42

przestrzenie zakrzywione

42-1. Przykłady dwuwymiarowych przestrzeni zakrzywionych

Newton nauczył nas, że dowolne ciało we Wszechświecie jest przyciągane przez każde

inne ciało siłą proporcjonalną do kwadratu jego odległości oraz że każde ciało doznaje

przyspieszenia wprost proporcjonalnego do sił nań działających. Taka jest właśnie treść
newtonowskiego prawa powszechnego ciążenia i newtonowskich praw ruchu. Prawa te,

jak wiemy, pozwalają nam zdać sprawę z ruchów piłek, planet, ich satelitów, galaktyk

i wielu innych obiektów.

Odmienną interpretację prawa powszechnego ciążenia podał natomiast Einstein.

Według niego przestrzeń i czas — rozpatrywane łącznie jako czasoprzestrzeń — są w po-
bliżu ciężkich mas zakrzywione. Ciała zaś wykonują obserwowane przez nas ruchy tylko
dzięki ich tendencji do poruszania się w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni wzdłuż „linii

prostych". Jest to naprawdę niezwykle zawiła koncepcja. W bieżącym rozdziale przed-
stawimy jej najistotniejszą treść i to tylko w zarysie.

W rozważaniach naszych zwrócimy uwagę na trzy odmienne aspekty tego zagadnie-

nia. Pierwszy dotyczy samego zjawiska ciążenia, drugi zawiera omówioną już przez nas
koncepcję czasoprzestrzeni, a trzeci jest związany z problemem krzywizny czasoprze-
strzeni. We wstępnych rozważaniach uprościmy nasze podejście i nie będziemy się przej-
mować ani grawitacją, ani też pojęciem czasu — zajmiemy się po prostu przestrzenią

zakrzywioną. Pozostałe aspekty tego zagadnienia zostaną wyłożone w następnych pa-
ragrafach, teraz zaś zajmiemy się wyłącznie pojęciem krzywizny przestrzeni; spró-
bujemy wyjaśnić co się w ogóle rozumie przez przestrzeń zakrzywioną oraz co się
rozumie mówiąc o pojęciu przestrzeni krzywej w szczególnym przypadku wspomnianego
zastosowania tego pojęcia przez Einsteina. Nawet tak ograniczone zagadnienie okazuje

się jeszcze zbyt trudne w przypadku trzech wymiarów. Będziemy więc musieli zawęzić

406

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

42.1. Żuk na płaszczyźnie

nasze zagadnienie jeszcze bardziej i wyja-
śnić znaczenie słów „przestrzeń zakrzywiona"

przede wszystkim w odniesieniu do dwóch
wymiarów.

Aby zrozumieć koncepcję przestrzeni za-

krzywionej w dwóch wymiarach, musimy się
odwołać do ograniczonego punktu widzenia

istot, które by taki dwuwymiarowy świat

zamieszkiwały. Wyobraźmy sobie, na przy-
kład, pozbawionego oczu żuka, który żyje

na płaszczyźnie, i którego przedstawiliśmy na rys. 42.1. Żuk ten może poruszać się tylko
na płaszczyźnie i nie ma żadnych możliwości dowiedzenia się, że poza jego płaszczyzną
istnieje jakikolwiek „świat zewnętrzny". (Nie ma on bowiem Twojej Czytelniku wyobraźni.)
Zamierzamy oczywiście oprzeć nasze rozumowanie na analogii. To właśnie my żyjemy
w trójwymiarowym świecie i to właśnie nasza wyobraźnia nie dopuszcza możliwości
wzniesienia się z naszego trójwymiarowego świata w jakimś nowym kierunku; dlatego

też musimy przedstawić całą sprawę odwołując się do analogii. Jesteśmy w podobnej

sytuacji jak żuki żyjące na płaszczyźnie, dla których przestrzeń w kierunkach wyprowadza-

jących poza płaszczyznę nie istnieje. Dlatego też będziemy śledzić w naszym rozumowaniu

najpierw postępowanie żuka, pamiętając, że może on żyć tylko na określonej powierzchni
i nie może tej powierzchni opuszczać.

Innym przykładem żyjącego w świecie dwuwymiarowym żuka, którego postępowanie

będziemy śledzić, będzie żuk żyjący na powierzchni kuli. Tutaj również wyobrażamy sobie,
że żuk ten może spacerować po powierzchni kuli, jak to przedstawiliśmy na rys, 42.2, lecz
nie istnieją dla niego takie pojęcia jak „góra" lub „dół", ani w ogóle pojęcie kierunku

wyprowadzającego na zewnątrz z zamieszkałej przez niego powierzchni,.

W rozważaniach naszych potrzebny nam będzie jeszcze trzeci rodzaj stworów tego

typu. Będą to też żuki, podobne do poprzednich; tak samo będą żyły na płaszczyźnie,

lecz tym razem będzie to płaszczyzna szczególnego rodzaju. Na płaszczyźnie tej w różnych
miejscach będzie występowała różna temperatura. Zakładamy, że zarówno sam żuk, jak

i pręty miernicze, którymi będzie się on posługiwał, są zbudowane z substancji tego sa-

mego rodzaju, o tym samym współczynniku
rozszerzalności cieplnej. Jeśli nasz żuk prze-
niesie pręt mierniczy w celu wykonania po-
miaru do dowolnego miejsca na płaszczyźnie,

pręt natychmiast, na skutek rozszerzalności
cieplnej, zmieni swoją długość na taką, jaka
odpowiada temperaturze w danym miejscu.
W podobny sposób będą się zmieniały roz-

miary każdego obiektu — samego żuka,
pręta mierniczego, trójkąta czy czegokolwiek
innego — gdyż obiekt taki będzie natychmiast

zmieniał swe rozmiary na skutek rozszerzal-

42.2. Żuk na powierzchni kuli

42-1. PRZYKŁADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI

407

ności cieplnej. Każdy przedmiot będzie dłuż-
szy w miejscach gorących niż w miejscach
zimnych, a wszystko będzie miało taki sam
współczynnik rozszerzalności cieplnej. Miej-
sce zamieszkania naszego trzeciego żuka na-
zwiemy "rozgrzaną płytą". Będziemy mieli

przy tym na myśli specjalny rodzaj rozgrzanej
płyty, która będzie zimna w pewnym punkcie
środkowym i będzie się stawała coraz bardziej
gorąca w miarę posuwania się w kierunku
krawędzi (rys. 42.3).

Przypuśćmy, że nasze żuki rozpoczną

badanie podstaw geometrii. Chociaż założy-
liśmy, że żuki te są ślepe i nie mogą widzieć
niczego co się dzieje w „zewnętrznym" świecie,

mogą one jednak wykonać szereg czyn-
ności za pomocą swoich nóżek i czułków.
Mogą one rysować linie krzywe i mierzyć
ich długości za pomocą sporządzonych przez

siebie prętów mierniczych. Przypuśćmy, że
najpierw zajmą się one najbardziej podstawo-
wymi pojęciami geometrii.Nauczą się więc, jak
prowadzić linię prostą, którą będą określały

jako najkrótszą krzywą łączącą dwa dane

punkty. Nasz pierwszy żuk (por. rys. 42.4)
nauczy się prowadzić bardzo ładne linie pro-
ste. Co natomiast uczyni żuk na powierzchni
kuli? Jego linia prosta będzie charakteryzo-
wała się najkrótszą — z jego punktu widzenia —
odległością pomiędzy dwoma punktami, jak

to widzimy na rys. 42.5. Z naszego punktu
widzenia będzie to oczywiście linia krzywa,
żuk jednak nie może opuścić powierzchni kuli
i stwierdzić, że „w rzeczywistości" istnieje
inna krzywa, wzdłuż której odległość między
danymi dwoma punktami jest krótsza. Zgo-
dnie z jego informacjami długość mierzona
wzdłuż dowolnej innej krzywej leżącej w jego

świecie będzie zawsze dłuższa niż wzdłuż

jego linii prostej. Pozostawmy go więc z jego

linią prostą zdefiniowaną jako łuk o naj-
krótszej długości łączący dwa punkty. (Bę-

dzie to oczywiście część łuku koła wielkiego.)

42.3. Żuk na rozgrzanej płycie

42.4. Konstrukcja „linii prostej" na płaszczyźnie

42.5. Konstrukcja „linii prostej" na powierz-

chni kuli

408

42 PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

42 6 Konstrukcja „linii prostej" na
rozgrzanej płycie

Również nasz trzeci żuk — ten z rys. 42.3 —

będzie kreślił „linie proste", które my uznalibyśmy

za krzywe. Tak na przykład, najkrótszą odległoś-
cią pomiędzy punktami A i Β przedstawionymi
na rys. 42.6

będzie odległość mierzona wzdłuż

krzywej w rodzaju krzywej przedstawionej na
rysunku. Dlaczego? Otóż jego linia powinna się wy-
ginać w kierunku cieplejszych części rozgrzanej
płyty, gdyż w częściach tych pręty miernicze się
wydłużą (z naszego wszechwiedzącego punktu
widzenia) i wystarczy pręty te odłożyć mniejszą

liczbę razy, by przemierzyć drogę od A do B. Dla niego więc krzywa taka będzie linią pro-
stą, me dysponuje on bowiem żadnym innym sposobem dowiedzenia się, że na zewnątrz,
w dziwnym trójwymiarowym świecie, istnieje ktoś, kto uznałby mną za krzywą linię
prostą.

W tym miejscu czytelnik może przypuszczalnie dojść do wniosku, że również dalsza

część analizy, którą żuk poprowadzi, uwieńczona zostanie wnioskami słusznymi jedynie
z punktu widzenia szczególnej powierzchni dwuwymiarowej i nie mającymi nic wspólnego
z naszym punktem widzenia. Pamiętając o tej konkluzji, zobaczmy, jakie nowe fakty po-

jawią się w geometrii naszego żuka. Przypuśćmy, że żuki nauczyły się konstruować dwie

proste prostopadłe. (Czytelnik może sam uzupełnić szczegóły tego rodzaju konstrukcji.)
Nasz pierwszy żuk (mieszkający na zwyczajnej płaszczyźnie) dojdzie wtedy do interesują-
cego wniosku. Jeżeli on wyjdzie z ustalonego punktu A i odbędzie spacer wzdłuż odcin-

ka linii prostej o długości 250 cm, po czym wykona skręt pod kątem prostym w prawo
i odmierzy następne 250 cm wzdłuż linii prostej, wykona następny skręt w prawo i przej-
dzie następne 250 cm, i po raz trzeci zrobi skręt o 90° w prawo i po raz czwarty odmierzy

250 cm wzdłuż linii prostej, to zakończy swój spacer dokładnie w punkcie wyjścia, co po-
kazuje rys. 42.7a Jest to własność jego świata — jeden z faktów jego „geometrii".

