Maciej Chmielowski gr22 z8.

Laboratorium Fizyki

Ćw. 12 Badanie procesów relaksacyjnych w obwodach elektrycznych.

1. Wstęp

Proces relaksacyjny może być określony jako przejście układu makroskopowego do stanu

równowagi (minimalnego potencjału termodynamicznego). Polega na rozproszeniu energii. Procesy
relaksacyjne charakteryzują się tym, że szybkość przebiegu procesu jest proporcjonalna do wartości
odchylenia wielkości mierzonej od równowagii w danej chwili. Procesy relaksacyjne
matematycznie opisywane są przez malejące funkcje wykładnicze, w przypadku rozpraszania
energii, i rosnące, w przypadku lokalnego gromadzenia jej. Ważnym współczynnikiem jest τ, czas
relaksacji. Jest to czas, po którym obserwowana wielkość ulegnie e-krotnej zmianie. Procesy
gromadzenia i rozpraszania energii mogą przebiegać naprzemiennie, jeśli przy przekazywaniu
energii z otoczenia układ osiąga stan równowagi nietrwałej. Wtedy układ może rozproszyć
zgromadzoną energię wielokrotnie szybciej niż jest mu przekazywana. Jeśli energia jest dostarczana
do układu ciągle, to gromadzenie i rozpraszanie jej będzie następowało okresowo, powstaną drgania
relaksacyjne.

W tym ćwiczeniu zajmujemy się drganiami relaksacyjnymi w układzie RC, z dostawioną

lampą neonową, kluczującą czyli zwierającą i rozwierającą obwód w zależności od napięcia na jej
zaciskach. Najpierw w czasie ładowania kondensatora, układ jest rozwarty (lampa rozwiera obwód
przez za niskie napięcie) rośnie napięcie na zaciskach lampy. Następnie, gdy napięcie osiągnie
napięcie zapłonu lampy, następuje gwałtowny przepływ ładunku przez lampę, rozładowanie
kondensatora, i spadek napięcia do napięcia gaśnięcia lampy, kiedy to przerywa ona obwód. Proces
ten ma charakterystykę drgań relaksacyjnych.

2. Układ pomiarowy.

I. Badanie procesu rozładowania kondensatora.

R- opornik o rezystancji 200 lub 300kΩ; C- kondensator 100μF; μA- mikro amperomierz klasy 0,2 o zakresie 150μA; K-

klucz pozwalający na zwieranie i rozwieranie układu

Układ składa się z zasilacza, mikroamperomierza, opornika, kondensatora, klucza. Klucz

pozostawiamy rozwarty, w celu naładowania kondensatora, a po krótkim czasie zwieramy go, by
obserwować przepływ prądu (natężenie) w czasie rozładowywania kondensatora. Użyto oporników
o rezystancjach 200 i 300kΩ.

II. Pomiar napięcia zapłonu U

z

i gaśnięcia U

g

neonówki.

R- opornik; N- neonówka; V- woltomierz cyfrowy V530 c

1

=0,05% c

2

=0,01%

Układ składa się z zasilacza, opornika, neonówki i woltomierza. Napięcie na zaciskach

zasilacza reguluje się tak, by dojżeć napięcie tuż przed zapłonem neonówki (U

z

), i następnie obniża

się je, by dojżeć napięcie gaśnięcia (U

g

).

III. Badanie zależności okresu drgań od wartości rezystancji R i pojemności C.

R- opornik; N- neonówka; V- woltomierz cyfrowy V530 c1=0,05% c2=0,01%; C- kondensator

Układ składa się z woltomierza, oporników o rezystancjach od 300 do 825kΩ,

kondensatorow o pojemnościach 2,2 1 i 0,47μF i neonówki. Przy ustalonym napięciu zasilacza
kolejno zmienia się oporniki 300, 360, 430, 510, 620, 750, 825kΩ. Po takim cyklu zmienia się
kondensator na pojemność mniejszą (zaczynając od 2,2μF, kończąc na 0,47μF)

3. Wykonanie ćwiczenia

ćwiczenie składało się z 3 części:

I. Badanie procesu rozładowania kondensatora

1. Zestawić układ pomiarowy według schematu
2. Włączyć zasilanie
3. Odczekać aż kondensator naładuje się.
4. Za pomocą klucza K zamknąć obwód
5. Co pięć sekund odczytywać wartość natężenia prądu i zapisywać ją. Zapisać

także czas połowicznego spadku natężenia prądu.

