Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
dysleksja
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Czas pracy 180 minut
Instrukcja dla zdaj¹cego
1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron (zadania
1 – 10). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu zespo³u
nadzoruj¹cego egzamin.
2. Rozwi¹zania zadañ i odpowiedzi zamieœæ w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwi¹zaniach zadañ przedstaw tok rozumowania prowadz¹cy
do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. U¿ywaj d³ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie u¿ywaj korektora, a b³êdne zapisy przekreœl.
6. Pamiêtaj, ¿e zapisy w brudnopisie nie podlegaj¹ ocenie.
7. Obok ka¿dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
któr¹ mo¿esz uzyskaæ za jego poprawne rozwi¹zanie.
8. Mo¿esz korzystaæ z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
¯yczymy powodzenia!
Przed matur¹
MAJ 2011 r.
Za rozwi¹zanie
wszystkich zadañ
mo¿na otrzymaæ
³¹cznie
50 punktów
Wype³nia zdaj¹cy
przed rozpoczêciem pracy
PESEL ZDAJ¥CEGO
KOD
ZDAJ¥CEGO
Miejsce
na naklejkê
z kodem szko³y
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 1. (4 pkt)
Liczby
1
2
4
3
+ log x , log
4
4x, log
4
x w podanej kolejnoœci, dla pewnej rzeczywistej wartoœci x,
s¹ trzema kolejnymi pocz¹tkowymi wyrazami nieskoñczonego ci¹gu arytmetycznego.
Wyznacz x oraz sumê czterdziestu pocz¹tkowych wyrazów tego ci¹gu.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
2
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartoœci parametru m, m
Î R, dla których równanie |
|
x
x
- -
4
= m
ma tylko jedno rozwi¹zanie.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
3
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 3. (5 pkt)
W trapez ABCD, gdzie AB || CD i |AB| > |CD|, wpisano okr¹g
(patrz rysunek obok). Dwusieczna k¹ta ostrego przy wierz-
cho³ku A jest prostopad³a do ramienia BC.
a) Wyka¿, ¿e dwusieczna k¹ta przy wierzcho³ku D jest
równoleg³a do ramienia BC.
b) Oblicz |BC| : |DC|.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
4
A
B
C
D
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 4. (4 pkt)
Z pó³okrêgów budujemy krzyw¹ (patrz rysunek poni¿ej). Pierwszy pó³okr¹g ma promieñ
d³ugoœci r, r > 0, a promieñ ka¿dego nastêpnego pó³okrêgu stanowi
2
3
promienia poprzedniego.
Niech n oznacza liczbê pó³okrêgów tworz¹cych tê krzyw¹. Udowodnij, ¿e dla dowolnej liczby
naturalnej dodatniej n d³ugoœæ krzywej jest mniejsza od 3
pr.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
5
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 5. (6 pkt)
Punkty przeciêcia paraboli y = x
2
– 2x – 8 z prost¹ k: 2x + y – 1 = 0 s¹ koñcami przek¹tnej rom-
bu, którego pole jest równe 30. Oblicz wspó³rzêdne wierzcho³ków tego rombu.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
6
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 6. (5 pkt)
Czworok¹t ABCD jest wpisany w okr¹g o promieniu 4 3 (patrz
rysunek obok). Przek¹tna BD czworok¹ta ma d³ugoœæ 12. Iloczyn
sinusów wszystkich k¹tów wewnêtrznych czworok¹ta jest równy
3
16
. Wiedz¹c, ¿e |
ËA| < |ËC| < |ËD|, oblicz miary k¹tów czwo-
rok¹ta ABCD.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
7
A
B
C
D
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 7. (5 pkt)
W wyniku podzielenia wielomianu W(x) przez (x + 2) otrzymujemy iloraz Q(x) i resztê 0. Jeœli
natomiast podzielimy wielomian W(x) przez (x + 1), to otrzymamy iloraz Q(x) + 2x – 3 i resztê 2.
a) Wyznacz wielomian W(x).
b) Rozwi¹¿ nierównoœæ W(x)
£ –(x + 1)(x + 2).
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
8
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 8. (4 pkt)
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy kolejno, bez zwracania trzy cyfry i tworzymy liczbê trzy-
cyfrow¹: pierwsza wylosowana cyfra jest cyfr¹ setek, druga – cyfr¹ dziesi¹tek, a trzecia – cyfr¹
jednoœci. Oblicz prawdopodobieñstwo zdarzenia, ¿e otrzymana liczba ma nastêpuj¹c¹ w³as-
noœæ: ró¿nica miêdzy najwiêksz¹ i najmniejsz¹ cyfr¹ tej liczby jest nie wiêksza ni¿ 3.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
9
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 9. (6 pkt)
Dane jest równanie kwadratowe (m – 1)x
2
+ 2x + 3 – m = 0 z niewiadom¹ x i parametrem m.
a) ZnajdŸ wzór i dziedzinê funkcji f, która zmiennej rzeczywistej m przyporz¹dkowuje iloczyn
dwóch ró¿nych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji f w prostok¹tnym
uk³adzie wspó³rzêdnych.
b) Wyka¿, ¿e do wykresu funkcji f nale¿¹ tylko trzy punkty o obu wspó³rzêdnych ca³kowitych.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
10
X
Y
0 1 2 3 4 5 6
–3 –2 –1
–1
–2
1
2
3
4
5
–4
–5
–3
–4
–6
6
–5
–6
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
Zadanie 10. (6 pkt)
Podstaw¹ ostros³upa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz ry-
sunek obok). KrawêdŸ AS jest wysokoœci¹ tego ostros³upa.
Odleg³oœæ punktu B od krawêdzi CS jest równa d, a k¹t
dwuœcienny miêdzy œcianami BCS i CDS ma miarê 2
a,
gdzie
a Îæ
è
ç
ö
ø
÷
p p
4 2
,
. Oblicz:
a) odleg³oœæ punktu A od krawêdzi CS
b) wysokoœæ tego ostros³upa.
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
11
A
B
C
D
S
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
BRUDNOPIS
Wydawca: OFICYNA EDUKACYJNA * KRZYSZTOF PAZDRO Sp. z o.o.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
12
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl
www.tomaszgrebski.pl