Matematyka I

Kolokwium II - 18.01.2006

Nazwisko:

Imię:

Numer albumu:

Zasady pisania kolokwium.

• Kolokwium rozpoczyna się z chwilą otwarcia zestawów zadań przez wszystkich piszą-

cych.

• Czas trwania kolokwium to 100 minut.

• Zadania należy rozwiązywać samodzielnie, w miejscu przeznaczonym na rozwiązanie

danego zadania. Rozwiązania zadań proszę redagować starannie. Na końcu zestawu
znajduje się papier przeznaczony jako brudnopis.

• Jeśli zajdzie potrzeba, prowadzący może dostarczyć dodatkowy papier służący jako

brudnopis. W przypadku kontynuowania rozwiązania w brudnopisie, proszę to dokład-
nie zaznaczyć w miejscu przeznaczonym na rozwiązanie danego zadania.

Powodzenia !

Nie wypełniać !

Wynik:

Zadanie 1:
Zadanie 2:
Zadanie 3:
Zadanie 4:
Zadanie 5:
Zadanie 6:

Suma:

Zadanie 1. (6 pkt.) W zależności o parametru m ∈ R zbadaj określoność formy

f (x) = mx

2
1

+ x

2
2

+ mx

2
3

− 2x

1

x

3

+ 4x

2

x

3

.

Zadanie 2. (6 pkt.) W zależności od parametru x ∈ R zbadaj zbieżność, zbieżność bezwzględną i

warunkową szeregu

∞

X

n=1

(−1)

n

2n + 1

(x − 1)

2n+1

.

Zadanie 3. (6 pkt.) Dla jakiego a zachodzi równość

lim

x→0

sin(ax) ln 1 +

x
a

a

x

2

= lim

x→0

sin(x + 1)

x + 1

?

Zadanie 4. (6 pkt.) Zbadaj przebieg zmienności funkcji

f (x) = (x

2

− 3)e

x

.

Zadanie 5. (6 pkt.) Dla x < 1 wykaż nierówność

ln(1 − x) 6 −x +

x

2

2

.

Zadanie 6. (dodatkowe +? pkt.)

Dana jest macierz

A =







1

2

1

0

−1

0

−1

1

|z|

2i Im(z) − 1

i − |z|

−|z|

4

−|z|

|z − 2| + 2







.

Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór tych z ∈ C, takich że

(a) rz(A) =3;

(b) rz(A) =2.

BRUDNOPIS.