Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 17.04.2004 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zad 1 ( 6 pkt)

Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa.

Odpowiedź uzasadnij.

Zad.2 ( 6 pkt)

Sporządź wykres funkcji, która liczbie m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania

2
- 2
+
= m

Zad. 3 (6 pkt)

Pewien samochód spala średnio 14 litrów benzyny na 100 kilometrów. Właściciel postanowił założyć w nim instalację gazową, która będzie kosztować 2000 złotych. Zużycie paliwa (gazu) wzrośnie o 15 %, ale inwestycja i tak będzie opłacalna, bo gaz jest 2,5 razy tańszy od benzyny.

1. Przyjmując cenę benzyny 3,30 złotych za litr, oblicz po przejechaniu ilu kilometrów inwestycja się zwróci.

2. Zakładając, że właściciel samochodu przejeżdża nim rocznie 20 000 kilometrów, oblicz, po ilu latach użytkowania za zaoszczędzone na paliwie pieniądze będzie on mógł kupić skuter wart 7 500 złotych.

Zad 4 ( 6 pkt)

Wysokość CC₁ trójkąta ABC ma długość 4 i dzieli podstawę na dwie części AC₁ i C₁B takie, że
:
= 1 : 8.

Oblicz:

1. długości boków trójkąta, zakładając, że kąt przy wierzchołku C jest prosty,

2. długość odcinka DD₁ równoległego do wysokości CC₁ dzielącego trójkąt ABC na dwie figury o równych polach.

Zad 5 ( 6 pkt)

Na bokach AB i BC równoległoboku ABCD zbudowano na zewnątrz kwadraty ABPQ

i BCRS. Wykaż, że odcinki DQ i DR są równej długości oraz wyznacz miarę kąta między nimi.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy I - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Analiza zadania : cyfra jedności i setek należy do zbioru	0,5
	Uwzględnienie faktu, że liczba jest podzielna przez 15 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 3 i jest podzielna przez 5	0,5
	Uwzględnienie faktu, że liczba podzielna przez 5 ma cyfrę jedności równą 0 lub 5	1
	Uwzględnienie cechy podzielności przez 3 dla ustalenia cyfry setek przy założeniu, że cyfra jedności równa się 0	1,5
	Uwzględnienie cechy podzielności przez 3 dla ustalenia cyfry setek przy założeniu, że cyfra jedności równa się 5	1,5
	Odpowiedź: 1020, 1320, 1620, 1920, 1125, 1425, 1725	1
2	Zapisanie wzoru funkcji f(x) = 2 - 2 + w postaci: f(x) =	2
	Wykonanie wykresu funkcji y = f(x)	1,5
	Zauważenie, że liczba rozwiązań równania to liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y = f(x) i y = m,	0,5
	Określenie funkcji h, która liczbie m przypisuje liczbę rozwiązań równania: h(m)=	1
	Wykonanie wykresu funkcji h	1
3	Obliczenie zużycia paliwa ( gazu) po zainstalowaniu instalacji gazowej: 16,1 litra na 100 km	1
	Obliczenie kosztu przejechania 100 km na paliwie benzynowym : 46,2 zł i gazowym ; 21,25 zł	1
	Obliczenie oszczędności na każde 100 kilometrów ; 24,95 zł	0,5
	Obliczenie po ilu kilometrach inwestycja się zwróci; 8016km	1,5
	Óbliczenie łącznego kosztu skutera i założenia instalacji gazowej; 9500zł	0,5
	Obliczenie liczby lat; nieco ponad 1,9 roku czyli prawie 23 miesiące	1,5
4	Analiza zadania, rysunek	1
	Obliczenie długości boku c korzystając z podobieństwa trójkątów AC1C i BC1C: c = 9	2
	Obliczenie długości pozostałych boków trójkąta: 12 i 3	1
	Korzystając z podobieństwa trójkątów BCC1 i BDD1 oraz z informacji o polu trójkąta BDD1 obliczenie długości odcinka DD1; = 3	2
5	Rysunek wraz z oznaczeniami	1
	Wykazanie, że trójkąty DAQ i DCR są przystające	1,5
	Sformułowanie wniosku o długości boków DR i DQ	0,5
	Zapisanie faktu, że suma miar kątów sąsiednich w równoległoboku wynosi 180^0 oraz , że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180^0 do wyznaczenia miary kąta QDR	2
	Obliczenie miary kąta QDR; 90^0.	1

