Teoria liczb 2010, sem.IV,
B.Bajorska, O.Macedońska
Wykład 7.
Równanie Pitagorasa
Definicja 1. (1) Równanie postaci X
2
+ Y
2
= Z
2
o niewiadomych X, Y, Z
nazywamy równaniem Pitagorasa.
(2) Każdą trójkę liczb naturalnych spełniającą równanie Pitagorasa na-
zywamy trójką pitagorejską. Jeśli trójka pitagorejska składa się z liczb
względnie pierwszych, to nazywamy ją właściwą trójką pitagorejską.
(3) Trójkąt, którego długości boków tworzą (właściwą) trójkę pitagorejską
nazywamy (właściwym) trójkątem pitagorejskim.
Przykład Trójka 3, 4, 5 jest trójką pitagorejską, bo 3
2
+ 4
2
= 5
2
. Jest
to trójka właściwa ponieważ NW D(3, 4, 5) = 1. Trójkąt o bokach długości
3, 4, 5 jest właściwym trójkątem pitagorejskim. Trójka 6, 8, 10 jest również
trójką pitagorejską, ale nie właściwą, ponieważ NW D(6, 8, 10) = 2. Trójkąt
o bokach długości 6, 8, 10 jest trójkątem pitagorejskim.
Uwaga 1 Trójki pitagorejskie są uporządkowanymi trójkami liczb - z reguły
po zmianie kolejności przestają być pitagorejskie. Jedynym wyjątkiem jest
zamiana pierwszych dwóch liczb – jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską, to
y, x, z również.
Uwaga 2 Jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską, to rozwiązaniami całkowitymi
równania Pitagorasa są również wszystkie trójki liczb postaci ±x, ±y, ±z
(układ znaków dowolny).
Lemat 1. Każda trójka pitagorejska jest naturalną wielokrotnością pewnej
trójki właściwej.
Dowód. Niech x, y, z będzie trójką pitagorejską i niech NW D(x, y, z) = d.
Wtedy istnieją liczby naturalne x
1
, y
1
, z
1
takie, że x = dx
1
, y = dy
1
, z = dz
1
oraz NW D(x
1
, y
1
, z
1
) = 1 (Wykład 3, Wn.3, Lem.3). Ponadto, dzieląc obu-
stronnie równość x
2
+ y
2
= z
2
przez d
2
, otrzymujemy x
2
1
+ y
2
1
= z
2
1
, zatem
x
1
, y
1
, z
1
jest właściwą trójką pitagorejską, a x, y, z jest jej naturalną wielo-
krotnością.
Twierdzenie 1 (Pitagoras). Istnieje nieskończenie wiele właściwych trójek
pitagorejskich.
Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego naturalnego n mamy
(2n
2
+ 2n + 1)
2
= (2n
2
+ 2n)
2
+ 2(2n
2
+ 2n) + 1 = (2n
2
+ 2n)
2
+ (2n + 1)
2
,
zatem liczby postaci 2n + 1, 2n
2
+ 2n, 2n
2
+ 2n + 1 tworzą trójki pitagorej-
skie. Ponieważ dwie ostatnie różnią się o 1, to są względnie pierwsze, a więc
wszystkie trzy są względnie pierwsze. Zatem są to trójki właściwe i jest ich
nieskończenie wiele.
1
Udowodnimy najpierw cztery lematy potrzebne do następnego twierdzenia.
Lemat 2. Niech d, z będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Jeśli d
2
|z
2
, to
d|z.
Dowód. Aby udowodnić, że d|z wystarczy pokazać, że NW D(d, z) = d.
Jeśli NW D(d, z) = t, to dla pewnych całkowitych liczb a, b mamy z = at, d =
bt, N W D(a, b) = 1 (Wykład 3, Wn.3). Ponadto z warunku d
2
|z
2
wynika, że
dla pewnego całkowitego k mamy z
2
= kd
2
. Zatem
a
2
t
2
= kb
2
t
2
=⇒ a
2
= kb
2
=⇒ b|a
2 L.Eukl.
=⇒ b|a,
a więc b = NW D(a, b) = 1. Stąd b = 1, a więc d = t = NW D(d, z).
