1
Egzamin maturalny z matematyki
poziom podstawowy
Czas pracy: 170 minut
W zadaniach od 1. do 26. wybierz i zaznacz jedyną poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
A.
2
6
x
B.
6
2
x
C.
4
2
x
D.
4
2
x
Zadanie 2. (1 pkt)
Miesięczna opłata za parking była równa 150 zł. Po podwyżce opłaty o 20% nowa
wysokość opłaty to
A. 152
zł. B.
153
zł. C.
170
zł. D.
180
zł.
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
5
4
4
7
7
jest równa
A.
5
16
7
. B.
1
7
. C.
3
2
7
. D.
5
7
.
Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba
6
6
log 18 log 3
jest równa
A.
1
2
. B.
1. C.
6
log 15
. D.
6
log 21
.
Zadanie 5. (1 pkt)
Dziedziną wyrażenia
2
2
x
x
jest suma przedziałów
A.
; 2
2;
.
B.
; 2
2;
.
C.
; 2
2;0
0;
.
D.
;0
0; 2
2;
.
Zadanie 6. (1 pkt)
Rozwiązaniem nierówności
2
2
3
x
x
jest przedział
A.
; 4
. B.
; 2
. C.
2;
. D.
4;
.
x
6
x
0
2
2
Zadanie 7. (1 pkt)
Wyrażenie
10
6
2
x
jest równe
A.
10
3
x
. B.
5
6
x
. C.
5
3
x
. D.
5
6
2
x
.
Zadanie 8. (1 pkt)
Wskaż liczbę przeciwną do
x
, gdy
2
:1
2
3
x
A.
10
3
B.
3
10
C.
6
5
D.
6
5
Zadanie 9. (1 pkt)
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej
2
3
f x
m
x
. Wynika stąd, że
A.
5
m
. B.
1
m
. C.
1
m
.
D.
5
m
.
Zadanie 10. (1 pkt)
Z faktu, że funkcja liniowa
3
4
f x
m
x
jest malejąca wynika, że
A.
; 3
m
. B.
3
m
. C.
4
m
. D.
4;
m
.
Zadanie 11. (1 pkt)
Funkcja
f
jest określona wzorem
2
4 dla
2
5 dla
2
x
x
f x
x
x
.
Liczba miejsc zerowych funkcji
f
jest równa
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Zadanie 12. (1 pkt)
Wykresem funkcji kwadratowej
2
6
11
f x
x
x
jest parabola. Prosta, która jest osią
symetrii tej paraboli ma równanie
A.
6
x
. B.
3
x
. C.
3
x
. D.
6
x
.
Zadanie 13. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej
2
7
5
3
f x
x
ma dwa punkty wspólne z prostą
o równaniu
A.
8
y
. B.
6
y
. C.
4
y
. D.
2
y
.
3
Zadanie 14. (1 pkt)
Do zbioru rozwiązań nierówności
7
4
0
x
x
należy liczba
A. 5.
B. 1.
C. –1.
D. –5.
Zadanie 15. (1 pkt)
Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków równania
2
4
2
5
9
0
x
x
x
x
jest równy
A. –360.
B. –40.
C. 40.
D. 360.
Zadanie 16. (1 pkt)
Ciąg trójwyrazowy
4, 2 , 9
x
jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wynika stąd, że
A.
2,5
x
. B.
3
x
. C.
3,5
x
. D.
4
x
.
Zadanie 17. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym
n
a
dane są
3
8
a
i
6
2
a
. Różnica tego ciągu jest równa
A. 6.
B. 2.
C. –2.
D. –6.
Zadanie 18. (1 pkt)
Dane są długości boków
8
AC
i
4
BC
trójkąta prostokątnego
ABC
o kącie ostrym
(patrz rysunek). Wtedy
A.
8
tg
82
. B.
4
tg
82
. C.
tg
2
. D.
1
tg
2
.
Zadanie 19. (1 pkt)
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku jest równa
80
. Kąt rozwarty
tego równoległoboku ma miarę
A.
120
. B.
125
. C.
130
. D.
135
.
Zadanie 20. (1 pkt)
Promień koła opisanego na kwadracie jest równy
8 cm
. Wynika stąd, że pole tego
kwadratu jest równe
A.
2
16cm
. B.
2
64cm
. C.
2
128cm
. D.
2
256cm
.
A C
B
8
4
α
4
Zadanie 21. (1 pkt)
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu
2
3
y
x
jest
równy
A. 2.
B.
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Zadanie 22. (1 pkt)
Punkty
3, 4
A
,
5, 2
B
są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu
ABCD
. Promień
koła wpisanego w ten kwadrat jest równy
A. 5.
B.
5 2
. C.
10. D.
10 2
.
Zadanie 23. (1 pkt)
Środek okręgu o równaniu
2
2
4
6
2010 0
x
y
x
y
ma współrzędne
A.
4, 6
S
. B.
4, 6
S
. C.
2, 3
S
. D.
2,3
S
.
Zadanie 24. (1 pkt)
Graniastosłup ma 10 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest
równa
A. 20.
B. 18.
C. 15.
D. 9.
Zadanie 25. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna pięciu liczb, z których pierwsza jest równa 3, a każda następna
jest o 2 większa od poprzedniej jest równa
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Zadanie 26. (1 pkt)
Ze zbioru liczb
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
wybieramy losowo jedną liczbę. Jeśli
p
oznacza
prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3, to
A.
