1. Matematická logika a teorie množin
1
1. MATEMATICKÁ LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Čas ke studiu:
3x60 minut
Cíl
Po prostudování tohoto odstavce budete umět
•
Lépe a přesněji formulovat své myšlenky.
•
Lépe rozumět významu myšlenek druhých lidí.
•
Tyto myšlenky převést do matematického zápisu a dále s nimi pracovat.
1.1. Logika
VÝROK je vyslovené nebo napsané tvrzení, o němž má smysl rozhodnout, zda je
pravdivé nebo nepravdivé, přičemž musí nastat právě jedna z těchto dvou možností.
Může to být oznamovací věta přirozeného jazyka nebo tvrzení vyjádřené matematickým zápisem
(symboly) nebo kombinace obojího.
Tedy, jak mohou výroky vypadat:
a)
Praha je hlavní město České republiky.
(pravdivý výrok)
b)
V roce 1945 skončila 2. světová válka.
(pravdivý výrok)
c)
6
3
2
=
+
(nepravdivý výrok)
d)
3
4
2
2
128 =
(pravdivý výrok)
e)
Rovnice
0
1
x
2
=
+
má řešení.
(?)
f)
Matematika na základní škole je jednoduchá.
(pravdivý výrok - nebo máte jiný názor?)
g)
Za týden bude pěkné počasí.
(?)
Určitě si nyní pokládáte otázku, pročpak není u výroků e) a g) uvedeno, zda jsou pravdivé či
nepravdivé. U výroku g) je určitě většině z vás jasné, že o jeho pravdivosti můžeme dopředu těžko
rozhodnout. Někdy se s předpovědí netrefí ani zkušení meteorologové. Jak si s takovýmto problémem
poradíme? Jednoduše.
Výroky, o nichž v daném okamžiku nejsme schopni říct, zda jsou pravdivé či nepravdivé,
nazýváme HYPOTÉZY (domněnky).
Či-li:
g)
Za týden bude pěkné počasí.
(hypotéza)
1. Matematická logika a teorie množin
2
Jiná situace nastává u varianty e). Absolventi základní školy by jistě prohlásili, že se jedná o
výrok nepravdivý, neboť neumí vyřešit takovouto rovnici. Oproti tomu absolventi střední
školy by prohlásili, že se jedná o výrok pravdivý a jistě by nám pohotově předložili kořeny
{ }
i
,i
−
. Ovšem pro matematika tohle tvrzení výrokem nebude, protože je pro něj neúplné. Ale
stačí malé doplnění a už bude každý matematik spokojený. Takže např.:
e)
0
1
x
2
=
+
má reálné řešení.
(nepravdivý výrok)
e)
0
1
x
2
=
+
má řešení v komplexních číslech.
(pravdivý výrok)
Tímto příkladem jsme chtěli ukázat, že někdy naše rozhodování závisí na míře dosažených znalostí.
Výroky, u kterých naše rozhodování o pravdivosti závisí na určitých okolnostech,
nazýváme PODMÍNĚNÉ.
Je březen.
je výrok podmíněný, protože je pravdivý v březnu a nepravdivý po zbytek roku
V tomto okamžiku jste si již určitě položili otázku, jak vypadá jazykový výraz, který není výrok.
Nabízíme několik příkladů:
a) Cesta do středu země.
názvy a neúplné oznamovací věty
b)
4
9
6
3
−
+
+
výrazy, kde není co porovnat
c) Okamžitě vynes koš!
rozkazovací věty
d) Už máš napsané úkoly?
tázací věty
e) Číslo x je dělitelné sedmi.
výrazy obsahující proměnnou
Proměnná je symbol, který označuje kterýkoli objekt z dané množiny objektů.
My nevíme, jaké konkrétní číslo je x, ale zato víme, že některá čísla jsou dělitelná sedmi a
jiná nikoliv a proto se o pravdivosti této věty prostě nedá rozhodnout teď ani v budoucnu.
Pozor ale na tvrzení, ve kterých se sice vyskytuje proměnná, ale zároveň je řečeno, jaké
hodnoty máme za proměnnou dosadit.
e)
Každé liché číslo
x
je dělitelné sedmi.
(výrok nepravdivý)
Řešený příklad
• Pomocí proměnných zapište výraz, který vyjadřuje rozdíl druhých mocnin dvou libovolných
reálných čísel.
Řešení
R
y
R
x
y
x
∈
∈
−
,
,
2
2
1. Matematická logika a teorie množin
3
• Stanovte, které z daných jazykových výrazů jsou výroky (pravdivé x nepravdivé), které jsou
hypotézy a které nejsou výroky:
a)
Číslo 8 je prvočíslo.
b)
Řešte rovnici
0
1
3
=
−
x
.
c)
Země není jediná planeta ve vesmíru, kde existuje život.
Řešení
a) Nepravdivý výrok - protože víme, že prvočísla jsou čísla dělitelná pouze sama sebou a jedničkou,
avšak číslo 8 je dělitelné navíc dvojkou a čtyřkou.
b) Není výrok - výraz není tvrzení, ale příkaz
c) Hypotéza - toto tvrzení zatím nebylo potvrzeno ani vyvráceno.
1. Matematická logika a teorie množin
4
Je-li výrok pravdivý, pak můžeme také říct, že výrok platí.
Je-li výrok nepravdivý, pak můžeme také říct, že výrok neplatí.
Výrokům se přiřazují tzv. pravdivostní hodnoty. Pravdivému výroku se přiřazuje pravdivostní
hodnota 1 a nepravdivému výroku se přiřazuje pravdivostní hodnota 0.
Výroky, o nichž jsme doposud mluvili, se nazývají jednoduché výroky. Z jednoduchých výroků lze
vytvářet složené výroky pomocí logických spojek.
Základní složené výroky vidíme v následující tabulce. Základní se jim říká proto, že vzniknou
použitím pouze jediné logické spojky.
Symbol
logické
spojky
Název složeného výroku
Symbolické
označení
výroku
Vyjádření v jazyce
¬
negace výroku
p
p
¬
není pravda, že
p
∧
konjunkce výroků
p
,
q
q
p
∧
p
a
q
p
a zároveň
q
(
p
i
q
,
p
a též
q
)
∨
disjunkce výroků
p
,
q
q
p
∨
p
nebo
q
, (nebo není vylučovací!)
⇒
implikace výroku
q
výrokem
p
q
p
⇒
jestliže
p
, pak
q
p
je postačující podmínkou pro
q
q
je nutnou podmínkou pro
p
⇔
ekvivalence výroků
p
,
q
q
p
⇔
p
právě tehdy když
q
p
tehdy a jen tehdy, když
q
p
je nutnou a postačující podmínkou pro
q
Protože český jazyk nám umožňuje vyjádřit jednu větu několika způsoby, ukažme si, jak může
vypadat implikace:
• Jestliže je 31. prosince, pak končí rok.
