dr Maria Malejki
WMS

Egzamin z Analizy Matematycznej 1

dla grupy wyk ladowej IB kierunku matematyka

1. Struktura algebraiczna cia la -definicja i przykady.

2. Cia lo uporz¸

adkowane, porz¸

adek, porz¸

adek zgodny z dzia laniami. Przyk lady.

3. W lasno´

s´

c istnienia kres´

ow zbior´

ow w ciele liczb rzeczywistych. Zbiory ograniczone. Definicje i w lasno´

sci

kres´

ow podzbior´

ow rzeczywistych.

4. Relacja w iloczynie kartezja´

nskim X

× Y . W lasno´sci relacji - definicje, dziedzina relacji, obraz, w lasno´s´c

prawo- i lewostronnej jednoznaczno´

sci relacji.

5. Definicja funkcji.

W lasno´

sci funkcji (wykres, obraz, injektywno´

s´

c, surjektywno´

s´

c, bijekcja).

Funkcja

odwrotna. Przyk lady funkcji odwrotnych.

6. Ci¸

agi, ci¸

agi liczbowe, podci¸

agi - definicje. W lasno´

sci monotoniczno´

sci i ograniczono´

sci ci¸

ag´

ow liczb rzeczy-

wistych. Przyk lady.

7. Granica ci¸

agu - definicja. Dow´

od, ˙ze lim

n

→∞

1/n = 0.

8. Granica ci¸

agu - definicja. Dow´

od stwierdzenia o jednoznaczno´

sci granicy ci¸

agu zbie˙znego.

9. W lasno´

sci granicy ci¸

agu - granice sumy, r´

o˙znicy, iloczynu, ilorazu ci¸

ag´

ow. Sformu lowanie twierdzenia i

dow´

od.

10. Granice niew la´

sciwe - definicje. Symbole nieoznaczone. Przyk lady.

11. Twierdzenie o granicy 3 ci¸

ag´

ow z dowodem.

12. Tw. Weierstrassa o zbie˙zno´

sci ci¸

agu monotonicznego i ograniczonego z dowodem.

13. Tw. Weierstrassa o zbie˙zno´

sci ci¸

agu monotonicznego i ograniczonego.

Wykaza´

c zbie˙zno´

s´

c ci¸

agu

{(1 +

1

n

)

n

}

∞

n=1

.

14. Zasada Cantora; cz¸e´

s´

c wsp´

olna zst¸

epuj¸

acego ci¸

agu przedzia l´

ow domkni¸etych i ograniczonych.

15. Tw. Bolzano-Weierstrzassa o ci¸

agu ograniczonym. Dow´

od twierdzenia.

16. Ci¸

ag Cauchy’ego (fundamentalny)-definicja. R´

ownowa˙zno´

s´

c warunku Cauchy’ego i zbie˙zno´

sci dla ci¸

ag´

ow

liczbowych.

17. Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno´

sci ci¸

ag´

ow z dowodem.

18. Tw. Stolza. Przyk lady zastosowania.

19. Zbi´

or punkt´

ow skupienia dla ci¸

ag´

ow. Granica g´

orna i dolna dla ci¸

agu rzeczywistego. Podstawowe w lasno´

sci

granicy g´

ornej i dolnej.

20. Szereg liczbowy -definicja. Poj¸ecie zbie˙zno´

sci szereg´

ow (definicja). Warunek konieczny zbie˙zno´

sci szeregu

z dowodem.

21. Kryterium por´

ownawcze zbie˙zno´

sci szereg´

ow o wyrazach nieujemnych. Sformu lowanie twierdzenia i dow´

od.

22. Kryterium Cauchy’ego (pierwiastkowe) zbie˙zno´

sci szereg´

ow. Sformu lowanie twierdzenia i dow´

od.

23. Kryterium d’Alemberta (ilorazowe) zbie˙zno´

sci szereg´

ow. Sformu lowanie twierdzenia i dow´

od.

24. Badanie zbie˙zno˙sci szereg´

ow harmonicznych np.

∑

∞
n=1

1

n

p

,

∑

∞
n=2

1

n

p

(lnn)

q

.