Potem dokona on innego interesującego odkrycia. Jeżeli skonstruuje on trójkąt,

tzn. figurę, której bokami będą odcinki trzech jego linii prostych, to suma wszystkich

42. 7. Kwadrat, trójkąt i okrąg w przestrzeni płaskiej

250 cm

250 cm

250 cm

a)

250 cm

c)

90°

90°

90°

90°

42-1. PRZYKŁADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI

409

kątów będzie wynosiła 180°, czyli będzie równa sumie dwóch kątów prostych (por.
rys. 42.7b).

Następnym jego odkryciem będzie okrąg. Jakie jest określenie okręgu? Aby skon-

struować okrąg, należy przez ustalony punkt poprowadzić wiele linii prostych i od-
mierzyć na tych prostych odcinki o jednakowej długości, których jeden koniec umieś-
cimy w ustalonym poprzednio punkcie (patrz rys. 42.7c). (Musimy tu bardzo starannie
prześledzić określenia tych pojęć, gdyż powinniśmy umieć wykonać analogiczne konstruk-
cje środkami dostępnymi naszym żukom.) Inny, równoważny powyższemu sposób kon-
strukcji będzie polegał na zakreśleniu linii krzywej jednym końcem pręta mierniczego,
którego drugi koniec będzie umocowany w ustalonym punkcie. Tak czy inaczej, żuk
nasz nauczy się konstruować okręgi. Mając zaś okrąg, prędzej czy później pomyśli o zmie-
rzeniu jego obwodu. Wykona pomiary dla kilku różnych okręgów i znajdzie przyjemny
związek: obwód okręgu jest zawsze tą samą wielokrotnością jego promienia r (który jest
oczywiście równy odległości od środka do łuku okręgu). Stosunek obwodu i promienia
będzie więc dla każdego okręgu taki sam — w przybliżeniu równy 6,283.

Zastanówmy się teraz, do jakich wniosków o swych geometriach dojdą pozostałe

żuki. Jak więc żukowi żyjącemu na powierzchni kuli powiedzie się konstrukcja „kwadra-
tu"? Jeżeli wykona on wszystko zgodnie z podanymi przez nas poprzednio wskazówkami,
pomyśli prawdopodobnie, że dla takiego rezultatu
nie warto było zawracać sobie głowy. Przybliżo-
nym bowiem obrazem figury, jaką powinien otrzy-
mać, jest figura z rys. 42.8. Końcowy punkt B
tej figury nie pokrywa się tu z punktem wyjścia A.
Figura jego nie będzie zatem wielobokiem ogra-
niczonym krzywą zamkniętą. Czytelnik może to łat-
wo sprawdzić na modelu kuli. Podobnie poto-

czą się sprawy naszego przyjaciela na rozgrzanej
płycie. Jeżeli odłoży on cztery jednakowe odcin-
ki prostoliniowe — jednakowe w sensie pomiarów
wykonanych za pomocą rozszerzających się prę-
tów — tworzące z sobą kąty proste, to otrzyma
figurę, której obraz podaliśmy na rys. 42.9.

Przypuśćmy z kolei, że każda z populacji na-

szych żuków ma swego Euklidesa, który powie

jej, jaka powinna być geometria. Wykonując nie-

zbyt dokładne pomiary i to na małą skalę, żuki
mogą sprawdzić słuszność reguł geometrii eukli-
desowej. Wykonując natomiast precyzyjniejsze
pomiary, w dużej skali, i próbując skonstruo-
wać dokładne kwadraty dojdą one do wniosku,

że coś nie jest w porządku. Istota rzeczy polega tu

właśnie na tym, że wyłącznie za pomocą pomia-
rów geometrycznych odkryją one dziwne własności

42.8. Próba konstrukcji „kwadratu"
na powierzchni kuli

42.9. Próba konstrukcji „kwadratu"
na rozgrzanej płycie

410

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

swych przestrzeni. Przestrzenią zakrzywioną nazwiemy przestrzeń, której geometria różni

się od geometrii płaszczyzny. Geometria żuków żyjących na powierzchni kuli lub na gorą-
cej płycie jest właśnie geometrią przestrzeni zakrzywionej. Zawodzą w niej bowiem reguły
geometrii euklidesowej. Widzimy więc, że zdolność unoszenia się ponad płaszczyzną nie

jest wcale rzeczą konieczną, aby stwierdzić, że otaczający nas świat jest zakrzywiony. Nie

trzeba więc wcale opływać globu dookoła, aby przekonać się, że jest on kulą. O tym,
że żyjemy na kuli, możemy się przekonać za pomocą próby skonstruowania kwadratu.
Jeżeli kwadrat będzie bardzo mały, potrzebna będzie przy tym duża precyzja, w przypadku
zaś dużych kwadratów można poprzestać na mniej dokładnych pomiarach.

Przeprowadźmy na przykład porównanie własności trójkątów na różnych powierzch-

niach. W trójkącie na płaszczyźnie suma kątów jest równa 180°. Nasz przyjaciel na po-
wierzchni kuli może natomiast otrzymać bardzo dziwne trójkąty. Może on, na przykład,

konstruować trójkąty, w których wszystkie trzy kąty będą kątami prostymi. Jest to w isto-
cie prawda! Jeden z takich trójkątów przedstawiono na rys. 42.10. Przypuśćmy bowiem,
że żuk nasz wyruszy z bieguna północnego i będzie posuwał się wzdłuż linii prostej aż do
równika. Tam wykona on zwrot pod kątem prostym i odmierzy linię prostą o tej samej co

poprzednio długości. Postępowanie to powtórzy on raz jeszcze i po przebyciu odcinka
o tej wybranej, bardzo specjalnej długości dotrze on dokładnie do swego punktu wyjścia,
przecinając swą pierwszą prostą dokładnie pod kątem prostym. Tak więc z punktu
widzenia jego geometrii trójkąt ten ma bez wątpienia dokładnie trzy kąty proste,
czyli suma jego kątów wynosi 270°. Okazuje się, że suma kątów w trójkątach, jakie mo-
że on konstruować, zawsze będzie większa niż 180°. Co więcej, nadwyżka kątowa
(która jest równa sumie kątów w trójkącie minus 180°, a więc we wspomnianym przy-

padku jest równa 90°) jest proporcjonalna do pola powierzchni trójkąta. Jeżeli więc trój-
kąt na powierzchni kuli będzie bardzo mały, suma jego kątów będzie prawie równa 180°
i nadwyżka kątowa będzie liczbą bardzo małą. Będzie ona jednak wzrastała wraz ze wzro-
stem trójkąta. Podobne własności będą wykazywały trójkąty konstruowane przez żuka
na rozgrzanej płycie.

Zwróćmy z kolei uwagę, do jakich wniosków co do swych kół dojdą pozostałe żuki.

Pozwólmy im skonstruować okręgi i zmierzyć ich obwody. Tak na przykład, żuk na po-
wierzchni kuli mógłby skonstruować taki okrąg, jaki pokazaliśmy na rys. 42.11. Odkryłby
on wtedy, że obwód jest mniejszy od iloczynu 2π razy promień. (Czytelnik może się łatwo
przekonać, dysponując wiedzą istot trójwymiarowych, że to co żuk nazywa „promieniem"

jest łukiem krzywej, który jest oczywiście dłuższy niż prawdziwy promień okręgu.) Jeśliby

żuk na powierzchni kuli czytał dzieła Euklidesa, mógłby spróbować obliczyć przewidy-
wany promień, dzieląc obwód C przez 2π; otrzymałby wtedy

(42.1)

Stwierdziłby więc, że mierzony przez niego promień jest większy niż przewidywany. Mógłby
on nazwać różnicę pomiędzy tymi promieniami „nadwyżką promienia" i napisać

(42.2)

przew

C

2π

= r

nadwyż'

mierz

przew

42-1. PRZYKŁADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI

411

a następnie badać jak nadwyżka promienia bę-
dzie zależała od rozmiarów okręgu.

Żuk na rozgrzanej płycie spotkałby się z po-

dobnym zjawiskiem. Przypuśćmy, że narysował
on okrąg o środku w najzimniejszym miejscu pły-

ty, jak na rys. 42.12. Gdybyśmy obserwowali jego
czynności, zauważylibyśmy, że jego pręty mier-
nicze byłyby krótkie w pobliżu środka i wydłu-
żałyby się w miarę ich przenoszenia do punktów
oddalonych od środka, chociaż żuk oczywiście

o tym by nie wiedział. Podczas pomiaru obwodu
pręt mierniczy byłby cały czas stały i dlatego
również ten żuk stwierdziłby, że jego mierzony

promień jest dłuższy niż promień przewidywany,
równy C/2π. Tak więc żuk na rozgrzanej płycie
także otrzymałby „nadwyżkę promienia". Wiel-
kość tej nadwyżki znowu zależałaby od długości

promienia okręgu.

Przestrzenią zakrzywioną nazwiemy więc taką

przestrzeń, w której wystąpi jeden z następujących
rodzajów odstępstw geometrycznych: Suma ką-
tów w trójkącie różni się od 180°; stosunek ob-
wodu okręgu i liczby 2π nic jest równy promienio-

wi; podana przez nas reguła konstruowania kwa-
dratu nie prowadzi do krzywej zamkniętej. Czy-

telnik mógłby rozszerzyć tę listę odstępstw o jesz-
cze inne.

Podaliśmy tu dwa odmienne przykłady prze-

strzeni zakrzywionej: powierzchnię kuli i rozgrza-
ną płytę. Jest rzeczą interesującą, że przy odpowied-
nim dobraniu zmian temperatury jako funkcji odle-

głości na rozgrzanej płycie, geometrie na obu tych
powierzchniach będą dokładnie takie same. Jest to
dość zabawne. Można tak dobrać warunki, aby żuk
na rozgrzanej płycie otrzymywał we wszystkich

przypadkach dokładnie te same odpowiedzi co żuk
na powierzchni kuli. Tym z czytelników, którzy
lubią geometrię i zadania geometryczne, powiemy

jak można tego dokonać. Jeżeli się przyjmie, że dłu-

gość nieskończenie małych prętów mierniczych

pod wpływem temperatury zmienia się o czyn-
nik równy jedności plus iloczyn pewnej stałej razy

kwadrat odległości od środka, wtedy okaże się,

42.10. Na powierzchni kuli można

skonstruować „trójkąt", którego każ-

dy z kątów będzie równy 90°

42.11. Konstrukcja okręgu na po-

wierzchni kuli

42.12. Konstrukcja okręgu na roz-

grzanej płycie

412

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

że geometria na takiej rozgrzanej płycie będzie we wszystkich szczegółach dokładnie taka

sama jak geometria na powierzchni kuli.