• Je-li 31. prosince, končí rok.
• Máme-li 31. prosince, potom končí rok.
• Když je 31. prosince, končí rok.
Věříme, že význam ostatních spojek je čtenáři intuitivně jasný.
1. Matematická logika a teorie množin
5
Samozřejmě, že z těchto základních složených výroků můžeme vytvářet více složené výroky aplikací
dalších logických spojek. Pokud je třeba, použijeme závorky. Složeným výrokem jsou například:
(
)
(
) (
)
q
p
q
p
r
q
p
p
∨
⇔
¬
∧
¬
¬
¬
⇒
∧
¬
¬¬
Následující zápisy nejsou složenými výroky, protože:
•
q
p
⇒⇒
vícekrát těsně za sebou může být pouze spojka negace
nebo za sebou mohou následovat libovolná jiná spojka
následovaná spojkou negace
•
(
)
⇒
∧
¬
q
p
u základního složeného výroku v závorce chybí druhý výrok
•
((
(
)
(
)
)
p
r
q
p
⇔
¬
⇒
∧
¬
nejsou správně použity závorky
Složený
výrok
podmínky jeho pravdivosti
p
¬
Je pravdivý výrok, právě když
p
je nepravdivý.
q
p
∧
Je pravdivý výrok, právě když výroky
p
,
q
jsou oba zároveň pravdivé.
q
p
∨
Je pravdivý výrok, právě když alespoň jeden z výroků
p
,
q
je pravdivý.
q
p
⇒
Je pravdivý výrok, právě když nenastane, že výrok
p
je pravdivý a zároveň výrok
q
je
nepravdivý.
q
p
⇔
Je pravdivý výrok, právě když jsou výroky
p
,
q
oba zároveň pravdivé, anebo oba
zároveň nepravdivé.
Na chvíli se zastavíme u implikace.
q
p
⇒
je pravdivý výrok právě tehdy když
• buď výrok
p
je nepravdivý
• nebo výrok
p
je pravdivý a zároveň je pravdivý i výrok
q
.
1. Matematická logika a teorie množin
6
Řešený příklad
• Jsou dány výroky
2
4
:
≠
p
…..nepravdivý výrok,
5
3
:
<
q
…….pravdivý výrok. Rozhodněte,
které z následujících složených výroků jsou pravdivé a které nepravdivé:
a)
p
¬
b)
q
¬
c)
q
p
∧
d)
q
p
∨
e)
q
p
⇒
f)
q
p
⇔
g)
q
p
¬
⇒
¬
Řešení
a)
2
4
=
výrok pravdivý
b)
5
3
≥
výrok nepravdivý
c)
2
4
≠
a zároveň
5
3
<
výrok nepravdivý, protože nejsou pravdivé oba výroky
d)
2
4
≠
nebo
5
3
<
výrok pravdivý, protože je pravdivý druhý výrok
e) jestliže
2
4
≠
, pak
5
3
<
výrok pravdivý, protože z nepravdivého výroku může
vzniknout výrok pravdivý
f)
2
4
≠
právě tehdy když
5
3
<
výrok nepravdivý, protože jeden z výroků je
nepravdivý a druhý je pravdivý
g) jestliže
2
4
=
, pak
5
3
≥
výrok nepravdivý, protože z pravdivého výroku
nemůže vzniknout výrok nepravdivý
Symboly
p
a
q
mohou představovat nejen určité výroky, ale také výrokové proměnné, tj. proměnné
zastupující výroky (základní i složené).
Výrazy vytvořené z konečného počtu výrokových proměnných, logických spojek a popř. závorek se
nazývají výrokové formule.
1. Matematická logika a teorie množin
7
Následující tabulka vyjadřuje pravdivostní hodnoty základních výrokových formulí.
p
q
p
¬
q
p
∧
q
p
∨
q
p
⇒
q
p
⇔
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Závorky u výrokových formulí bývají zapotřebí proto, že všechny logické spojky nemají stejnou
prioritu (přednost).
Priorita:
1. dvojice závorek
2.
¬
3.
∨
∧,
4.
⇔
⇒,
Jinými slovy, mám-li určit pravdivostní ohodnocení libovolné složené formule, nejprve zjišťuji
ohodnocení formulí uvnitř závorek (jsou-li závorky vnořeny do sebe, postupujeme od vnitřní k vnější),
potom negací formulí, dále konjunkcí a disjunkcí formulí a nakonec implikací a ekvivalencí formulí.
Řešený příklad
• Určete pravdivostní ohodnocení formule
(
)
(
)
[
]
p
r
p
q
p
∨
∧
¬
⇔
¬
⇒
.
Řešení
p q
r
q
¬
)
(
q
p
s
¬
⇒
=
r
p
∧
)
(
r
p
t
∧
¬
=
)
(
t
s
u
⇔
=
p
u
∨
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
Abychom ušetřili místo v tabulce, použili jsme nové výrokové proměnné
u
t
s ,
,
pro označení částí
výrokové formule. Pořadí sloupců v tabulce udává pořadí vyhodnocování ohodnocení formule.
Poslední sloupec je pravdivostním ohodnocením celé formule.
Jak je vidět, zadaná formule je nepravdivá, jsou-li současně nepravdivé výrokové proměnné (výroky)
p
a
r
. Formule je pravdivá ve všech ostatních případech.
1. Matematická logika a teorie množin
8
Formule, jejíž všechna pravdivostní ohodnocení jsou rovna 1, se nazývá tautologie.
Formule, jejíž všechna pravdivostní ohodnocení jsou rovna
0
, se nazývá kontradikce.
Tj. tautologie je formule, která platí (je pravdivá) za všech okolností, zatímco kontradikce je formule,
která nikdy neplatí (je nepravdivá).
Formule z příkladu není ani kontradikce ani tautologie (v posledním sloupci je šest
1
a dvě
0
).
Dvě výrokové formule jsou si rovny, obsahují-li stejné proměnné a mají-li stejná
pravdivostní ohodnocení pro stejná ohodnocení proměnných.
Tj. použijeme-li pro obě formule tabulky, musí se jejich poslední sloupce shodovat.
Nebo také, dvě formule jsou si rovny, jsou-li ekvivalentní.
Dva důležité vztahy:
)
p
q
(
)
q
p
(
¬
⇒
¬
⇔
⇒
obměna implikace
)
q
p
(
)
q
p
(
∨
¬
⇔
⇒
náhrada implikace disjunkcí
Máme-li
q
p
⇒
, potom
p
q
⇒
je obrácená implikace.
