Mechanika ogólna

Mechanika ogólna

1

1

Wykład nr

Wykład nr 13

13

Zjawisko tarcia. Prawa tarcia.

Zjawisko tarcia. Prawa tarcia.

Więzy z tarciem

Więzy z tarciem





W więzach, w których nie

W więzach, w których nie

występuje tarcie, reakcja jest

występuje tarcie, reakcja jest

prostopadła do płaszczyzny

prostopadła do płaszczyzny

mg

2

2

prostopadła do płaszczyzny

prostopadła do płaszczyzny

styku ciał (nacisk).

styku ciał (nacisk).





W więzach z tarciem

W więzach z tarciem

dochodzi jeszcze jedna

dochodzi jeszcze jedna

reakcja, równoległa do

reakcja, równoległa do

płaszczyzny styku.

płaszczyzny styku.

mg

N

mg

N

T

P

Prawa tarcia statycznego

Prawa tarcia statycznego

Coulomba i Morena

Coulomba i Morena





Siła tarcia jest zawsze

Siła tarcia jest zawsze przeciwna

przeciwna do

do

występującego lub ewentualnego

występującego lub ewentualnego

ruchu

ruchu..
Wielkość siły tarcia jest

Wielkość siły tarcia jest niezależna

niezależna

3

3





Wielkość siły tarcia jest

Wielkość siły tarcia jest niezależna

niezależna

od

od pola

pola powierzchni

powierzchni stykających się

stykających się

ciał,

ciał, zależy

zależy jedynie

jedynie od rodzaju

od rodzaju

powierzchni

powierzchni..





Zależność między naciskiem i siłą

Zależność między naciskiem i siłą

tarcia:

tarcia:

T

N



 

Współczynnik tarcia

Współczynnik tarcia

Rodzaj powierzchni

Rodzaj powierzchni



Stal

Stal--stal

stal

0,15

0,15

Stal

Stal--żeliwo

żeliwo

0,18

0,18

4

4

Stal

Stal--żeliwo

żeliwo

0,18

0,18

Żeliwo

Żeliwo--żeliwo

żeliwo

0,45

0,45

Metal

Metal--drewno

drewno

0,5

0,5--0,6

0,6

Drewno

Drewno--drewno

drewno

0,65

0,65

Skóra

Skóra--metal

metal

0,6

0,6

Tarcie statyczne i

Tarcie statyczne i

kinetyczne

kinetyczne





Tarcie występuje w przypadku

Tarcie występuje w przypadku

układów poruszających

układów poruszających

((kinetyczne

kinetyczne) lub w układach,

) lub w układach,

5

5

((kinetyczne

kinetyczne) lub w układach,

) lub w układach,

w których ruch jest potencjalnie

w których ruch jest potencjalnie

możliwy, ale jeszcze do niego

możliwy, ale jeszcze do niego

nie dochodzi (

nie dochodzi (statyczne

statyczne).

).

Tarcie statyczne

Tarcie statyczne





Tarcie

Tarcie statyczne

statyczne

przeciwdziałające wystąpieniu

przeciwdziałające wystąpieniu

ruchu zwiększa się w wyniku

ruchu zwiększa się w wyniku

6

6

ruchu zwiększa się w wyniku

ruchu zwiększa się w wyniku

przyłożenia siły od 0 do wartości

przyłożenia siły od 0 do wartości

maksymalnej (tarcie całkowicie

maksymalnej (tarcie całkowicie

rozwinięte).

rozwinięte).

Kąt tarcia

Kąt tarcia





Kąt między reakcją pionową a siłą

Kąt między reakcją pionową a siłą

tarcia nazywany jest kątem tarcia:

tarcia nazywany jest kątem tarcia:

=tg

T

N







7

7

=tg

N







mg

N

mg

N

T

P

R

mg

N

T

P

R

Stożek tarcia

Stożek tarcia





Linia działania wypadkowej reakcji zawarta

Linia działania wypadkowej reakcji zawarta

jest wewnątrz, lub w przypadku tarcia

jest wewnątrz, lub w przypadku tarcia

całkowicie rozwiniętego, na powierzchni

całkowicie rozwiniętego, na powierzchni
stożka nazywanego stożkiem tarcia.

stożka nazywanego stożkiem tarcia.