6. Przerwać pomiary gdy natężenie zejdzie do 5% wartości początkowej.
7. Wykonać pomiary dla oporu 300 i 200kΩ

II. Pomiar napięcia zapłonu U

z

i gaśnięcia U

g

neonówki.

1. Zestawić układ pomiarowy
2. Przez obrót pokrętła zasilacza powoli zwiększać napięcie aż zapali się

neonówka

3. Zapisać najwyższą wartość napięcia przed zapaleniem neonówki (U

z

)

4. Powoli obniżać napięcie i zanotować wartość przy której gaśnie neonówka

(U

g

).

5. Powtórzyc dziesięciokrotnie.

III. Badanie zależności okresu drgań od wartości rezystancji R i pojemności C.

1. Zestwić układ pomiarowy.
2. Ustawić takie napięcie zasilacza, by neonówka blyskała.
3. Zmierzyć czas 10 rozbłysków neonówki dla różnych R (od 300 do 825kΩ)
4. Wykonać pomiary dla pojemności kondensatora równych 2,2 1 i 0,47μF.
5. Oszacować niepewności R, C, U

z

, U

g

, U.

4. Wyniki i ich opracowanie

I . Badanie procesu rozładowania kondensatora

Czas połowicznego zaniku prądu (spadku natężenia do połowy pierwotnej wartości) wyniósł:

T

1/2

=(18±1,1)s dla R=300kΩ

T

1/2

=(12±1,1)s dla R=200kΩ

Rachunek błędów:

Niepewność eksperymentatora przy pomiarze czasu:

u(t)=

1s



3

=

0,57

U(t)=0,57*2=1,14

Wykres wykonany w programie Origin załączony do sprawozdania.

Dla R=300kΩ:

1/czas relaksacji =

1

czas relaksacji

=

1



=−

slope=0,0345

τ = (28,9855072±0,0000006)s
Test Chi kwadrat:

Dla tego wykresu, χ

2

=53, natomiast χ

2

kryt

dla 15 pomiarów, czyli 13 stopni swobody

jest χ

2

kryt

=22,4. Należy więc odrzucić hipotezę o liniowości zależności.

Dla R=300kΩ:

1/czas relaksacji =

1

czas relaksacji

=

1



=−

slope=0,05172

τ = (19,3348801±0,00000002)s

Dla tego wykresu, χ

2

=102, natomiast χ

2

kryt

dla 9 pomiarów, czyli 7 stopni swobody

jest χ

2

kryt

=14,1. Należy więc odrzucić hipotezę o liniowości zależności.

t[s]

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

I[μA] 150

125

105

87

75

64

54

45

37

32

27

23

20

16

14

150

114

89

68

54

41

32

25

19

15

12

--

--

--

--

R [kΩ]

C

1

=100μF

R

1

=300

R

2

=200

I[μA]

Rachunek błędów:

Niepewność złożona:

u =

1





2

∗

u 

1


=

0,0000003 dla=20 i 0,0000001 dla =33

U(τ)=0,0000006s dla τ=20s
U(τ)=0,0000002s dla τ=33s

Obliczenia na podstawie znajomości pojemności i rezystancji:

τ=R*C
τ=300Ω*100F*10

-6

*10

3

=(30±3)s

τ=200kΩ*100μF=(20±2)s

Rachunek błędów:

u(C)=x*5%=5μF
u(R)=x*0,5%=1,5 lub 1kΩ
ponieważ τ=R*C

u τ =



R

2

∗

u

2



C C

2

∗

u

2



R

dla R=300kΩ

u(τ)=1,51s
U(τ)=3s

dla R=200kΩ

u(τ)=1s
U(τ)=2s

Informacje odczytane z wykresu:

τ=(20,0±6,8)s
τ=(29,0±6,8)s

Rachunek błędów:

Niepewność eksperymentatora przy odczytywaniu danych z wykresu:
(błąd odczytu każdej wielkości szacuję na 2)

u  I =



2

2

3

=

2,4

u t=



2

2

3

=

2,4

Wynika z tego, niepewność τ z wykresu:

u τ =



u

2



τ u

2



I =



2,4

2



2,4

2

=

3,39

U(τ)=6,78

II . Pomiar napięcia zapłonu U

z

i gaśnięcia U

g

neonówki.