Řešený příklad
• Pro výroky
p
: Petr má hlad.
q
: Dušan má hlad.
vyjádřete výrokovými formulemi složené výroky:
a) Petr ani Dušan nemají hlad.
b) Alespoň jeden z chlapců má hlad.
Řešení
a)
q
p
¬
∧
¬
Petr nemá hlad a zároveň Dušan nemá hlad.
b)
q
p
∨
Petr má hlad nebo Dušan má hlad.
Spojka nebo není vylučovací, tj. zahrnuje i případ, že mají hlad oba chlapci.
1. Matematická logika a teorie množin
9
• Vyslovte obměny a obrácení implikací:
a) Jestliže si chci večer číst, rozsvítím si světlo.
b) Pokud dostanu chuť na džus, koupím si jej v obchodě.
Řešení
a) Nerozsvítím-li si večer světlo, nechci si číst.
Rozsvítím-li večer světlo, chci si číst.
b) Nekoupím-li si v obchodě džus, nedostanu na něj chuť.
Jestliže si koupím v obchodě džus, dostanu na něj chuť.
Správný výsledek může být zapsán i s mírnými odchylkami, význam tvrzení však musí zůstat stejný.
1. Matematická logika a teorie množin
10
1.2. Množiny
MNOŽINA
je soubor libovolných navzájem různých objektů, které mají stejnou vlastnost,
vzhledem ke které jsou chápány jako jeden celek.
Například
a) množina židlí
b) množina všech lidí majících alespoň 190 cm,
c) množina všech kladných lichých čísel,
d) množina všech přímek v rovině, …
Množinu pokládáme za určenou, je-li možno o každém prvku jednoznačně rozhodnout, zda do ní
patří, či nikoliv.
Z předchozího příkladu pokládáme za určené množinu c) a d), nikoliv však množiny a) (záleží na
našem subjektivním názoru, co ještě považujeme za židli a co už nikoliv) a b) (záleží na míře přesnosti
měření, nehledě na to, že ráno je každý člověk o kousek vyšší než večer).
Každý z objektů, který patří do množiny, se nazývá prvek množiny.
K označování množin se většinou používají velká písmena latinské abecedy
,...
,
,
M
B
A
k označování
jejich prvků malá písmena
,...
,
,
x
b
a
Výjimkou je např. značení v geometrii.
Značení:
A
a
∈
………objekt
a
je prvkem (elementem) množiny
A
A
b
∉
………objekt
b
není prvkem (elementem) množiny
A
Množina obsahující alespoň jeden prvek se nazývá neprázdná.
Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná a značí se
∅
.
Příkladem prázdné množiny by mohla být množina lidí majících 9 hlav nebo množina přirozených
čísel menších než 1.
Z hlediska počtu prvků můžeme množiny rozdělit na
a) konečné – mají konečný počet prvků (prázdná množina nebo množina, jejíž počet
prvků je přirozené číslo). Počet prvků konečné množiny A označujeme
A
.
b) nekonečné – ty, které nejsou konečné.
1. Matematická logika a teorie množin
11
Způsoby zadání množiny
a)
výčtem prvků
, tj. vyjmenováním všech prvků množiny
{
}
n
x
x
x
M
,...,
,
2
1
=
M je množina prvků
,
,
2
1
x
x
až
n
x
Pozor! množina přirozených čísel
{
}
,...
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
N
není dána výčtem prvků.
Tímto způsobem lze zadat pouze množinu konečnou.
Množina všech jednociferných přirozených čísel
{
}
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
M
b)
charakteristickou vlastností
, tj. vlastností, kterou mají právě jen prvky zadávané
množiny
Označme
U
množinu všech prvků (tzv. základní množina).
{
}
)
(
:
x
V
U
x
M
∈
=
M je množina všech prvků
x
z množiny
U
, které mají vlastnost
V
.
Množina všech kladných nejvýše dvojciferných celých čísel
{
}
100
,
0
:
<
>
∈
=
x
x
Z
x
M
Pozn.: Možné jsou i zápisy
{
}
100
,
0
;
<
>
∈
=
x
x
Z
x
M
nebo
{
}
100
,
0
<
>
∈
=
x
x
Z
x
M
c)
jinak (jiné způsoby zadání množin se vyskytují jen zřídka, proto je nebudeme rozebírat)
Prvky množin mohou být opět množiny. Množinu, jejímiž prvky jsou jisté množiny, nazýváme systém
množin. Vylučuje se případ množiny, která by obsahovala jako prvek samu sebe a případ množiny
všech množin.
Řešený příklad
• Určete výčtem prvků množiny
a) Množinu všech celých čísel, která jsou lichá a zároveň jsou větší než
15
−
a menší
než
3
−
.
b)
<
∧
>
+
∈
=
34
3
6
2
5
:
x
x
N
x
M
Řešení
a)
{
}
5
,
7
,
9
,
11
,
13
−
−
−
−
−
=
M
b)
7
6
2
5
>
⇒
>
+
x
x
3
34
34
3
<
⇒
<
x
x
{
}
11
,
10
,
9
,
8
=
M
1. Matematická logika a teorie množin
12
• Určete množinu pomocí její charakteristické vlastnosti:
{
}
14
,
12
,
10
,
8
,
6
,
4
,
2
=
M
.
Řešení
M
je množina všech sudých čísel od 2 do 14.
{
}
7
1
,
2
:
≤
≤
=
∈
=
k
k
x
N
x
M
• Množinu zapište symbolicky: množina
M
reálných čísel, jejichž přirozený logaritmus je menší
než jejich druhá mocnina zmenšená o dvě.
Řešení
{
}
)
2
(
ln
:
2
−
<
∈
=
x
x
R
x
M
1. Matematická logika a teorie množin
13
Množinové vztahy a operace
Mějme dánu základní množinu
U
. Prvky množin
A
a
B
budou pouze některé z prvků množiny
U
.
Vztahy mezi množinami
A
a
B
:
vztah
symbol
čtení symbolu
definice
Inkluze množin
A
a
B
B
A
⊆
množina
A
je
podmnožinou (částí)
množiny
B
A
je podmnožinou
B
, právě když každý prvek
množiny A je zároveň prvkem množiny B
(
)
B
x
A
x
U
x
B
A
∈
⇒
∈
∈
∀
⇔
⊆
:
Rovnost množin
A
a
B
B
A
=
množina
A
se rovná
množině
B
A
a
B
jsou si rovny, právě když
B
A
⊆
a
zároveň
A
B
⊆
, tj. mají všechny prvky stejné
(
)
B
x
A
x
U
x
B
A
A
B
B
A
B
A
∈
⇔
∈
∈
∀
⇔
=
⊆
∧
⊆
⇔
=
:
Ostrá inkluze
množin
A
a
B
B
A
⊂
množina
A
je vlastní
podmnožinou
množiny
B
A je vlastní podmnožinou B, právě když
B
A
⊆
a zároveň
B
A
≠
B
A
B
A
B
A
≠
∧
⊆
⇔
⊂
Základní operace s množinami
A
a
B
:
operace
symbol
definice
Sjednocení množin A
a
B
B
A
∪
Sjednocení množin A
a
B je množina všech prvků
z množiny
U
, které patří alespoň do jedné z množin
A
,
B .
