zależności (7.2). Z punktu
początkowego narysowanych napięć generatorów wykreśla się napięcie U , którego wartość
została wyznaczona zgodnie ze wzorem (7.3). Koniec wskazu napięcia

jest punktem

gwiazdowym 0

C

B

A

E

,

E

,

E

0

U

0

’

zastępczego odbiornika (rys.7.2). Wskazy, których początkiem jest punkt 0

’

a

końcami są zakończenia wskazów napięć generatora są napięciami panującymi na fazach

23

odbiornika gwiazdowego oraz impedancjach przewodów w odpowiednich fazach. Prądy
przewodowe są ilorazem tych napięć oraz impedancji fazowych odbiornika gwiazdowego
powiększonych o impedancje przewodów. Na wykresie są umieszczone wskazy prądów
fazowych odbiornika trójkątowego (kolor czerwony) oraz prądy przewodowe (kolor zielony),
wykreślone jako różnice odpowiednich prądów fazowych.

Zadanie 8

W układzie z rys.8.1 wyznacz prądy przewodowe. Narysuj wykres wskazowy. Generator jest
symetryczny.

U

A

0

’

0

Uc

U

B

U

0

Z

B

Z

A

=0

Z

C

I

C

I

B

I

A

E

C

E

A

E

B

Rys.8.1

Dane:

(

)

(

Ω

+

=

Ω

−

=

=

=

=

=

100

100

;

100

100

;

0

V;

230

j

Z

j

Z

Z

E

E

E

C

B

A

C

B

A

)

Rozwiązanie:

Układ badany jest niesymetrycznym układem trójprzewodowym ze zwarciem w fazie A.
Analiza układu rozpoczyna się od wyznaczenia napięcia

na podstawie zależności (7.3).

W obliczeniach należy uwzględnić, że impedancja fazy A jest zerowa, tzn.

0

U

∞

→

A

Y

. Na

potrzeby rozwiązania zostaje poczynione również założenie:

V

E

A

A

230

=

=

E

.

A

A

A

C

A

B

A

A

A

C

C

A

B

B

A

A

A

C

B

A

C

C

B

B

A

A

E

E

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

E

Y

Y

E

Y

Y

E

Y

Y

Y

Y

E

Y

E

Y

E

U

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

1

0

Znajomość napięcia

umożliwia obliczenie napięć odbiornikowych w analizowanym

układzie:

0

U

V

e

E

E

E

U

E

U

V

e

E

E

E

U

E

U

U

E

U

j

CA

A

C

C

C

j

BA

A

B

B

B

A

A

6

5

0

6

5

0

0

3

230

3

230

0

π

π

−

=

=

−

=

−

=

=

=

−

=

−

=

=

−

=

24

Prądy fazowe odbiornika, które w tym przypadku są także prądami przewodowymi, są
ilorazami wyznaczonych napięć odbiornikowych oraz impedancji fazowych odpowiednich
faz. Dla fazy A nie można wykorzystać podanego sposobu obliczenia prądu, ponieważ po

podstawieniu wartości napięć i impedancji fazy A otrzymujemy symbol

0

0

. Dla faz B oraz C

odbiornika wyznaczone zostają następujące wartości prądów (są to jednocześnie prądy
fazowe i przewodowe):

(

)

(

)

(

)

(

)

A

,

j

,

A

e

,

e

e

Z

U

E

I

A

,

j

,

A

e

,

e

e

Z

U

E

I

e

j

Z

e

j

Z

j

j

j

C

C

C

j

j

j

B

B

B

j

C

j

B

721

2

729

0

6

15

1

2

100

3

230

721

2

729

0

6

15

1

2

100

3

230

2

100

100

100

2

100

100

100

12

7

4

6

5

0

12

7

4

6

5

0

4

4

+

−

=

=

=

−

=

−

−

=

=

=

−

=

Ω

=

+

=

Ω

=

−

=

π

π

π

π

−

π

−

π

−

π

π

−

Prąd fazy A zostaje wyznaczony na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa dla punktu 0’
odbiornika:

