Matematyka I Kolokwium II - 18.01.2006
Nazwisko:
Imię:
Numer albumu:
Zasady pisania kolokwium.
• Kolokwium rozpoczyna się z chwilą otwarcia zestawów zadań przez wszystkich piszą-
cych.
• Czas trwania kolokwium to 100 minut.
• Zadania należy rozwiązywać samodzielnie, w miejscu przeznaczonym na rozwiązanie danego zadania. Rozwiązania zadań proszę redagować starannie. Na końcu zestawu znajduje się papier przeznaczony jako brudnopis.
• Jeśli zajdzie potrzeba, prowadzący może dostarczyć dodatkowy papier służący jako brudnopis. W przypadku kontynuowania rozwiązania w brudnopisie, proszę to dokład-nie zaznaczyć w miejscu przeznaczonym na rozwiązanie danego zadania.
Powodzenia !
Nie wypełniać !
Wynik:
Zadanie 1:
Zadanie 2:
Zadanie 3:
Zadanie 4:
Zadanie 5:
Zadanie 6:
Suma:
Zadanie 1. (6 pkt.) W zależności o parametru m ∈ R zbadaj określoność formy f (x) = mx2 + x2 + mx2 − 2x 1
2
3
1x3 + 4x2x3.
Zadanie 2. (6 pkt.) W zależności od parametru x ∈ R zbadaj zbieżność, zbieżność bezwzględną i warunkową szeregu
∞
X (−1)n (x − 1)2n+1.
2n + 1
n=1
Zadanie 3. (6 pkt.) Dla jakiego a zachodzi równość sin(ax) ln 1 + x a sin(x + 1)
lim
a
= lim
?
x→0
x2
x→0
x + 1
Zadanie 4. (6 pkt.) Zbadaj przebieg zmienności funkcji f (x) = (x2 − 3)ex.
Zadanie 5. (6 pkt.) Dla x < 1 wykaż nierówność x2
ln(1 − x) 6 −x +
.
2
Zadanie 6. (dodatkowe +? pkt.) Dana jest macierz
1
2
1
0
−1
0
−1
1
A =
.
|z|
2i Im(z) − 1
i − |z|
−|z|
4
−|z|
|z − 2| + 2
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór tych z ∈ C, takich że (a) rz(A) =3;
(b) rz(A) =2.