{
}
B
x
A
x
U
x
B
A
∈
∨
∈
∈
=
∪
:
Průnik množin
A
a
B
B
A
∩
Průnik množin
A
a
B je množina všech prvků
z množiny
U
, které patří do množiny A
a zároveň
do množiny B .
{
}
B
x
A
x
U
x
B
A
∈
∧
∈
∈
=
∩
:
Rozdíl množin A
a
B
B
A
−
Rozdíl množin A
a
B je množina všech prvků
z množiny
U
, které patří do množiny
A
a zároveň
nepatří do množiny
B .
{
}
B
x
A
x
U
x
B
A
∉
∧
∈
∈
=
−
:
Doplněk množiny A
A′
Doplněk množiny A
je množina všech prvků
z množiny
U
, které nepatří do množiny A .
{
}
A
x
U
x
A
∉
∈
=
′
:
1. Matematická logika a teorie množin
14
Pro
B
A
⊂ nazveme rozdíl
A
B
− doplňkem množiny A v množině B . Značíme
B
A′
.
Říkáme, že množina A je disjunktní s množinou B , právě když mají množiny A a B
prázdný průnik (
∅
=
∩ B
A
), tj. nemají žádný společný prvek.
Řešený příklad
• Mějme základní množinu
{
}
g
f
e
d
c
b
a
U
,
,
,
,
,
,
=
, dále množinu
{
}
g
e
c
a
A
,
,
,
=
a množinu
{
}
e
d
c
b
B
,
,
,
=
. (Vidíme, že
U
A
⊂
a také
U
B
⊂
.)
Určete základní vztahy mezi množinami
A
a
B
.
Řešení
A
B
B
A
B
A
A
B
B
A
⊂/
⊂/
≠
⊆/
⊆/
,
,
,
,
,
B
A
B
A
B
A
⊂/
≠
⊆/
,
,
• Určete základní operace s množinami
A
a
B
:
Řešení
{
}
g
e
d
c
b
a
B
A
,
,
,
,
,
=
∪
{ }
e
c
B
A
,
=
∩
…………..množiny
A
a
B
tedy nejsou disjunktní
{ }
g
a
B
A
,
=
−
{ }
d
b
A
B
,
=
−
{
}
f
d
b
A
,
,
=
′
{
}
g
f
a
B
,
,
=
′
• Mějme základní množinu
{
}
g
f
e
d
c
b
a
U
,
,
,
,
,
,
=
, dále množiny
{
}
g
f
d
c
b
A
,
,
,
,
=
,
{ }
d
b
B
,
=
,
{ }
d
b
C
,
=
.
Určete základní vztahy mezi množinami
A
,
B
a
C
Řešení
C
A
C
A
C
A
B
A
B
A
B
A
⊂/
≠
⊆/
⊂/
≠
⊆/
,
,
,
,
,
C
B
C
B
C
B
A
B
A
B
A
B
⊂//
=
⊆
⊂
≠
⊆
,
,
,
,
,
B
C
B
C
B
C
A
C
A
C
A
C
⊂/
=
⊆
⊂
≠
⊆
,
,
,
,
,
1. Matematická logika a teorie množin
15
Základní množinové operace sjednocení a průnik lze zobecnit také pro systém množin.
sjednocení
průnik
operace sjednocení systému množin
n
M
M
M
,
,
,
2
1
L
průnik systému množin
n
M
M
M
,
,
,
2
1
L
symbol
n
n
i
i
M
M
M
M
∪
∪
∪
=
=
L
U
2
1
1
n
n
i
i
M
M
M
M
∩
∩
∩
=
=
L
I
2
1
1
definice Sjednocení systému množin
n
M
M
M
,
,
,
2
1
L
je množina všech prvků
z množiny
U
, které patří alespoň do jedné
z množin
n
M
M
M
,
,
,
2
1
L
.
{
}
n
n
i
i
M
x
M
x
M
x
U
x
M
∈
∨
∨
∈
∨
∈
∈
=
=
=
L
U
2
1
1
:
Průnik systému množin
n
M
M
M
,
,
,
2
1
L
je množina všech prvků z množiny
U
,
které patří do každé z množin
n
M
M
M
,
,
,
2
1
L
.
{
}
n
n
i
i
M
x
M
x
M
x
U
x
M
∈
∧
∧
∈
∧
∈
∈
=
=
=
L
I
2
1
1
:
Systém množin
se nazývá disjunktní právě tehdy, když jsou každé jeho dvě množiny
disjunktní (tzv. po dvou disjunktní množiny).
Řešený příklad
• Mějme základní množinu
{
}
g
f
e
d
c
b
a
U
,
,
,
,
,
,
=
, dále množiny
{
}
g
d
c
b
A
,
,
,
=
,
{ }
d
b
B
,
=
,
{
}
e
d
a
C
,
,
=
.Určete jejich sjednocení a průnik.
Řešení
{
}
g
e
d
c
b
a
C
B
A
,
,
,
,
,
=
∪
∪
,
{ }
d
C
B
A
=
∩
∩
.
• Zdůvodněte, zda platí množinová rovnost
{
} {
}
1
,
4
1
,
1
1
,
2
5
7
,
5
,
3
,
1
+
+
+
=
?
Řešení
Množinová rovnost neplatí, protože dané množiny mají sice stejný počet prvků, ale navzájem se liší
v jednom prvku množiny.
• Je následující zápis platná množinová inkluze?
{
}
c
b
a
c
,
,
⊂
Řešení
Zápis
{
}
c
b
a
c
,
,
⊂
není množinová inkluze, protože podmnožinou množiny může být pouze množina,
nikoliv jen jednotlivé prvky. Správná množinová inkluze by byla
{ } {
}
c
b
a
c
,
,
⊂
.
1. Matematická logika a teorie množin
16
• Vyjádřete výčtem prvků množinu
{
}
2
:
2
<
∈
=
x
Z
x
M
a určete systém všech podmnožin této
množiny.
Řešení
{
}
2
:
2
<
∈
=
x
Z
x
M
, tzn.