Istnieją oczywiście również inne rodzaje geometrii. Moglibyśmy na przykład rozważać

geometrię żuka, który żyje na powierzchni gruszki, a więc na powierzchni, która w pewnych
swych miejscach ma większą krzywiznę niż w innych, wtedy nadwyżka kątowa w trójką-
tach będzie zależała od tego, w jakich miejscach swego świata żuk będzie trójkąty te kon-
struował. Innymi słowy, krzywizna przestrzeni może zmieniać się od miejsca do miejsca.
Takie przestrzenie krzywe są prostym uogólnieniem poprzedniej definicji. Można je rów-
nież imitować za pomocą odpowiedniego rozkładu temperatury na rozgrzanej płycie.
Chcielibyśmy również zwrócić uwagę, że są możliwe przypadki, w których odstępstwa

od geometrii euklidesowej będą miały znak przeciwny
niż w powyższych przykładach. Można więc, na przy-
kład, znaleźć powierzchnie, na których suma kątów
w dużych trójkątach będzie mniejsza niż 180°. Na pier-
wszy rzut oka może się to wydawać rzeczą niemożliwą,
ale tak nie jest. Przede wszystkim moglibyśmy mieć roz-
grzaną płytę, na której temperatura malałaby w miarę
oddalania się od środka. Wtedy wszystkie zmiany mia-

łyby kierunek przeciwny. Tego rodzaju przykład może-
my jednak otrzymać również na czysto geometrycznej
drodze, rozważając na przykład dwuwymiarową geome-
trię na powierzchni siodła. Wyobraźmy sobie siodłową
powierzchnię w rodzaju tej, którą naszkicowaliśmy na
rys. 42.13. Narysujmy na niej „okrąg", określony jako

miejsce geometryczne punktów równoodległych od pew-

nego środka. Tego rodzaju okrąg będzie oscylującą krzy-

wą, stanowiącą brzeg powichrowanej powierzchni. Jego
obwód będzie więc większy niż 2πr. Tak więc C/2π jest te-

raz mniejsze

niż r. „Nadwyżka promienia" jest tu zatem

ujemna.

Powierzchnie kul i gruszek są przykładami powierz-

chni o dodatniej krzywiźnie: w ostatnim zaś przykładzie
spotkaliśmy się z powierzchnią o krzywiźnie ujemnej.

W ogólnym przypadku, dwuwymiarowa przestrzeń może

mieć krzywiznę zmieniającą się od miejsca do miejsca
i może być przestrzenią o dodatniej krzywiźnie w pew-
nych punktach, a o ujemnej w innych. Przestrzenią
zakrzywioną nazywamy ogólnie taką przestrzeń, w której
po prostu reguły geometrii Euklidesa załamują się nie-
zależnie od znaku występujących tu odstępstw od geo-

metrii euklidesowej. Wartość krzywizny przestrzeni —
określona, na przykład, za pomocą nadwyżki promie-
nia — może się zmieniać od punktu do punktu.

42.13. „Okrąg" na powierzchni
siodłowej

42.14. Dwuwymiarowa przestrzeń
o znikającej krzywiźnie wewnętrz-

nej

42-1. PRZYKŁADY DWUWYMIAROWYCH PRZESTRZENI

413

Zwróćmy uwagę, że zgodnie z naszą definicją krzywizny powierzchnia walca, wbrew

wszelkim oczekiwaniom, nie jest przestrzenią krzywą. Żuk żyjący na powierzchni walca,

jak to przedstawiliśmy na rys. 42.14, stwierdziłby, że jego trójkąty, kwadraty i okręgi

mają wszystkie własności dokładnie takie same jak na płaszczyźnie. Można się z tym łatwo

zgodzić, jeśli uprzytomnimy sobie, jak te wszystkie figury będą wyglądały po rozwinięciu
powierzchni walca na płaszczyznę. Wtedy wszystkie te figury geometryczne będą identyczne
z ich odpowiednikami w geometrii płaskiej. Dlatego też żuk żyjący na powierzchni walca
(przy założeniu, że nie będzie on walca obchodził dookoła, lecz wykonywał jedynie po-
miary lokalne) nie możne w żaden sposób stwierdzić, że jego przestrzeń jest zakrzywiona.
Przyjmując więc punkt widzenia oparty na podanych tu konstrukcjach, musimy przyjąć,
że jego przestrzeń nie jest przestrzenią zakrzywioną. Przedmiotem naszych rozważań bę-
dzie bowiem to, co bardziej precyzyjnie jest nazywane krzywizną wewnętrzną przestrzeni;
czyli krzywizną, której istnienie można stwierdzić jedynie za pomocą pomiarów przepro-
wadzanych w lokalnym otoczeniu danego punktu. (Powierzchnia walca nie ma więc krzy-
wizny wewnętrznej.) To właśnie znaczenie krzywizny miał na myśli Einstein twierdząc,
że przestrzeń nasza jest przestrzenią krzywą. Na razie jednak podaliśmy tylko definicję
dwuwymiarowej przestrzeni krzywej; musimy więc z kolei zastanowić się jakie znaczenie
może mieć to pojęcie w przestrzeni o trzech wymiarach.

42-2. Krzywizna w przestrzeni trójwymiarowej

Jesteśmy istotami żyjącymi w przestrzeni trójwymiarowej i zamierzamy rozważyć

możliwość, że nasza trójwymiarowa przestrzeń jest zakrzywiona. Czytelnik mógłby za-
pytać: „W jaki sposób jednak możemy sobie wyobrazić, że nasza przestrzeń jest w jakimś
kierunku wygięta?" Otóż wcale nie musimy sobie wyobrażać, że nasza przestrzeń wygina
się w jakimkolwiek kierunku, gdyż nasza wyobraźnia do tego się nie nadaje. (Być może,
że dokładnie z takich samych powodów nie możemy wyobrażać sobie zbyt dużo, z jakich też
nie możemy za bardzo się wyzwolić od rzeczywistego świata.) Krzywiznę możemy jednak
określić bez możliwości wychodzenia z naszego trójwymiarowego świata. Wszystko to,
o czym mówiliśmy, posługując się dwuwymiarowymi przykładami, było po prostu ćwi-
czeniem, które miało doprowadzić nas do sposobu określania krzywizny, niezależnie od
możliwości uzyskania „wglądu" od zewnątrz.

Możemy więc stwierdzić czy świat nasz jest zakrzywiony, czy też nie, postępując do-

kładnie tak samo jak osobnicy, którzy żyli na powierzchni kuli lub na rozgrzanej płycie.
Nie mamy, być może, sposobu rozróżnienia pomiędzy tymi dwoma przypadkami, lecz
z pewnością możemy odróżnić oba te przypadki od przestrzeni płaskiej, od zwyczajnej

płaszczyzny. Jak możemy to uczynić? Bardzo prosto: możemy odłożyć trójkąt i zmierzyć

jego kąty. Możemy też skonstruować wielki okrąg i zmierzyć stosunek jego obwodu do
jego promienia. Możemy także próbować utworzyć dokładne kwadraty lub skonstruować

sześcian. Każdy z tych przypadków dostarczy nam sprawdzianu słuszności praw geo-
metrii. Jeżeli prawa te nie będą spełnione, mówimy, że nasza przestrzeń jest krzywa. Jeżeli
więc utworzymy duży trójkąt i stwierdzimy, że suma jego kątów przewyższa 180°, dowiemy

414

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

42.15. Nadwyżka promie-

nia może być różna dla

okręgów o różnej orientacji

w przestrzeni

nadwyżka ta powinna być całkowicie wystarczającą miarą krzywizny. Ma ona tę wielką
zaletę, że nie zależy od orientacji trójkąta lub okręgu.

Tak określona nadwyżka promienia ma również pewną wadę; nie dostarcza ona peł-

nej charakterystyki przestrzeni. Jest ona miarą wielkości, którą zwykle nazywa się średnią

krzywizną przestrzeni trójwymiarowej, gdyż związany jest z nią pewien proces średniowania
ze względu na różne krzywizny. Ponieważ jednak jest ona pewną średnią wielkością, nie
rozwiązuje w sposób zupełny zagadnienia określenia geometrii. Jeśli jest znana tylko ta
liczba, nie można przewidzieć wszystkich własności geometrii przestrzeni, gdyż nie można

się, że nasza przestrzeń jest zakrzywiona. Tak samo to,
że zmierzony promień okręgu nie będzie równy ilorazowi

jego obwodu i liczby 2π, będzie dowodem, że nasza prze-

strzeń jest krzywa.

Czytelnik łatwo może zauważyć, że w trzech wymia-

rach będziemy mieli znacznie bardziej skomplikowaną sy-
tuację niż w przypadku dwuwymiarowym. W każdym
punkcie przestrzeni dwuwymiarowej występowała pewna
krzywizna. W przestrzeni trójwymiarowej natomiast mogą
występować różne składowe krzywizny. Jeśli skonstruujemy
trójkąt na pewnej płaszczyźnie, możemy otrzymywać różne
odpowiedzi w zależności od różnych orientacji tej płasz-
czyzny. Do tego samego wniosku doprowadzą nas rozwa-

żania związane z okręgiem. Przypuśćmy więc, że narysowa-

liśmy pewien okrąg, zmierzyliśmy jego promień i otrzymaliśmy w wyniku liczbę różną od

C/2π,

otrzymaliśmy więc pewną nadwyżkę promienia. Przypuśćmy dalej, że w płaszczyźnie

prostopadłej do płaszczyzny pierwszego okręgu narysowaliśmy inny okrąg (por. rys. 42.15).
Nie ma żadnego powodu, aby nadwyżka promienia była dla obu okręgów taka sama. Wię-
cej nawet, jeden z tych okręgów mógłby mieć dodatnią nadwyżkę, a drugi pewien ubytek
promienia (czyli nadwyżkę ujemną).