Wyniki pomiaru:

U

z

= (71,6±1,5)V

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

72,0 71,5

70,5

71,5 72,2 71,6 71,8 70,1 72,6 71,9

56,0 56,7

56,8

56,5 56,4 56,7 56,2 56,5 56,4 56,4

U

z

[V]

U

g

[V]

U

g

= (56,49±0,48)V

Rachunek błędów:

Średnie U

z

= 71,57V

Średnie U

g

= 56,46V

u(U

z

)= 0,75V (odchylenie standardowe)

∆x=c

1

*x + c

2

*z=71,5V*0,05% + 100V*0,01% =0,026V (niepewność wzorcowania,

pomijalnie mała)
U(U

z

)=2*0,75=1,5V (niepewność rozszerzona pomiaru napięcia zapłonu)

u(U

g

)= 0,24V (odchylenie standardowe)

∆x=0,026V (niepewność wzorcowania, z tego samego urządzenia co U

z

)

U(U

g

)=2*0,24=0,48V (niepewność rozszerzona pomiaru napięcia gaśnięcia)

III . Badanie zależności okresu drgań od wartości rezystancji R i pojemności C.
Wyniki pomiaru:

Na podstawie wyników obliczono niepewności pomiaru okresu drgań relaksacyjnych T:

T=t

1

+ t

2

= czas ładowania kondensatora + czas rozładowania kondensatora. Jednakże, t

2

jest

wielokrotnie mniejsze od czasu ładowania, więc można je pominąć w obliczeniach.

Czas ładowania wyraża się wzorem:

R- rezystancja opornika, C- pojemność kondensatora, U

g

- napięcie gaśnięcia neonówki, U

z

- napięcie zapłonu

neonówki, ε- napięcie na zaciskach zasilacza.

Tak więc, przyjmujemy, że T=t

1

.

By obliczyć niepewność pomiaru T, trzeba obliczyć pochodne po wszystkich zmiennych we

wzorze:

T '

R

=

C∗ln

−

U

g

−

U

z



T '

C

=

R∗ln 

−

U

g

−

U

z



T '

Ug

=

RC

−

U

g

U [V]

t[s]

U [V]

t[s]

U [V]

t[s]

2,2

80,5

825

20,7

1

80,5

825

9,2

0,47

80,5

825

4,8

750

18,3

750

8,0

750

4,3

620

15,6

620

7,0

620

3,9

510

12,9

510

6,4

510

3,7

430

11,0

430

5,4

430

3,2

360

9,1

360

4,6

360

3,1

300

8,6

300

3,8

300

3,0

C[μF]

R [kΩ]

C[μF]

R [kΩ]

C[μF]

R [kΩ]

t

1

=

R∗C∗ln 

−

U

g

−

U

z



T '

Uz

=

RC

−

U

z

T '



=

U

g

−

U

z

−

U

g

−

U

z



Więc u(T) wyraża się wzorem:

u T =



T '

R

2

∗

u

2



RT '

C

2

∗

u

2



C T '

Ug

2

∗

u

2



U

g



T '

Uz

2

∗

u

2



U

z



T '



2

∗

u

2



Po podstawieniu stosownych wartości otrzymujemy:
U= napięcie na zaciskach zasilacza,
t =czas 10 błyśnięć lampy
R=rezystancja opornika
C=pojemność kondensatora
T

eksp

=okres na podstawie eksperymentu(czas n błyśnięć/n)

T

obl

= okres obliczony ze wzoru

u( T

obl

)= niepewność złożona pomiaru na podstawie obliczeń

u(T

eksp

)=niepewność złożona na podstawie eksperymentu

U

t[s]

80,5

20,7

825

2,2

2,07

1,80

0,057

0,200

80,5

18,3

750

2,2

1,83

1,64

0,057

0,182

80,5

15,6

620

2,2

1,56

1,35

0,057

0,150

80,5

12,9

510

2,2

1,29

1,11

0,057

0,124

80,5

11,0

430

2,2

1,10

0,94

0,057

0,104

80,5

9,1

360

2,2

0,91

0,79

0,057

0,087

80,5

8,6

300

2,2

0,86

0,65

0,057

0,073

80,5

9,2

825

1

0,92

0,82

0,057

0,091

80,5

8,0

750

1

0,80

0,74

0,057

0,083

80,5

7,0

620

1

0,70

0,62

0,057

0,068

80,5

6,4

510

1

0,64

0,51

0,057

0,056

80,5

5,4

430

1

0,54

0,43

0,057

0,047

80,5

4,6

360

1

0,46

0,36

0,057

0,040

80,5

3,8

300

1

0,38

0,30

0,057

0,033

80,5

4,8

825

0,47

0,48

0,38

0,057

0,043

80,5

4,3

750

0,47

0,43

0,35

0,057

0,039

80,5

3,9

620

0,47

0,39

0,29

0,057

0,032

80,5

3,7

510

0,47

0,37

0,24

0,057

0,027

80,5

3,2

430

0,47

0,32

0,20

0,057

0,023

80,5

3,1

360

0,47

0,31

0,17

0,057

0,019

80,5

3,0

300

0,47

0,30

0,14

0,057

0,016

R [kΩ] C[μF] T

eksp

[s] T

obl

[s]

u(T

ek

)[s] u(T

obl

) [s]

Wykresy obrazujące zależności T od R, dla stałych pojemności kondensatora równych 2,2, 1 lub
0,47:
Obliczeniowe:

Eksperymentalne:

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

2,2
1
0,47

T

R

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

2,2
1
0,47

T

R

5. Wnioski

Zadziwiające w tym ćwiczeniu okazały się wartości chi kwadrat obliczone przez program

origin. Znacząco przekroczyły wartości chi kwadrat krytycznej, przez co zdaje się, że nie ma nawet
cienia szansy, by zależność przez nas badana była prawdziwa. Jednakże, wiemy, iż zależność ta jest
logarytmiczna, więc prawdopodobnie błędy pomiaru spowodowały taką wysoką wartość chi
kwadrat. Możliwe, że przy pomiarach napięcia zapłonu i gaśnięcia neonówki, błędy pomiaru były
większe niż wynikające z parametrów urządzenia, poniważ mierzono wielkość stale się
zmieniajacą, więc powinno się wziąć pod uwagę refleks badacza. Takie same błędy (i to właśnie w
części ćwiczenia badanej przez chi kwadrat) mogły mieć miejsce przy pomiarze prądu
rozładowania kondensatora. Pomiar natężenia prądu w odstępach pięcio-sekundowych z pewnością
miał mniejszą dokładność niż wynikająca z parametrów urządzenia (w tym typu B), ponieważ,
chociażby w początkowych częściach pomiaru, wartośc zmieniała się gwałtownie. Pomiaru nie
ułatwił też mechanizm wskazań urządzenia, nie poprzez wskazówkę, a punkt światła, o dużej
średnicy względem działki. Pomiar także był wykonywany przez dwie osoby, jedną mierzącą czas,
a drugą zapisującą natężenie prądu, przez co opóźnienia w komunikacji mogły znacząco zwiększyć
błąd pomiaru.

Widać, że błędy przyjęte przez progam są o kilka rzędów wielkości mniejsze, niż

wynikające z obliczeń przy użyciu niepewności złożonej dla czasu relaksacji.

Przy tak dużych błędach pomiaru, względem niepewności złożonych a nawet i

rozszerzonych, niemożliwe było uznanie hipotezy za słuszną, mimo, że tak na prawdę jest.

Pozostała część ćwiczenia dotyczyła wyznaczania okresu drgań relaksacyjnych. Tu także

można było popełnić znaczne błędy, chociażby przy mierzeniu okresu drgań relaksacyjnych. Nawet
dziesięć okresów było już na granicy możliwości ludzkiej do zmierzenia. Dla tego też, niepewność
okresu obliczonego, a nie zmierzonego, jest mniejsza od niepewności okresu zmierzonego.

Podsumowując, największą bolączką eksperymentatora w tym ćwiczeniu były jego własne

błędy.