8

8

stożka nazywanego stożkiem tarcia.

stożka nazywanego stożkiem tarcia.

mg

N

T

P

R

mg

N

T

P

R

Tarcie ślizgowe

Tarcie ślizgowe -- przykład

przykład





m



mg

T

Pcos



Psin



P





 



9

9

mg

N

0 :

cos

0

X

P

T





 



0 :

sin

0

Y

P

N

m g





   



T

N



 





Prawo tarcia:

Prawo tarcia:

sin

N

m g

P



  





sin

cos

m g

P

P







 



sin

cos

m g

P









 





Tarcie cięgien

Tarcie cięgien

o bloczek nieruchomy

o bloczek nieruchomy

(1)

(1)





Zależność miedzy siłami w cięgnie

Zależność miedzy siłami w cięgnie

przy całkowicie rozwiniętym

przy całkowicie rozwiniętym

tarciu:

tarciu:

S

1

10

10

tarciu:

tarciu:

gdzie S

gdzie S

11

jest siła działającą

jest siła działającą

w cięgnie w kierunku

w cięgnie w kierunku

ewentualnego ruchu.

ewentualnego ruchu.

1

2

S

S

e







1

S

2



Tarcie cięgien

Tarcie cięgien

o bloczek nieruchomy

o bloczek nieruchomy

(2)

(2)





Zależność odwrotna:

Zależność odwrotna:

S

S e





 

S

1

S

2



11

11





Kąt

Kąt



nazywany jest kątem

nazywany jest kątem

opasania i musi być wyrażany w

opasania i musi być wyrażany w

radianach.

radianach.

2

1

S

S e

 

Tarcie cięgien

Tarcie cięgien –

– przykład

przykład

(1)

(1)





Obliczyć masę graniczną m

Obliczyć masę graniczną m

22

, po

, po

przekroczeniu której rozpocznie się ruch.

przekroczeniu której rozpocznie się ruch.

Miara kąta

Miara kąta



=30

=30

oo

..

m

12

12



m

1

m

2



1



2



3

Tarcie cięgien

Tarcie cięgien –

– przykład

przykład

(2)

(2)

T

1

m g

1

N

1

S

1

X

Y

1

1

0 :

0

X

S

T



 



1

1

0 :

0

Y

N

m g





 



1

1

1

T

N







I

13

13

S

1

S

2



m

2

S

2

m g

2

N

2

T

2

X

Y

2

2

1

S

S e

 

 

2

2

2

0 :

sin

0

X

m g

S

T













2

2

0 :

cos

0

Y

N

m g











2

3

2

T

N







II

III

Przykład

Przykład –

– rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

1

1

1

S

N

m g











 

2

S

m g e











 

I

1

1

S

T



1

1

N

m g





1

1

1

T

N







14

14

2

6

2

1

1

S

m g e









 

2

6

2

1

1

3

2

sin

cos

0

m g

m g e

m g





 





 

 







2

6

1

1

2

3

sin

cos

m g e

m

g

g







 



  







II

III

2

2

1

S

S e

 

 

2

3

2

T

N







2

2

cos

N

m g





2

2

2

sin

0

m g

S

T









Opór przy toczeniu

Opór przy toczeniu





W rzeczywistych układach, w

W rzeczywistych układach, w

przypadku ciał o przekrojach okrągłych,

przypadku ciał o przekrojach okrągłych,

reakcja pionowa przesunięta jest w

reakcja pionowa przesunięta jest w

15

15

reakcja pionowa przesunięta jest w

reakcja pionowa przesunięta jest w

kierunku ewentualnego ruchu.

kierunku ewentualnego ruchu.





Wynika to z nierównomiernego

Wynika to z nierównomiernego

rozkładu sił pod ciałem. Mimo założenia

rozkładu sił pod ciałem. Mimo założenia

kołowości przekroju, w rzeczywistości

kołowości przekroju, w rzeczywistości

styk nie jest punktowy.

styk nie jest punktowy.

Wartości współczynnika

Wartości współczynnika

oporu toczenia

oporu toczenia

Koło

Koło

Rodzaj podłoża

Rodzaj podłoża

f

f

[cm]

[cm]

Drewno

Drewno

Drewno

Drewno

0,05

0,05--0,8

0,8

16

16

Drewno

Drewno

Stal

Stal

0,03

0,03--0,04

0,04

Stal

Stal

Stal

Stal

0,001

0,001--0,005

0,005

Żeliwo

Żeliwo

Żeliwo

Żeliwo

0,005

0,005

Opór toczenia

Opór toczenia -- przykład

przykład



m



mg

T

Pcos



Psin



P

f

A

r

17

17

mg

N

T

f

0 :

sin

0

Y

P

N

m g





   



0 :

cos

0

A

M

P

r

N f





   



sin

N

m g

P



  





cos

sin

0

P

r

m g

P

f





 

 

 

cos

sin

m g f

P

r

f





 







Przykład A

Przykład A





Określić zakres, w jakim ma mieścić się

Określić zakres, w jakim ma mieścić się

wielkość masy m

wielkość masy m

22

, aby nie wystąpił ruch.

