Egzamin z matematyki, I termin (2 II 2009)

Zadanie 1. Rozwiązać układ równań











x − 2y = 3

2x + y − 3z = −5

−x + y + z = 0

.

Zadanie 2. Obliczyć granice

(a) lim

x→∞

1 − 2x + 4x

3

(8 − x)(1 + 2x

2

)

,

(b) lim

x→−2

2x

2

+ 3x − 2

x

4

− 16

,

oraz pochodne funkcji

(c) f (x) = ln

x + 1

x − 1

,

(d) g(x) = e

√

x

cos

2

x.

Zadanie 3. Wyznaczyć dziedzinę, asymptoty, ekstrema, punkty przegięcia, przedziały
monotoniczności oraz wypukłości/wklęsłości i narysować wykres funkcji

f (x) =

x

4 − x

2

.

Zadanie 4. Obliczyć całki

(a)

Z

1

0

x

√

9 − x

2

dx,

(b)

Z

1

−1

(x

2

+ 1)e

x

dx.

Egzamin z matematyki, II termin (19 II 2009)

Zadanie 1. Rozwiązać układ równań











x − 2y + 3z = 6

2x − z = −1

−x + y + 2z = 7

.

Zadanie 2. Obliczyć granice

(a) lim

x→∞

3x

3

− 2x

2

+ 4

x(x + 1)(x + 2)

,

(b) lim

x→1

x

2

+ 2x − 3

x

2

− 1

,

oraz pochodne funkcji

(c) f (x) =

r

x

2

x + 1

,

(d) g(x) = x sin

2

x.

Zadanie 3. Wyznaczyć dziedzinę, asymptoty, ekstrema, punkty przegięcia, przedziały
monotoniczności oraz wypukłości/wklęsłości i narysować wykres funkcji

f (x) =

x

2

− 1

x

2

+ 1

.

Zadanie 4. Obliczyć całki

(a)

Z

4

2

2x

x

2

− 2

dx,

(b)

Z

π

4

0

x cos x dx.