25. Zbie˙zno´

s´

c bezwzgl¸edna szereg´

ow. Dow´

od zbie˙zno´

sci szeregu bezwzgl¸ednie zbie˙znego.

1

26. Zagadnienie zmiany kolejno´

sci sumowania dla szereg´

ow o wyrazach nieujemnych lub szeregu bezwzgl¸ednie

zbie˙znego.

27. Iloczyn Cauchy’ego szereg´

ow.

28. Kryteria Leibniza i Dirichleta zbie˙zno´

sci szereg´

ow z dowodami.

29. Granica funkcji - definicja wg Cauchy’ego, definicja wg Heinego. Dow´

od r´

ownowa˙zno´

sci tych definicji dla

funkcji rzeczywistych.

30. Granice cz¸e´

sciowe. Dow´

od lim

x

→0

sin x

x

= 1.

31. Twierdzenie o granicy funkcji z lo˙zonej.

32. Twierdzenie o istnieniu granic prawostronnych i lewostronnych dla funkcji monotonicznych. Sformu lowanie

twierdzenia i dow´

od.

33. Asymptoty - definicje, wzory, przyk lady.

34. Poj¸ecie funkcji ci¸

ag lej. Definicja ci¸

ag lo´

sci w punkcie. Ci¸

ag lo´

s´

c funkcji na zbiorze. Podstawowe w lasno´

sci

funkcji ci¸

ag lych (z dowodami).

35. Ci¸

ag lo´

s´

c sumy, iloczynu, ilorazu i z lo˙zenia funkcji ci¸

ag lych. Sformu lowanie twierdze´

n i dowody.

36. Tw. Weierstrassa o istnieniu warto´

sci najwi¸ekszej i warto´

sci najmniejszej dla funkcji ci¸

ag lej na przedziale

domkni¸

etym i ograniczonym z dowodem.

37. Tw. o w lasno´

sci Darboux dla funkcji ci¸

ag lej na przedziale.

38. Jednostajna ci¸

ag lo´

s´

c, warunek Lipschiza -definicje i por´

ownanie z w lasno´

sci¸

a ci¸

ag lo´

sci.

39. Pochodna funkcji -definicja, wyprowadzenie wzor´

ow na pochodne funkcji elementarnych.

40. Pochodna funkcji -definicja. Podstawowe w lasno´

sci pochodnych i wzory na pochodne sumy, iloczynu i

ilorazu dla funkcji r´

o˙zniczkowalych (dowody lub wyprowadzenie wzor´

ow).

41. Pochodna funkcji -definicja. Wzory na pochodn¸

a funkcji z lo˙zonej i funkcji odwrotnej (wyprowadzenie

wzor´

ow).

42. Ci¸

ag lo´

s´

c a r´

o˙zniczkowalno´

s´

c. Sformu lowanie twierdzenia i dow´

od.

43. R´

o˙zniczka funkcji. Pochodne i r´

o˙zniczki wy˙zszych rz¸ed´

ow. Klasy C

n

, C

∞

.

44. Twierdzenia Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a z dowodami.

45. Wz´

or Taylora z reszt¸

a Peano, wz´

or Taylora z reszt¸

a Lagrange’a (przygotowa´

c dow´

od jednego z twierdze´

n).

Rozwini¸

ecie w szereg Taylora lub Maclaurina dla niekt´

orych funkcji elementanych.

46. Regu la de L’Hospitala (z dowodem). Przyk lady.

47. Warunek na monotoniczno´

s´

c funkcji wyra˙zony za pomoc¸

a pochodnych (z dowodem).

48. Warunek konieczny i warunki wystarczaj¸

ace na ekstrema lokalne (z pochodn¸

a pierwszego rz¸edu) z dowo-

dem.

49. Warunki wystarczaj¸

ace na ekstrema lokalne z pochodnymi wy˙zszych rz¸ed´

ow - sformu lowanie twierdze´

n.

50. Wypuk lo´

s´

c funkcji -definicja, badanie przedzia l´

ow wypuk lo´

sci za pomoc¸

a pochodnej drugiego rz¸edu.

Sformu lowanie twierdzenia i dow´

od.

51. Wypuk lo´

s´

c a ci¸

ag lo´

s´

c. Sformu lowanie twierdzenia i dow´

od.

2