(

)

A

,

I

I

I

I

I

I

C

B

A

C

B

A

458

1

0

=

+

−

=

⇒

=

+

+

U

B

U

C

φ

B

φ

C

-I

A

I

C

I

B

0’

0

E

A

=U

0

E

B

E

C

I

A

Rys.8.2. Wykres wskazowy układu z rys.8.1

25

Sposób rysowania wykresu jest następujący. Zaczyna się od symetrycznej gwiazdy napięć
generatora:

. Następnie z punktu, który jest początkiem wskazów napięć

generatora (punkt 0) wykreślone zostaje napięcie

(na podstawie obliczeń). Jego koniec

wyznacza położenie punktu 0’. Wskazy mające początek w punkcie 0’, a końce w punktach
będących końcami wskazów napięć generatora to napięcia fazowe odbiornika. Prądy faz B i C
są przesunięte względem napięć o kąty fazowe impedancji znajdujących się w fazach B i C.
Prąd fazy A wynika z PPK. Jego konstrukcja polega na znalezieniu sumy wskazów prądów

, która jest równa

C

B

A

E

,

E

,

E

0

U

C

B

I

,

I

A

I

−

a następnie znalezieniu wskazu przeciwnego do niego.

Zadanie 9

Obliczyć wskazania mierników w układzie przedstawionym na rys.9.1 oraz narysować
wykres wskazowy dla dwóch przypadków:

1. wyłącznik w

1

jest zamknięty a wyłącznik w

2

otwarty,

2. wyłącznik w

1

jest otwarty a wyłącznik w

2

zamknięty.

Rys.9.1

W

2

W

1

L

A

w

2

C

R

L

I

B

I

A

I

C

R

R

A

C

L

w

1

B

L

C

Dane:

R=ωL=1/ωC=20Ω, |U

p

|=400V, zasilanie symetryczne o zgodnej kolejności faz,

impedancja przewodów jest pomijana

Rozwiązanie

Punkt 1:
Na rysunku 9.2 przedstawiony został układ, który powstał po zamknięciu wyłącznika w

1

oraz

otwarciu wyłącznika w

2

. Zamknięcie wyłącznika w

1

zapewnia symetryczne zasilanie całego

układu (wszystkie fazy zasilania są doprowadzone do odbiornika). Otwarcie wyłącznika w

1

spowodowało rozdzielenie części odbiorczej układu trójfazowego na dwa niezależne
odbiorniki połączone w gwiazdę, których punkty gwiazdowe (zerowe) są rozłączone.
Powoduje to powstanie ogólnie różnych napięć między punktem zerowym generatora oraz
punktami zerowymi każdego z układów.

26

B

w

1

L

C

A

R

R

I

C

I

A

I

B

L

R

w

2

0’

W

2

A

I

C

’

I

C

’’

I

A

’

I

B

’

I

B

’’

I

A

’’

W

1

0’’

Rys.9.2. Analizowany układ w konfiguracji połączeń odpowiadającej punktowi 1

Oznaczenia punktów zerowych obu układów oraz ich prądów fazowych są na rys.9.2 różne
(odróżniają je różne dodatki do symboli: ‘ lub ‘’. W porównaniu do rys.9.1 rys.9.2 zawiera
jeszcze dwie zmiany. Połączenie równoległe elementów L i C w fazie B odbiornika z
punktem zerowym 0’’ zostało zastąpione przerwą, ponieważ admitancja tego połączenia jest
równa 0 (równe moduły reaktancji elementów L oraz C). W połączeniu tym zachodzi
rezonans prądów. Szeregowe połączenie elementów L i C występujące w fazie C odbiornika z
punktem zerowym 0’ zostało zastąpione zwarciem ponieważ impedancja tego połączenia
równa jest 0 (równe moduły reaktancji elementów L oraz C). Prądy każdego z dwóch
odbiorników układu z rys.9.2 są niezależne od siebie, są rezultatem dwóch różnych napięć
punktów zerowych względem punktu zerowego generatora.
W przewodzie łączącym punkty zerowe 0’ oraz 0’’ jest przerwa (wyłącznik w

