1 EE-DI, sem. 2, 2012/2013, Matematyka II, zestaw zada´

n.

zad. 1. Obliczy´

c pochodne cz¸

astkowe I rz¸edu funkcji

a) f (x, y) = x

2

y

3

− x sin y,

b) f (x, y) = x

√

y − e

x

ln y,

c) f (x, y) = ln(x + ln y),

d) f (x, y) = 2x

3

y − 5x

2

y

3

+ x cos 2y,

e) f (x, y) =

x + y

2

x

2

− y

,

f) f (x, y) =

y + sin x

x + cos y

.

zad. 2. Znale´

z´

c ekstrema funkcji

a) f (x, y) = x

2

− xy + 2y

2

− x + 4y − 5, b) f (x, y) = x

3

+ 3x

2

y − 6xy − 3y

2

− 15x − 15y,

c) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 51x − 24y,

d) f (x, y) = 2x

2

+ 3xy + y

2

− 2x − y + 1,

e) f (x, y) = (2x + y

2

)e

x

,

f) f (x, y) = (x − y + 1)

2

+ (2x + y − 4)

2

.

zad. 3. Korzystaj¸

ac z kryterium ca lkowego zbada´

c zbie˙zno´s´

c szeregu

a)

∞

P

n=1

1

3n + 1

,

b)

∞

P

n=1

1

4n

2

+ 9

,

c)

∞

P

n=1

n

e

n

2

,

d)

∞

P

n=1

arctg n

n

2

+ 1

.

zad. 4. Korzystaj¸

ac z kryterium por´

ownawczego zbada´

c zbie˙zno´s´

c szeregu

a)

∞

P

n=1

1

n

2

+ n

,

b)

∞

P

n=1

1

√

n + 1

,

c)

∞

P

n=1

n + 1

n

2

− n

,

d)

∞

P

n=1

4n − 1

n

3

+ 2

.

zad. 5. Korzystaj¸

ac z kryterium d’Alemberta zbada´

c zbie˙zno´s´

c szeregu

a)

∞

P

n=1

2

n

n!

,

b)

∞

P

n=1

2

n

n

2

,

c)

∞

P

n=1

(n!)

3

(2n)!

,

d)

∞

P

n=1

n

n

n!

.

zad. 6. Korzystaj¸

ac z kryterium Cauchy’ego zbada´

c zbie˙zno´s´

c szeregu

a)

∞

P

n=1



n − 1

2n + 1



n

,

b)

∞

P

n=1

3

n

+ 4

n

2

n

+ 5

n

,

c)

∞

P

n=1

n



3

5



n

,

d)

∞

P

n=1

ln

n



2 +

1

n



.

zad. 7. Obliczy´

c

a)

Z Z

D

xydxdy, gdzie D = [0, 4] × [4, 12],

b)

Z Z

D

x

y

2

dxdy, gdzie D = [1, 2] × [4, 6],

c)

Z Z

D

(x + 2y)dxdy, gdzie D jest tr´

ojk¸

atem o wierzcho lkach A(0, 0), B(2, 2), C(−1, 1),

d)

Z Z

D

(2x + 1)dxdy, gdzie D jest tr´

ojk¸

atem o wierzcho lkach A(−1, 1), B(1, 1), C(0, 0),

1

zad. 8. Znale´

z´

c obj¸eto´s´

c bry ly ograniczonej powierzchniami:

a) y = x

2

, z = x

2

+ y

2

, y = 1, z = 0,

b) z = 4x

2

+ 2y

2

+ 1, x + y − 3 = 0 i p laszczyznami uk ladu wsp´

o lrz¸ednych.

zad. 9. Obliczy´

c

a)

Z Z Z

D

(x + y + z)dxdydz, gdzie D = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4],

b)

Z Z Z

D

xdxdydz

yz

, gdzie D = [1, 2] × [1, e] × [1, e],

c)

Z Z Z

D

xz sin xy dxdydz, gdzie D = [

1
6

,

1
2

] × [0, π] × [0, 1].

zad. 10. Rozwi¸

aza´

c r´

ownanie o zmiennych rozdzielonych:

a) x

q

1 + y

2

+ y

√

1 + x

2

dy

dx

= 0,

b) (1 + x)y + (1 − y)x

dy

dx

= 0,

c) sin x sin y

dy

dx

= cos x cos y,

d)

dy

dx

tgx = y ln y.

zad. 11. Rozwi¸

aza´

c r´

ownanie liniowe rz¸edu pierwszego:

a)

dy

dx

− 2xy = x − x

3

,

b)

dy

dx

− ytgx = 2 cos

2

x,

c) x

2

dy

dx

− 2xy = 3,

d)

dy

dx

+

xy

1 + x

2

=

sin x

√

1 + x

2

,

e) x

dy

dx

+ y = x sin x,

f) x

dy

dx

− 2y = xe

−1/x

.

zad. 12. Rozwi¸

aza´

c r´

ownanie liniowe rz¸edu drugiego:

a) y

00

+ y

0

+ y = 0,

b) y

00

+ y

0

− 2y = 0,

c) y

00

+ 2y

0

+ y = 0,

d) y

00

+ 2y

0

+ 5y = 0,

e) y

00

− 3y

0

+ 2y = 0,

f) y

00

− 7y

0

+ 12y = x,

g) y

00

− 4y

0

+ 4y = x

2

,

h) y

00

− 2y

0

+ 3y = x + 1.

2