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną

i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 17.04.2004 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zad.1 ( 6 pkt)

Naczynie w kształcie sześcianu całkowicie wypełniono cieczą. Część jego zawartości przelano do dwóch jednakowych pojemników w kształcie prostopadłościanu, wypełniając je całkowicie, po czym w naczyniu sześciennym zostało jeszcze 16 litrów cieczy. Wymiary prostopadłościennego pojemnika tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1 dm, a jego najdłuższa krawędź jest równa krawędzi naczynia sześciennego.

Oblicz wymiary pojemnika w kształcie prostopadłościanu.

Zad. 2 (6 pkt)

W romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60⁰ wpisano okrąg . Wykaż, że czworokąt XYZT, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu z bokami rombu jest prostokątem oraz oblicz jego pole

Zad 3 (6 pkt)

Zbadaj, czy można wytyczyć działkę 8 arową w kształcie trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60⁰ tak, aby jej obwód nie przekraczał 120 metrów.

Zad. 4 (6 pkt)

Trójka liczb całkowitych tworzy ciąg geometryczny o ilorazie q, będącym liczbą całkowitą różną od zera. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9 to powstanie ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby?

Zad.5 ( 6 pkt)

Wyznacz liczby a, b tak, aby pierwiastek równania

=

był dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ - 5x² +ax + b.

Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy I I - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Analiza zadania	1
	Zapisanie np. równania : (a+2)^3 = 16 + a(a +1)(a +2) gdzie a jest długością najkrótszej krawędzi prostopadłościanu	1,5
	Rozwiązanie równania : a = 2 lub a = -1 + lub a = -1 -	1,5
	Podanie rozwiązania zadania: 2 dm, 3 dm, 4 dm lub -1 + dm, dm, +1 dm	1
	Sprawdzenie rozwiązania zadania i odpowiedź	1
2	Dowód , że czworokąt XYZT jest prostokątem	2
	Wyznaczenie długości wysokości rombu : 2	1
	Wyznaczenie miary kąta między przekątnymi prostokąta XYZT: 60^0	1
	Obliczenie pola prostokąta : 3	2
3	Zapisanie warunków zadania: gdzie a, b są długościami podstaw, c - długością ramienia, h - długością wysokości trapezu	1
	Wyrażenie długości wysokości h trapezu przy pomocy długości jego ramienia c: h = c	1
	Zapisanie sumy długości podstaw przy pomocy c : a + b =	1
	Zapisanie nierówności dotyczącej obwodu przy pomocy c : + 2c	1
	Rozwiązanie nierówności	1
	Odpowiedź wraz z uzasadnieniem, że nie można wytyczyć działki	1
4	Rozpatrzenie czterech przypadków dla ciągu ( m, mq, mq^2) gdzie m, q (m<0 i q >0) lub (m<0 i q <0) lub (m>0 i q >0) lub (m>0 i q <0) i ustalenie który z wyrazów jest najmniejszy	1
	Zapisanie kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego	0,5
	Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi : mq = i przekształcenie tego równania do postaci : ( q - 1)^2 = oraz wyciągnięcie wniosku co do znaku liczby m : m jest ujemne	2
	Wypisanie możliwych wartości dla m uwzględniając warunki zadania: m = - 1 lub m = - 9	1
	Obliczenie q dla m = - 1: q = 4 lub q = - 2	0,5
	Obliczenie q dla m = - 9 : q = 2	0,5
	Udzielenie odpowiedzi: -1, -4, -16; -9, -18, -36;-1, 2, -4;	0,5
5	Podanie założeń: x >0 i x 1	0,5
	Skorzystanie z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu	1
	Zapisanie danego równania w postaci układu (koniunkcji): = 1i x>0 i x 1	0,5
	Rozwiązanie równania = 1 : x = 1 lub x = 3	1
	Uwzględnienie założenia i podanie rozwiązania danego równania; x = 3	0,5
	Wyznaczenie a, b dla których 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu; a = 3, b = 9.	2
	Wyznaczenie trzeciego pierwiastka wielomianu; -1	0,5

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną

i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa IV, V - profil ogólny

Etap wojewódzki - 17.04.2004 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zad 1 (6 pkt)

Jeden z wierzchołków trójkąta równobocznego jest wierzchołkiem paraboli o równaniu

y = x² - 4x, a pozostałe dwa wierzchołki leżą na jej ramionach.