2

jest otwarty,

nie przewodzi prądu) a więc wskazanie amperomierza

0

=

amp

I

. Napięcie U

0

’ obliczone

zostaje w oparciu o zależność 7.3. Zostaje założona zerowa wartość fazy początkowej
napięcia generatora w fazie A,

V

230

=

A

E

. Ze względu na zwarcie w fazie C pierwszego

odbiornika (na rys.9.2 jest on umieszczony w dolnej części schematu)

∞

→

C

Y

napięcie jego

punktu gwiazdowego względem punktu gwiazdowego generatora wynosi:

V

3

400

1

3

2

0

π

j

C

C

C

C

C

B

C

A

C

C

C

C

B

B

C

A

A

C

B

A

C

C

B

B

A

A

'

e

E

E

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

E

Y

E

Y

E

Y

Y

Y

Y

E

Y

E

Y

E

U

=

=

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

Y

Y

Y

Obliczona wartość napięcia

pozwala na wyznaczenie prądów odbiornika pierwszego.

Wyznaczenie prądów w fazach A oraz C następuje na podstawie zależności (7.4).

'

U

0

27

(

)

A

20

20

400

A

10

32

17

A

20

20

400

6

6

−

=

−

=

−

=

−

=

=

=

−

=

−

−

j

j

L

ω

j

E

E

I

j

,

e

e

R

E

E

I

C

B

'

B

π

j

π

j

C

A

'

A

Prąd fazy zwartej, fazy C wyznaczony zostaje na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa:

(

)

(

)

(

)

A

10

68

2

20

10

3

10

j

,

j

I

I

I

'

B

'

A

'

C

+

=

−

−

−

=

+

−

=

0’

I

C

I

A

I

B

0

E

A

E

C

=

U

0

’

E

B

U

B

U

A

Rys.9.3. Wykres wskazowy pierwszego odbiornika

Układ z punktem gwiazdowym 0’’ to układ z przerwą w fazie B, w której występuje rezonans
prądów cewki L i kondensatora C. Przy otwartym wyłączniku w

2

obowiązuje równanie:

0

=

+

+

''

C

''

B

''

A

I

I

I

Prąd I

B

’’=0. Wynika stąd, że:

''

C

''

A

''

C

''

A

I

''

C

''

B

''

A

I

I

I

I

I

I

I

''

B

−

=

⇒

=

+

=

+

+

⇒

=

0

0

0

Zatem słuszne jest napięciowe prawo Kirchhoffa:

(

)

L

ω

j

R

I

U

R

I

L

ω

j

I

U

''

A

AC

''

C

''

A

AC

+

=

⇒

=

+

−

0

Prądy w drugim odbiorniku to:

(

)

A

66

13

66

3

A

2

10

20

20

400

12

5

6

,

j

,

e

j

e

L

ω

j

R

U

I

I

π

j

π

j

AC

''

C

''

A

−

=

=

+

=

+

=

−

=

−

−

28

0’’

I

C

’’

I

A

’’

U

A

’’

U

0

’’

0

E

A

E

C

E

B

U

C

’’

Rys.9.4. Wykres wskazowy drugiego odbiornika

Prądy przewodowe faz A oraz C całego układu niezbędne do wyznaczenia wskazań
watomierzy znajduje się jako sumy prądów fazowych obu odbiorników.

(

)

(

)

A

66

23

98

0

66

13

66

3

10

68

2

A

66

23

98

20

66

13

66

3

10

32

17

,

j

,

,

j

,

j

,

I

I

I

,

j

,

,

j

,

j

,

I

I

I

''

C

'

C

C

"

A

'

A

A

+

−

=

+

−

+

=

+

=

−

=

−

+

−

=

+

=

E

A

U

A

’

I

A

I

B

I

C

’’

I

A

’’

I

C

’

I

A

’

I

B

’

0

E

C

=

U

0

’

I

C

E

B

U

B

’

U

C

’’

U

A

’’

U

0

’’

Rys.9.5. Wykres wskazowy całego układu dla przypadku 1

29

Wskazania watomierzy obliczane są na podstawie znanych zależności:

{

}

(

)

{

}

{

}

(

)

{

}

W

9464

66

23

98

0

400

W

9464

66

23

98

20

400

2

1

=

−

−

=

=

=

+

−

=

=

∗

∗

,

j

,

j

I

U

Re

P

,

j

,

j

I

U

Re

P

C

CB

W

A

BC

W

Punkt 2:
Układ przedstawiony na rys.9.6 składa się z dwóch odbiorników, z których każdy połączony
jest w gwiazdę.