, aby nie wystąpił ruch.



=30

=30

oo

,

,

=45

=45

oo

18

18



m

2



2

m

1



1



f

Przykład A

Przykład A –

– wariant I

wariant I

(ruch w lewo)

(ruch w lewo)

S

1

m g

N

1

T

1

1

1

1

0 :

sin

0

X

m g

S

T





 

  



1

1

0 :

cos

0

Y

N

m g







 





1

1

1

T

N







19

19

m g

1

S

1

S

2

 





2

2

1

S

S e

  





 

2

2

2

0 :

sin

0

A

M

N

f

S

r

m g

r





 

 

 



2

2

0 :

cos

0

Y

N

m g











S

2

m g

2

f

N

2

T

2

A

Wariant I

Wariant I -- rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

1

1

sin

cos

S

m g

m g

 





 

 

 

1

1

cos

N

m g





 

1

1

1

cos

T

m g









 

20

20

1

1

1

1

sin

cos

S

m g

m g

 





 

 

 









2

2

1

1

1

sin

cos

S

m g

m g

e

  

 









 

 

 











2

1

1

1

2 min

sin

cos

cos

sin

m g

m g

e

r

m

g

f

g

r

  

 











 

 

 







 



2

2

cos

N

m g





Przykład A

Przykład A –

– wariant II

wariant II

(ruch w prawo)

(ruch w prawo)

S

1

N

1

T

1

1

1

1

0 :

sin

0

X

m g

S

T





 

  



1

1

0 :

cos

0

Y

N

m g







 





1

1

1

T

N







21

21

m g

1

S

1

S

2

 

S

2

m g

2

f

N

2

T

2

A





2

2

1

S

S e

  



 

2

2

2

0 :

sin

0

A

M

N

f

S

r

m g

r





 

 

 



2

2

0 :

cos

0

Y

N

m g











Wariant II

Wariant II -- rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

1

1

sin

cos

S

m g

m g

 





 

 

 

1

1

cos

N

m g





 

1

1

1

cos

T

m g









 

22

22

1

1

1

1

sin

cos

S

m g

m g

 





 

 

 









2

2

1

1

1

sin

cos

S

m g

m g

e

  

 







 

 

 











2

1

1

1

2 max

sin

cos

sin

cos

m g

m g

e

r

m

g

r

g

f

  

 









 

 

 







 



2

2

cos

N

m g





Przykład B

Przykład B--I

I

(1)

(1)





Określić maksimum masy m

Określić maksimum masy m

11

, przy którym nie

, przy którym nie

wystąpi jeszcze ruch.

wystąpi jeszcze ruch.

r

1

r

2

23

23



m

2

m

1



1



f



2



r

r

2

Przykład B

Przykład B--I

I

(2)

(2)

1

1

0 :

cos

0

Y

N

m g











m

1

r

S

1

A

T

1

24

24

1

1

1

0 :

sin

0

A

M

N

f

S r

m g

r





   

 



m

1

g

f

A

N

1

1

1

2

2

0 :

0

O

M

S r

S

r



 

 



S

2

S

1

r

1

r

2

Przykład B

Przykład B--I

I

(3)

(3)

S

2









1

2

3

2

S

S

e





 







 













25

25

S

3



2

3

3

0 :

sin

0

X

m

g

S

T





 



 



3

2

0 :

cos

0

Y

N

m

g







 





3

2

3

T

N







m

2

S

3

m

2

g

T

3

N

3

Przykład B

Przykład B--I

I -- rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

1

sin

cos

m g

r

m g

f

S

r





 





1

1

cos

N

m g





1

1

1

1

1

2

2

2

sin

cos

S r

m g

r

m g

f

r

S

r

r

r







 









26

26

2

2









1

1

2

2

1

1

1

3

2

2

sin

cos

m g

r

m g

f

r

S

S

e

e

r

r







 



 















 



 

















 









 













1

2

2

2

2

2

1

1

sin

cos

sin

cos

m

g

m

g

r r

m

e

g

r

g

f

r





 

