Nr

pary

Imię i nazwisko studenta

Wydział

grupa

data Nazwisko

prowadzącego Zaliczenie

C12. Badanie temperaturowej zależności współczynnika lepkości cieczy.

Lepkość cieczy, inaczej tarcie wewnętrzne, jest siłą oporu, wywołaną wzajemnym oddziaływaniem
międzymolekularnym dwóch sąsiednich warstw cieczy. Siła ta jest styczna do powierzchni warstw
i jest wprost proporcjonalna do pola rozważanej powierzchni warstwy S oraz do szybkości zmiany
prędkości przepływu cieczy v odniesionej do odległości między warstwami x (czyli do tzw.

gradientu prędkości dv/dx). Opisuje to wzór Newtona:

S

dx

dv

F

⋅

=

η

(1),

gdzie

η jest współczynnikiem lepkości, zależnym od rodzaju substancji i od temperatury.

W opisie lepkości cieczy rzeczywistej rozważa się często dwa modele, stosunkowo łatwe do ujęcia
matematycznego:
1/ Pierwszy model opisuje przepływ laminarny cieczy, czyli bezwirowy, warstwowy, w którym
wektor prędkości każdej warstwy cieczy jest równoległy do kierunku przepływu. W tym przypadku
siła lepkości przyjmuje postać :

lv

F

πη

8

=

(2) , gdzie l jest długością słupa cieczy w rurze,

v – średnią prędkością przepływu.
2/ Drugi model opisuje ruch kulki o promieniu r (małym w stosunku do średnicy rury lub naczynia)
poruszającej się w lepkiej cieczy pod wpływem zewnętrznej siły. Siła lepkości jest wówczas
zdefiniowana wzorem Stokesa:

rv

F

πη

6

=

(3), gdzie v jest prędkością kulki.

Mierząc prędkość opadania kulki w lepkiej cieczy można wyznaczyć współczynnik lepkości

tej cieczy. Zależność tę wykorzystuje się m.in. w wiskozymetrze Höpplera, którym posłużymy się
w niniejszym ćwiczeniu. Na opadającą – w lepkiej cieczy - kulkę, o promieniu r, działają trzy siły:
a/ siła ciężkości, skierowana zgodnie z ruchem kulki:

g

r

g

V

mg

Q

k

k

k

3

3

4

π

ρ

ρ

=

=

=

(4) (

ρ

k

i V

k

– to, odpowiednio, gęstość i objętość kulki),

b/ siła wyporu Archimedesa, skierowana przeciwnie do ruchu kulki:

g

r

g

m

W

c

c

3

3

4

π

ρ

=

=

(5) (

ρ

c

- gęstość cieczy),

c/ siła lepkości Stokesa, skierowana przeciwnie do ruchu kulki i opisana wzorem (3).
Początkowo kulka opada ruchem przyśpieszonym; w miarę jednak wzrostu jej prędkości,
rośnie siła lepkości, która po chwili równoważy, wspólnie z siłą wyporu, siłę ciężkości.
Gdy wypadkowa wszystkich trzech siła będzie równa zeru, tzn.: Q = F + W (6),
to - zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona – kulka zacznie poruszać się ruchem jednostajnym, ze

stałą prędkością v. Rozpisując (6) otrzymujemy równanie:

g

r

rv

g

r

c

k

3

3

3

4

6

3

4

π

ρ

πη

π

ρ

+

=

(7),

z którego możemy wyznaczyć współczynnik lepkości

η:

(

g

v

r

c

k

ρ

ρ

η

−

=

9

2

2

)

(8).

W ćwiczeniu prędkość v opadania kulki wyznacza się na podstawie pomiaru czasu

τ opadania kulki

na drodze równej odległości l między zaznaczonymi na wiskozymetrze poziomami, przy czym

v=l/

τ

. Uwzględniając powyższe i wstawiając:

K

l

g

r

=

9

2

2

*, wzór (8) można napisać w postaci:

(

)

τ

ρ

ρ

η

⋅

−

=

c

k

K

(9), z którego będziemy korzystać w ćwiczeniu.

*Stałą K można wyznaczyć eksperymentalnie na podstawie pomiarów wykonanych dla cieczy o
znanym współczynniku lepkości, jednak najczęściej jest ona podana przez producenta
wiskozymetru. Stała ta zawiera również poprawkę na niewielkie - w stosunku do kulki - rozmiary

cylindra, w którym kulka opada, a które wpływają na wzrost siły lepkości F.

