Wyprowadzenie wzoru na przemieszczenie w ruchu jednostajnie zmiennym
metodą całkowania

prędkość końcowa w ruchu jednostajnie zmiennym:

)

(

)

(

p

k

p

k

k

t

t

a

t

−

+

=

=

υ

υ

υ

tzn. dla dowolnego

>

∈<

k

p

t

,

t

t

:

)

(

)

(

p

p

t

t

a

t

−

+

=

υ

υ

z (1):

=

−

+

=

=

−

∫

∫

k

p

k

p

t

t

p

p

t

t

p

k

dt

t

t

a

dt

t

x

x

)

(

(

)

(

υ

υ

rozłożenie na sumę całek:

=

−

+

=

∫

∫

∫

k

p

k

p

k

p

t

t

p

t

t

t

t

p

dt

t

a

dt

t

a

dt

υ

wyłączenie przed znak całki czynników niezależnych od t:

=

−

+

=

∫

∫

∫

k

p

k

p

k

p

t

t

p

t

t

t

t

p

dt

t

a

dt

t

a

dt

υ

obliczenie całek:

=

−

+

=

k

p

k

p

k

p

t
t

p

t
t

t
t

p

t

t

a

t

a

t

]

[

]

2

[

]

[

2

υ

=

−

−

−

+

−

)

(

)

(

2

1

)

(

2

2

2

p

k

p

p

k

p

k

p

t

t

t

a

t

t

a

t

t

υ

=

+

−

−

+

−

=

)

2

2

(

2

1

)

(

2

2

2

p

k

p

p

k

p

k

p

t

t

t

t

t

a

t

t

υ

2

p

t

+

=

)

2

(

2

1

)

(

2

2

p

k

p

k

p

k

p

t

t

t

t

a

t

t

+

−

+

−

=

υ

2

)

(

p

k

t

t

−

=

2

)

(

2

1

)

(

p

k

p

k

p

p

k

t

t

a

t

t

x

x

−

+

−

=

−

υ

( )

( )

0

→

∫

∑

=

=

−

t

k

i

t

t

i

i

p

k

dt

t

t

t

lim

x

x

∆

υ

∆

υ

υ

p

υ

k

υ(t

i

)

(1)

υ