W

2

W

1

I

A

’’

I

B

’’

I

C

’

I

B

’

I

A

’

I

C

’’

A

w

2

R

L

I

B

I

A

I

C

R

R

0’

A

C

L

w

1

B

0’’

I

amp

Rys.9.6. Analizowany układ w konfiguracji połączeń odpowiadającej punktowi 2

Punkty gwiazdowe obu odbiorników 0

’

oraz 0

’’

posiadają wspólny potencjał, ponieważ są

połączone przewodem bezoporowym (wyłącznik w

2

jest zamknięty). Zatem:

0

0

0

U

U

U

''

'

=

=

Otwarty wyłącznik w

1

powoduje przerwę w fazie B. Prądy fazowe obu odbiorników w tej

fazie i prąd całego układu są zatem równe 0:

0

=

=

=

B

''

B

'

B

I

I

I

W fazie C pierwszego odbiornika jest w dalszym ciągu zwarcie. Obliczona w punkcie 1
wartość napięcia U

0

’

pozostaje nadal aktualna.

C

''

'

E

U

U

U

=

=

=

0

0

0

Przez opornik R umieszczony w fazie C drugiego odbiornika prąd nie płynie bo napięcie na
tym elemencie jest zerowe.

0

=

''

C

I

30

Wyznaczone napięcie U

0

pozwala na obliczenie prądów w fazie A obu odbiorników oraz

całego układu.

(

)

A

32

27

32

7

2

20

A

20

20

400

A

20

20

400

12

5

6

6

3

2

6

,

j

,

A

e

''

I

'

I

I

e

e

R

U

'

I

e

j

e

L

ω

j

U

''

I

π

j

A

A

A

π

j

π

j

AC

A

π

j

π

j

AC

A

−

=

=

+

=

=

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

Ponieważ w fazie B jest przerwa to prąd całego układu w fazie B nie płynie. Zatem

A

C

C

A

I

C

B

A

I

I

I

I

I

I

I

B

−

=

⇒

+

+

⇒

=

+

+

=

0

0

0

E

C

= U

0

’

=

U

0

’’

U

B

’

I

A

=

-

I

C

0’=0’’

U

A

’

0

E

A

E

B

Rys.9.7. Wykres wskazowy całego układu dla przypadku 2

Prądy w fazach B oraz C drugiego odbiornika nie płyną. Wynika stąd wartość prądu
amperomierza. Przez amperomierz płynie następujący prąd:

A

20

0

=

⇒

=

⇒

=

=

amp

amp

''

A

''

C

''

B

I

I

I

I

I

31

Wskazanie watomierza W

1

wynika z zależności, która posłużyła do wyznaczania wskazań

watomierzy w punkcie 1.

{

}

(

)

{

}

W

10928

32

27

32

7

400

1

=

+

−

=

=

∗

,

j

,

j

I

U

Re

P

A

BC

W

Wskazanie watomierza W

2

wynika z zerowej wartości napięcia panującego na jego cewce

napięciowej. Początek cewki napięciowej jest zwarty z jej końcem przez cewkę prądową
watomierza, na której panuje zerowe napięcie, zwartą fazę C pierwszego odbiornika oraz
cewkę L znajdującą się w fazie B pierwszego odbiornika, przez którą nie płynie prąd gdyż
jeden z jej końców jest dołączony do punktu, który nie jest połączony z żadnym innym
elementem układu.

(

)

0

0

2

2

=

=

W

W

U

P

32