Uważny czytelnik może w tym miejscu zaproponować lepsze wyjście z sytuacji: Czy

nie moglibyśmy uniknąć tych wszystkich składowych, posługując się kulą w trzech wymia-
rach? Możemy przecież wziąć pod uwagę powierzchnię pewnej kuli, będącą zbiorem wszyst-
kich punktów równoodległych od pewnego danego punktu w przestrzeni. Następnie może-

my przecież zmierzyć pole jej powierzchni przez utworzenie na tej powierzchni bardzo drob-
nej prostokątnej siatki i zsumowanie przyczynków pochodzących od pól poszczególnych
oczek. Zgodnie z geometrią euklidesową całkowite pole A powierzchni kuli powinno być
równe iloczynowi liczby 4π i kwadratu promienia kuli, możemy więc określić „przewidy-

Promień możemy jednak zmierzyć

wany promień", który powinien być równy
również bezpośrednio przez wywiercenie na przykład w kuli otworu sięgającego do jej
środka i zmierzenie odpowiedniej odległości. Możemy wtedy znowu wziąć różnicę po-
między zmierzonym promieniem i przewidywanym i nazwać ją nadwyżką promienia:

1/2

4π

mierzone pole

mierz

nadwyż

na przykład powiedzieć, co się będzie działo z okręgami mającymi różne orientacje w prze-
strzeni. Pełna definicja krzywizny wymaga podania sześciu „współczynników krzywizny"
w każdym punkcie przestrzeni. Matematycy naturalnie wiedzą, jak wyznaczyć te wszyst-

kie współczynniki. Kiedyś w przyszłości, za pośrednictwem odpowiednich podręczników
matematycznych, czytelnik zapozna się zapewne z bardziej eleganckimi i bardziej zaawan-
sowanymi sposobami opisu krzywizny, warto jednak znać również mniej precyzyjny, ale
za to bardziej poglądowy sposób opisu tych pojęć. Dla większości naszych celów będzie
nam wystarczało pojęcie średniej krzywizny*

)

.

42-3. Nasza przestrzeń jest zakrzywiona

Stajemy teraz przed podstawowym pytaniem. Czy to wszystko jest prawdą? Czy na-

prawdę rzeczywista trójwymiarowa przestrzeń fizyczna, w której żyjemy, jest przestrzenią
zakrzywioną? Skoro umysł ludzki miał już dość wyobraźni, aby uzmysłowić sobie możli-
wość występowania przestrzeni zakrzywionych, to musiał naturalnie zadać sobie pytanie,
czy rzeczywisty świat jest czy też nie jest zakrzywiony. Zaprojektowano wiele bezpośred-

nich pomiarów geometrycznych, które miały udzielić odpowiedzi na to pytanie i nie stwier-
dzono żadnych odchyleń od geometrii euklidesowej. Z drugiej jednak strony, w wyniku
rozważań dotyczących grawitacji, Einstein doszedł do wniosku, że przestrzeń jest zakrzy-
wiona. Chcielibyśmy podać tu einsteinowskie prawo określające wielkość tej krzywizny
oraz przedstawić w krótkim zarysie sposób, w jaki doszedł on do sformułowania tego

prawa.

Einstein orzekł, że przestrzeń jest zakrzywiona i że źródłem jej krzywizny jest materia.

(Materia jest również źródłem grawitacji, a więc grawitacja i krzywizna przestrzeni są

z sobą powiązane — do tego jednak aspektu zagadnienia dojdziemy w następnych częściach
tego rozdziału.) Aby uprościć nieco to zagadnienie, załóżmy, że materia jest rozłożona
w sposób ciągły, z pewną gęstością, która może się przy tym zmieniać od punktu do punktu
przestrzeni**

)

. Einstein podał następującą regułę dotyczącą krzywizny przestrzeni: Jeśli

w przestrzeni mamy obszar wypełniony materią i weźmiemy w tym obszarze tak małą
kulę, że gęstość ρ materii we wnętrzu tej kuli jest praktycznie stała, wtedy nadwyżka pro-
mienia tej kuli będzie proporcjonalna do zawartej w niej masy. Korzystając z definicji

*

)

Dla zupełności chcielibyśmy jeszcze zwrócić uwagę na pewien dodatkowy szczegół. Gdybyśmy

chcieli przenieść do trzech wymiarów model zakrzywionej przestrzeni jako rozgrzanej płyty, musielibyśmy

założyć, że długość pręta mierniczego zależy nie tylko od miejsca, w którym się go przykłada, lecz także

od orientacji pręta w tym miejscu. Stanowiłoby to uogólnienie prostego przypadku, w którym długość

pręta zależałaby tylko od tego, gdzie on się znajduje i byłaby taka sama dla jego wszystkich możliwych

kierunków. Tego rodzaju uogólnienie jest konieczne, jeśli chce się za pomocą takiego modelu opisać trój-

wymiarową przestrzeń o dowolnej geometrii, nie było ono natomiast potrzebne w przypadku dwuwymia-

rowym.

**

)

Nikt — nawet Einstein — nie wie, jak można to zrobić, jeśli masa jest skoncentrowana w pewnych

punktach.

42-2. KRZYWIZNA W PRZESTRZENI TRÓJWYMIAROWEJ

415

Współczynnik G jest tu stałą grawitacji (tą samą co w teorii Newtona), c jest prędkością
światła, a M = 4πρr

3

/3 jest

masą materii znajdującej się wewnątrz kuli. Jest to einstcinow-

skie prawo określające średnią krzywiznę przestrzeni.

Dla przykładu weźmy pod uwagę Ziemią i dla uproszczenia załóżmy, że jej gęstość jest

stała, wtedy nie będziemy musieli obliczać żadnych całek. Przypuśćmy, że bardzo starannie
zmierzyliśmy pole powierzchni Ziemi, a następnie wywierciliśmy szyb sięgający do jej
środka i zmierzyliśmy promień Ziemi. Znając pole powierzchni możemy obliczyć przewi-
dywany promień Ziemi, przyjmując że pole to jest równe 4πr

2

.

Gdybyśmy porównali

przewidywany promień z jej rzeczywistym promieniem, stwierdzilibyśmy, że rzeczywisty
promień jest większy od promienia przewidywanego właśnie o wielkość daną w równa-
niu (42.3). Stała G/3c

2

jest w przybliżeniu równa 2,5·10

-29

cm na gram, czyli nadwyżka

promienia odpowiadająca jednemu gramowi materii jest równa 2,5·10

- 2 9

cm. Biorąc zaś

masę Ziemi, która jest w przybliżeniu równa 6· l0

27

g, możemy obliczyć, że rzeczywisty

promień Ziemi jest o 1,5 mm większy niż jej promień przewidywany*

)

. Przeprowadzając

ten sam rachunek dla Słońca, możemy stwierdzić, że nadwyżka promienia Słońca jest
równa pół kilometra.

Należy zauważyć, że zgodnie ze wspomnianym prawem, średnia krzywizna wokół

fikcyjnej kuli ponad powierzchnią Ziemi jest równa zeru. Wcale to jednak nie oznacza, że
wszystkie składowe krzywizny są tam równe zeru. Również w obszarach ponad powierzch-
nią Ziemi może występować — i w rzeczywistości występuje — pewna krzywizna prze-
strzeni. Jeżeli w obszarze takim weźmie się pod uwagę leżący w pewnej płaszczyźnie okrąg,
to dla pewnych orientacji płaszczyzny okrąg taki będzie miał nadwyżkę promienia o jakimś

znaku, a dla innych orientacji o znaku przeciwnym. Średnia krzywizna wokół jakiejś kuli
znika tylko wtedy, gdy we wnętrzu tej kuli nie znajdują się żadne masy. Można dodać,

że różne składowe krzywizny są zależne od zmian średniej krzywizny przestrzeni. Jeżeli

więc dana jest średnia krzywizna w całej przestrzeni, można na podstawie tej zależności

wyznaczyć samą krzywiznę w dowolnym punkcie przestrzeni. W obszarach ponad po-

wierzchnią Ziemi średnia krzywizna zmienia się z wysokością, czyli w obszarach tych
przestrzeń jest zakrzywiona. Istnienie tej właśnie krzywizny manifestuje się w postaci siły

grawitacyjnej.

Powróćmy do przykładu z żukiem na płaszczyźnie i załóżmy, że na „płaszczyźnie"

tej występują niewielkie lokalne wzniesienia. Ilekroć nasz żuk natrafi na takie wzniesienie,
będzie wnioskował, że natrafił na mały lokalny obszar, w którym jego przestrzeń jest
zakrzywiona. Z podobnym zjawiskiem spotykamy się w trzech wymiarach. W miejscach,
gdzie występują grudki materii, nasza trójwymiarowa przestrzeń ma lokalną krzywiznę —

występuje tam trójwymiarowy odpowiednik lokalnego wzniesienia.

*

)

Oszacowanie to jest oczywiście przybliżone, gdyż w rzeczywistości gęstość Ziemi zależy od jej

promienia.

416

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

(42.3)

nadwyżki promienia, mamy

nadwyżka promienia =

Jeżeli na „płaszczyźnie" będziemy mieli wiele wybojów, może tam wystąpić pewna

globalna krzywizna poza jej lokalnymi fluktuacjami w postaci małych wzniesień — możemy
wtedy zamiast płaszczyzny otrzymać na przykład powierzchnię kuli z niewielkimi wznie-

sieniami. Byłoby rzeczą interesującą, gdybyśmy wiedzieli, czy nasza przestrzeń ma obok
lokalnych wzniesień spowodowanych przez takie grudki materii jak Ziemia lub Słońce
również pewną globalną średnią krzywiznę. Na pytanie to próbują odpowiedzieć astro-

fizycy wykonując pomiary i obserwacje bardzo odległych galaktyk. Gdyby na przykład
liczba galaktyk obserwowanych w sferycznej warstwie o bardzo dużym promieniu różniła
się od tego, czego moglibyśmy oczekiwać na podstawie znajomości promienia takiej war-
stwy, to otrzymalibyśmy tym samym miarę nadwyżki promienia gigantycznej kuli. Na pod-
stawie takich pomiarów ma się nadzieję, iż uda się rozstrzygnąć czy cały nasz Wszech-
świat jest średnio rzecz biorąc płaski, czy też zakrzywiony — czy jest „zamknięty" jak

powierzchnia kuli, czy też „otwarty" jak płaszczyzna. Czytelnik spotkał się już zapewne
z dyskusjami na ten temat. Cała sprawa jest ciągle jeszcze dyskusyjna, gdyż pomiary
astronomiczne są ciągle jeszcze nieprzekonywające; dane eksperymentalne nie są jesz-
cze wystarczająco dokładne, aby można było na ich podstawie dać jednoznaczną odpo-
wiedź. Nie mamy więc, niestety, najmniejszego pojęcia, jaka jest globalna krzywizna ca-
łego naszego Wszechświata.

42-4. Geometria czasoprzestrzeni

Musimy wreszcie wziąć pod uwagę również pojęcie czasu. Jak wiemy ze szczególnej

teorii względności, pomiary wielkości przestrzennych oraz pomiar czasu są z sobą ściśle
związane. Nie jest więc do pomyślenia, aby sama przestrzeń mogła ulegać pewnym zmia-
nom, a czas byłby od tych zmian niezależny. Jak pamiętamy, pomiar czasu zależał od

prędkości, z jaką poruszał się obserwator. Dla obserwatora mijającego nas na przykład

w pojeździe kosmicznym wszystkie procesy przebiegają wolniej niż dla nas. Jeśli taki

obserwator wystartuje w podróż kosmiczną i powróci po 100 sekundach wyznaczonych

przez nasze zegarki, czas na jego zegarku może wynosić na przykład 95 sekund. W porów-

naniu z naszymi zegarami jego zegarek — tak jak i przebieg wszystkich innych procesów,
na przykład bicie jego serca — będzie miał zwolniony rytm.