Lepkość cieczy bardzo silnie zależy od temperatury, malejąc z jej wzrostem. Opisuje to

eksponencjalna zależność Arrheniusa:

RT

A

Ce

∆

=

η

(10), gdzie C jest pewną stałą,

∆A oznacza

tzw. energię aktywacji przepływu lepkiego*, R – stałą gazową, a T – temperaturą w skali Kelvina.

*Energia aktywacji

∆

A –

to wysokość bariery potencjalnej, zależna od wielkości oddziaływań

międzymolekularnych, którą muszą pokonywać cząsteczki przemieszczając się w lepkiej cieczy.

Jej wartość, dla danej cieczy, można eksperymentalnie wyznaczyć mierząc temperaturową zależność
współczynnika lepkości, jak robimy to w niniejszym ćwiczeniu.

Wykonanie ćwiczenia

Przyrządy: wiskozymetr wraz z ultratermostatem, stoper

1. Na termometrze w ultratermostacie odczytujemy temperaturę cieczy termostatującej t

1

(tym samym

temperaturę cieczy badanej) i przeprowadzamy trzykrotnie pomiar czasu

τ opadania kulki

między

oznaczonymi na wiskozymetrze poziomami.

2. Włączamy ultratermostat. Za pomocą pokrętła termometru kontaktowego ustalamy temperaturę około

5

0

C

wyższą niż temperatura otoczenia. Po osiągnięciu przez układ zadanej temperatury (lampka

kontrolna wyłącza się) przeprowadzamy trzykrotnie pomiar czasu

τ opadania kulki.

3. W podobny sposób przeprowadzamy serię pomiarów czasów opadania kulki, podwyższając temperaturę

o około 5

o

C, aż do uzyskania temperatury 50

o

C.

Opracowanie wyników

1. Dla każdej temperatury obliczamy średni czas

τ

sr

opadania kulki i odchylenie standardowe SD(

τ

śr

).

2. Korzystając ze wzoru (9) obliczamy – dla każdej temperatury – odpowiadającą jej wartość

współczynnika lepkości

η, wstawiając do wzoru: średnie wartości czasów opadania τ

sr

,

K= 5,42

.

10

-5

N

⋅m/kg, gęstość kulki ρ

k

= 2409 kg/m

3

oraz gęstość cieczy

ρ

c

= 800 kg/m

3

.

3. Na papierze milimetrowym sporządzamy wykres zależności ln

η=f(1/T) i obliczamy współczynnik

kierunkowy a otrzymanej prostej*. Następnie znajdujemy energię aktywacji

∆A=a⋅R, przy czym

R = 8,31 J/(mol K).

*Wzór (10) po zlogarytmowaniu przyjmuje postać:

T

R

A

C

1

ln

ln

⋅

∆

+

=

η

, która jest równaniem

linii prostej typu: y = b + ax, gdzie y = ln

η, x = 1/T, a współczynnik kierunkowy a = ∆A/R.

Sporządzając więc, wykres liniowej zależności ln

η = f(1/T) i znajdując współczynnik kierunkowy

otrzymanej prostej, można w prosty sposób wyznaczyć energię aktywacji dla lepkości (

∆A=

a

⋅R

)

4. Błąd bezwzględny dla pomiaru współczynników lepkości przeprowadzamy, wyliczając najpierw

błąd względny, metodą logarytmiczną:

.

.

śr

śr

τ

τ

η

η

∆

=

∆

przy czym

(

)

(

)

1

3

3

1

2

.

.

−

−

=

⋅

=

∆

∑

=

n

n

SD

n

i

i

śr

śr

τ

τ

τ

.

Błąd bezwzględny dla energii aktywacji obliczamy metodą logarytmiczną, zakładając, że pochodzi on

głównie od niepewności pomiaru współczynnika kierunkowego prostej, tj. a = tg

α =

T

1

ln

∆

∆

η

, czyli od

dokładności odczytu długości boków wybranego trójkąta:

T

T

a

a

A

A

1

1

ln

ln

∆

∆∆

+

∆

∆∆

=

∆

=

∆

∆∆

η

η

.

Tabela

Temperatura

Czas

[s]

L.p.

t

[

o

C]

T

[K]

1/T

[1/K]

τ

1

τ

2

τ

3

τ

śr

σ

(

τ

śr

)

η

śr

[Nsm

-2

]

ln

η

śr