13. Zjawiska transportu w gazach

Wybór i opracowanie zadań.13.1-13.11.Bogumiła Strzelecka

13.1. Ile razy zmieni się współczynnik dyfuzji gazu dwuatomowego, jeżeli w wyniku :

a) izotermicznego,
b) adiabatycznego

rozprężania gazu jego ciśnienie zmniejszyło się dwukrotnie?

13.2. Współczynnik dyfuzji tlenu w warunkach normalnych jest równy 1,41

⋅10

-4

m

2

/s.

Znaleźć współczynnik dyfuzji tego gazu w temperaturze 50

o

C, jeżeli gaz ogrzewano przy

stałej objętości.

13.3. Współczynnik przewodnictwa cieplnego gazu trójatomowego jest równy 1,45

⋅10

-2

W/m

⋅K, a współczynnik dyfuzji w tych samych warunkach wynosi 10

-5

m

2

/s. Znaleźć liczbę

cząsteczek gazu w 1m

3

w tych warunkach.

13.4. Znaleźć współczynnik przewodnictwa cieplnego chloru, jeżeli wiadomo, że
współczynnik lepkości dynamicznej tego gazu w danych warunkach jest równy 1,29

⋅10

-5

N

⋅s/m

2

.

13.5. W jakiej temperaturze współczynnik lepkości dynamicznej azotu jest równy
współczynnikowi lepkości dynamicznej wodoru w temperaturze 19

o

C? Średnica atomu azot

wynosi 3,1

⋅10

-10

m, a średnica atomu wodoru – 2,3

⋅10

-10

m.

13.6. Obliczyć ilość ciepła przewodzonego przez ścianę mieszkania w zimie w czasie t., jeżeli
przewodnictwo cieplne ściany wynosi

χ, grubość ściany jest równa d, zaś jej powierzchnia S.

Temperatura w mieszkaniu wynosi T

1

, a na zewnątrz T

2

< T

1

. Ile należy spalić węgla w celu

wyrównania ubytku ciepła przez przewodnictwo, zakładając, że tylko

η część ciepła

dostarczonego przez spalanie węgla idzie na wyrównanie tego braku. Ze spalenia 1 kg węgla
uzyskujemy r [J] ciepła.

13.7. Naczynie szklane o powierzchni S i grubości ścianek d, zawierające mieszaninę wody z
lodem w równowadze termicznej, postawiono w pokoju o temperaturze T

1

. Wiedząc, że

przez

jednostkę powierzchni szkła, przy gradiencie temperatur

∆T/d, w każdej sekundzie

dopływa ilość ciepła

χ, obliczyć ile lodu ulegnie stopieniu w tym naczyniu w czasie τ. Ciepło

topnienia lodu jest równe l.

13.8. Ściana drewniana ma grubość d. Jaką grubość powinien mieć mur z cegieł, aby miał
taką samą przewodność cieplną jak ta ściana z drewna. Współczynnik przewodnictwa
cieplnego drewna wynosi

χ

1

a cegły -

χ

2

.

13.9. Dwie płytki – miedziana i żelazna, z których każda ma grubość 1 cm, dokładnie
przylegają do siebie. Temperatura zewnętrznej powierzchni płytki miedzianej jest równa 373
K, a temperatura zewnętrznej powierzchni płytki żelaznej jest równa 273 K. Znaleźć
temperaturę płaszczyzny zetknięcia płytek jeżeli współczynniki przewodnictwa cieplnego są
równe

χ

1

= 390 W/m

⋅K (miedź), χ

2

= 62 W/m

⋅K (żelazo).

13.10. Piec elektryczny o mocy P =2kW i powierzchni S = 0,25 m

2

pokryty jest ogniotrwałym

materiałem o grubości d =10 cm. Współczynnik przewodnictwa cieplnego tego materiału jest
równy

χ = 0,8W/m⋅K. Jaka jest temperatura zewnętrznej powierzchni pieca, jeżeli temperatura

jego wewnętrznej powierzchni jest równa t =1200

o

C?

13.11. Zamknięty termos styropianowy zawierający masę m cieczy o temperaturze T

o

wstawiono do pieca o stałej temperaturze T

1

> T

w

(T

w

– temperatura wrzenia cieczy).

Ogrzewana powierzchnia termosu wynosi S, zaś grubość ścianek naczynia d. Współczynnik
przewodnictwa cieplnego styropianu jest równy

χ, zaś ciepło właściwe wody wynosi c. Po

jakim czasie ciecz w naczyniu zagotuje się?

Rozwiązania:

13.1.R.
Współczynnik dyfuzji wyraża się wzorem:

λ

⋅

= v

D

3

1

,

v – wartość średniej prędkości arytmetycznej cząsteczek gazu, λ - średnia droga swobodna
cząsteczek.

m

kT

v

⋅

=

π

8

, gdzie k – stała Boltzmanna, T – temperatura, m – masa cząsteczki;

V

n

d

2

2

1

⋅

=

π

λ

, gdzie d –średnica czynna cząsteczki, n – liczba cząsteczek, V – objętość.

Podstawiając powyższe zależności do wyrażenia opisującego współczynnik dyfuzji i

uwzględniając, że :

kT

p

V

n = otrzymujemy zależność:

(1)

p

d

kT

m

kT

D

2

2

8

3

1

⋅

⋅

⋅

=

π

π

a) w przemianie izotermicznej T = const, możemy więc napisać, że D ~

p

1

Wówczas

2

2

1

1

2

=

=

p

p

D

D

b) Przy przemianie adiabatycznej możemy napisać D ~

p

T

3

Wówczas

(2)

2

1

3

1

3

2

1

2

p

p

T

T

D

D

⋅

=

.

Korzystając z równania adiabaty otrzymujemy zależność:

χ

χ 1

1

2

1

2

−













=

p

p

T

T

, gdzie

2

1

2

i

i +

=

χ

, i – liczba stopni swobody dla gazu dwuatomowego jest

równa 5.

Podstawiając powyższe zależności do równania (2) otrzymujemy :

49

,

1

2

1

1

3

1

2

1

2

=

⋅













=

−

p

p

p

p

D

D

χ

χ

13.2. O.

0

0

T

T

D

D

=

13.3.R.

Należy obliczyć wielkość:

V

n

.

Korzystamy z następujących zależności:

v

c

v

⋅

⋅

⋅

=

ρ

λ

χ

3

1

- współczynnik przewodnictwa cieplnego;

λ

⋅

= v

D

3

1

- współczynnik dyfuzji.

Obliczamy:

µ

χ

v

C

V

m

D

⋅

=

, ponieważ

µ

v

V

C

c

=

.

A

N

m

n

⋅

=

µ

, gdzie

µ jest masą 1 mola gazu, N

A

- stała Avogadro,

zaś

R

i

C

V

2

=

, gdzie R – uniwersalna stała gazowa, i – liczba stopni swobody (dla gazu

trójatomowego wynosi 7) , otrzymujemy zależność

µ

µ

χ

R

i

N

V

n

D

A

2

⋅

⋅

⋅

=

.

Po przekształceniach oraz uwzględniając, że

K

J

k

N

R

A

/

10

38

,

1

23

−

⋅

=

=

otrzymujemy:

3

23

10

5

,

3

2

−

⋅

=

=

m

Dki

V

n

χ

.

13.4.R.

v

c

v

⋅

⋅

⋅

=

ρ

λ

χ

3

1

-współczynnik przewodnictwa cieplnego;

ρ

λ

η

⋅

= v

3

1

⋅ - współczynnik lepkości dynamicznej.

Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:

K

m

W

R

i

c

V

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

−

/

10

77

,

3

2

3

η

µ

η

χ

13.5.R.

ρ

λ

η

⋅

= v

3

1

⋅ - współczynnik lepkości dynamicznej

µ

π ⋅

=

RT

v

8

, gdzie k – stała Boltzmanna, T – temperatura, m – masa cząsteczki;

V

n

d

2

2

1

⋅

=

π

λ

, gdzie d –średnica czynna cząsteczki, n – liczba cząsteczek, V – objętość

Uwzględniając powyższe zależności oraz pamiętając, że

H

N

η

η =

otrzymujemy

C

d

d

T

T

o

H

N

H

N

H

N

204

4

4

≅

⋅

⋅

=

µ

µ

13.6.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez ściany mieszkania:

d

T

T

t

S

Q

2

1

−

⋅

⋅

= χ

Ilość ciepła uzyskana ze spalenia m masy węgla:

r

m

Q

⋅

=

1

.

Część uzyskanego ze spalenia węgla ciepła wyrównuje straty ciepła:

Q

Q

=

1

η

Po przekształceniach otrzymujemy:

r

d

T

T

t

S

m

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

2

1

χ

η

13.7.R.

Ilość ciepła przewodzonego przez ścianki naczynia

τ

χ

⋅

∆

⋅

⋅

=

d

T

S

Q

Masa lodu stopiona przez to ciepło wynosi:

l

d

T

S

m

⋅

⋅

∆

⋅

⋅

=

τ

χ

13.8.R.

Ilość ciepła przewodzona przez ścianę z drewna w czasie

τ musi byś równa ilości ciepła

przewodzonego przez mur z cegieł w tym samym przedziale czasu:

τ

χ

τ

χ

⋅

∆

⋅

⋅

=

⋅

∆

⋅

⋅

x

d

T

S

d

T

S

2

1

Stąd:

d

d

x

1

2

χ

χ

=

13.9.R.

Ilość ciepła przewodzonego przez płytkę z miedzi musi być równa ilości ciepła
przewodzonego przez płytkę z żelaza:

τ

χ

τ

χ

d

T

T

S

d

T

T

S

x

s

1

2

2

1

−

=

−

Po przekształceniach otrzymujemy:

K

T

T

T

x

3

.

339

2

1

2

2

1

1

=

+

+

=

χ

χ

χ

χ

13.10.R.

Ciepło wytwarzane przez piec:

τ

⋅

= P

Q

Ciepło przenoszone przez warstwę:

τ

χ

⋅

−

⋅

⋅

=

d

T

T

S

Q

x

Porównując powyższe równania i przekształcając otrzymujemy:

K

S

d

P

T

T

x

473

=

⋅

⋅

−

=

χ

13.11.R.

Ciepło, które przepłynie do naczynia w czasie dt :

,

dt

d

T

S

dQ

∆

⋅

⋅

= χ

gdzie:

∆

, a T

T

T

T

−

=

1

jest temperaturą, jaką osiągnie woda

pobierając ciepło dQ w czasie dt.

Ciepło pobrane przez wodę zmieni jej temperaturę o dT:

c

m

dQ

dT

⋅

=

.

Porównując powyższe równania otrzymujemy:

(

)

dt

T

T

c

m

d

S

dT

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

1

χ

.

Woda w naczyniu zagotuje się gdy temperatura T osiągnie wartość temperatury wrzenia dla
wody T

w

.

Przekształcając powyższe równanie, całkujemy je obustronnie

∫

∫

⋅

⋅

⋅

=

−

τ

χ

0

1

dt

c

m

d

S

T

T

dT

w

o

T

T

i otrzymujemy wzór na czas, po którym ciecz w termosie zagotuje się:

w

T

T

T

T

S

c

m

d

−

−

⋅

⋅

⋅

=

1

0

1

ln

χ

τ

.