Spróbujmy rozpatrzyć następujące, interesujące zagadnienie. Przypuśćmy, że znaj-

dujemy się w rakiecie kosmicznej. Na dany sygnał mamy wystartować i mamy powrócić
do miejsca naszego startu dokładnie wtedy, gdy zostanie tam nadany następny sygnał —

po czasie dokładnie równym, powiedzmy, 100 sekundom według wskazań zegara w spo-

czynku. Mamy ponadto tak zaplanować wycieczkę, aby zgodnie z naszym zegarem upłynął

możliwie najdłuższy czas. W jaki sposób powinniśmy się poruszać? Otóż powinniśmy
stać w miejscu. Jeśli bowiem będziemy się w ogóle poruszać, nasz zegar wskaże po powro-
cie zawsze mniej niż 100 sekund.

Wprowadźmy jednak w tym zagadnieniu pewną drobną zmianę. Przypuśćmy, że mamy

wystartować z pewnego punktu A na dany sygnał i mamy dotrzeć do innego punktu B
(oba punkty spoczywają w pewnym ustalonym układzie); mamy przy tym tak zaplanować

27 — Wykłady z fizyki

42-3. NASZA PRZESTRZEŃ JEST ZAKRZYWIONA

417

naszą podróż, aby dotrzeć do celu właśnie w chwili nadania tam drugiego sygnału (np.
po upływie 100 sekund po pierwszym sygnale według wskazań zegara spoczywającego

wraz z oboma punktami). Mamy ponadto tak zaplanować podróż, aby podróżujący z nami
zegar wskazał w chwili przybycia możliwie największy upływ czasu. W jaki sposób możemy
to osiągnąć? Dla jakiego toru ruchu i dla jakiego rozkładu jazdy zegar nasz wskaże możli-
wie najdłuższy czas podróży? Okazuje się, że podróż nasza będzie trwała najdłużej, z na-

szego punktu widzenia, jeśli odbędziemy ją podróżując ruchem jednostajnym po linii
prostej. Wtedy bowiem każdy dodatkowy ruch i każda dodatkowa prędkość zwolnią bieg
naszego zegara. (Ponieważ zaś odchylenie czasu zależy od kwadratu prędkości, tego co

stracimy idąc trochę prędzej na pewnym odcinku naszej podróży nigdy nie będziemy
mogli odrobić, niezależnie od tego jak wolno próbowalibyśmy poruszać się w innych

okresach podróży.)

Z rozważań tych wynika przede wszystkim, że również w czasoprzestrzeni możemy

określić pojęcie „linii prostej". Odpowiednikiem linii prostej w przestrzeni jest w przypadku
czasoprzestrzeni ruch z jednostajną prędkością w stałym kierunku.

Odpowiednikiem krzywej o najkrótszej odległości w przestrzeni jest w czasoprzestrzeni

nie ruch w najkrótszym możliwie czasie, lecz ruch z najdłuższym czasem własnym, a jest
to związane z odmiennym znakiem, jaki towarzyszy w teorii względności wielkościom
czasowym. Ruch „prostoliniowy" — będący odpowiednikiem „ruchu ze stałą prędkością
wzdłuż linii prostej" — jest teraz tym ruchem, podczas którego zegar zostaje tak przenie-
siony z jednego punktu i odpowiadającej mu chwili czasu do innego punktu w innej chwili,

że czas podróży wskazany przez ten zegar będzie możliwie najdłuższy. To właśnie jest
naszą definicją odpowiednika Unii prostej w czasoprzestrzeni.

42-5. Grawitacja i zasada równoważności

Jesteśmy już przygotowani, aby przystąpić do dyskusji nad prawami grawitacji. Ein-

stein podjął szereg prób, aby sformułować taką teorię grawitacji, która byłaby zgodna
z poprzednio przez niego podaną teorią względności. Borykał się on z tym zagadnieniem
dość długo, aż w końcu przyjął pewną ważną zasadę, która doprowadziła go do otrzymania

poprawnych praw. Podstawą tej zasady jest obserwacja, że we wnętrzu swobodnie spada-

jącego przedmiotu wszystko wydaje się być w stanie nieważkości. Tak na przykład, znaj-

dujący się na orbicie satelita Ziemi spada swobodnie w polu ciężkości Ziemi i dlatego

znajdujący się w nim astronauta będzie odczuwać stan nieważkości. Koncepcja ta, sfor-
mułowana z większą precyzją, jest nazywana einsteinowską zasadą równoważności. Jest
ona związana z faktem, że wszystkie przedmioty spadają z dokładnie tym samym przyspie-
szeniem, niezależnym ani od ich masy, ani też od ich wewnętrznej struktury. Jeśli weźmiemy
pod uwagę lecący z wyłączonymi silnikami pojazd kosmiczny, czyli spadający swobodnie

statek, i znajdującego się w jego wnętrzu człowieka, wtedy zarówno ruch człowieka, jak

i pojazdu będzie powodowany przez dokładnie te same prawa. Skoro więc człowiek ów
umieści się w środkowym punkcie pojazdu, będzie on tam pozostawał. Nie będzie spadał

418

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

42-5. GRAWITACJA I ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI

419

na żadną ze ścian statku. Taką właśnie sytuację mamy na myśli, mówiąc że pozostaje

on w „stanie nieważkości".

Przypuśćmy teraz, że znajdujemy się w poruszającej się ruchem przyspieszonym rakie-

cie kosmicznej. Względem czego jednak porusza się ona ruchem przyspieszonym? Uj-
mijmy to inaczej i powiedzmy, że silniki rakiety pracują wytwarzając siłę ciągu, wskutek
czego jej ruch nie jest już spadkiem swobodnym. Przypuśćmy także, że znajdujemy się
dość daleko w pustej przestrzeni kosmicznej, gdzie praktycznie na pojazd nie działają

żadne siły grawitacyjne. Jeśli pojazd będzie miał przyspieszenie równe „1g", będziemy
mogli stać na „podłodze" i będziemy odczuwali nasz normalny ciężar. Gdybyśmy również
podrzucili do góry piłkę, zaczęłaby ona ,,spadać" na podłogę. Dlaczego? Otóż dlatego,
że pojazd porusza się ruchem przyspieszonym ,,ku górze", a na piłkę nie będą natomiast
działały żadne siły i nie będzie ona brała udziału w tym ruchu przyspieszonym; nie będzie
ona więc nadążała za pojazdem. Ze względu na wnętrze pojazdu piłka będzie poruszała się
pozornym ruchem przyspieszonym w dół, o przyspieszeniu równym „1g".

Porównajmy to teraz z sytuacją, w której pojazd kosmiczny będzie spoczywał na po-

wierzchni Ziemi. Wszystkie tego typu zjawiska będą miały przebieg dokładnie taki sam jak

poprzednio! Pasażerowie będą odczuwali nacisk w kierunku podłogi, piłka będzie spadać

z przyspieszeniem równym 1g itd. Czy jest więc możliwe, żeby ktoś siedzący wewnątrz
pojazdu kosmicznego mógł powiedzieć, czy spoczywa na powierzchni Ziemi, czy też
porusza się ruchem przyspieszonym w przestrzeni kosmicznej? Zgodnie z einsteinowską
zasadą równoważności tego nie można w ogóle rozstrzygnąć, jeśli korzysta się tylko z po-
miarów wykonanych we wnętrzu pojazdu!

Dla ścisłości należy stwierdzić, że jest to prawdą tylko w przypadku pomiarów wy-

konywanych w dokładnie jednym punkcie wewnątrz pojazdu. Pole grawitacyjne Ziemi
nie jest bowiem dokładnie jednorodne i spadająca w nim swobodnie piłka będzie dla dwóch
sąsiednich torów miała trochę różne przyspieszenia — o różnych kierunkach i o różnych
wartościach bezwzględnych. Gdybyśmy mieli natomiast ściśle jednorodne pole grawita-
cyjne, moglibyśmy je zastąpić układem odniesienia poruszającym się ruchem jedno-
stajnie przyspieszonym. W stwierdzeniu tym zawarta jest właśnie podstawowa treść za-
sady równoważności.

42-6. Rytm zegarów w polu grawitacyjnym

Posłużymy się teraz zasadą równoważności, aby rozważyć dziwne zjawiska, które

mogą zachodzić w polu grawitacyjnym. Zwrócimy więc uwagę na pewne zjawisko
w rakiecie kosmicznej, którego możliwości istnienia w polu grawitacyjnym czytelnik
prawdopodobnie by nie oczekiwał. Przypuśćmy, że jeden zegar umieściliśmy w „głowicy"
rakiety kosmicznej, tzn. w jej przedniej części, a drugi, identyczny zegar — w jej tylnej

części, jak to przedstawiono na rys. 42.16. Oznaczmy te zegary odpowiednio literami A i B.
Jeśli porównamy wskazania tych zegarów podczas przyspieszonego ruchu pojazdu, to
się okaże, że zegar na przodzie pozornie idzie szybciej niż zegar w tyle. Aby się o tym prze-

420

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

konać, przypuśćmy, że przedni zegar wysyła co sekundę
błysk światła, a z tyłu rakiety znajduje się obserwator,
który porównuje częstość przybywających błysków światła
ze wskazaniami zegara B. Niech rakieta będzie na przykład
w położeniu oznaczonym literą a na rys. 42.17 wtedy, gdy

zegar A wysyła błysk światła, a w położeniu b, gdy błysk ten
dotrze do zegara B. Następny z kolei błysk zegar A wyśle

wtedy, gdy pojazd będzie znajdował się w położeniu c, a w

położeniu d błysk ten będzie odebrany przez obserwatora
znajdującego się przy zegarze B.

Pierwszy błysk przebędzie odległość L

1

, a następny przej-

dzie krótszą już odległość L

2

. Odległość ta będzie krótsza,

gdyż pojazd porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym
i w chwili wysłania drugiego błysku będzie miał już większą

prędkość. Widać więc stąd, że dwa błyski wysłane przez
zegar A w odstępie jednosekundowym dotrą do zegara B
w odstępie krótszym od jednej sekundy, gdyż drugi z kolei
błysk nie będzie potrzebował na przebycie swej drogi tak
dużo czasu, jak pierwszy. To samo będzie się również działo
ze wszystkimi następnymi błyskami. Dlatego obserwator
znajdujący się w tyle statku dojdzie do wniosku, że zegar A
idzie prędzej niż zegar B. Gdybyśmy przeprowadzili podobne
doświadczenie myślowe odwracając rolę obu zegarów —
pozwolili emitować światło zegarowi B i obserwowali je przy

zegarze A — doszlibyśmy do wniosku, że zegar B idzie wolniej
niż A. Oba więc wnioski byłyby z sobą zgodne i nic w tym nie
byłoby tajemniczego.

