Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr

Instrukcja do laboratorium nr 3 z

Modelowania Biosystemów

Modele stochastyczne

Prowadz cy: mgr in . Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)

[e-mail]

1. Zakres materiału laboratorium

Przygotowanie do zaj obejmuje znajomo modeli kompartmentalnych oraz podstaw rachunku

operatorowego wykorzystuj cego transformat Laplace’a.

2. Wprowadzenie

Rachunek operatorowy jest jednym z narz dzi matematycznych słu cych do rozwi zywania liniowych

równa ró niczkowych zwyczajnych. W porównaniu z metod klasyczn , metoda transformaty

operatorowej przekształca równanie ró niczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne.
W rachunku operatorowym najcz ciej stosowanym operatorem jest liniowy operator

, który

definiuje tzw. jednostronn transformat Laplace’a.

Jednostronna transformata Laplace’a zdefiniowana jest jako funkcja

Gdzie zmienna s jest zmienn zespolon , natomiast argument t funkcji f(t) jest zmienn rzeczywist

nieujemn . Warto ci funkcji f(t) dla t<0 przyjmowane s jako 0. Transformata Laplace'a jest zdefiniowana

dla przedziału czasu od t = 0

−

do + . Symbol t = 0

−

oznacza, e granica dla czasu t 0 brana jest z lewej

strony t = 0. Takie ograniczenie brane jest pod uwag w tych przypadkach, gdy funkcja f(t) ma posta

funkcji skokowej lub impulsowej, w których to funkcjach zmiana nast puje w chwili t = 0.

Przykład 1 zastosowania transformaty Laplace’a.

Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest nast puj co

gdzie A i s stałymi. Transformata powy szej funkcji wyznaczana jest nast puj co

.

Przykład 2 zastosowania transformaty Laplace’a.

Funkcja skokowa zdefiniowana jest nast puj co

gdzie A jest stał . Transformata powy szej funkcji wyznaczana jest nast puj co

.

Poni sza tabela przedstawia transformaty najcz ciej wykorzystywanych funkcji b d operatorów.

Funkcja/operator

Domena czasu t

Domena transformaty s

Opó nienie

Skok jednostkowy

Całkowanie

Ró niczkowanie

Modele kompartmentalne – stochastyczne

Maj c układ k równa ró niczkowych zapisanych w postaci:

ka de i-te równanie mo emy zamodelowa wykorzystuj c rachunek operatorowy jako:

po przekształceniu (cz ci schematu zaznaczon czerwon lini punktow ) mo emy upro ci do bloku

postaci (inercja I rz du, o stałej czasowej

i

=1/

i

)

Układ równa ró niczkowych wraz z równaniem granicznym wi

cym populacje mo na zapisa

nast puj co jako:

co mo na zapisa za pomoc schematu, którego analizowanie opiera si na obserwacji przepływów

i stanów kompartmentów:

Przykład tworzenia modelu wykładniczego w Simulinku

Model wykładniczy w dziedzinie czasu ma posta dN(t)/dt = aN(t), natomiast w dziedzinie operatorowej

(po dokonaniu transformacji Laplace’a) ma posta sN(s) = aN(s) + N(0). St d N(s) = N(0) / (s-a), sk d po

zastosowaniu odwrotnej transformaty Laplace’a mo na otrzyma wzór na rozwi zanie modelu w czasie.

W Simulinku za całkowanie odpowiedzialny jest bloczek

, natomiast za

wzmacnianie sygnału bloczek

. Wszelkiego rodzaju bloczki mo na znale w Simulink

Library Browser, bloczek Integrator’a w znajduje si w zbiorze Simulink->Continuous, natomiast bloczek

Gain w zbiorze Simulink->Math Operations. Budowanie modelu polega na ł czeniu ze sob

poszczególnych bloczków, dodatkowo specyfikuj c odpowiednie parametry poszczególnych bloczków tak

aby doprowadzi do zbilansowania sygnałów wg równania modelu. Dla bloczka Integratora nale y

zdefiniowa dodatkowo warunek pocz tkowy całkowania, natomiast dla bloczka gain okre li warto

wzmocnienia. Parametry bloczków mog by definiowane jako konkretne warto ci b d wektory warto ci

lub te jako zmienne zdefiniowane w Matlabie. Wszystkie zmienne Matlaba s widoczne z poziomu

modelu Simulinka, mo liwe jest równie uruchomienie modelu Simulinka z poziomu Matlaba poprzez

wpisanie nazwy pliku, w którym model został wcze niej zapisany.

Gotowy model ma posta :

W powy szym modelu zastosowano dodatkowo bloczek Scope (Simulink->Sinks), który umo liwia

obserwacj konkretnych zmiennych. W powy szym modelu u yto warto ci pocz tkowej N

0

=100 i

parametru a=0.2.

Statistics toolbox

Matlab posiada szereg toolbox’ów zawieraj cych predefiniowane funkcje. Toolbox Statistics zawiera wiele

u ytecznych funkcji maj cych zastosowanie w statystyce. Chc c uzyska informacj na temat dost pnych

funkcji toolboxa Statictics nale y w linii komend Matlaba wpisa help stats. W rozwi zaniu zada
laboratoryjnych przydatne b d m.in. funcja generacji histogramów hist, funkcje generatorów losowych
xxxrnd

, funkcje g sto ci prawdopodobie stw xxxpdf, dystrybuanty xxxcdf, gdzie xxx oznacza skrót

od danego rozkładu, np. exp, norm, etc.

3. Program zaj laboratoryjnych

Zadania laboratoryjne wykonywan s w rodowisku Matlab z wykorzystaniem toolbox’ów Simulink oraz

Statistics.

Zad 1.

Zbudowa model wzrostu populacji komórkowej o dwóch kompartmentach

okre laj cych fazy cyklu komórowego. Zało y , e w chwili pocz tkowej w pierwszym

kompartmencie znajduje si N

G1S

(0) komórek oraz w drugim N

G2M

(0) komórek. Zało y ,

e komórki przebywaj w poszczególnych kompartmentach ze rednimi czasami

G1S

i

G2M

. Wykre li przebiegi czasowe dla obu kompartmentów.

Zad 2.

W oparciu o model z poprzedniego zadania zbada wpływ działania leku

cytotoksycznego na populacj komórek wiedz , e zabija on p% komórek b d cych w

fazie syntezy. Wiadomo, e komórki przebywaj w poszczególnych kompartmentach z

czasami okre lonymi rozkładami: jednorodnym i wykładniczym. Wykre li przebiegi

czasowe dla obu kompartmentów. Za pomoc metody „prób i bł dów” znale takie p

(0<p<100), dla którego populacja osiaga stan ustalony.

Zad 3.

Zbudowa model wzrostu populacji komórkowej o kompartmentach okre laj cych

wszystkie fazy cyklu komórowego. Zało y , e w chwili pocz tkowej populacja jest

zsynchronizowana i znajduje si wył cznie w fazie G

1

i osi ga wielko N

G1

(0). Komórki

przebywaj w poszczególnych kompartmentach z czasami okre lonymi rozkładami:

1 - gamma, 2 - jednorodnym, 3 - zło eniem dwóch rozkładów normalnych

i 4 - zło eniem rozkładów wykładniczego i normalnego. Wygenerowa po 1000 realizacji

zmiennych losowych wg poszczególnych rozkładów, wyliczy redni warto

przebywania w ka dym z kompartmentów, któr nast pnie nale y zastosowa w modelu.

Wykre li przebiegi czasowe dla wszystkich kompartmentów oraz histogramy dla

wylosowanych zmiennych.