Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
PRÓBNY
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony
( zadania 1–19). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to
przeznaczonym.
3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń
w rozwiązaniu zadania otwartego może spowodować, że za
to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby
punktów.
4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym
tuszem lub atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.
8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej
naklejkę z kodem.
9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.
PRZED MATURĄ
MAJ 2015
Czas pracy:
180 minut
Liczba punktów
do uzyskania: 50
WPISUJE ZDAJĄCY
KOD
PESEL
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
2
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
W każdym z zadań 1.–4. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (0–1)
Dane są proste l
1
: y = 2x – 28, l
2
: y = 1
2
x – 1, l
3
: y = 1
3
x + 2 i l
4
: 9x – 13y – 58 = 0. Wszystkie
one przechodzą przez punkt (18, 8).
A. Prosta l
3
jest obrazem prostej l
4
w symetrii względem prostej l
2
.
B. Prosta l
4
jest obrazem prostej l
2
w symetrii względem prostej l
3
.
C. Prosta l
2
jest obrazem prostej l
1
w symetrii względem prostej l
4
.
D. Prosta l
1
jest obrazem prostej l
3
w symetrii względem prostej l
4
.
Zadanie 2. (0–1)
Niech a = log
2
3 i b = log
5
3. Wtedy
A. log
3
100 = 1 1
a b
+
B. log
3
100 = 2a + 2b
C. log 3 = ab
a b
+
D. log 3 = ab
Zadanie 3. (0–1)
Wyrażenie sin a + 3cos a nie może osiągnąć większej wartości niż wtedy, gdy
A. α = 1
6
π B.
α = 1
3
π C.
α = 1
2
π D.
α = 5
3
π
Zadanie 4. (0–1)
Rzucamy 8 razy kostką. Spośród poniższych zdarzeń wybierz najbardziej prawdopodobne.
A. Pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie, a druga szóstka w ósmym rzucie.
B. Pierwsza szóstka została wyrzucona za drugim razem, a druga szóstka w siódmym rzucie.
C. Pierwsza szóstka wypadła przy trzecim rzucie, a druga szóstka w szóstym rzucie.
D. Pierwsza szóstka wypadła w czwartym rzucie, a druga szóstka w piątym.
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
3
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
4
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
W zadaniach 5. i 6. zakoduj we wskazanym miejscu wynik zgodnie z poleceniem.
Zadanie 5. (0–2)
Kod składa się z czterech znaków, wśród których musi być przynajmniej jedna cyfra i przynaj-
mniej jedna duża i jedna mała litera. Na klawiaturze jest 26 liter i 10 cyfr.
Ile kodów można w ten sposób utworzyć? Wpisz w kratki trzy pierwsze (od lewej strony) cyfry
odpowiedzi.
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
5
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 6. (0–2)
Dwa różne rozwiązania równania x
2
– 11x + 1 = 0 to x
1
i x
2
. Bez rozwiązywania tego równania
oblicz wartość (x
1
)
5
+ (x
2
)
5
.
Zakoduj występujące w obliczonej liczbie różne cyfry od najmniejszej do największej.
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
6
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Rozwiązania zadań 7.–19. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 7. (0–2)
Rozwiąż nierówność
2
3
2
5
3
2
5
x x
x
x
x
x
x
(
)
(
)(
) (
)(
)
+
+
−
≤
+
+
−
dla x ≠ –2 i x ≠ 5.
Odpowiedź: ..................................................................................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
7
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 8. (0–2)
W niewypukłym czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB| = 4, |BC| = 3, |CD| = 5,
|AD| = 6 oraz kąt wklęsły ABC = 300°. Na rysunku kąt ADC oznaczony został jako x.
300°
A
B
C
D
3
4
5
6
x
a) Oblicz cos x.
b) Oblicz pole czworokąta ABCD.
Odpowiedź: a) .................................................. b) ....................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
8
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 9. (0–3)
Udowodnij, że wyrażenie W(n) = (n
2
– 10n + 24)(n
2
– 8n + 15) jest dla każdego n = 0, 1, 2, 3, ...
podzielne przez największy wspólny dzielnik W(0) i W(7).
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
9
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 10. (0–3)
a) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek?
b) Na ile sposobów można dojść z S do F zgodnie z kierunkiem strzałek, a potem wrócić prze-
ciwnie do kierunku strzałek do S inną drogą?
A
B
C
D
E
F
S
Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
10
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 11. (0–3)
Na pewną groźną chorobę choruje 1% całej populacji. Przygotowano tani i łatwy w użyciu test
na tę chorobę. Test jest wygodny, ale nie jest w pełni dokładny. Test wykrywa chorobę u chorej
osoby tylko w 99% przypadków, natomiast test może wskazać, że osoba jest chora, nawet jeśli
osoba jest zdrowa, ale zdarza się to tylko w 2% przypadków.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba jest zdrowa, mimo że test był dodatni?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli test był ujemny, to testowana osoba była chora?
Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
11
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 12. (0–3)
a) Udowodnij, że prosta l: 3x + 4y – 19 = 0 jest styczna do okręgów o
1
i o
2
, gdzie
o
1
: (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
= 1 oraz
o
2
: (x – 6)
2
+ (y – 4)
2
= 9.
b) Obie proste y = 1 i x = 3 są styczne do obu okręgów. Naszkicuj rysunek okręgów o
1
i o
2
,
prostej l, prostej y = 1 i prostej x = 3 w układzie współrzędnych umieszczonym na następ-
nej stronie.
Znajdź równanie czwartej prostej stycznej do okręgów o
1
i o
2
. Narysuj ją.
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
12
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
13
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 13. (0–3)
Udowodnij, że czworokąt mający kolejne boki o długości 21, 15, 7 i 13 może być trapezem.
Oblicz jego pole.
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
14
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
15
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 14. (0–3)
O
R
3
S
3
R
2
S
2
R
1
S
1
Pierwszy odcinek koła o polu P
1
powstał z okręgu o środku O i promieniu r = |OR
1
| = |OS
1
| po
odcięciu odcinkiem R
1
S
1
. Drugi odcinek koła powstał następująco: prosta prostopadła do pół-
prostej OR
1
i przechodząca przez S
1
przecina półprostą OR
1
w punkcie R
2
. Odcinek S
2
R
2
odcina
od koła o środku w O i promieniu |OR
2
| = |OS
2
| odcinek o polu P
2
. Po zatoczeniu łuku o środku
w O i promieniu OR
2
powstaje punkt S
3
na półprostej OS
1
itd. powstaje nieskończony ciąg od-
cinków coraz mniejszych kół. Oblicz sumę nieskończonej liczby wszystkich tych odcinków kół
i określ ją jako funkcję a (wyrażonego w radianach) i r.
Odpowiedź: ..................................................................................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
16
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 15. (0–4)
Od czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 4 odcięto płaszczyzną przechodzącą przez
punkt B′ na krawędzi AB, punkt C′ na krawędzi AC i D′ na krawędzi AD ostrosłup AB′C′D′,
przy czym |AB′| = 3, |AC′| = 2, |AD′| = 1.
A
B
B′
C
C′
D
D′
a) Oblicz objętość ostrosłupa ABCD i AB′C′D′.
b) Oblicz wysokość ostrosłupa AB′C′D′, gdy za jego podstawę przyjmiemy B′C′D′.
Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
17
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 16. (0–4)
W trójkącie ABC zaznaczono punkt A′ na boku BC,
tak że |A′B| : |A′C| = 1 : 2, i punkt B′ na boku AC,
tak że |B′A| : |B′C| = 3 : 1. Odcinki AA′ i BB′ prze-
cinają się w punkcie D.
Prosta CD przecina odcinek AB w punkcie C′.
Pole trójkąta BA′D jest równe 14.
a) Oblicz pole trójkąta ABC.
b) Oblicz stosunek |CD| : |DC′|.
Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................
A′
B
C
B′
C′
A
D 14
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
18
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 17. (0–4)
Pole powierzchni całkowitej stożka to π.
a) Jaka jest możliwie największa objętość takiego stożka?
b) Jakim trójkątem jest przekrój osiowy stożka o największej objętości?
Odpowiedź: a) ................................................. b) .....................................................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
19
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 18. (0–4)
W graniastosłupie prostym prostokątnym ABCDEFGH krawędzie podstawy mają długość 3
i 4 (|AB| = 4, |BC| = 3), a wysokość 10. Dodatkowo wyróżnione są trzy punkty: punkt B′ na
krawędzi BF w odległości 3 od wierzchołka B, punkt C′ na krawędzi CG w odległości 7 od
wierzchołka C i punkt D′ na krawędzi DH w odległości 4 od wierzchołka D.
A
B
B′
C
C′
D
D′
E
F
G
H
3
3
4
4
7
a) Udowodnij, że płaszczyzna B′C′D′ przecina krawędź AE w punkcie A.
b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa ABCDEFGH płaszczyzną B′C′D′.
c) Oblicz cosinus kąta między płaszczyzną B′C′D′ i płaszczyzną podstawy ABCD.
d) Oblicz objętość mniejszej części graniastosłupa powstałej z przecięcia płaszczyzną B′C′D′.
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
20
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Odpowiedź: b) ...................................... c) ................................... d) .....................................
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
21
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro
Zadanie 19. (0–4)
a) Jeśli na trójkącie opiszemy okrąg, to z każdego łuku, na który podzieliły okrąg wierzchołki
tego trójkąta, widać trójkąt pod pewnym kątem (zobacz na rysunku poniżej). Udowodnij, że
a′ + b′ = g + 180°
b′ + g′ = a + 180°
a′ + g′ = b + 180°.
b) Udowodnij, że jeśli n-kąt da się wpisać w okrąg, to suma kątów, pod jakimi widać ten czwo-
rokąt z łuków, na które wierzchołki czworokąta podzieliły okrąg, jest o 180° większa niż
suma wszystkich wewnętrznych kątów tego n-kąta (na rysunku poniżej po prawej stronie
narysowany jest n-kąt, gdy n = 4).
1
4
3
2
45
12
23
34
′
′
′
a)
b)
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony
22
Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro