✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
18
KWIETNIA
2015
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
18
KWIETNIA
2015
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Wielomian W
(
x
) =
x
4
+
ax
3
+
ax
2
+
bx
−
5 jest podzielny przez wielomian x
2
−
1. Wynika
st ˛ad, ˙ze
A) a
+
b
=
0
B) a
=
b
C) a
+
2b
=
4
D) b
=
2a
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Liczba log
3
√
2
√
3
·
log
3
√
3
√
2 jest równa
A)
4
9
B)
9
4
C)
(
log
2
3
)
2
D)
(
log
3
2
)
2
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Funkcja f
(
x
) = −
4x
3
−
ax
+
3x
+
4 jest funkcj ˛a malej ˛aca je ˙zeli
A) a > 3
B) a 6 3
C) a
∈ h−
3, 3
i
D) a
∈ h−
4,
−
3
i
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Wyra ˙zenie cos x
−
cos 3x jest równe
A) 4 sin
2
x
cos x
B) 1
−
cos 4x
C)
−
2 sin 2x sin x
D) 2 cos 2x cos x
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Funkcja f jest okre´slona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem f
(
x
) =
2
x
+
3
−
2. Prosta
l
ma równanie y
= −
2, 1. Ile punktów wspólnych maj ˛a wykres funkcji f i prosta l?
A) Zero.
B) Jeden.
C) Dwa.
D) Niesko ´nczenie wiele.
2
Z
ADANIE
6
(2
PKT
)
Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których w´sród rozwi ˛aza ´n równania
|
m
−
5x
| =
3
s ˛a zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.
Z
ADANIE
7
(2
PKT
)
Oblicz granic˛e lim
x
→−
∞
3
x
log
(
1
−
x
)
.
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
3
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(2
PKT
)
Funkcja f jest okre´slona wzorem f
(
x
) =
x
2
x
+
3
dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x
6= −
3. Oblicz
pochodn ˛a funkcji f w punkcie x
=
6.
4
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(2
PKT
)
W loterii szkolnej losujemy jeden spo´sród 100 losów, przy czym w przypadku wyci ˛agni˛e-
cia losu przegrywaj ˛acego mo ˙zemy wylosowa´c jeszcze jeden los. Ile losów w tej loterii jest
wygrywaj ˛acych, je ˙zeli prawdopodobie ´nstwo wygranej jest równe
19
55
?
5
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(3
PKT
)
Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a
<
b 6
−
2, to
a
3
2
+
a
4
>
b
3
2
+
b
4
.
6
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
11
(3
PKT
)
Uzasadnij, ˙ze je ˙zeli a i b s ˛a liczbami całkowitymi i x
+
y
=
3
√
a
oraz x
−
y
=
3
√
b
, to 2y
3
+
6x
2
y
te ˙z jest liczb ˛a całkowit ˛a.
7
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
12
(3
PKT
)
Dana jest parabola o równaniu y
=
2x
2
−
3 i le ˙z ˛acy na niej punkt A o współrz˛ednej x równej
−
2. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A.
8
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
13
(3
PKT
)
Monotoniczny ci ˛ag geometryczny
(
a
n
)
jest zdefiniowany przez warunki
(
a
1
=
√
5
a
n
+
2
=
a
n
−
a
n
+
1
.
Oblicz sum˛e wszystkich wyrazów ci ˛agu
(
a
n
)
.
9
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
14
(3
PKT
)
Wyka ˙z, ˙ze
cos 2x cos x
−
sin 4x sin x
=
cos 3x cos 2x.
10
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
15
(5
PKT
)
Oblicz jakie długo´sci powinny mie´c boki prostok ˛ata o polu równym S, aby jego przek ˛atna
miała najmniejsz ˛a mo ˙zliw ˛a długo´s´c. Oblicz długo´s´c tej przek ˛atnej.
11
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
16
(5
PKT
)
Rzucamy cztery razy symetryczn ˛a sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry. Oblicz prawdopodobie ´nstwo
zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze suma kwadratów liczb oczek otrzymanych we wszyst-
kich czterech rzutach b˛edzie mniejsza ni ˙z 20.
12
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
17
(6
PKT
)
Punkt S jest punktem przeci˛ecia si˛e przek ˛atnych równoległoboku ABCD, a punkt P jest
takim punktem boku BC tego równoległoboku, ˙ze
|
BP
|
:
|
PC
| =
3. Oblicz współrz˛edne
spodka wysoko´sci opuszczonej z wierzchołka A tego równoległoboku na prost ˛a CD, je ˙zeli
−→
AB
= [
4, 4
]
,
−→
DS
= [
3,
−
3
]
i P
=
7
2
,
7
2
.
13
✇✇✇✳③❛❞❛♥✐❛✳✐♥❢♦ – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
18
(6
PKT
)
Oblicz promie ´n kuli stycznej do wszystkich kraw˛edzi czworo´scianu foremnego o kraw˛edzi
długo´sci a.
15