{
}
1
,
0
,
1
−
=
M
Systém všech podmnožin množiny
M
je
{ } { } {} {
} { } { }
{
}
M
S
,
1
,
0
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
0
,
1
,
−
−
−
∅
=
.
• Jsou dány množiny
{
}
{
}
8
,
6
,
4
,
2
,
9
,
7
,
5
,
3
,
1
=
=
B
A
. Určete
A
B
B
A
B
A
B
A
−
−
∩
∪
,
,
,
.
Řešení
{
} {
}
8
,
6
,
4
,
2
,
9
,
7
,
5
,
3
,
1
=
=
B
A
{
}
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
∪B
A
∅
=
∩B
A
∅
=
−B
A
∅
=
−A
B
1. Matematická logika a teorie množin
17
Grafické znázornění množin
Číselné množiny nejčastěji znázorňujeme na číselné ose a to buď přímo na ní, nebo pomocí
vodorovných čar rovnoběžných s číselnou osou. Pokud číselná množina obsahuje nekonečně mnoho
racionálních nebo reálných čísel (viz dále), potom je celá množina nebo její část zadána intervalem,
který může, ale nemusí obsahovat krajní hodnoty. Pokud krajní hodnota intervalu do množiny patří,
vyznačíme tuto hodnotu plným kolečkem. Pokud do množiny nepatří, vyznačíme ji kolečkem
prázdným. To, zda krajní hodnota do intervalu patří, či ne, poznáme podle uzávorkování intervalu.
Špičatá závorka označuje hodnotu, která ještě do intervalu patří a kulatá závorka hodnotu, která už do
intervalu nepatří.
Řešený příklad
• Je dána množina
{
}
5
,
3
;
5
(
x
:
R
x
A
−
∈
∈
=
, znázorněte ji na číselné ose.
Řešení
Nečíselné množiny a množiny číselné, které z nějakého důvodu nelze nebo není vhodné znázornit na
číselné ose, znázorňujeme pomocí tzv. množinových diagramů. Jedná se o grafické znázornění
množiny v rovině.
Základní množinu
U
znázorňujeme obdélníkem. Pokud v množinovém diagramu tento obdélník není,
znamená to, že základní množinu zobrazuje celá rovina. Podmnožiny množiny
U
, tedy množiny
,...
,B
A
, jsou znázorněny oválnými obrazci uvnitř obdélníku znázorňujícího množinu
U
. Chceme-li
zobrazit prvek
M
x
∈
, uděláme křížek či kolečko uvnitř obrazce znázorňujícího množinu
M
. Pro
snadnou orientaci nezapomeneme vyznačené množiny a prvky označit.
1. Matematická logika a teorie množin
18
Množinové diagramy znázorňující vztahy mezi množinami a operace s množinami se
nazývají Vennovy diagramy.
B
A
⊆
B
A
⊆/
B
A
⊆/
Výsledky operací s množinami se vyznačují šrafováním či vybarvením.
B
A
∪
B
A
∪
B
A
−
A
B
−
1. Matematická logika a teorie množin
19
A′
B
A′
Chceme-li Vennovým diagramem znázornit dvě libovolné množiny, o nichž zatím nic nevíme,
musíme použít ten nejobecnější obrázek.
Do částí neobsahujících žádný prvek vepíšeme znak
∅
.
Následující dva obrázky
můžeme překreslit takto:
1. Matematická logika a teorie množin
20
Vlastnosti množinových operací
Platnost následujících rovností si můžete snadno ověřit sestavením Vennových diagramů. Stačí
sestavit Vennův diagram pro levou stranu rovnosti a další pro pravou stranu rovnosti a oba diagramy
mezi sebou porovnat.
A
B
B
A
∪
=
∪
komutativní zákon pro sjednocení množin
A
B
B
A
∩
=
∩
komutativní zákon pro průnik množin
B
A
B
A
′
∩
=
−
B
A
A
B
∩
′
=
−
B
A
B
A
′
∩
′
=
′
∪ )
(
B
A
B
A
′
∪
′
=
′
∩ )
(
Pro
B
A
⊆
platí:
∅
=
′
∩
=
−
B
A
B
A
,
B
A
B
A
A
B
′
=
∩
′
=
−
.
Z Vennových diagramů můžeme také určit počet prvků konečných množin:
obecné množiny:
B
A
B
A
A
B
B
A
B
A
B
A
∩
−
+
=
−
+
∩
+
−
=
∪
disjunktní množiny:
B
A
B
A
+
=
∪
1. Matematická logika a teorie množin
21
Řešený příklad
• Pomocí Vennových diagramů ověřte platnost následující množinové rovnosti (tzv. de Morganovy
formule) pro libovolné dvě množiny A,B:
(
)
B
A
B
A
′
∩
′
=
′
∪
.
Řešení
(
)
B
A
B
A
′
∩
′
=
′
∪
B
A
∪
(
)
′
∪ B
A
A′
B′
B
A
′
∩
′
1. Matematická logika a teorie množin
22
Kartézský součin množin
N
-tice prvků
)
2
,
(
;
,...
,
2
1
≥
∈
n
n
x
x
x
n
N
je konečná množina o
n
prvcích
{
}
n
x
x
x
,...,
,
2
1
, kde nezáleží na pořadí prvků.
Uspořádaná
n
-tice prvků (konečná posloupnost prvků)
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
, kde
2
,
≥
∈
n
n
N
je konečná množina o
n
prvcích, kde záleží na pořadí prvků.
Zapamatujte si, že zápis uspořádané
n
-tice prvků se od zápisu neuspořádané
n
-tice prvků liší
v použití závorky. Závorka může být
• kulatá, např. pro zápis souřadnic vektoru:
)
,...,
,
(
2
1
n
u
u
u
u
=
• hranatá, např. pro zápis souřadnic bodu:
[
]
n
a
a
a
A
,...,
,
2
1
=
• špičatá, např. pro zápis prvků uspořádané báze – učivo VŠ:
n
b
b
b
B
,...,
,
2
1
=
Neuspořádaná
n
-tice může být taktéž uzávorkována, ale pouze závorkou množinovou, jak plyne ze
samotné definice.
Dvě
n
-tice prvků se
rovnají, obsahují-li právě tytéž prvky, tj. pokud se rovnají příslušné
množiny.
Dvě uspořádané n-tice prvků se
rovnají právě tehdy, když mají stejné prvky na stejných
místech, nebo-li:
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
′
=
∧
∧
′
=
∧
′
=
⇔
′
′
′
=
...
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
2
2
1
1
2
1
2
1
.
Kartézským součinem množin A, B, který značíme
B
A
× , nazveme množinu všech
uspořádaných dvojic prvků, kde první prvek je z množiny A a druhý prvek je z množiny
B .