 











 









 





 

 





 





3

2

cos

N

m

g





 

3

2

2

cos

T

m

g









 

Przykład B

Przykład B--II

II

(1)

(1)





Określić minimum masy m

Określić minimum masy m

11

, przy którym nie

, przy którym nie

wystąpi jeszcze ruch.

wystąpi jeszcze ruch.

r

1

r

2

27

27



m

2

m

1



1



f



2



r

r

2

Przykład B

Przykład B--II

II

(2)

(2)

1

1

0 :

cos

0

Y

N

m g











m

1

r

S

1

A

T

N

28

28

1

1

1

0 :

sin

0

A

M

N

f

S r

m g

r





   

 



1

1

2

2

0 :

0

O

M

S r

S

r



 

 



m

1

g

f

A

T

1

N

1

S

2

S

1

r

1

r

2

Przykład B

Przykład B--II

II

(3)

(3)





1

2

3

2

S

S e





 





 













S

2





29

29

S

3



m

2

S

3

m

2

g

T

3

N

3

2

3

3

0 :

sin

0

X

m

g

S

T





 



 



3

2

0 :

cos

0

Y

N

m

g







 





3

2

3

T

N







Przykład B

Przykład B--II

II -- rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

1

cos

sin

m g

f

m g

r

S

r





 





1

1

cos

N

m g





1

1

1

1

1

2

2

2

cos

sin

S r

m g

f

m g

r r

S

r

r

r







 









30

30

2

2









1

1

2

2

1

1

1

3

2

2

cos

sin

m g

f

m g

r r

S

S

e

e

r

r







 



 













 

 

















 









 













1

2

2

2

2

2

1

1

sin

cos

cos

sin

m

g

m

g

r r

m

e

g

f

g

r

r





 

 













 









 





 

 





 

 

3

2

cos

N

m

g





 

3

2

2

cos

T

m

g









 

Przykład C

Przykład C--I

I

(1)

(1)





Określić graniczną wartość siły, przy

Określić graniczną wartość siły, przy

przekroczeniu której może wystąpić

przekroczeniu której może wystąpić

ruch.

ruch.

31

31

m

1



1



3

m

2



2

P

Przykład C

Przykład C--I

I

(2)

(2)

1

1

0 :

0

X

S

T



 



1

1

0 :

0

Y

N

m g





 



1

1

1

T

N







T

1

m g

1

N

1

S

1

S

32

32

3

2

1

S

S e

 

 

1

1

1

S

1

S

2

1

2

2

0 :

0

X

P T

T

S



  





2

2

1

0 :

0

Y

N

m

g

N





 





P

N

1

T

1

S

2

m g

2

N

2

T

2

2

2

2

T

N







Przykład C

Przykład C--I

I -- rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

1

S

m g





 

1

1

N

m g





1

1

1

T

m g





 

33

33

3

2

1

1

S

m g e

 







 

1

1

1

S

m g





 





3

1

1

1

2

2

1

1

1

2

P

m g

m

g

m g

m g e

 











 



 



 

 

2

2

1

N

m

g

m g



 







2

2

2

1

T

m

g

m g







 



Przykład C

Przykład C--II

II

(1)

(1)





Określić graniczną wartość siły, przy

Określić graniczną wartość siły, przy

przekroczeniu której może wystąpić

przekroczeniu której może wystąpić

ruch.

ruch.

34

34

m

1



1



3

m

2



2

P

Przykład C

Przykład C--II

II

(2)

(2)

T

1

m g

1

N

1

S

1

P

S

1

1

0 :

0

X

P

S

T



  



1

1

0 :

0

Y

N

m g





 



1

1

1

T

N







35

35

S

1

S

2

N

1

T

1

S

2

m g

2

N

2

T

2

3

2

1

S

S e

 



 

1

1

1

2

1

2

0 :

0

X

S

T

T



 





2

2

1

0 :

0

Y

N

m

g

N





 





2

2

2

T

N







Przykład C

Przykład C--II

II -- rozwiązanie

rozwiązanie

1

1

N

m g





1

1

1

T

m g





 

2

2

1

N

m

g

m g



 



36

36









3

1

1

1

2

2

1

S

m g

m

g

m g

e

 









 



 













3

1

1

2

2

1

1

1

P

m g

m

g

m g

e

m g

 











 



 





 







2

1

1

2

2

1

S

m g

m

g

m g









 



 



2

2

1





2

2

2

1

T

m

g

m g







 