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót tego trójkąta dokoła prostej o równaniu y + 4 = 0

Zad 2 ( 6 pkt)

Ze zbioru wszystkich wierzchołków n - kąta foremnego losujemy trzy różne wierzchołki

i zakładamy, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne. Wiedząc, że liczba przekątnych tego wielokąta wynosi dziewięć, oblicz prawdopodobieństwo , że wybrane losowo trzy wierzchołki wyznaczają trójkąt równoramienny.

Zad 3 (6 pkt)

Rozwiąż nierówność:

₂^{1 + 2log}₂^{cos x} - 0,75 > ₉^{0,5 + log}₃^sinx , x

Zad 4 ( 6 pkt)

Niech a, b, c będą długościami boków trójkąta, leżącymi naprzeciw kątów o miarach odpowiednio
i niech a² - ( b - c) ² będzie polem tego trójkąta.

Oblicz sinus
.

Zad 5 ( 6 pkt)

Wyznacz miary kątów trójkąta prostokątnego, w którym stosunek długości promienia okręgu wpisanego do długości promienia okręgu opisanego jest największy.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy IV LO i Technikum i V Technikum - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Analiza zadania, rysunek	1
	Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: A(2, - 4)	1
	Zapisanie współrzędnych pozostałych wierzchołków trójkąta: B(2 - a, a^2 -4), C (2 + a, a^2 - 4) gdzie a R i jest równe połowie długości boku trójkąta równobocznego	1
	Obliczenie wartości a : a =	1
	Zapisanie objętości bryły: V = Vwalca - 2 V stożka	1,5
	Obliczenie objętości bryły: V = 12	0,5
2	Wykorzystanie wzoru na liczbę przekątnych w n - kącie : n(n - 3), do wyznaczenia liczby boków : n = 6	1,5
	Zapisanie przestrzeni zdarzeń elementarnych i obliczenie jej mocy : = : , = 20	2
	Zapisanie zdarzenia losowego i obliczenie jego mocy: A = : i odległość pomiędzy co najmniej dwoma punktami jest taka sama , A = 8	2
	Obliczenie prawdopodobieństwa P(A) =	0,5
3	Podanie założenia : sinx >0 i cosx >0 :x ( 0, )	1
	Zapisanie potęg przy pomocy iloczynu potęg o tej samej podstawie	2
	Skorzystanie ze wzoru a = b i zapisanie nierówności w postaci 2cos^2x - > 3sin^2x	1
	Rozwiązanie nierówności : x	2
4	Analiza zadania, rysunek	0,5
	Zapisanie wzoru na pole trójkąta przy pomocy długości boków b, c i sin : P = 0,5 bcsin	0,5
	Wykorzystanie informacji o polu z treści zadania do zapisania równania : a^2 - (b - c)^2 = 0,5 bc sin	1
	Zastosowanie Twierdzenia cosinusów do zapisania kwadratu długości boku a : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos	0,5
	Wykorzystanie otrzymanych równań do zapisania równania: bc( - 2 cos + 2 - 0,5 sin ) =0	1
	Rozwiązanie układu równań: - 2 cos + 2 - 0,5 sin =0 sin^2 + cos^2 = 1	2
	Wybór odpowiedniego rozwiązania i odpowiedź sin =	0,5
5	Rysunek wraz z oznaczeniami	0,5
	Zapisanie, że długość promienia okręgu opisanego jest połową długości przeciwprostokątnej	0,5
	Zapisanie długości promienia okręgu opisanego przy pomocy długości przyprostokątnej b i kąta	0,5
	Zapisanie długości promienia okręgu wpisanego w zależności od i przy pomocy długości przyprostokątnej b	0,5
	Zapisanie ilorazu w postaci	0,5
	Przekształcenie ilorazu do postaci sin + cos - 1	1,5
	Wyznaczenie maksimum dla funkcji f( ) = sin + cos - 1	1,5
	Udzielenie odpowiedzi: stosunek promieni jest największy gdy miarą kąta ostrego jest	0,5

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną

i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów.

---