{
}
m
j
n
i
B
y
A
x
y
x
B
A
j
i
j
i
,..,
2
,
1
,
,...,
2
,
1
,
,
),
,
(
=
∀
=
∀
∈
∈
=
×
.
Pro počet prvků kartézského součinu dvou množin
B
A,
platí:
B
A
B
A
⋅
=
×
.
Nebo-li počet prvků kartézského součinu dvou množin se rovná součinu počtu prvků první množiny
s počtem prvků druhé množiny.
1. Matematická logika a teorie množin
23
Kartézským součinem množin
n
M
M
M
,...,
,
2
1
,
2
,
≥
∈
n
n N
, který značíme
n
M
M
M
×
×
×
...
2
1
, nazveme množinu všech uspořádaných
n
-tic prvků
(
)
n
x
x
x
,...,
,
2
1
,
kde
n
n
M
x
M
x
M
x
∈
∈
∈
,...,
,
2
2
1
1
.
Počet prvků kartézského součinu
n
konečných množin
n
M
M
M
,...,
,
2
1
(
2
,
≥
∈
n
n
N
), které mají
n
M
M
M
,...,
,
2
1
prvků, je
M
M
...
n
2
1
2
1
L
⋅
=
×
×
×
M
M
M
M
n
.
Řešený příklad
• Jsou dány množiny
}
,
,
{
c
b
a
A
=
,
}
,
{
β
α
=
B
,
}
3
,
2
,
1
{
=
C
Určete:
B
C
A
B
C
A
×
×
×
,
,
2
.
Řešení
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
3
,
,
2
,
,
1
,
,
3
,
,
2
,
,
1
,
,
3
,
,
2
,
,
1
,
c
c
c
b
b
b
a
a
a
C
A
=
×
(
) (
) (
)
{
}
β
β
β
α
α
α
,
,
,
,
,
2
=
×
=
B
B
B
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
}
,
3
,
,
,
3
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
1
,
,
,
1
,
,
,
3
,
,
,
3
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
1
,
,
,
1
,
,
,
3
,
,
,
3
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
1
,
,
,
1
,
{
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
c
c
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
B
C
A
=
×
×
• Určete kartézský součin
B
A
×
, je-li
{ }
{
}
4
:
,
2
,
1
<
∈
=
=
x
x
B
A
N
.
Řešení
{ }
{
} { }
3
,
2
,
1
4
:
,
2
,
1
=
<
∈
=
=
x
N
x
B
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
3
,
2
,
2
,
2
,
1
,
2
,
3
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
=
× B
A
1. Matematická logika a teorie množin
24
Množinová zobrazení
Nechť
B
A,
jsou neprázdné množiny.
Zobrazení množiny A do množiny B je množina F uspořádaných dvojic
B
A
y
x
×
∈
)
,
(
, kde ke každému prvku
A
x
∈
přiřadíme právě jeden prvek
B
y
∈ .
Značení:
B
A
F
→
:
Prvek
x
je vzor prvku
y
v zobrazení
F
.
Prvek
y
je - obraz prvku
x
v zobrazení
F
.
- hodnota zobrazení
F
v bodě
x
(v prvku
x
)
značení:
)
(x
F
y
=
Množina
A
je definiční obor zobrazení
F
značení:
( )
F
D
A
=
Obor hodnot zobrazení
F
značení:
( )
F
H
Platí
B
F
H
⊆
)
(
. Obor hodnot je množina všech obrazů v zobrazení
F
.
Řešený příklad
• Zobrazení množiny
A
do množiny
B
.
Řešení
Zobrazení množiny
A do sebe je takové zobrazení, kde
B
A
= .
Značení:
A
A
F
→
:
Zobrazení se také říká
zobrazení v množině A .
Příkladem takového zobrazení je funkce jedné reálné proměnné nebo geometrická zobrazení v rovině
a v prostoru.
1. Matematická logika a teorie množin
25
Zobrazení množiny A na množinu B je množina F uspořádaných dvojic
B
A
y
x
×
∈
)
,
(
, kde každý prvek množiny B je obrazem alespoň jednoho prvku množiny
A . Nebo-li
)
(F
H
B
=
.
Řešený příklad
• Zobrazení množiny
A
na množinu
B
.
Řešení
Zobrazení F je
prosté, jestliže je v tomto zobrazení každý prvek
)
(F
H
y
∈
obrazem
právě jednoho prvku
)
(F
D
A
x
=
∈
.
Jinými slovy zobrazení
F
je prosté, když pro každé dva různé vzory
2
1
,x
x
dostaneme dva různé
obrazy
)
(
),
(
2
1
x
F
x
F
.
Zapsáno symbolicky:
)
(
)
(
2
1
2
1
x
F
x
F
x
x
≠
⇒
≠
nebo
2
1
2
1
)
(
)
(
x
x
x
F
x
F
=
⇒
=
, což je
totéž.
Řešený příklad
• Prosté zobrazení množiny
A
do množiny
B
.
Řešení
1. Matematická logika a teorie množin
26
• Prosté zobrazení množiny
A
na množinu
B
.
Řešení
Prosté zobrazení je výjimečné v tom, že k němu existuje právě jedno opět prosté zobrazení, které
ke každému prvku
)
(F
H
y
∈
přiřazuje prvek
)
(F
D
x
∈
.
Jedná se o inverzní zobrazení
1
−
F
k zobrazení
F
.
Označení:
A
B
F
→
−
:
1
.
Platí:
),
(
)
(
),
(
)
(
1
1
F
D
F
H
F
H
F
D
=
=
−
−
)
(
)
(
1
x
F
y
y
F
x
=
⇔
=
−
.
Nechť je dáno zobrazení
B
A
G
→
:
a zobrazení
C
B
F
→
1
:
přičemž platí
1
)
(
B
G
H
⊆
.
Potom existuje zobrazení
C
A
G
F
→
:
o
, které se nazývá
složené zobrazení ze zobrazení
F
G, v tomto pořadí.
Všimněte si, že při skládání zobrazení záleží na pořadí zobrazení a také si všimněte, že zobrazení se
skládá „odzadu“.
Skládání zobrazení konkrétně:
Každému prvku
A
x
∈
přiřadíme právě jeden prvek
C
y
∈
ve dvou krocích:
1. Najdeme prvek
)
(x
G
u
=
, tj. k prvku x sestrojíme v zobrazení G jeho obraz u. Platí, že
)
(G
H
u
∈
a podle definice musí platit také, že
1
B
u
∈
.
2. Najdeme prvek
)
(u
F
y
=
, tj. k prvku u sestrojíme v zobrazení F jeho obraz y. Platí
))
(
(
x
G
F
y
=
.