Weźmy teraz pod uwagę pojazd kosmiczny spoczywający w polu grawitacyjnym Ziemi.

Przypuśćmy, że przeprowadzamy to samo doświadczenie. Siedzący więc na podłodze obser-

wator z jednym zegarkiem w ręku i patrzący na drugi identyczny zegar umieszczony na
wysokiej półce powinien by dojść do wniosku, że zegar na półce spieszy się w porównaniu
z zegarem na podłodze! Czytelnik może w tym miejscu zaprotestować: „Wniosek ten
musi być błędny. Wskazania obu zegarów powinny być takie same. Jeśli zegary nie wyko-
nują ruchów przyspieszonych, nie ma powodów, aby ich rytmy były niezgodne." Tak

jednak być musi, jeśli zasada równoważności jest słuszna. Einstein chciał zaś koniecznie,

aby zasada ta była słuszna, i zgodnie z tym żądaniem odważnie i logicznie kontynuował
swe rozumowanie. Zaproponował, aby uznać, że zegary umieszczone w różnych punktach
w polu grawitacyjnym muszą pozornie chodzić różnie. Jeśli przy tym różnica ich wskazań
będzie się stale zwiększać, należy uznać, że mają one odmienne rytmy.

Widać teraz ścisłą analogię pomiędzy zegarami w polu grawitacyjnym i rozszerzającym

się pod wpływem ciepła prętem mierniczym, o którym mówiliśmy poprzednio, kiedyśmy
się zajmowali żukiem na rozgrzanej płycie. Wyobrażaliśmy sobie, że pręty, żuki, jak
i wszystkie inne przedmioty jednakowo zmieniały swe długości pod wpływem zmian tem-

42.16. Poruszający się ru-

chem przyspieszonym po-

jazd rakietowy z dwoma ze-
garami na pokładzie

przyspieszeni

e

zegar A

zegar B

42-6. RYTM ZEGARÓW W POLU GRAWITACYJNYM

421

peratury i dlatego żuki nie miały możliwości stwierdzenia, że ich pręty miernicze zmieniały
swą długość podczas ich przesuwania po rozgrzanej płycie. To samo dzieje się z zegarami
w polu grawitacyjnym. Każdy zegar umieszczony na wyższym poziomie wydaje się spie-
szyć. Przyspieszeniu ulega wtedy zarówno rytm bicia serca, jak i przebieg wszystkich
innych procesów.

Gdyby tak nie było, istniałaby możliwość odróżnienia pola grawitacyjnego od porusza-

jącego się ruchem przyspieszonym układu odniesienia. Jest to trudna do przyjęcia koncep-

cja, że czas może się zmieniać od miejsca do miejsca, ale jest to koncepcja, którą Einstein
posługiwał się w swych rozumowaniach, i — wierzcie mi lub nie — jest ona poprawna.

Posługując się zasadą równoważności możemy obliczyć

jak zmienia się prędkość chodu zegara w zależności od
jego wysokości w polu grawitacyjnym. W tym celu rozwa-

żymy po prostu pozorną rozbieżność wskazań dwóch zega-
rów w poruszającej się ruchem przyspieszonym rakiecie
kosmicznej. Najprościej możemy to zrobić powołując się

na wyniki otrzymane w rozdz. 34 tomu l (cz. 2) dla zja-
wiska Dopplera. Stwierdziliśmy tam (por. równanie 34.14),

że jeśli v jest względną prędkością źródła i odbiornika,
odbierana częstość ω jest związana z nadawaną częstością

ω

0

wzorem

42.17. Zegar umieszczony
na przodzie

poruszającego

się ruchem przyspieszonym
pojazdu rakietowego ma po-
zornie przyspieszony rytm
w porównaniu z zegarem
umieszczonym w tyle po-

jazdu

ω =

ω

0

(42.4)

Teraz, w przypadku przedstawionej na rys. 42.17 rakiety,
poruszającej się ruchem przyspieszonym, odbiornik i nadaj-
nik poruszają się w danej chwili z jednakowymi prędkościa-
mi. W tym jednak czasie, w którym sygnał świetlny prze-
chodzi od zegara A do zegara B, pojazd przyspiesza. Przy-
rost jego prędkości jest więc wtedy równy gt, gdzie g jest
przyspieszeniem, a t — czasem, jaki światło potrzebuje
do przebycia odległości H od punktu A do B. Czas ten jest
w przybliżeniu równy H/c. Wtedy więc, gdy sygnał dociera
do punktu B, statek ma nową prędkość powiększoną o wiel-
kość gH/c. Ten przyrost prędkości reprezentuje względną
prędkość odbiornika i nadajnika w chwilach wysłania i ode-
brania sygnałów. Prędkość tę należy podstawić do wzoru
(42.4) na przesunięcie Dopplera. Zakładając, że przyspie-
szenie i długość pojazdu kosmicznego są tak małe, że odpo-
wiadający im przyrost prędkości jest znacznie mniejszy
od prędkości światła, możemy pominąć wyraz proporcjo-
nalny do v

2

/c

2

.

położenie d

położenie c

położenie b

położenie a

1+v/c

1-v

2

/c

2

422

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

Mamy więc

ω = ω

0

(42.5)

Tak

więc pomiędzy dwoma zegarami w rakiecie kosmicznej zachodzi związek

(rytm odbierany) = (rytm nadawany)

(42.6)

gdzie H jest różnicą w wysokości nadajnika i odbiornika.

Z zasady równoważności wynika, że ten sam rezultat musi być słuszny dla dwóch zegarów

umieszczonych na różnych wysokościach, o różnicy H, w polu grawitacyjnym, w którym

przyspieszenie ciał spadających jest równe g.

Rezultat ten jest tak ważny, że chcielibyśmy pokazać również, jak wynika on z innego

prawa fizyki — z zasady zachowania energii. Jak wiemy, siła grawitacyjna działająca na
dowolny obiekt jest proporcjonalna do jego masy M, która z kolei jest związana z jego
całkowitą energią wewnętrzną E wzorem M = E/c

2

. Tak na przykład, masy jąder atomo-

wych otrzymane na podstawie tego wzoru z energii jądrowych reakcji przemiany danego

jądra w inne, są zgodne z masami otrzymanymi z ich ciężarów atomowych.

Weźmy teraz pod uwagę atom, który może znajdować się albo w stanie całkowitej

energii E

0

, będącym jego najniższym stanem energetycznym, albo też w wyższym stanie

energii E

1

. Na skutek przejścia ze stanu E

1

do stanu E

0

atom ten emituje światło. Czę-

stość ω tego światła będzie równa

(42.7)

ω

=

E

1

—

E

0

.

Przypuśćmy teraz, że atom ten jest w stanie E

1

oraz że umieściliśmy go na podłodze.

Przenieśmy go następnie z podłogi na pewien poziom o wysokości H. Aby to uczynić,
musimy wykonać pracę polegającą na przeniesieniu masy m

1

= E

1

/c

2

przeciwko sile pola

grawitacyjnego. Praca ta jest równa

(42.8)

Po przeniesieniu go pozwólmy atomowi wyemitować foton, co spowoduje jego przejście
do niższego stanu energii E

0

.

Następnie przenieśmy atom z powrotem na podłogę. Prze-

nosimy teraz jednak masę równą E

0

/c

2

;

zyskamy więc energię

(42.9)

Całkowita praca, jaką musieliśmy wykonać przy przenoszeniu atomu, jest więc równa

(42.10)

Podczas emisji atom oddał fotonowi energię równą E

1

—E

0

.. Przypuśćmy teraz, że

gH.

E

1

-E

0

c

2

42-6. RYTM ZEGARÓW W POLU GRAWITACYJNYM

423

również foton powrócił na podłogę i został tu zaabsorbowany. Jak duża będzie energia,
dostarczona przez foton w momencie absorpcji? W pierwszej chwili mogłoby się wydawać,
że energia ta będzie po prostu równa E

1

— E

0

. Tak jednak być nie może, jeśli energia jest

zachowana. Powinno nas o tym przekonać następujące rozumowanie. Na początku mie-
liśmy energię E

1

atomu na podłodze. Na końcu, całkowita energia na podłodze była

równa sumie energii E

0

atomu w jego najniższym stanie i energii E

f

otrzymanej od fotonu.

Podczas procesu musieliśmy dostarczyć dodatkowej energii Δ U danej równaniem (42.10).
Z zasady zachowania energii wynika, że energia końcowa powinna być równa sumie energii
początkowej i wykonanej pracy. Musimy więc mieć

czyli

(42.11)

Stąd więc wynika, że energia fotonu na podłodze nie była po prostu równa E

1

— E

0

, lecz

była od tej wielkości większa. W przeciwnym bowiem przypadku część energii zostałaby
stracona. Jeśli do równania (42.11) podstawimy otrzymane na Δ U wyrażenie (42.10),

stwierdzimy, że energia, z jaką foton przybył na podłogę, była równa

(42.12)

Foton o energii E

f

ma jednak częstość ω =

Jeśli przez ω

0

oznaczymy

częstość, z jaką

foton był emitowany, to równanie (42.12) staje się identyczne ze związkiem (42.5) pomiędzy
częstością fotonu ulegającego absorpcji na podłodze i częstością fotonu podczas jego
emisji.

Związek ten możemy otrzymać jeszcze w inny sposób. Foton o częstości ω

0

ma ener-

gię

=

Ponieważ energii E

0

odpowiada masa grawitacyjna E

0

/c

2

, foton ma masę

(która nie jest jego masą spoczynkową) równą

i jest przez Ziemię „przyciągany".

Spadając z wysokości H uzyska on energię równą

i przybędzie na podłogę

z energią

Ε

Ponieważ zaś jego częstość po spadku jest równa

w wyniku otrzymujemy znowu

równanie (42.5). Widzimy, że wiele koncepcji dotyczących względności, fizyki kwantowej
oraz zasady zachowania energii będzie z sobą zgodnych tylko wtedy, gdy przewidziane
przez Einsteina zachowanie zegarów w polu grawitacyjnym będzie poprawne. Rozważane
tu zmiany częstości są w normalnych warunkach bardzo małe. Tak na przykład, 20-me-

trowej różnicy wzniesień na powierzchni Ziemi odpowiada względna różnica częstości
równa

Dokładnie taka właśnie zmiana częstości została niedawno stwierdzona

doświadczalnie za pomocą zjawiska Mössbauera*

)

. Einstein miał więc absolutną rację.

*

)

R. V. Pound i G. A. Rebka, Jr., Physical Review Letters 4, 337 (1960).

E

f

+E

0

=E

1

+ ΔU,

E

f

= E

1

-E

0

+ΔU.

E

f

= (E

l

-E

0

)

d)

H

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

424

a)

H

t

42-7. Krzywizna czasoprzestrzeni

Teraz chcemy powiązać otrzymane

powyżej wyniki z koncepcją krzywej czaso-
przestrzeni. Stwierdziliśmy już powyżej,

że istnieje analogia pomiędzy różnicą
w chodzie zegarów w różnych miejscach
i występowaniem krzywizny przestrzeni na
rozgrzanej płycie. Jest to jednak czymś
więcej niż analogią; jest to stwierdze-
niem, że czasoprzestrzeń jest zakrzywio-
na. Spróbujmy spojrzeć na czasoprze-
strzeń z punktu widzenia geometrycznego.
Może to z początku brzmieć nieco dziw-
nie, przypomnijmy sobie jednak, że już
dość często podawaliśmy diagramy czaso-

przestrzeni, na których na jednej osi była
odmierzona odległość, a na drugiej od-
stępy czasu. Przypuśćmy, że chcemy skon-
struować w czasoprzestrzeni pewien pro-
stokąt. Próbę jego konstrukcji przedsta-
wimy za pomocą wykresu przedstawiają-
cego wysokość H w zależności od czasu t,
w układzie o osiach jak na rys. 42.18a.
Aby wykonać podstawę naszego prosto-
kąta, weźmiemy pewien przedmiot w spo-

czynku, znajdujący się na wysokości H

1

i podążymy wzdłuż jego linii świata przez

100 s. Otrzymamy w ten sposób odcinek

BD na części b) wykresu, równoległy do

osi t. Weźmy teraz pod uwagę inny przed-
miot, znajdujący się 100 m wyżej niż pierw-
szy, w czasie t = 0. Niech przedmiotowi
temu w chwili t = 0 odpowiada punkt A
na rys. 42.18c. Podążmy teraz za tym

przedmiotem wzdłuż jego linii świata
przez 100 s zmierzonych przez zegar
w punkcie A, W tym czasie przedmiot
przejdzie od punktu A do C w czaso-

przestrzeni, co zostało pokazane w części
d) wykresu. Ponieważ jednak na obu tych
wysokościach czas biegnie inaczej — za-

42.18. Próba konstrukcji prostokąta w czaso-

przestrzeni

H

b)

B

100s

D

t

c)

H

A

m

100s

O

B

e)

kładamy bowiem, że istnieje tu pole grawitacyjne — punkty C i D nie przedstawiają

zdarzeń jednoczesnych. Gdybyśmy więc spróbowali uzupełnić kwadrat przez pociągnięcie
linii prostej do punktu C', znajdującego się 100 m powyżej punktu D w tym samym
czasie (por. rys. 42.18e), nie otrzymalibyśmy krzywej łamanej zamkniętej. Fakt ten jest
równoważny stwierdzeniu, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona.

42-8. Ruch w czasoprzestrzeni zakrzywionej

Rozważmy teraz pewną interesującą zagadkę.

Przypuśćmy, że mamy dwa identyczne zegary, A i B, znajdujące się na powierzchni Ziemi.

Przypuśćmy dalej, że unieśliśmy zegar A na pewną wysokość H, potrzymaliśmy go tam
przez chwilę i opuściliśmy go z powrotem na powierzchnię Ziemi dokładnie wtedy, gdy
zegar B odmierzył odstęp czasu równy 100 s. Odpowiedni odstęp czasu, odmierzony przez
zegar A, będzie wynosił wtedy, na przykład 107 sekund, gdyż na skutek uniesienia go
w powietrze rytm tego zegara był przyspieszony. I teraz właśnie możemy postawić naszą
zagadkę. Jaki ruch musi wykonać zegar A, jeśli odmierzony przez niego odstęp czasu ma
być możliwie największy — przy założeniu, że zegar A będzie zawsze powracał wtedy, gdy

zgodnie z zegarem B upłynie 100 s? Czytelnik mógłby na przykład tak odpowiedzieć:
„Sprawa jest prosta. Należy unieść zegar A po prostu tak wysoko, jak jest tylko możliwe.
Wtedy zegar A maksymalnie przyspieszy swój rytm, i po powrocie wykaże możliwie naj-
większy upływ czasu." Rozumowanie takie jest jednak błędne. Czytelnik bowiem tu za-

pomina, iż mamy do dyspozycji tylko 100 s na to, by wznieść nasz zegar i opuścić go z po-
wrotem. Jeśli uniesiemy go bardzo wysoko, będziemy musieli spowodować bardzo szyb-
ki jego ruch w obie strony, aby zdążyć w przeciągu 100 s. Musimy przy tym pamiętać
o tym, że zgodnie ze szczególną teorią względności, rytm poruszającego się zegara ulegnie

42-7. KRZYWIZNA CZASOPRZESTRZENI

425

zwolnieniu w stosunku

l— v

2

/c

2

. Gdybyśmy wzięli pod uwagę tylko tę poprawkę rela-

tywistyczną, okazałoby się, że odstęp czasu mierzony przez zegar A jest mniejszy niż od-
powiedni odstęp mierzony przez zegar B. Mamy więc tu do czynienia ze swego rodzaju
grą. Jeśli pozostawimy zegar A w spokoju, odmierzy on 100 s. Jeśli zaś będziemy go po-
woli unosić, osiągając raczej małą wysokość, a następnie powoli sprowadzimy go na po-
wierzchnię Ziemi, wskaże nam on trochę więcej niż 100 s. Jeżeli natomiast uniesiemy go

jeszcze trochę wyżej, nie wykluczone, że jeszcze bardziej na tym zyskamy. Jeśli jednak

będziemy chcieli unieść go zbyt wysoko, będziemy musieli się spieszyć, aby zdążyć to
wykonać; może to spowodować tak duże zwolnienie rytmu zegara, że po powrocie
będzie wskazywał on mniej niż 100 s. Jaki więc powinniśmy przygotować program

zmian wysokości w czasie, tzn. jaką powinniśmy dobrać wysokość i prędkość do-
tarcia do niej, abyśmy zdążyli powrócić do zegara B wtedy, gdy odmierzony przez
niego odstęp czasu będzie wynosił 100 s, a odstęp czasu odmierzony przez zegar A
będzie możliwie największy?

Odpowiedź: Należy wyznaczyć, z jaką prędkością początkową powinno się wyrzucić

piłkę pionowo w górę, aby powróciła ona na powierzchnię Ziemi po dokładnie 100 s.

Taki ruch piłki — składający się z jej szybkiego wznoszenia, zwalniania, zatrzymania się

426

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

42.19. W jednorodnym polu grawitacyjnym torem,
wzdłuż którego czas własny przyjmuje maksimum

dla ustalonego odstępu czasu, jest parabola

i powrotu na powierzchnię Ziemi — jest

właśnie dokładnie tym ruchem, podczas
którego upłynie maksymalny odstęp
czasu na zegarku poruszającym się
wraz z piłką.

Rozważmy teraz trochę inne zagad-

nienie. Przypuśćmy, że mamy dane
dwa punkty A i B na powierzchni

Ziemi, umieszczone w pewnej odle-
głości od siebie. Chcemy rozwiązać
tu to samo zagadnienie, jak wtedy,

gdyśmy próbowali znaleźć odpowied-
nik linii prostej w czasoprzestrzeni.

Pytamy się więc, jak powinniśmy się poruszać od punktu A do punktu B. aby czas
wskazany przez poruszający się tak zegar był najdłuższy — przy założeniu, że na dany
sygnał startujemy z punktu A i przybywamy do punktu B jednocześnie z innym
sygnałem, nadanym w punkcie B, po upływie określonego odstępu czasu, np. 100 s
po pierwszym sygnale, mierzonego przez zegar w spoczynku. Czytelnik może nam na
to odpowiedzieć: „Stwierdzilibyśmy jednak wtedy, że należy poruszać się z wyłączonym
silnikiem wzdłuż linii prostej z tak dobraną stałą prędkością, aby pojawić się w punkcie B
dokładnie po upływie 100 s. Gdybyśmy bowiem nie poruszali się wzdłuż linii prostej,
musielibyśmy przyspieszać, co spowodowałoby zwolnienie rytmu naszego zegara." Czy

jednak na pewno! Wynik taki otrzymaliśmy, nie biorąc pod uwagę zjawiska grawitacji.

Czy jednak nie byłoby lepiej wznieść się trochę po linii krzywej, a następnie znowu się
opuścić? Czy nie moglibyśmy zyskać na tym, że na dużych wysokościach zegar nasz przy-
spiesza swój rytm? Okazuje się, że rzeczywiście jest to prawdą. Jeżeli rozwiąże się zagad-
nienie matematyczne, polegające na takim dobraniu toru ruchu zegara, aby wskazany przez
niego odstęp czasu był możliwie najdłuższy, okaże się, że torem tym jest parabola, a więc
ta sama krzywa, która jest swobodnym balistycznym torem obiektów poruszających się
w polu grawitacyjnym, czyli krzywa przedstawiona na rys. 42.19. Dlatego też prawu ruchu
w polu grawitacyjnym można także nadać następujące sformułowanie: Każde ciało tak się

zawsze porusza, aby poruszający się z nim zegar wskazywał dla toru rzeczywistego dłuższy
czas niż wskazywałby on dla jakiegokolwiek innego możliwego toru — przy założeniu, oczy-
wiście, tych samych warunków na początku i na końcu takiego ruchu. Czas mierzony
przez poruszający się zegar jest często nazywany „czasem własnym". Podczas swobodnego
spadku czas własny danego ciała przyjmuje wzdłuż rzeczywistego toru jego ruchu wartość
maksymalną.

Sprawdźmy, jak ta zasada działa. Za punkt wyjścia przyjmujemy równanie (42.5),

które stwierdza, że różnica rytmów pomiędzy poruszającym się i spoczywającym zegarem

jest równa

ω

0

gH

(42.13)

c

2

Ziemia

B

A

Ponadto musimy uwzględnić, że podczas ruchu pojawia się poprawka o przeciwnym znaku,

która jest związana z prędkością ciała. Powoduje ona zmianę rytmu zegara określoną
wzorem

Wyrażenie podcałkowe jest tu po prostu różnicą energii kinetycznej i potencjalnej. Jak
czytelnik zapewne pamięta, w rozdz. 19 tomu II (cz. 1) poświęconym zasadzie najmniej-
szego działania, pokazaliśmy, że newtonowskie prawa ruchu ciała w dowolnym polu
potencjalnym można zapisać w postaci danej równaniem (42.18).

