Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa I - profil matematyczny
Etap wojewódzki - 26.04.2003.
Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.
Zad 1. (6 pkt.) Wyznacz liczbę nieujemnych rozwiązań równania: w zależności od wartości parametru a.
Zad 2. (6 pkt.) Na każdym polu szachownicy ustawiono pionki z numerami: 1, 2, 3. Następnie dodano numery wszystkich pionków w każdym wierszu szachownicy, w każdej kolumnie oraz na każdej z dwóch przekątnych szachownicy. Udowodnij, że co najmniej dwie z tych sum są równe.
Zad 3. (6 pkt.) Dany jest czworokąt wypukły ABCD o polu S oraz punkty M, N, P, Q takie, że: , , , . Oblicz pole czworokąta MNPQ.
Zad 4. (6 pkt.) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba jest podzielna przez 7.
Symbolem oznaczamy największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od x.
Zad 5. (6 pkt.) Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych spełniających równanie:
.
Życzymy powodzenia.
Kryteria oceniania dla klasy I - profil matematyczny
Nr. zad. |
Wykonana czynność |
Punkty |
|
||
1. |
Metoda graficzna: |
|
|
Sporządzenie wykresu funkcji np: |
2 pkt. |
|
Określenie zależności liczby nieujemnych rozwiązań równania od 2a (Odczytanie potrzebnych danych z wykresu funkcji f ) |
2 pkt. |
|
Wyznaczenie liczby różnych nieujemnych rozwiązań równania w zależności od parametru a i udzielenie odpowiedzi. |
2 pkt. |
|
W metodzie algebraicznej: |
|
|
przy błędach rachunkowych - nie więcej niż 4 pkt. przy błędach logicznych - nie więcej niż 2 pkt. |
|
|
||
2. |
Zauważenie, że otrzymujemy 18 sum |
1 pkt. |
|
Zauważenie, że sumy należą do zbioru liczb naturalnych |
1 pkt. |
|
Zauważenie, że w tym zbiorze jest 17 liczb. |
2 pkt. |
|
Powołanie się na zasadę szufladkową Dirichleta i udzielenie odpowiedzi do zadania. |
2 pkt. |
|
||
3. |
Sporządzenie rysunku do zadania |
1 pkt. |
|
Wykazanie, że sumy pól rozłącznych trójkątów równe są 6S. . Powołanie się np. na tw. Talesa. |
4 pkt. |
|
Obliczenie pola czworokąta i udzielenie odpowiedzi |
1 pkt. |
|
||
4. |
Zauważenie, że wartość zależna jest od parzystości liczby n. |
1 pkt. |
|
Wykazanie prawdziwości tezy zadania gdy n jest liczbą parzystą. |
2 pkt. |
|
Wykazanie prawdziwości tezy zadania gdy n jest liczbą nieparzystą. |
3 pkt. |
|
||
5. |
Przekształcenie równania do postaci: . |
3 pkt. |
|
Zauważenie, że najmniejsze wartości przyjmowane przez wyrażenia w nawiasach równe są odpowiednio oraz . |
2 pkt. |
|
Wyznaczenie jedynej pary liczb rzeczywistych spełniającej równanie.
|
1 pkt. |
|
W przypadku „szczęśliwego” zgadnięcia rozwiązania i braku uzasadnienia o jednoznaczności rozwiązania - nie więcej niż 3 pkt. |
Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.