Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I - profil matematyczny

Etap wojewódzki - 26.04.2003.

Czas rozwiązywania zadań: 150 minut.

Zad 1. (6 pkt.) Wyznacz liczbę nieujemnych rozwiązań równania: w zależności od wartości parametru a.

Zad 2. (6 pkt.) Na każdym polu szachownicy ustawiono pionki z numerami: 1, 2, 3. Następnie dodano numery wszystkich pionków w każdym wierszu szachownicy, w każdej kolumnie oraz na każdej z dwóch przekątnych szachownicy. Udowodnij, że co najmniej dwie z tych sum są równe.

Zad 3. (6 pkt.) Dany jest czworokąt wypukły ABCD o polu S oraz punkty M, N, P, Q takie, że: , , , . Oblicz pole czworokąta MNPQ.

Zad 4. (6 pkt.) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba jest podzielna przez 7.

Symbolem oznaczamy największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od x.

Zad 5. (6 pkt.) Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych spełniających równanie:

.

Życzymy powodzenia.

Kryteria oceniania dla klasy I - profil matematyczny

Nr. zad.	Wykonana czynność	Punkty
1.	Metoda graficzna:
	Sporządzenie wykresu funkcji np:	2 pkt.
	Określenie zależności liczby nieujemnych rozwiązań równania od 2a (Odczytanie potrzebnych danych z wykresu funkcji f )	2 pkt.
	Wyznaczenie liczby różnych nieujemnych rozwiązań równania w zależności od parametru a i udzielenie odpowiedzi.	2 pkt.
	W metodzie algebraicznej:
	przy błędach rachunkowych - nie więcej niż 4 pkt. przy błędach logicznych - nie więcej niż 2 pkt.
2.	Zauważenie, że otrzymujemy 18 sum	1 pkt.
	Zauważenie, że sumy należą do zbioru liczb naturalnych	1 pkt.
	Zauważenie, że w tym zbiorze jest 17 liczb.	2 pkt.
	Powołanie się na zasadę szufladkową Dirichleta i udzielenie odpowiedzi do zadania.	2 pkt.
3.	Sporządzenie rysunku do zadania	1 pkt.
	Wykazanie, że sumy pól rozłącznych trójkątów równe są 6S. . Powołanie się np. na tw. Talesa.	4 pkt.
	Obliczenie pola czworokąta i udzielenie odpowiedzi	1 pkt.
4.	Zauważenie, że wartość zależna jest od parzystości liczby n.	1 pkt.
	Wykazanie prawdziwości tezy zadania gdy n jest liczbą parzystą.	2 pkt.
	Wykazanie prawdziwości tezy zadania gdy n jest liczbą nieparzystą.	3 pkt.
5.	Przekształcenie równania do postaci: .	3 pkt.
	Zauważenie, że najmniejsze wartości przyjmowane przez wyrażenia w nawiasach równe są odpowiednio oraz .	2 pkt.
	Wyznaczenie jedynej pary liczb rzeczywistych spełniającej równanie.	1 pkt.
	W przypadku „szczęśliwego” zgadnięcia rozwiązania i braku uzasadnienia o jednoznaczności rozwiązania - nie więcej niż 3 pkt.

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.