427

42-8. RUCH W CZASOPRZESTRZENI ZAKRZYWIONEJ

ω = ω

0

1-v

2

/c

2

.

Rozważana tu zasada jest prawdziwa dla każdej prędkości ciała. Dla uproszczenia bę-
dziemy tu jednak zakładali, że prędkość ciała jest dużo mniejsza niż prędkość światła c.
Wtedy powyższe równanie można zapisać w postaci

ω = ω

0

(l-v

2

/2c

2

)

i

różnica rytmów naszego zegara w ruchu i w spoczynku jest równa

(42.14)

(42.15)

Uwzględniając obie poprawki, (42.13) i (42.14), widzimy, że

Jeśli więc spoczywający zegar wskaże odstęp czasu dt, to wskutek powyższej zmiany rytmu
poruszający się zegar zarejestruje czas równy

(42.16)

Całkowita różnica czasów, mierzona przez zegar w spoczynku i w ruchu, wzdłuż całego

toru, jest równa całce z powyższej poprawki względem czasu, czyli

(42.17)

przy czym całka ta dla toru rzeczywistego powinna przybierać wartość maksymalną.

Wyraz gH jest po prostu równy potencjałowi grawitacyjnemu φ. Otrzymaną całkę

możemy pomnożyć przez stały czynnik —mc

2

, gdzie m jest masą spoczynkową ciała.

Wtedy w wyniku takiego pomnożenia dostaniemy wyrażenie, które będzie miało takie
samo ekstremum, lecz z powodu pojawienia się znaku minus ekstremum to ulegnie zmianie
z maksimum na minimum. Równanie (42.17) można wtedy zastąpić warunkiem stwier-
dzającym, że podczas ruchu ciała

(42.18)

dt = minimum.

— ω

0

v

2

2c

2

ω =

ω

0

c

2

gH—

2

v

2

428

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

42-9. Einsteinowska teoria ciążenia

Einsteinowska postać równań ruchu — równoważna stwierdzeniu, że czas własny

w zakrzywionej przestrzeni powinien przyjmować wartość maksymalną — prowadzi
w przypadku małych prędkości do tych samych wyników co prawa Newtona. Tak więc
zegarek astronauty Gordona Coopera podczas jego ruchu wokół Ziemi spóźniał
się w porównaniu z tym, co by ten zegarek wskazywał, gdyby pojazd kosmiczny
Coopera poruszał się po jakimś innym, nierzeczywistym torze, jaki moglibyśmy sobie

wyobrazić*

)

.

Prawo ciążenia można więc sformułować za pomocą pojęć geometrii czasoprzestrzeni

w ten oto szczególny sposób: Czas własny poruszającej się cząstki — będący w czasoprze-
strzeni odpowiednikiem „najkrótszej drogi" — jest zawsze najdłuższy. Jest to prawo ruchu
w polu grawitacyjnym. W takim sformułowaniu prawo to nie zależy ani od układów współ-

rzędnych, ani też od innych sposobów opisu rozważanej sytuacji; i to jest największą za-
letą tego sformułowania.

Spróbujmy zreasumować nasze dotychczasowe rozważania. Poznaliśmy dwa prawa

teorii grawitacji:

1. W obecności materii zmienia się geometria czasoprzestrzeni i to tak, że krzywizna

czasoprzestrzeni wyrażona za pomocą nadwyżki promienia jest proporcjonalna do masy
zawartej we wnętrzu kuli o tym promieniu, co zostało wyrażone równaniem (42.3).

2. W przypadku, gdy siły grawitacyjne są jedynymi działającymi siłami, ciała się tak

poruszają, że czas własny pomiędzy dwoma ich ustalonymi punktami w czasoprzestrzeni
przyjmuje wartość maksymalną.

Powyższe dwa prawa są w ścisłej analogii z odpowiednimi parami praw, z którymi

spotykaliśmy się poprzednio. Pierwotnie ruch w polu grawitacyjnym opisywaliśmy za
pomocą newtonowskiego prawa powszechnego ciążenia oraz za pomocą newtonow-
skich praw ruchu. Prawa te zostały teraz zastąpione prawami l i 2. Ta nasza

nowa para praw wykazuje także pewne podobieństwo do tego, z czym spotkaliśmy
się w elektrodynamice. Podstawowe prawo było tam wyrażone za pomocą równań
Maxwella, które pozwalały określać wytwarzane przez ładunki pola elektromagnetyczne.

Prawo to mówiło jak zmienia się charakter „przestrzeni" na skutek obecności naładowanej
materii, a więc spełniało podobną rolę jak prawo l w przypadku teorii grawitacji. Ponadto
mieliśmy także prawo określające ruch cząstek w danym polu elektromagnetycznym:
d(mv)/dt = q(E+v B). Funkcję tę w przypadku teorii grawitacji przejmuje prawo 2.

Prawa l i 2 są ścisłym sformułowaniem einsteinowskiej teorii grawitacji, chociaż w li-

teraturze podaje się zwykle ich bardziej skomplikowaną matematyczną postać. Powin-

*

)

Mówiąc ściśle, maksimum to ma tylko charakter lokalny. W bardziej poprawnym sformułowaniu

omawianej zasady powinniśmy uwzględnić, że czas własny przyjmuje dla ruchu po torze rzeczywistym
większą wartość niż dla dowolnego sąsiedniego toru. Tak więc czas własny dla ruchu po, na przykład, elip-
tycznej orbicie wokół Ziemi nie musi wcale być większy niż dla ruchu po torze balistycznym, jaki będzie
wykonywało ciało wystrzelone na niezbyt dużą wysokość nad powierzchnię Ziemi.

niśmy tu jeszcze zwrócić uwagę na pewien szczegół. W polu grawitacyjnym przy przecho-
dzeniu od miejsca do miejsca zmienia się nie tylko jednostka czasu, lecz także jednostka
długości. Pręty miernicze zmieniają swą długość na skutek ich położenia. Skoro czas i prze-
strzeń są tak nierozerwalnie związane, nie może absolutnie nic przytrafić się wielkościom
związanym z czasem, co nie miałoby jakiegoś wpływu na zachowanie się wielkości zwią-
zanych z przestrzenią. Weźmy taki oto najprostszy przykład: przypuśćmy, że ktoś oddala
się od Ziemi. Wtedy to, co będzie „czasem" z jego punktu widzenia, będzie odległością
przestrzenną z naszego punktu widzenia. Zmianie w czasie musi tu bowiem towarzyszyć

zmiana w przestrzeni. W teorii grawitacji jednak cała czasoprzestrzeń jest zniekształcona
na skutek obecności materii, jest to znacznie bardziej skomplikowaną rzeczą niż prosta
zmiana jednostek czasowych. Reguła, którą sformułowaliśmy za pomocą równania (42.3)
w zupełności jednak wystarcza do określenia wszystkich praw teorii grawitacji, o ile się
będzie rozumiało, że wypowiedzi tej reguły dotyczące krzywizny przestrzeni są słuszne
z punktu widzenia każdego obserwatora. Ktoś mijający na przykład bryłę materialną bę-
dzie za jej masę przyjmował liczbę różną od jej masy spoczynkowej, gdyż przy wyzna-

czaniu masy mijającej go bryły będzie musiał uwzględnić masę związaną z jej energią ki-
netyczną. Teorię należy tak sformułować, aby każdy obserwator — niezależnie od stanu
swego ruchu — stwierdzał, po skonstruowaniu w swoim układzie odniesienia powierzchni

kuli, że nadwyżka promienia tej kuli równa się iloczynowi czynnika G/3c

2

i całkowitej

masy (mb, bardziej poprawnie, czynnika G/3c

4

i całkowitej energii) zawartej we wnętrzu

tej kuli. Stwierdzenie, że to prawo — prawo l — jest spełnione w dowolnie poruszającym
się układzie odniesienia, jest jednym z najbardziej podstawowych praw teorii grawitacji,
zwanych einsteinowskimi równaniami pola. Następnym z kolei podstawowym prawem

jest prawo 2 — stwierdzające, że podczas ruchu ciał ich czas własny przyjmuje wartość

maksymalną — które jest nazywane einsteinowskim równaniem ruchu.

Napisanie tych praw w ich pełnej algebraicznej postaci, porównanie ich z prawami

Newtona lub powiązanie ich z prawami elektrodynamiki jest matematycznie trudnym
zadaniem. Z fizycznego jednak punktu widzenia prawa te stanowią najbardziej pełną,
współcześnie znaną wersję praw teorii grawitacji.

Chociaż w rozpatrywanym przez nas prostym przykładzie otrzymaliśmy na ich pod-

stawie wyniki zgodne z mechaniką Newtona, to na ogół jednak nie muszą one prowadzić
do takiej zgodności. Einstein na ich podstawie przewidział następujące trzy odstępstwa od
mechaniki newtonowskiej, które zostały potwierdzone na drodze doświadczalnej: orbita
Merkurego nie jest ustaloną w przestrzeni elipsą; światło gwiazd przechodzące w pobliżu
Słońca jest uginane dwukrotnie więcej, niż można by się tego spodziewać; rytm zega-

rów zależy od ich położenia w polu grawitacyjnym. Ilekroć dotychczas teoria Einsteina
przewidywała odstępstwa od mechaniki newtonowskiej, Przyroda zawsze przyznawała
rację Einsteinowi.

Zreasumujmy raz jeszcze wszystko to, cośmy w tym rozdziale powiedzieli. Po pierwsze,

zmiany w czasie i w przestrzeni zależą od przestrzennego położenia miejsca, w którym
są wyznaczone, oraz od czasu, w którym są mierzone. Zdanie to jest równoważne stwier-
dzeniu, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona. Mierząc pole A powierzchni kuli można

42-9. EINSTEINOWSKA TEORIA CIĄŻENIA

429

430

będzie miał nadwyżkę ponad tę wartość, proporcjonalną (ze współczynnikiem proporcjo-
nalności równym G/3c

2

) do całkowitej masy zawartej wewnątrz tej kuli. Prawo to dokładnie

ustala stopień zakrzywienia czasoprzestrzeni. Tak wyznaczona krzywizna musi być zawsze
taka sama, niezależnie od obserwatora, który będzie ją wyznaczał i niezależnie od jego
stanu ruchu. Po drugie, cząstki poruszają się „po liniach prostych" (którym odpowiadają
tory o maksymalnym czasie własnym) w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni. Taka jest
właśnie treść podanego przez Einsteina sformułowania praw teorii grawitacji.

42. PRZESTRZENIE ZAKRZYWIONE

określić jej przewidywany promień, równy Α/4π, rzeczywiście jednak mierzony promień