1
4
p
. B.
1
4
p
. C.
1
3
p
. D.
1
3
p
.
Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
2
15 0
x
x
.
Zadanie 28. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
3
4
12 0
x
x
x
.
5
Zadanie 29. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej
x
prawdziwa jest równość
6
3
64 16
x
x
.
Zadanie 30. (2 pkt)
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej
2
6
11
f x
x
x
w przedziale
0;1
.
Zadanie 31. (2 pkt)
Punkt
E
leży na boku
BC
prostokąta
ABCD
,
E B
i
E C
(zobacz rysunek).
Wykaż, że
BAE
EDC
AED
.
Zadanie 32. (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość
CD
trójkąta
ABC
, gdy
1, 6
A
,
3,8
B
,
1,3
C
.
Zadanie 33. (4 pkt)
Dane są punkty
0, 0
A
,
4, 6
B
,
12, 8
C
. Wykaż, że trójkąt
ABC
jest
prostokątny i wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 34. (4 pkt)
Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego jest
równa 12. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 5, a do trzeciej 20,
to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.
Zadanie 35. (4 pkt)
Wysokość walca jest o 6 dłuższa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni
całkowitej jest równe
378 .
Oblicz objętość tego walca.
A
B
C
D
E
6
ODPOWIEDZI
Nr
zadania 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
Odpowiedź C D C B B D C A C A C B D A B B C D C C D A D C B B
Zadanie 27.
2
2
15 0
x
x
1
3
x
,
2
5
x
; 3
5;
x
Odpowiedź:
; 3
5;
x
.
Zadanie 28.
3
2
3
4
12 0
x
x
x
2
3
4
3
0
x x
x
2
3
4
0
x
x
3
2
2
0
x
x
x
1
3
x
,
2
2
x
,
3
2
x
Odpowiedź:
1
3
x
,
2
2
x
,
3
2
x
Zadanie 29.
Przekształcamy nierówność równoważnie:
2
6
3
6
3
3
64 16
16
64 0
8
0
x
x
x
x
x
.
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
x
.
Zadanie 30.
2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
y
Funkcja kwadratowa
2
6
11
f x
x
x
przyjmuje najmniejszą wartość dla
3
x
,
a w przedziale
0;1
jest malejąca.
Wynika stąd, że najmniejszą wartością
funkcji
f
w przedziale
0;1
jest
1
6
f
.
Odpowiedź:
1
6
f
.
7
Zadanie 31.
Przedłużamy prostą
DE
do przecięcia z prostą
AB
w punkcie
F
.
EFB
EDC
– kąty naprzemianległe
Kąt
AED
jest kątem zewnętrznym trójkąta
AFE
, stąd
AED
BAE
BFE
BAE
EDC
.
Zadanie 32.
Prosta zawierająca wysokość
CD
trójkąta
ABC
, to prosta prostopadła do prostej
AB
,
przechodząca przez punkt
C
. Prosta
AB
ma równanie
5
y x
, a prosta zawierająca
wysokość
CD
ma równanie
2
y
x
.
Odpowiedź:
2
y
x
.
Zadanie 33.
2
52
AB
,
2
208
AC
,
2
260
BC
, stąd
2
2
2
AB
AC
BC
Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt
ABC
jest prostokątny, a odcinek
BC
jest jego przeciwprostokątną. Środek okręgu
opisanego na trójkącie prostokątnym, to środek przeciwprostokątnej, a promień
R
to połowa długości przeciwprostokątnej.
8, 1
S
,
2
65
R
Równanie okręgu jest następujące
2
2
8
1
65
x
y
.
Odpowiedź: Równanie okręgu opisanego na trójkącie
ABC
jest postaci
2
2
8
1
65
x
y
.
Zadanie 34.
Kolejne trzy wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci
,
,
2
a a r a
r
, gdzie
0
r
. Z warunku
2
12
a a r a
r
wynika, że
4
a r
i ciąg
arytmetyczny jest postaci
4
, 4, 4
r
r
oraz
0
r
.
A
B
C
D
E
F
α
α
8
Ciąg
4
2, 4 5, 4
20
6
, 9, 24
r
r
r
r
jest geometryczny, możemy więc
zapisać równanie (z własności ciągu geometrycznego):
2
9
6
24
r
r
, czyli
2
18
63 0
r
r
, które ma dwa rozwiązania
1
21
r
,
2
3
r
.
Druga odpowiedź, czyli
2
3
r
spełnia warunki zadania i liczby będące wyrazami ciągu
arytmetycznego to 1, 4, 7.
Odpowiedź: 1, 4, 7.
Zadanie 35.
Oznaczmy:
r
– promień podstawy walca,
h
– wysokość walca, wtedy
2
6
h
r
Pole powierzchni całkowitej
C
P
tego walca zapisujemy następująco:
2
2
2
2
6
C
P
r
r
r
.
Z warunków zadania zapisujemy równanie z niewiadomą
r
:
2
2
2
2
6
378
r
r
r
, oraz
0
r
.
Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy równanie
2
2
63 0
r
r
, którego
rozwiązaniami są liczby
1
9
r
;
2
7
r
. Pierwsza liczba nie spełnia warunków zadania,
więc promień podstawy
7
r
, a wysokość walca
20
h
.
Obliczamy objętość
V
walca:
2
980
V
r h
.
Odpowiedź:
2
980
V
r h