Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 24.04.2004

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Wersja I

1. Udowodnij, że kwadrat każdej liczby naturalnej większej od trzech ma w zapisie dziesiętnym przynajmniej jedną cyfrę parzystą.

2.Znajdź liczbę naturalną n, dla której istnieje cyfra d taka, że

3.Okrąg podzielono dwudziestoma punktami na dwadzieścia łuków tej samej długości. Ile można zbudować łamanych zamkniętych z wierzchołkami w tych punktach i z odcinkami równej długości?

4. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a, w którym narysowano trzy okręgi o równych promieniach i takie, że: są one parami styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch boków danego trójkąta. Oblicz promień okręgu stycznego do wszystkich trzech okręgów.

5.Dla jakich wartości parametru
funkcja f określona wzorem:
ma dokładnie cztery miejsca zerowe?

Życzymy powodzenia

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 24.04.2004

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Wersja 1

1.Rozwiąż nierówność:
.

2.Niech
,
.

Oblicz pole figury
, zaznaczonej uprzednio w układzie współrzędnych.

3.Okrąg podzielono dwudziestoma punktami na dwadzieścia łuków tej samej długości. Ile można zbudować łamanych zamkniętych z wierzchołkami w tych punktach i z odcinkami równej długości?

4.Ciąg
jest ciągiem arytmetycznym, Wiedząc, że
i
, oblicz
.

5.Wykaż, że jeżeli p i q są liczbami nieparzystymi, to równanie
nie ma pierwiastków wymiernych.

Życzymy powodzenia

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa IV matematyczno-fizyczna

Etap wojewódzki 24.04.2004

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Wersja 1

1. Ciąg
jest ciągiem arytmetycznym, Wiedząc, że
i
, oblicz
.

2.Wielomian
stopnia trzeciego ma trzy pierwiastki
. Udowodnij, że

3.Udowodnij, że jeżeli x jest miarą kąta ostrego, to spełniona jest nierówność:
.

4.Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których 2p + 1 jest sześcianem liczby naturalnej.

5.Punkt O jest punktem przecięcia przekątnych AC i BD trapezu ABCD. Pole trójkąta ABO jest równe x, a pole trójkąta BCO jest równe x + 1. Dla jakiej wartości x pole trapezu ABCD jest najmniejsze, jeżeli AB i CD są podstawami tego trapezu?

Życzymy powodzenia

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas pierwszych z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że kwadrat liczby parzystej ma parzystą cyfrę jedności	1 p
Uzasadnienie, że kwadrat liczby postaci 10k + m., gdzie jest sumą cyfry nieparzystej i liczby podzielnej przez 20 (po 1p za każdy przypadek)	5 p
Zadanie 2 (6 pkt.)
Zapisanie warunku podanego w zadaniu w postaci	1 p
Zapisanie równania w postaci	1 p
Ustalenie, że 29 i 37 sa względnie pierwsze	1p
Ustalenie, że 37 musi dzielić liczbę d59	1p
Uzasadnienie, że tylko 259 spełnia warunek: 37 dzieli d59	1p
Wyznaczenie liczby n = 203	1p
Zadanie 3 (6 pkt.)
Ustalenie, ile jest takich łamanych, gdy łączymy: kolejne punkty (odp.: 1), co drugi punkt (odp.: 2), co czwarty (odp.: 4), co piąty (odp.: 5)	2 p
Ustalenie, ile jest takich łamanych, gdy łączymy: co trzeci punkt (odp.: 1), co siódmy (odp.: 1), co dziewiąty (odp.: 1)	2 p
Ustalenie, ile jest takich łamanych, gdy łączymy: co szósty punkt (odp.: 2), co ósmy (odp.: 4)	2 p
Zadanie 4 (6 pkt.)
Wyznaczenie promieni danych okręgów	2 p
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów	2 p
Wyznaczenie promienia okręgu stycznego wewnętrznie do danych okręgów	2p
Zadanie 5 (6 pkt.)
Ustalenie, że dla a = 0 funkcja ma jedno miejsce zerowe	1 p
Ustalenie, że dla a < 0 funkcja ma co najwyżej dwa miejsce zerowe	2 p
Ustalenie warunków dla a > 0: lub	2p
Podanie rozwiązania:	1p

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas drugich z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)
Wprowadzenie nowej zmiennej i zapisanie nierówności w postaci	1 p
Rozwiązanie nierówności , gdy :	3 p
Rozwiązanie nierówności	2p
Zadanie 2 (6 pkt.)
Zaznaczenie zbioru A w układzie współrzędnych	2 p
Zaznaczenie zbioru B w układzie współrzędnych	2 p
Zaznaczenie zbioru w układzie współrzędnych	1 p
Obliczenie po la figury :	1 p
Zadanie 3 (6 pkt.)
Ustalenie, ile jest takich łamanych, gdy łączymy: kolejne punkty (odp.: 1), co drugi punkt (odp.: 2), co czwarty (odp.: 4), co piąty (odp.: 5)	2 p
Ustalenie, ile jest takich łamanych, gdy łączymy: co trzeci punkt (odp.: 1), co siódmy (odp.: 1), co dziewiąty (odp.: 1)	2 p
Ustalenie, ile jest takich łamanych, gdy łączymy: co szósty punkt (odp.: 2), co ósmy (odp.: 4)	2 p
Zadanie 4 (6 pkt.)
Zapisanie równania (1):	2 p
Zapisanie równania (2):	2 p
Rozwiązanie układu równań (1) i (2)	1 p
Podanie odpowiedzi: 3006	1 p
Zadanie 5 ( 6 pkt)
Postawienie hipotezy: dane równanie ma pierwiastki wymierne	1 p
Uzasadnienie, że musi być kwadratem parzystej liczby naturalnej k = 2l,	1p
Zapisanie warunku (1):	2 p
Uzasadnienie, że jest podzielne przez 4, co prowadzi do sprzeczności	2 p

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas czwartych matematyczno-fizycznych

Zadanie 1 (6 pkt.)
Zapisanie równania (1):	2 p
Zapisanie równania (2):	2 p
Rozwiązanie układu równań (1) i (2)	1 p
Podanie odpowiedzi: 3006	1 p
Zadanie 2 (6 pkt.)
Podanie wzoru wielomianu	1 p
Obliczenie wartości	3 p
Uzasadnienie, że	2p
Zadanie 3 (6 pkt.)
Zapisanie danej nierówności w postaci równoważnej:	1 p
Uzasadnienie, że	2 p
Uzasadnienie, że wystarczy sprawdzić, iż	2 p
Uzasadnienie prawdziwości nierówności: oraz	1 p
Zadanie 4 (6 pkt.)
Zapisanie warunku (1): , gdzie	1 p
Zapisanie warunku (1) w postaci	1 p
Uzasadnienie, że jest zawsze liczbą nieparzystą	1 p
Wyznaczenie rozwiązań:	2 p
Uzasadnienie, że warunek (1) nie ma innych rozwiązań niż	1 p
Zadanie 5 ( 6 pkt)
Wyznaczenie pola trapezu:	2 p
Obliczenie pochodnej funkcji P:	1 p
Wyznaczenie wraz z uzasadnieniem, że funkcja P ma minimum w	2p
Uzasadnienie, że funkcja P przyjmuje wartość najmniejszą dla	1p

---