Lemat 3. Trójka pitagorejska x, y, z jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy
NW D(x, y) = 1. To znaczy
NW D(x, y, z) = 1 ⇐⇒ NW D(x, y) = 1.
Dowód. Jeśli NW D(x, y) = 1, to oczywiście NW D(x, y, z) = 1, zatem
trójka jest właściwa.
Odwrotnie, z faktu, że trójka x, y, z jest właściwa, czyli NW D(x, y, z) = 1
mamy wywnioskować, że NW D(x, y) = 1. Niech NW D(x, y) = d, wtedy
d|x, d|y, a więc mamy d
2
dzieli x
2
, y
2
, a stąd d
2
|(x
2
+ y
2
), czyli d
2
|z
2
. Z
Lematu 2 mamy d|z. A więc d dzieli NW D(x, y, z), czyli d|1. a stąd d = 1
co kończy dowód.
Lemat 4. Jeśli x, y, z jest właściwą trójką pitagorejską, to liczby x, y są
różnej parzystości, a z jest liczbą nieparzystą.
Dowód. Zauważmy najpierw, że kwadrat liczby parzystej jest postaci 4k, a
kwadrat liczby nieparzystej postaci 4k + 1.
Z Lematu 3 wynika, że liczby x, y nie mogą być jednocześnie parzyste.
Załóżmy, że x, y są nieparzyste. Stąd x
2
= 4r + 1, y
2
= 4s + 1 dla pewnych
r, s. Wtedy z
2
= 4(r + s) + 2, co jest niemożliwe, bo kwadraty są postaci 4k
lub 4k + 1. Tak więc x, y są różnej parzystości i ich kwadraty też. Wtedy
z
2
= 4k + 1 dla pewnego k, a więc z jest liczbą nieparzystą.
Lemat 5. Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi. Jeśli c
2
= ab oraz
NW D(a, b) = 1, to istnieją liczby naturalne m, n takie, że a = n
2
, b = m
2
.
Dowód. Zapiszmy liczby a, b, c w postaci kanonicznej (Wykład 6, Wn.1)
a =
Y
p
i
∈P
p
k
i
i
,
b =
Y
p
i
∈P
p
j
i
i
,
c =
Y
p
i
∈P
p
t
i
i
,
przy czym prawie wszystkie liczby k
i
, j
i
, t
i
są równe 0, a P jest uporządkowa-
nym rosnąco zbiorem liczb pierwszych.
Z równości c
2
= ab mamy
Y
p
i
∈P
p
k
i
+j
i
i
=
Y
p
i
∈P
p
2t
i
i
2
Ponieważ NW D(a, b) = 1, to wykładniki k
i
, j
i
nie mogą być równocześnie
różne od 0, więc z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki (Wykład 6, Tw.1)
wynika, że dla każdego i albo k
i
= 2t
i
albo j
i
= 2t
i
. Zatem wszystkie
wykładniki w postaciach kanonicznych liczb a, b są parzyste, a więc liczby
n :=
Y
p
i
∈P
p
ki
2
i
,
m :=
Y
p
i
∈P
p
ji
2
i
są naturalne oraz a = n
2
, b = m
2
.
Twierdzenie 2 (Postać właściwych trójek pitagorejskich). Jeśli x, y, z jest
właściwą trójką pitagorejską taką, że y jest liczbą parzystą, to istnieją względ-
nie pierwsze liczby naturalne m, n o różnej parzystości, przy czym m > n,
takie, że
x = m
2
− n
2
,
y = 2mn,
z = m
2
+ n
2
.
Dowód. Jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską (liczby są naturalne oraz z > x),
to
y
2
= z
2
− x
2
= (z − x)(z + x).
Ponieważ y jest parzyste, to y = 2c dla pewnego naturalnego c. Wobec tego
z Lematu 4 wynika, że x, z są nieparzyste, a zatem 2|z ± x, czyli dla pewnych
naturalnych a, b, a < b, mamy
z − x = 2a, z + x = 2b.
Zatem mamy
b + a = z, b − a = x.
Pokażemy najpierw, że NW D(a, b) = 1. Jeśli NW D(a, b) = d, to d|a, d|b
i z Własności 8 (Wykład 2, Tw.1) mamy
d|b + a =⇒ d|z oraz d|b − a =⇒ d|x.
Zatem oczywiście d
2
|z
2
, d
2
|x
2
, a stąd
d
2
|z
2
− x
2
=⇒ d
2
|y
2 Lem.2
=⇒ d|y.
Ponieważ x, y, z jest trójką właściwą oraz d|x, d|y to z Lematu 3 wynika, że
d = 1, a stąd mamy NW D(a, b) = 1.
Z równości y
2
= (z − x)(z + x) mamy c
2
= ab, a z Lematu 5 wynika, że
istnieją liczby naturalne m, n takie, że a = n
2
, b = m
2
, wobec tego
z = b + a = m
2
+ n
2
,
x = b − a = m
2
− n
2
,
i dalej mamy
c
2
= ab = n
2
m
2
=⇒ c = mn oraz y = 2c = 2mn.
3
Ponieważ x = m
2
− n
2
= (m − n)(m + n) oraz x jest nieparzystą liczbą
dodatnią, to obie liczby m ± n muszą być nieparzyste i dodatnie, co z kolei
oznacza, że liczby m, n muszą być różnej parzystości oraz m > n.
Pozostaje jeszcze pokazać, że NW D(m, n) = 1. Jeśli NW D(m, n) = d,
to d|m, d|n, skąd oczywiście wynika, że d
2
|m
2
, d
2
|n
2
i mamy
d
2
|m
2
− n
2
=⇒
d
2
|x
oraz
d
2
|2mn
=⇒
d
2
|y.
Zatem d
2
|NW D(x, y). Ponieważ z Lematu 3 mamy NW D(x, y) = 1, to
d = 1, co kończy dowód twierdzenia.
Poniższe twierdzenie jest niejako odwrotne do Twierdzenia 2.
Twierdzenie 3. Każda trójka liczb naturalnych x, y, z postaci:
x = m
2
− n
2
,
y = 2mn,
z = m
2
+ n
2
,
gdzie m, n są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi o różnej parzystości
takimi, że m > n, jest właściwą trójką pitagorejską.
Dowód. Ponieważ (m
2
− n
2
)
2
+ (2mn)
2
= (m
2
+ n
2
)
2
, to x, y, z jest trójką
pitagorejską. Aby udowodnić iż jest to trójka właściwa, wystarczy pokazać,
że NW D(x, z) = 1, bo wtedy także NW D(x, y, z) = 1.
Jeśli NW D(x, z) = d, to w szczególności
d|x =⇒ d|m
2
− n
2
oraz d|z =⇒ d|m
2
+ n
2
,
i na podstawie Własności 8 (Wykład 2, Tw.1) mamy
d|z + x =⇒ d|2m
2
oraz d|z − x =⇒ d|2n
2
.
Ponieważ z założenia jedna z liczb m, n jest nieparzysta a druga parzysta,
to x = m
2
− n
2
jest liczbą nieparzystą, zatem każdy jej dzielnik (d również)
jest liczbą nieparzystą. Wobec tego NW D(d, 2) = 1 i z Lematu Euklidesa
(Wykład 3, Lem.1) wynika, że d|m
2
, d|n
2
, a więc d|NW D(m
2
, n
2
). Ponieważ
NW D(m, n) = 1, to NW D(m
2
, n
2
) = 1, zatem d|1, więc d = 1, co kończy
dowód.
Uwaga Z Twierdzeń 2 i 3, Lematu 1 oraz Uwagi 1 po Definicji 1 wynika, że
każda trójka pitagorejska jest postaci
k(m
2
− n
2
),
2kmn,
k(m
2
+ n
2
)
lub postaci
2kmn,
k(m
2
−n
2
),
k(m
2
+n
2
)
gdzie k, m, n są naturalne i takie, że m > n, 2 - (m−n), NW D(m, n) = 1.
4