Definiční obor:
A
G
F
D
=
)
( o
Obor hodnot:
=
)
(
G
F
H
o
oboru hodnot množiny
)
(G
H
v zobrazení
F
,
)
(
)
(
F
H
G
F
H
⊆
o
1. Matematická logika a teorie množin
27
Řešený příklad
• Složené zobrazení.
Řešení
• Zobrazení množiny
{
}
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
A
na množinu
B
je dáno množinou uspořádaných dvojic
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
{
}
6
,
7
,
7
,
6
,
5
,
5
,
5
,
4
,
4
,
3
,
5
,
2
,
6
,
1
. Určete množinu
B
. Je toto zobrazení prosté?
Řešení
Jedná se o zobrazení množiny
A
na množinu
{
}
7
,
6
,
5
,
4
=
B
.
Toto zobrazení není prosté, protože číslo
6
z množiny
B
je přiřazeno číslům
1
a
7
z množiny
A
,
dále číslo
5
z množiny
B
je přiřazeno číslům
5
,
4
,
2
z množiny
A
.
Aby zobrazení bylo prosté, muselo by každému číslu z množiny
A
odpovídat právě jedno číslo z
množiny
B
a naopak každému číslu z množiny
B
by muselo odpovídat právě jedno číslo z množiny
A
.
1. Matematická logika a teorie množin
28
Úlohy k řešení
Úloha 1.1.
Pomocí proměnných zapište výraz, který vyjadřuje:
a) třetí mocninu součtu dvou libovolných reálných čísel
b) libovolné sudé číslo
c) libovolné liché číslo
d) průnik dvou libovolných přímek dané roviny
♦
Úloha 1.2.
Stanovte, které z daných jazykových výrazů jsou výroky (pravdivé x nepravdivé), které jsou
hypotézy a které nejsou výroky:
a) Středoškolská matematika.
b)
7
5
2
≥
⋅
c) Číslo 5 je sudé.
d)
R
x
x
∈
> ,
0
e) Pro každé reálné číslo
x
platí
1
sin
≤
x
.
f) Přímka
p
je v rovině rovnoběžná s přímkou
q
.
g) Dnes je neděle.
h) Venku sněží.
i) Je
0
)
2
(
2
≥
−
?
j) Měsíc srpen má 31 dní.
♦
Úloha 1.3.
K daným výrokům
p
: Číslo
9
je dělitelné dvěma.
nepravdivý výrok
q
: Číslo 9 je dělitelné třemi.
pravdivý výrok
vytvořte složené výroky
q
p
q
p
q
p
q
p
p
⇔
⇒
∨
∧
¬
,
,
,
,
a zjistěte, zda jsou pravdivé či
nepravdivé.
♦
1. Matematická logika a teorie množin
29
Úloha 1.4.
Na večírek bylo pozváno
5
přátel, které označíme
P
N
M
L
K
,
,
,
,
. Jejich odpovědi na pozvání lze
vyjádřit výroky:
a) Přijde K a přijde L.
b) Přijde L nebo přijde M.
c) Jestliže přijde M, pak přijde také N.
d) P přijde právě tehdy, když přijde M.
Pro nepříznivé počasí nepřišel nikdo z nich. Rozhodněte, kteří z pozvaných přesto neporušili slib,
tj. které z výroků a) až d) jsou pravdivé.
♦
Úloha 1.5.
Stanovte, zda jsou pravdivé tyto implikace:
a) Je-li 9 sudé číslo, pak také 9
2
je sudé číslo.
b) Je-li 6 prvočíslo, pak 11 je prvočíslo.
c) Jestliže je dané přirozené číslo součinem dvou lichých čísel, potom je toto číslo liché.
♦
Úloha 1.6.
Pro dané výroky
:
p
přijede otec,
:
q
přijede matka,
vyjádřete výrokovými formulemi složené výroky:
a) Jestliže přijede otec, pak přijede matka.
b) Přijede alespoň jeden z rodičů.
c) Přijede nejvýše jeden z rodičů.
d) Přijede právě jeden z rodičů.
♦
Úloha 1.7.
Vyslovte obměny a obrácení implikací:
a) Jsem-li unavený, ihned usínám.
b) Jestliže jede automobil v dešti, řidič svítí potkávacími světly.
c) Jestliže se řidič automobilu připravuje změnit směr jízdy, zapíná ukazatele změny směru.
♦
1. Matematická logika a teorie množin
30
Úloha 1.8.
Určete výčtem prvků
a) množinu všech celých čísel, která jsou větší než
1
ln
a menší než
55
b)
{
}
9
:
2
=
∈
=
x
N
x
A
c)
{
}
0
1
:
2
=
+
∈
=
x
R
x
B
♦
Úloha 1.9.
Určete množinu pomocí její charakteristické vlastnosti:
a)
{
}
15
,
12
,
9
,
6
,
3
1
=
M
b)
{
}
25
,
16
,
9
,
4
,
1
2
=
M
♦
Úloha 1.10.
Množinu zapište symbolicky:
a) množinu
A
všech přirozených čísel od
10
do
50
.
b) množinu
B
všech celých čísel, která jsou násobky čísla
7
.
c) množinu
C
všech reálných čísel, jejichž třetí mocnina je menší než jejich pětinásobek
♦
Úloha 1.11.
Vyjádřete, mezi kterými dvojicemi daných množin existují vztahy rovnosti či inkluze:
{
}
{
}
{ }
{
}
2
,
4
,
5
,
5
,
2
,
5
,
4
,
2
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
=
=
=
D
C
B
A
.
♦
Úloha 1.12.
Určete systém všech podmnožin množiny
{
}
d
c
b
a
M
,
,
,
=
.
♦
Úloha 1.13.
Jsou dány množiny
{
} {
} {
}
h
g
f
e
C
e
d
a
B
e
d
c
b
a
A
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=
=
=
. Určete množiny
B
A
∪
,
C
B
∪
,
C
A
∪
,
A
B
B
A
C
A
C
B
B
A
C
A
C
B
B
A
′
′
−
−
−
∩
∩
∩
,
,
,
,
,
,
,
.
♦
1. Matematická logika a teorie množin
31
Úloha 1.14.
Jsou dány množiny
{
}
{
}
{
}
6
,
4
,
2
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
=
=
B
A
U
.Určete následující
množiny a znázorněte je užitím Vennových diagramů:
a)
A′
b)
B
A
∪
c)
B
A
∩
d)
B
A
−
.
♦
Úloha 1.15.
Určete kartézský součin
2
2
,
,
B
A
B
A
×
, je-li
{ }
{
}
2
,
1
,
0
,
1
,
3
,
2
,
1
−
=
=
B
A
.
♦
Úloha 1.16.
