✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

18

KWIETNIA

2015

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

)

Wielomian W

(

x

) =

x

4

+

ax

3

+

ax

2

+

bx

−

5 jest podzielny przez wielomian x

2

−

1. Wynika

st ˛ad, ˙ze
A) a

+

b

=

0

B) a

=

b

C) a

+

2b

=

4

D) b

=

2a

Z

ADANIE

2

(1

PKT

)

Liczba log

3

√

2

√

3

·

log

3

√

3

√

2 jest równa

A)

4

9

B)

9

4

C)

(

log

2

3

)

2

D)

(

log

3

2

)

2

Z

ADANIE

3

(1

PKT

)

Funkcja f

(

x

) = −

4x

3

−

ax

+

3x

+

4 jest funkcj ˛a malej ˛aca je ˙zeli

A) a > 3

B) a 6 3

C) a

∈ h−

3, 3

i

D) a

∈ h−

4,

−

3

i

Z

ADANIE

4

(1

PKT

)

Wyra ˙zenie cos x

−

cos 3x jest równe

A) 4 sin

2

x

cos x

B) 1

−

cos 4x

C)

−

2 sin 2x sin x

D) 2 cos 2x cos x

Z

ADANIE

5

(1

PKT

)

Funkcja f jest okre´slona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem f

(

x

) =

2

x

+

3

−

2. Prosta

l

ma równanie y

= −

2, 1. Ile punktów wspólnych maj ˛a wykres funkcji f i prosta l?

A) Zero.

B) Jeden.

C) Dwa.

D) Niesko ´nczenie wiele.

2

Z

ADANIE

6

(2

PKT

)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których w´sród rozwi ˛aza ´n równania

|

m

−

5x

| =

3

s ˛a zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

Z

ADANIE

7

(2

PKT

)

Oblicz granic˛e lim

x

→−

∞

3

x

log

(

1

−

x

)

.

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

3

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(2

PKT

)

Funkcja f jest okre´slona wzorem f

(

x

) =

x

2

x

+

3

dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x

6= −

3. Oblicz

pochodn ˛a funkcji f w punkcie x

=

6.

4

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(2

PKT

)

W loterii szkolnej losujemy jeden spo´sród 100 losów, przy czym w przypadku wyci ˛agni˛e-
cia losu przegrywaj ˛acego mo ˙zemy wylosowa´c jeszcze jeden los. Ile losów w tej loterii jest
wygrywaj ˛acych, je ˙zeli prawdopodobie ´nstwo wygranej jest równe

19

55

?

5

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(3

PKT

)

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a

<

b 6

−

2, to

a

3

2

+

a

4

>

b

3

2

+

b

4

.

6

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

11

(3

PKT

)

Uzasadnij, ˙ze je ˙zeli a i b s ˛a liczbami całkowitymi i x

+

y

=

3

√

a

oraz x

−

y

=

3

√

b

, to 2y

3

+

6x

2

y

te ˙z jest liczb ˛a całkowit ˛a.

7

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

12

(3

PKT

)

Dana jest parabola o równaniu y

=

2x

2

−

3 i le ˙z ˛acy na niej punkt A o współrz˛ednej x równej

−

2. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A.

8

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

13

(3

PKT

)

Monotoniczny ci ˛ag geometryczny

(

a

n

)

jest zdefiniowany przez warunki

(

a

1

=

√

5

a

n

+

2

=

a

n

−

a

n

+

1

.

Oblicz sum˛e wszystkich wyrazów ci ˛agu

(

a

n

)

.

9

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

14

(3

PKT

)

Wyka ˙z, ˙ze

cos 2x cos x

−

sin 4x sin x

=

cos 3x cos 2x.

10

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

15

(5

PKT

)

Oblicz jakie długo´sci powinny mie´c boki prostok ˛ata o polu równym S, aby jego przek ˛atna
miała najmniejsz ˛a mo ˙zliw ˛a długo´s´c. Oblicz długo´s´c tej przek ˛atnej.

11

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

16

(5

PKT

)

Rzucamy cztery razy symetryczn ˛a sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry. Oblicz prawdopodobie ´nstwo
zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze suma kwadratów liczb oczek otrzymanych we wszyst-
kich czterech rzutach b˛edzie mniejsza ni ˙z 20.

12

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

17

(6

PKT

)

Punkt S jest punktem przeci˛ecia si˛e przek ˛atnych równoległoboku ABCD, a punkt P jest
takim punktem boku BC tego równoległoboku, ˙ze

|

BP

|

:

|

PC

| =

3. Oblicz współrz˛edne

spodka wysoko´sci opuszczonej z wierzchołka A tego równoległoboku na prost ˛a CD, je ˙zeli

−→

AB

= [

4, 4

]

,

−→

DS

= [

3,

−

3

]

i P

=

7

2

,

7

2

.

13

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

14

✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

18

(6

PKT

)

Oblicz promie ´n kuli stycznej do wszystkich kraw˛edzi czworo´scianu foremnego o kraw˛edzi
długo´sci a.

15