Je dán kartézský součin
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
1
,
4
,
2
,
4
,
3
,
3
,
1
,
3
,
3
,
4
,
2
,
3
=
× B
A
. Určete množiny
B
A
,
.
♦
Úloha 1.17.
Stanovte, jaké typy zobrazení představují přiřazení:
a) Každému občanu
x
naší republiky přiřadíme právě jedno celé číslo y udávající jeho věk (počet
let).
b) Každý z návštěvníků kina odložil svůj kabát v šatně, takže každý kabát
y
v šatně je přiřazen
(patří) právě jednomu návštěvníkovi
x
.
♦
Úloha 1.18.
A
je množina všech diváků v kině,
B
je množina všech vstupenek na dané představení,
D
je
množina všech sedadel v kině. Nechť
G
je zobrazení množiny
A
do množiny
B
a
F
je zobrazení
množiny
B
do množiny
D
. Určete složené zobrazení
G
F o
.
♦
1. Matematická logika a teorie množin
32
Výsledky
1.1.
a)
R
y
R
x
y
x
∈
∈
+
,
,
)
(
3
b)
Z
k
k
∈
,
2
c)
Z
k
k
∈
+ ,
1
2
d)
ρ
ρ
⊂
∩
,
,
,
q
p
q
p
je rovina
1.2.
a) není výrok
b) pravdivý výrok
c) nepravdivý výrok
d) není výrok
e) pravdivý výrok
f) není výrok
g) podmíněný výrok
h) podmíněný výrok
i) není výrok
j) pravdivý výrok
1.3.
a)
:
p
¬
Číslo 9 není dělitelné dvěma.
Pravda
b)
:
q
p
∧
Číslo 9 je dělitelné dvěma a třemi.
Nepravda
c)
:
q
p
∨
Číslo 9 je dělitelné dvěma nebo třemi.
Pravda
d)
:
q
p
⇒
Je-li číslo 9 dělitelné dvěma, pak je dělitelné třemi.
Pravda
e)
:
q
p
⇔
Číslo 9 je dělitelné dvěma právě tehdy, když je dělitelné třemi.
Nepravda
1.4. Pravdivé jsou výroky c) a d), tj. slib neporušily osoby
N
a
P
.
1.5. Implikace je
a) pravdivá
b) nepravdivá
c) pravdivá
1.6.
a)
q
p
⇒
b)
q
p
∨
c)
q
p
¬
∨
¬
d)
)
(
)
(
q
p
q
p
∧
¬
∨
¬
∧
1. Matematická logika a teorie množin
33
1.7.
Obměny implikací:
a) Jestliže ihned neusínám, pak nejsem unavený.
b) Jestliže řidič nesvítí potkávacími světly, pak automobil nejede v dešti.
c) Jestliže řidič automobilu nezapíná ukazatele změny směru, pak se nepřipravuje změnit směr jízdy.
Obrácení implikací:
a) Jestliže ihned usínám, pak jsem unavený.
b) Jestliže řidič svítí potkávacími světly, pak automobil jede v dešti.
c) Jestliže řidič automobilu zapíná ukazatele změny směru, pak se připravuje změnit směr jízdy.
1.8.
a)
{
}
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
M
b)
{
}
3
,
3
−
=
A
c)
∅
=
B
1.9.
a) množina všech trojnásobků celých čísel od
1
do
5
:
{
}
5
1
,
3
:
1
≤
≤
=
∈
=
k
k
x
Z
x
M
b) množina všech druhých mocnin celých čísel od
1
do
5
:
{
}
5
1
,
:
2
2
≤
≤
=
∈
=
k
k
x
Z
x
M
1.10.
a)
{
}
50
10
:
≤
≤
∈
=
x
N
x
A
b)
{
}
Z
k
k
x
Z
x
B
∈
=
∈
=
,
7
:
c)
{
}
x
x
R
x
C
5
:
3
<
∈
=
1.11.
D
C
B
C
A
D
A
C
A
B
D
B
⊆
⊆
⊆
⊆
⊆
=
,
,
,
,
,
1.12.
.
{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{
}{
}{
}{
}
{
}
M
d
c
b
d
c
a
d
b
a
c
b
a
d
c
d
b
c
b
d
a
c
a
b
a
d
c
b
a
S
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∅
=
1.13.
{
}
{
}
{
}
h
g
f
e
d
c
b
a
C
A
h
g
f
e
d
a
C
B
e
d
c
b
a
B
A
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=
∪
=
∪
=
∪
{
}
{ }
{ }
{ }
{ }
,
,
,
,
,
,
,
,
,
d
a
C
B
c
b
B
A
e
C
A
e
C
B
e
d
a
B
A
=
−
=
−
=
∩
=
∩
=
∩
{
}
{ }
c
b
B
A
B
d
c
b
a
C
A
A
,
,
,
,
,
=
−
=
′
=
−
,
B
A′
není definováno, protože
B
A
⊆/
.
1. Matematická logika a teorie množin
34
1.14.
a)
{
}
10
,
9
,
8
,
7
,
6
=
′
A
b)
{
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
∪ B
A
c)
{ }
4
,
2
=
∩ B
A
d)
{ }
5
,
3
,
1
=
− B
A
.
1.15.
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
{
}
2
,
3
,
1
,
3
,
0
,
3
,
1
,
3
,
2
,
2
,
1
,
2
,
0
,
2
,
1
,
2
,
2
,
1
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
1
−
−
−
=
× B
A
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
3
,
3
,
2
,
3
,
1
,
3
,
3
,
2
,
2
,
2
,
1
,
2
,
3
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
2
=
A
1. Matematická logika a teorie množin
35
(
) (
) ( ) (
) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) ( ) ( ) ( )
}
2
,
2
,
1
,
2
,
0
,
2
,
1
,
2
,
2
,
1
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
1
,
2
,
0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
1
,
0
,
2
,
1
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
,
1
{
2
−
−
−
−
−
−
−
−
=
B
1.16.
{ }
{ }
3
,
2
,
1
,
4
,
3
=
=
B
A
1.17.
a) Jedná se o zobrazení množiny všech občanů naší republiky do množiny všech celých
nezáporných čísel. Zobrazení není prosté, protože existuje více lidí majících stejný věk.
b) Jedná se o zobrazení množiny všech návštěvníků kina na množinu všech kabátů v šatně.
Zobrazení je prosté.
1.18.
B
A
G
→
:
je zobrazení, které přiřazuje každému divákovi v kině vstupenku
D
B
F
→
:
je zobrazení, které přiřazuje každé vstupence příslušné sedadlo v kině
D
A
G
F
→
:
o
je zobrazení, které přiřazuje každému divákovi v kině sedadlo